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1
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.
A
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]
1
3
A
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g
2
1
2000]Primary 35J70;Secondary 47A05,58J05,58J32ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA Abstract.We study the adjointness problem for the closed extensions of a general b -elliptic operator A ∈x ?νDi?m b (M ;E ),ν>0,initially de?ned as an unbounded operator A :C ∞c (M ;E )?x μL 2b (M ;E )→x μL 2b (M ;E ),μ∈R .The case where A is a symmetric semibounded operator is of particular interest,and we give a complete description of the domain of the Friedrichs extension of such an operator. 1.Introduction Let M 0be a smooth paracompact manifold,m a smooth positive measure on M 0.Suppose A :C ∞c (M 0)→C ∞c (M 0)is a scalar linear partial di?erential operator with smooth coe?cients.Among all possible domains D ?L 2(M 0,m )for A as an unbounded operator on L 2(M 0)there are two that stand out:D max (A )={u ∈L 2(M 0,m )|Au ∈L 2(M 0,m )}where Au is computed in the distributional sense,and D min (A )=completion of C ∞c (M 0)with respect to the norm u + Au ,which can be regarded as a subspace of L 2(M 0,m ).Both domains are dense in L 2(M 0,m ),since C ∞c (M 0)?D min (A )?D max (A ),and with each domain A is a closed operator.Clearly D min (A )is the smallest domain containing C ∞c (M 0)with respect to which A is closed,and D max (A )contains any domain on which the action of the operator coincides with the action of A in the distributional sense.Also clearly,A with domain D max (A )is an extension of A with domain D min (A ).If M 0is compact without boundary and A is elliptic then D max (A )=D min (A );the interesting situations occur when A is non-elliptic or M 0is noncompact.In this paper we shall analyze the latter problem,assuming that M 0is the interior of a smooth compact manifold M with boundary and that A ∈x ?νDi?m b (M ;E ),ν>0,is a b -elliptic ‘cone’operator acting on sections of a smooth vector bundle E →M ;here x :M →R is a smooth de?ning function for ?M ,positive in M 0.
The elements of Di?m b (M ;E )are the totally characteristic di?erential opera-tors introduced and analyzed systematically by Melrose [8].These are linear op-erators with smooth coe?cients which
near the boundary can be written in lo-cal coordinates (x,y 1,...,y n )as P = k +|α|≤m a kα(xD x )k D αy .Such an opera-tor is b -elliptic if it is elliptic in the interior in the usual sense and in addition k +|α|=m a kα(0,y )ξk ηαis invertible for (ξ,η)=0;this is expressed more concisely by saying that the principal symbol of P ,as an object on the compressed cotan-gent bundle (see Melrose,op.cit.),is an isomorphism.It follows from the de?nition of b -ellipiticity that the family of di?erential operators on ?M given locally by
?P 0(σ)= j +|α|≤m a α,j (0,y )σj D αy ,called the indicial operator or conormal symbol
2JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
of P,is elliptic of order m for anyσ∈C.For the general theory of these oper-ators and the associated pseudodi?erential calculus the reader is referred to the paper of Melrose cited above,his book[9],as well as Schulze[14,15].An oper-ator A∈x?νDi?m b(M;E)is b-elliptic if P=xνA is b-elliptic.By de?nition the conormal symbol of A is that of P.For more details see Section2.
The measure used to de?ne the L2spaces will be of the form xμm for some real μ,where m is a b-density,that is,x m is a smooth positive density.The spaces L2(M;E;xμm)are de?ned in the usual way with the aid of a smooth but otherwise arbitrary hermitian metric on E.These spaces are related among themselves by canonical isometries with which L2(M;E;xμm)=x?μ/2L2b(M,E),where L2b(M,E) is the space de?ned by the measure m itself.
This said,the general problem we are concerned with is the description of the ad-joints of the closed extensions of a general b-elliptic operator A∈x?νDi?m b(M;E) initially de?ned as an unbounded operator
(1.1)
A:C∞c(M;E)?xμL2b(M;E)→xμL2b(M;E).
The case where A is a symmetric semibounded operator is of particular interest,and we give,in Theorem8.12,a complete description of the domain of the Friedrichs extension of such an operator.
Di?erential operators in x?νDi?m b(M;E)arise in the study of manifolds with conical singularities.The study of such manifolds from the geometric point of view began with Cheeger[3],and by now there is an extensive literature on the subject. In the speci?c context of our work,probably the most relevant references,aside from those cited above,are the book by Lesch[7],and the papers by Br¨u ning and Seeley[1,2],and Mooers[11].See also Coriasco,Schrohe,and Seiler[13].
As already mentioned,the domains D min(A)and D max(A)need not be the same. The object determining the closed extensions of A is its conormal symbol?P0(σ): C∞(?M)→C∞(?M).Because of the b-ellipticity,this operator is invertible for allσ∈C except a discrete set spec b(A),the boundary spectrum of A(or P),a set which(again due to the b-ellipticity)intersects any strip a
From the point of view of closed extensions there is nothing more to understand than that they are in one to one correspondence with the subspaces of E(A)= D max(A)/D min(A).The problem of?nding the domain of the adjoint is more delicate,and forces us to pass to the Mellin transforms of representatives of elements of E.Our approach entails rewriting the pairing[u,v]A=(Au,v)?(u,A?v),de?ned for u∈D max(A)and v∈D max(A?),where A?is the formal adjoint of A,in terms of the Mellin transforms of u and v,and proving certain speci?c nondegeneracy properties of the pairing.It is generally true(and well known)that in a general abstract setting,[·,·]A induces a nonsingular pairing of E(A)and E(A?).In the
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS3 case at hand,there is an essentially well de?ned notion of an element u∈D max(A) with pole‘only’atσ0∈spec b(A)∩{?μ?ν
σ0?i(ν+2μ)is nonsingular(modulo the respective minimal domains).
Our analysis of the pairing begins in Section5with a careful description of the Mellin transforms of elements in D max(A).The main result in that section is Proposition5.9,a result along the lines of part of the work of Gohberg and Sigal[4]. In Section6we prove in a somewhat abstract setting that the pairing alluded to above for solutions with poles at conjugate points is nonsingular(Theorem6.4).In Section7we link the pairing[·,·]A with the pairing of Section6.The main results are Theorems7.11and7.17.The?rst of these gives a formula for the pairing which in particular shows that the pairing is null when the poles in question are not conjugate,and the second,which is based on the formula in Theorem7.11and Theorem6.4,shows that the pairing of elements associated to conjugate poles is nonsingular.The formulas are explicit enough that in simple cases it is easy to determine the domain of the adjoint of a given extension of A.
We undertake the study of the domain of the Friedrichs extension of b-elliptic semibounded operators in Section8.The main result there is Theorem8.12,which is a complete description of the domain of the Friedrichs extension.Loosely speak-ing,the domain consists of the sum of those elements u∈D max(A)with poles‘only’in?μ?ν
Any closed extension of a b-elliptic operator A∈x?νDi?m b(M;E)as an operator D?xμL2b(M;E)→xμL2b(M;E)has the space xμ+νH m b(M;E)in its domain.The space H m b(M;E)is the subspace of L2b(M;E)whose elements u are such that for any smooth vector?elds V1,...,V k,k≤m,on M tangent to the boundary,V1...V k u∈L2b(M;E).Other than this,the set of domains of the closed extensions of di?erent b-elliptic operators in x?νDi?m b(M;E)are generally not equal.In Section4we provide simple su?cient conditions for the domains of two such operators to be the same.Not unexpectedly,these conditions are on the equality of Taylor expansion at the boundary of the operators involved,up to an order depending onν.We prove in particular that under the appropriate condition the domains of the Friedrichs extensions of two di?erent symmetric semibounded operators are the same.This is used in Section8as an intermediate step to determine the domain of the Friedrichs extension of such an operator,and a re?nement of the condition is obtained as a consequence.
Operators of the kind we investigate arise naturally as geometric operators.In such applicationsμis determined by the actual situation.It is convenient for us, however,to work with the normalization
x?μ?ν/2Axμ+ν/2:C∞c(M;E)?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E). rather than(1.1).Since the mappings x s:xμL2b(M;E)→xμ+s L2b(M;E)are surjective isometries,this represents no loss.In particular,adjoints and symmetry properties of operators are preserved.Also to be noted is that these transformations represent translations on the Mellin transform side,so it is a simple exercise to
4JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
recast information presented in terms of Mellin transforms of the modi?ed operator as information on the original operator.
2.Geometric preliminaries
Throughout the paper M is a compact manifold with(nonempty)boundary with a?xed positive b-density m,that is,a smooth density m such that for some (hence any)de?ning function x,x m is a smooth positive density.We will also?x a hermitian vector bundle E→M.
Fix a collar neighborhood U Y for each boundary component Y of M,so we have a trivial?ber bundleπY:U Y→Y with?ber[0,1).We can then canonically identify the bundle of1-densities over U Y with| |[0,1)?| |Y(the tensor product of the pullback to[0,1)×Y of the respective density bundles).
Let m be a b-density on| |[0,1)?| |Y.Then there is a smooth de?ning function x:Y×[0,1)→R vanishing at Y×0,and a smooth density m Y on Y,such that
m=
dx
ξ?m Y with h smooth,
positive,h(0,y)=1.Let x=gξwhere g is determined modulo constant factor
by the requirement that dξx
ξ(dξmeans di?erential in the variableξ;this
makes sense since we are dealing with a product manifold).Thus g(ξ,y)should satisfy the equation
?g
ξ
g=0
Since h=1whenξ=0,the solutions g are smooth acrossξ=0.Pick the one which is1whenξ=0.
We?x the choice of x for each boundary component.When working near the boundary we will always assume that the de?ning function was chosen above,and that the coordinates,if at all necessary,are consistent with a choice of product structure as above.By?x we mean the vector?eld tangent to the?bers of U Y→Y such that?x x=1.
If E,F→M are(smooth)vector bundles and P∈Di?m b(M;E,F)is a b-elliptic di?erential operator,then E and F are isomorphic.This follows from the fact that the principal symbol of P is an isomorphismπ?E→π?F whereπ:b T?M\0→M is the projection,and the fact that the compressed cotangent bundle b T?M admits a global nonvanishing section(since it is isomorphic to T?M and M is a manifold with boundary).Thus when analyzing b-elliptic operators in Di?m b(M;E,F)we may assume F=E(for more on this see[6]).
The Hilbert space structure of the space of sections of E→M is the usual one, namely integration with respect to m of the pointwise inner product in E:
(u,v)L2
b (M;E)
= (u,v)E m if u,v∈L2b(M;E).
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS5 Fix a hermitian connection?on E.If P∈Di?m b(M;E),then near a boundary component one can write
P=
m
?=0P??(?xD x)?
where the P?are di?erential operators of order m??(de?ned on U Y)such that for any smooth functionφ(x)and section u of E over U Y,P?(φ(x)u)=φ(x)P?(u),in
other words,of order zero in?xD
x .P is said to have coe?cients independent of x
near Y if??
x P k(u)=P k(??
x
u)for any smooth section u of E supported in U Y.
By means of parallel transport along the?bers of U Y→Y one can show that if P∈Di?m b(M;E),then for any N there are operators P k,?P N∈Di?m b(M;E)such that
P=
N
k=0P k x k+?P N x N
where P k has coe?cients independent of x near Y.If P k has coe?cients independent of x near Y then so does its formal adjoint P?k.To see this recall that since the
connection is hermitian,?x(u,v)E=(??
x u,v)+(u,??
x
v)if u and v are supported
near Y,so if they vanish on Y then
(??
x u,v)L2
b
(M;E)
=?(u,??
x
v)L2
b
(M;E)
.
One derives the assertion easily from this.
Fixω∈C∞c(?1,1)real valued,nonnegative and such thatω=1in a neigh-borhood of0.The Mellin transform of a section of C∞c(?M;E)is de?ned to be the entire function?u:C→C∞(Y;E)such that for any v∈C∞(Y;E|Y)
(x?iσω(x)u,π?Y v)L2
b (M;E)
=
1
σ))?.
3.Closed extensions
Recall?rst the abstract situation(cf.[12]),where A:D max?H→H is a densely de?ned closed operator in a Hilbert space H.Thus D max is complete with the graph norm · A induced by the inner product(u,v)+(Au,Av),and if D?D max is a subspace,then A:D?H→H is a closed operator if and only if D
6JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
is closed with respect to · A.Fix D min?D max,suppose D min is dense in H and closed with respect to · A.Let
(3.1)
D={D?D max|D min?D and D is closed w.r.t. · A}
Thus D is in one to one correspondence with the set of closed operators A:D?H→H such that D min?D?D max.For our purposes the following restatement is more appropriate.
Proposition3.2.The set D is in one to one correspondence with the set of closed subspaces of the quotient
(3.3)
E=D max/D min
In our concrete case A∈x?νDi?m b(M;E),ν>0,is a b-elliptic cone operator, considered initially as a densely de?ned unbounded operator
(3.4)
A:C∞c(M;E)?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E).
We take D min(A)as the closure of(3.4)with respect to the graph norm,and
D max(A)={u∈x?ν/2L2b(M;E)|Au∈x?ν/2L2b(M;E)},
which is also the domain of the Hilbert space adjoint of
A?:D min(A?)?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E).
Thus D max is the largest subspace of x?ν/2L2b(M;E)on which A acts in the dis-tributional sense and produces an element of x?ν/2L2b(M;E);one can de?ne A on any subspace of D max by restriction.These de?nitions have nothing to do with ellipticity.The following almost tautological lemma is based on the continuity of A:xν/2H m b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E)and the fact that C∞c(?M;E)is dense in xν/2H m b(M;E).
Lemma3.5.Suppose A∈x?ν/2L2b(M;E),let D?D max(A)be such that A:D?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E)is closed.If D contains xν/2H m b(M;E)then D contains D min(A).In particular,xν/2H m b(M;E)?D min(A).
Adding the b-ellipticity of A as a hypothesis provides the following precise char-acterization of D min(A):
Proposition3.6.If A∈x?ν/2L2b(M;E)is b-elliptic,then
1.D min(A)=D max(A)∩ ε>0xν/2?εH m b(M;E)
2.D min(A)=xν/2H m b(M;E)if and only if spec b(A)∩{?σ=?ν/2}=?.
The proof requires a number of ingredients,beginning with the following funda-mental result[10],[14]:
Theorem3.7.Let A∈x?νDi?m b(M;E)be b-elliptic.For every real s andγ,
(M;E)
A:xγH s b(M;E)→xγ?νH s?m
b
is Fredholm if and only if spec b(A)∩{?σ=?γ}=?.In this case,one can?nd a bounded pseudodi?erential parametrix
Q:xγ?νH s?m
(M;E)→xγH s b(M;E)
b
such that R=QA?1and?R=AQ?1are smoothing cone operators.
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS7
Note that if A is b-elliptic we always can?nd an operator Q such that
QA?1:xγH s b(M;E)→xγH∞b(M;E)and
AQ?1:xγ?νH s b(M;E)→xγ?νH∞b(M;E)
are bounded for every s∈R,even if the boundary spectrum intersects the line {?σ=?γ}.Also in this case ker A and ker A?are?nite dimensional spaces. Moreover,for every u∈xγH s b(M;E),
u xγH s
b ≤ (QA?1)u xγH s
b
+ QAu xγH s
b
,
which implies
u xγH s
b ≤C s,γ u xγH s b+ Au xγ?νH s?m b
(3.8)
for some constant C s,γ>0.
As noted above,there is a bounded operator Q:xγ?νH s?m
b →xγH s b such that
R=QA?1:xγH s?m
b
→xγH∞b is bounded.Hence for u∈xγH s b
u xγH s
b ≤ Ru xγH s
b
+ QAu xγH s
b
,
which implies the estimate(3.8).
Lemma3.9.There existsε>0such that
D max(A)?→x?ν/2+εH m b(M;E).
Proof.The inclusion follows from(3.8)and the fact that,if u∈D max(A)then?u has no poles on{?σ=ν/2}.Chooseε>0smaller than the distance between spec b(A)∩{?σ<ν/2}and the line{?σ=ν/2}.The continuity of the embedding is a consequence of the closed graph theorem since D max(A)and x?ν/2+εH m b are both continuously embedded in x?ν/2L2b.
Recall that x?ν/2+εH m b(M;E)is compactly embedded in x?ν/2L2b(M;E).Hence if A with domain D is closed,then
(D, · A)?→x?ν/2L2b(M;E)compactly.
(3.10)
That this embedding is compact is a fundamental di?erence between the situation at hand and b-elliptic totally characteristic operators and is due to the presence of the factor x?νin A.
Lemma3.11.Letγ∈[?ν/2,ν/2]be such that spec b(A)∩{?σ=?γ}=?.Then A with domain D max(A)∩xγH m b(M;E)is a closed operator on x?ν/2L2b(M;E). Proof.Let{u n}n∈N?D max(A)∩xγH m b with u n→u and Au n→f in x?ν/2L2b. Further,let Q be a parametrix of A as in Theorem3.7.In particular,
QA=1+R:xγH m b(M;E)→xγH m b(M;E)is Fredholm.
So,Au n→f implies(1+R)u n→Qf in xγH m b,and Qf=(1+R)?u for some ?u∈xγH m b.Now,since dim ker(1+R)<∞,there is a closed subspace H?x?ν/2L2b such that x?ν/2L2b(M;E)=H⊕ker(1+R).IfπH denotes the orthogonal projection onto H,thenπH u n→πH u in x?ν/2L2b and,as above,
(1+R)πH u n→(1+R)πH?u in xγH m b.
ThusπH u n→πH?u in xγH m b?→x?ν/2L2b which implies thatπH u=πH?u∈xγH m b.
8JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
On the other hand,(1?πH)u n→(1?πH)u∈ker(1+R)?xγH m b.Therefore, u∈xγH m b and Au=f.In other words,A with the given domain is closed.
Momentarily returning to the abstract situation of a densely de?ned closed op-erator A:D max?H→H,let D?min be the domain of its adjoint.Further,let D?max be the domain of the adjoint of A:D min?H→H,and denote this adjoint by A?.Then we have D?min?D?max.
Let D?and E?be the analogues of(3.1)and(3.3)for A?.De?ne
[·,·]A:D max×D?max→C
by
[u,v]A=(Au,v)?(u,A?v).
(3.12)
Then[u,v]A=0if either u∈D min or v∈D?min,and[·,·]A induces a nondegenerate pairing
[·,·]?A:E×E?→C.
Indeed,suppose u∈D max is such that[u,v]A=0for all v∈D?max.Then(Au,v)= (u,A?v)for all v∈D?max,which implies that u belongs to the domain of the adjoint of A?:D?max?H→H,that is,u∈D min.Thus the class of u in E is zero. Likewise,if v∈D?max and[u,v]A=0for all u∈D max then v∈D?min.
Given D∈D,let D⊥?D?max be the orthogonal of D with respect to[·,·]A. Proposition3.13.Let D∈D.The adjoint A?of A:D?H→H is precisely the operator A?restricted to D⊥.Consequently,A is selfadjoint if and only if D=D⊥. Proof.Let A?:D??H→H be the adjoint of A|D.We have(Au,v)=(u,A?v) for all u∈D,v∈D⊥.Thus D⊥?D?and A?v=A?v if v∈D⊥.On the other hand,since D??D?max(because D?D min),it makes sense to compute[u,v]A for u∈D and v∈D?.For such u,v we then have[u,v]A=0since A?v=A?v for every v∈D?.Thus D??D⊥which completes the proof that D?=D⊥.
Proof of Proposition3.6.To prove part1we will show inclusion in both directions. Ifε>0is such that spec b(A)∩{?σ=?ν/2+ε}=?,then
xν/2H m b(M;E)?D max∩xν/2?εH m b(M;E),
so from Lemmas3.5and3.11we deduce D min(A)?D max(A)∩xν/2?εH m b(M;E). Thus,
D min(A)?D max(A)∩ ε>0xν/2?εH m b(M;E).
To prove the reverse inclusion let u∈D max∩ ε>0xν/2?εH m b and set u n=x1/n u for n∈N.Then{u n}n∈N is a sequence in xν/2H m b and as n→∞
u n→u in xν/2?εH m b,and Au n→Au in x?ν/2?εL2b
for everyε>0.In particular,xεAu n→xεAu in x?ν/2L2b.Chooseεsu?ciently small such that D max(A?)?x?ν/2+εH m b(Lemma3.9).Then for v∈D max(A?) (Au n,v)=(xεAu n,x?εv)→(xεAu,x?εv)=(Au,v)as n→∞.
On the other hand,(u n,A?v)→(u,A?v)and(Au n,v)=(u n,A?v)since u n∈D min(A).Hence(Au,v)=(u,A?v)for all v∈D max(A?),that is,[u,v]A=0for all v∈D max(A?)which implies u∈D min(A)since D min(A)=D max(A?)⊥.
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS9 To prove part2,suppose?rst that spec b(A)∩{?σ=?ν/2}=?.Then Lemma3.11gives that A with domain D max(A)∩xν/2H m b(M;E)is closed.Since xν/2H m b(M;E)?D max(A),Lemma3.5implies D min(A)=xν/2H m b(M;E).On the other hand,if D min(A)=xν/2H m b(M;E),then A with domain xν/2H m b(M;E) is Fredholm,so by Theorem3.7spec b(A)∩{?σ=?ν/2}=?
We will now prove that D max/D min is?nite dimensional.This is a consequence of the following proposition,which is interesting on its own,see Lesch[7,Lemma 1.3.15,Prop.1.3.16].
Proposition3.14.If A∈x?νDi?m b(M;E)is b-elliptic,every closed extension
A:D?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E)
is a Fredholm operator.Moreover,dim D(A)/D min(A)is?nite,and
ind A|D=ind A|D
+dim D(A)/D min(A).
min
In particular,
E(A)=D max(A)/D min(A)is?nite dimensional.
Below we will give a proof di?erent from that of Lesch.That the dimension of D max(A)/D min(A)is?nite can also be proved by observing that if A=x?νP with P∈Di?m b(M;E)and Au∈x?ν/2L2b(M;E),then P u∈xν/2L2b(M;E),so the Mellin transform of P u is holomorphic in?σ>?ν/2,from which it follows that?u(σ)is meromorphic in?σ>?ν/2,and holomorphic in?σ>ν/2since u∈x?ν/2L2b(M;E)(see[5],also[10]).On the other hand,if u∈D min,then?u(σ) is holomorphic in?σ>?ν/2.This type of argument leads to
Corollary3.15.If A∈x?νDi?m b(M;E)is b-elliptic then
D min(A)=D max(A)if and only if spec b(A)∩{?σ∈(?ν/2,ν/2)}=?.
We will analyze E(A)more carefully in the next sections.This will entail some repetition of work done by Gohberg and Sigal[4].
Our proof of Proposition3.14requires the following classical result[16]:
Lemma3.16.Let X,Y and Z be Banach spaces such that X?→Y is compact. Further let T∈L(X,Z).Then the following conditions are equivalent:
1)dim ker T<∞and rg T is closed,
2)there exists C>0such that for every u∈X
u X≤C( u Y+ T u Z)(a-priori estimate).
Proof of https://www.doczj.com/doc/382009754.html,ing(3.10)and Lemma3.16with X=(D, · A)and Y=Z=x?ν/2L2b(M;E),we obtain dim ker A|D<∞and rg A|D closed.On the other hand,the adjoint A?of a cone operator A is just a closed extension of its b-elliptic formal adjoint A?,cf.Proposition3.13.Applying again Lemma3.16we get dim ker(A|D)?<∞.
To verify the index formula consider the inclusionι:D min→D which is clearly Fredholm(use the same argument but now with X=(D min, · A),Y= x?ν/2L2b(M;E)and Z=(D, · A)).Then indι=?dim D/D min,hence
=ind(A|D?ι)=ind A|D+indι=ind A|D?dim D/D min.
ind A|D
min
10JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
As a consequence of Propositions3.2and3.14,for any closed extension of
A:C∞c(?M;E)?x?ν/2L2b(M;E)→x?ν/2L2b(M;E)
with domain D(A)there is a?nite dimensional space E′?D max(A)such that
D(A)=D min(A)⊕E′(algebraic direct sum).
From Proposition3.14we also get the following two corollaries
Corollary3.17.Let A:D1→x?ν/2L2b(M;E)and A:D2→x?ν/2L2b(M;E)be
closed extensions of A such that D1?D2,ind A|D
1<0and ind A|D
2
>0.Then
there exists a domain D with D1?D?D2such that ind A|D=0.
The interest of this corollary lies in the fact that the vanishing of the index is necessary for the existence of the resolvent and of selfadjoint extensions. Corollary3.18.Let A:D1→x?ν/2L2b(M;E)and A:D2→x?ν/2L2b(M;E)be closed extensions of A.Then
ind A|D
2?ind A|D
1
=dim D2/D min?dim D1/D min.
In particular,if D1?D2then
ind A|D
2?ind A|D
1
=dim D2/D1.
This corollary implies the well-known relative index theorems for operators acting on the weighted Sobolev spaces xγH m b(M;E),cf.[10],[14].
4.Equality of domains
In this section we give su?cient conditions for the domains of di?erent operators to be equal.Of these results,only the one concerning Friedrichs extensions will be used later on.
An operator A∈x?νDi?m b(M;E)is said to vanish on?M to order k(k∈N)if for any u∈C∞(M;E),xνAu vanishes to order k on?M.Let
?s?=min{k∈N|s≤k}.
Proposition4.1.Let A0,A1∈x?νDi?m b(M;E)be b-elliptic.
1.If A0?A1vanishes on?M,then D min(A0)=D min(A1).
2.If A0?A1vanishes to order?≤ν?1on?M,?∈N,then
D max(A0)∩xν2???1H m b(M;E).
3.If A0?A1vanishes to order?ν?1?on?M,then D max(A0)=D max(A1).
4.If A0and A1are symmetric and bounded from below and A0?A1vanishes to
order?ν?1?on?M,then the domains of their Friedrichs extensions coincide, that is,D F(A0)=D F(A1).
Proof.First of all,observe that in all cases it is enough to prove only one inclusion; the equality of the sets follows then by exchanging the roles of A0and A1.
To prove part1,write
A1=A0+(A1?A0)=A0+x?νP x
with P∈Di?m b(M;E)and suppose u∈D min(A0).There is then a sequence {u n}n∈N?C∞c(?M;E)such that u n→u and A0u n→A0u,in x?ν/2L2b.Con-sequently,xu n→xu in xν/2H m b and x?νP xu n→x?νP xu in x?ν/2L2b.Thus A1u n→A0u+x?νP xu which implies D min(A0)?D min(A1).
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS11 Now,let?∈N,?≤ν?1,and let u∈D max(A0)∩xν/2???1H m b.This means u∈xν/2???1H m b and A0u∈x?ν/2L2b.To prove that u∈D max(A1)∩xν/2???1H m b we only need to show that A1u belongs to x?ν/2L2b.Let P∈Di?m b(M;E)be such that A1=A0+x?νP x?+1.Since u∈xν/2???1H m b then x?νP x?+1u∈x?ν/2L2b. Hence A1u∈x?ν/2L2b which proves the second statement.
To prove the third statement,let u∈D max(A0),?=?ν?1?,and P as above. Then u∈x?ν/2H m b and x?νP x?+1u∈x?ν/2L2b.Thus A1u∈x?ν/2L2b and D max(A0)?D max(A1).
To prove part4we?rst prove the rather useful and well known abstract char-acterization of the domain of the Friedrichs extension of a symmetric semibounded operator given in Lemma4.3below.Suppose A:D min?H→H is a densely de?ned closed operator which is symmetric and bounded from below.Let A?: D max?H→H be its adjoint and let A F:D F?H→H be the Friedrichs extension of A.De?ne
(u,v)A?=c(u,v)+(A?u,v)for u,v∈D max,
(4.2)
where c=1?c0and c0≤0is a lower bound of A.
Lemma4.3.u∈D max belongs to D F if and only if there exists a sequence{u n}n∈N in D min such that
(u?u n,u?u n)A?→0as n→∞.
Proof.Because of the fact that D min is dense in D F with respect to the norm · A?induced by(4.2),every u∈D F can be approximated as claimed.
Let now u∈D max and let{u n}n∈N?D min be such that(u?u n,u?u n)A?→0, so u n→u in H.Let K?H be the domain of the positive square root R of A F+cI. Recall that D F=D max∩K.Hence u∈D max belongs to D F if u∈K,and the identity
u n?u? A?= R(u n?u?)
implies that{Ru n}n∈N also converges in H.Thus u∈K since R is closed.
We now prove part4of Proposition4.1.Suppose that A0and A1satisfy the hypotheses there.Then by parts1and3,D min=D min(A0)=D min(A1)and D max=D max(A0)=D max(A1),and from the fact that A0+A1?2A0vanishes to order?ν?1?we also get that D min(A0+A1)=D min and D max(A0+A1)=D max. Since A0and A1are symmetric and bounded from below,so is A0+A1.We will show that these three operators share the same Friedrichs domain by showing that
D F(A0+A1)?D F(A0)∩D F(A1).
(4.4)
Suppose this has been shown.Since[u,v]A
0=[u,v]A
1
=1
12JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
But then also
(1?c i )(u ?u n ,u ?u n )x ?ν/2L 2b +(A i (u ?u n ),u ?u n )x ?ν/2L 2b
as n →∞,i =0,1,so u ∈D F (A 0)∩D F (A 1).
5.Spaces of Meromorphic Solutions
If K is a ?nite dimensional complex vector space,we let M σ
0(K )be the space of germs of K -valued meromorphic functions with pole at σ0and Hol σ
0(K )be the subspace of holomorphic germs.These are naturally modules over the ring Hol σ0(C ).Let R ⊥be another ?nite dimensional complex vector space.If P (σ):K →R ⊥is a linear map depending holomorphically on σin a neighborhood of σ0,then P de?nes a map M σ0(K )→M σ0(R ⊥),which we also denote by P .
Lemma 5.1.Suppose that P (σ)is de?ned near σ=σ0,is invertible for σ=σ0but P (σ0)=0.Then there are ψ1,...,ψd ∈M σ0(K )be such that βj (σ)=P (σ)(ψj (σ))is holomorphic and β1(σ0),...,βd (σ0)is a basis of R ⊥.For any such ψj ,if
u ∈M σ0(K )and P u ∈Hol σ0(R ⊥),then there are f j ∈Hol σ0(C )such that u = d
j =1f j ψj .
Proof.Let {b j }d j =1be a basis of R ⊥and de?ne ψj =P ?1(b j ).Then the ψj are meromorphic with pole at σ0,P ψj =βj =b j is holomorphic,and the βj (σ0)form a basis of R ⊥.
Let now ψ1,...,ψd ∈M σ0(K )be such that βj (σ)=P (σ)(ψj (σ))is holomorphic and β1(σ0),...,βd (σ0)is a basis of R ⊥.If f ∈Hol σ0(R ⊥)then f = j f j βj for some f j ∈Hol σ0(C ),because the βj (σ0)form a basis,and each βj (σ0)can be written as a linear combination (over Hol σ0(C ))of β1,...,βd .If P u =
f then P (u ? d
j =0f j ψj )=0,so u = d
j =0f j ψj for σ=σ0,which is the equality of
meromorphic functions.
The lemma asserts that P ?1(Hol σ0(R ⊥
))is ?nitely
generated as a submodule of M σ0(K )over Hol σ0(C ).We will be interested in ?E σ0=P ?1(Hol σ0(R ⊥))/Hol σ0(K )as a vector space over
C .The following fundamental lemma paves the way to
describing a basis of ?E σ0.
Lemma 5.2.Suppose that P (σ)is de?ned near σ=σ0,is invertible for σ=σ0but P (σ0)=0.There are ψ1,...,ψd ∈M σ0(K )such that each βj (σ)=P (σ)(ψj (σ))is holomorphic,β1(σ0),...,βd (σ0)form a basis of R ⊥,and if
ψj =μj ?1
?=01
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS 13
Order them so that {μj }d j =1is nonincreasing and let
?μ1=max {μj |j =1,...,d }
?μi =max {μj |μj
s i =max {j |μj =?μi },
(5.4)that is,
?μ1=μ1=···=μs 1>?μ2=μs 1+1=···=μs 2>···>?μL =μs L ?1+1=···=μd If the vectors ψj 0,j =1,...,s 1,are not linearly independent,then order the ψj with j ≤s 1so that ψ10,...,ψs ′1,0is a maximal set of linearly independent
vectors among {ψj 0|1≤j ≤s 1},write
ψk 0=s ′
1 j =1
a kj ψj 0for k =s ′1+1,...,s 1,
and replace ψk by ψk ?
s ′1j =1a kj ψj for k =s ′1+1,...,s 1.Now P (ψk )=βk ?
s ′
1j =1a kj βj for these indices,so it is still true that the P (ψj )(0)form a basis.With μj denoting the order of the pole of the new ψj ,and again assuming the orders form a nonincreasing sequence,let ?μi and s i be de?ned as above.Suppose that already ψj 0,j =1,...,s i is an independent set.If ψs i +1,0depends linearly on ψ1,0,...,ψs i ,0then put s ′i +1=s i .Otherwise,reorder ψs i +1,0,...,ψs i +1,0so that ψs i +1,0,...,ψs ′i +1,0together with ψj 0,j =1,...
,s i are a maximally independent
set in {ψj 0|1≤j ≤s i +1}.If s ′i +1
ψk 0=s ′i +1
j =1
αkj ψj 0,k =s ′i +1+1,...,s i +1.
Replacing ψk by ψk ? s ′
i +1j =1αkj σμj ??μi +1ψj (s ′i +1+1≤k ≤s i +1),reordering by
decreasing order of the pole (which reorders only ψj ,j >s ′
i +1),now have that the
leading coe?cients of the ψj ,j ≤s i +1,are independent.
Lemma 5.5.With the setup of Lemma 5.2,let ψ1,...,ψd ∈M σ
0(K )be as stated there,and let μj be the order of the pole of ψj .Let
?E σ0=P ?1
(Hol σ0(R ⊥))/Hol σ0(K ),
regarded as a vector space over C .Then the images in ?E σ0of the elements
(σ?σ0)?ψj ,j =1,...,d,?=0,...,μj ?1
form a basis of this space.
Proof.As before assume σ0=0.Because of Lemma 5.1the images of the σ?ψj span,and we only need to prove linear independence.Suppose d
j =1 μj
?1k =0u jk σk ψj is
holomorphic.Modulo holomorphic functions,
ψj =μj ?1
?=01
14JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA (where theψj0are independent)so
u(σ)=
d
j=1μj?1 k=0μj?k ?=0u jk
σ?μ1???k
ψj?+
d
j=s1+1μj?1 k=0μj?k ?=0u jk
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS15
Note that K?μ
1?···?K?μ
L
=K,dim K?μ
?
=s?and m?μ
?
:K?μ
?
→K?μ
?
is
surjective.As in see Gohberg and Sigal[4],the numbersμj will be called the partial multiplicities of P(atσ0).
Lemma5.7.Let{ψ?i}d i=1,{ψj}d j=1?Mσ
(K)be as in Lemma5.2,both sequences ordered so that the sequences{μ?i},{μj}of the orders of the poles is nonicreasing. Thenμ?i=μi for all i and
ψ?i=
d j=1f ijψj
where the f ij are holomorphic,form a nonsingular matrix and f ij=(σ?σ0)μi?μj?f ij for some holomorphic?f ij ifμi>μj.Conversely,given holomorphic functions f ij forming a nonsingular matrix and with f ij/(σ?σ0)μi?μj holomorphic whenμi>μj, then theψ′j de?ned by the formula above satisfy the conclusion of Lemma5.2.
We leave the proof of this to the reader.It uses the previous lemma and its proof.
If K is a hermitian vector space,letφ1,...,φd be an orthonormal basis of K such that for each?=1,...,L,
φ1,...,φs
?∈K?μ
?
Then for j=s??1+1,...,s?we can pickψj∈K?μ
?such that m?μ
?
(ψj)=φj,that is,
if K is hermitian then theψj can be chosen to have orthogonal leading coe?cients. Proposition5.8.Let P(σ):K→R⊥be de?ned and holomorphic nearσ=σ0, invertible forσ=σ0but P(σ0)=0.Then
1.there areψ1,...,ψd∈Mσ
0(K)such that eachβj=Pψj∈Holσ
(R⊥),
β1(σ0),...,βd(σ0)form a basis of C d,and if
ψj=μj?1 ?=01
16JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
(Kμbeing de?ned usingσ0)and(σ?σ0)μjχ(σ)|σ=σ
=0.Soψj?χhas the same leading term asψj but now the coe?cient of(σ?σ0)?μj+?isψ0j?which is orthogonal toψk0for k such thatμk≥μj??.We may then replaceψj byψj?χ.The proof is completed by‘reverse’induction on n=μj??beginning with n=?μ1?1,the above being both the?rst and general steps.
Let now Y be a compact manifold and E a complex vector bundle over Y.We?x a hermitian metric on E and riemannian metric on E with respect to which we de?ne the Sobolev spaces H s(Y;E).Let P(σ):H m(Y;E)→L2(Y;E)be a holomorphic family of elliptic operators of order m de?ned forσnearσ0in C.Suppose P(σ)is invertible forσ=σ0but P(σ0)is not invertible.Let K=ker P(σ0),R=rg P(σ0). Then K and R⊥are?nite dimensional of the same dimension,say d,and consist of smooth sections of E.Regard P(σ)as an operator
P11(σ)P12(σ) P21(σ)P22(σ) :
K
⊕
K⊥
→
R⊥
⊕
R
in the usual way.All the P ij are holomorphic,and the operator P22(σ)is invertible
forσclose toσ0.Thus P11?P12P?1
22P21:K→R⊥depends holomorphically on
σ∈U and is invertible forσ=σ0.We can then?nd?ψ1,...,?ψd∈Mσ
(K)such that(P11?P12P?122P21)?ψj∈Holσ
(R⊥),as in Lemma5.2.Letψj be the singular
part of?ψj?P?1
22P21?ψj.In this last function,P?1
22
P21?ψj has values in K⊥,while
?ψ
j
has values in K,so the order of the pole ofψj is the same as that of?ψj(there is
no cancellation).Note that furthermore the order of the pole of P?1
22
P21?ψj is lower than that of?ψj because P?122P21vanishes atσ=σ0.Letμj be the order of the pole ofψj.
Proposition5.9.Let?u be an H m(Y;E)-valued meromorphic function with pole at0.Then P(σ)(?u(σ))is holomorphic if and only if there are C-valued polynomials p j(σ)of degreeμj?1such that?u? d j=1p j(σ)ψj(σ)is holomorphic.Thus if?f is holomorphic and?u=P(σ)?1(?f),then?u is meromorphic with singularity of the form d j=1p j(σ)ψj(σ).
Proof.Suppose?f=f⊕g is a holomorphic function with values in R⊥⊕R and let ?u=u⊕v=P(σ)?1(f+g),σ=σ0,decomposed according to K⊕K⊥,so
P11u+P12v=f
P21u+P22v=g
From the second equation,v=P?1
22
(g?P21u),which replaced in the?rst gives
(P11?P12P?122P21)u=f?P12P?122g.
Since the?βj=(P11?P12P?122P21)?ψj are holomorphic nearσ0and independent at σ0,there are f j,q j∈Hol0(C)such that f= f j?βj,P12P?122g= q j?βj(the q j vanish atσ0because P12does).Then u= j(f j?q j)?ψj.Replacing this in the expression for v gives
v=P?1
22
g+ j(f j?q j)P?122P21?ψj
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS17
so
u+v= (f j?q j)(?ψj?P?122P21?ψj)+P?122g
= j p j(σ)ψj+h,
where the p j are polynomials and h is holomorphic.
Note that eachψj can be written as
ψj(σ,y)=μj?1
?=01
ζj?ζk μk,
let p j(ζ;ζ1,...,ζs)= k=j?jk.Then p j vanishes to orderμk atζk,k=j,and
18JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
has value 1at ζj ,so p j =1+(ζ?ζj )a j .The a j are polynomials in ζwhose coe?cients depend holomorphically on the ζj .Let b j = μj ?1?=0(?1)?[(ζ?ζj )a j ]?.This is again a polynomial in ζ,and so is q j =b j p j .Thus there are polynomials in ζwith coe?cients depending on the ζj ,h j,k (ζ;ζ1,...,ζs ),j,k =1,...,s ,such that
Q j (ζ;ζ1,...,ζs )=δjk +(ζ?ζk )μk h j,k (ζ;ζ1,...,ζs )
Let now q j (σ,τ)=Q j (τiσ;τiσ1,...,τiσs ),de?ned for those τfor which the numbers τiσj are distinct.Since this is a polynomial in τiσ,and since ?E is invariant under multiplication by τiσ,each q j de?nes a linear map πj :?E →?E .Since q j (σ,τ)=δjk +(σ?σ)μk ?h j,k (σ,τ),πj ψj ∈M ?,{σj }(H )/Hol ?(H )and πj ?πk =δjk πj ,and since s j =1q j =1, j πj =I .Thus with ?E
j =πj (?E )we get ?E
=?E 1⊕···⊕?E s The spaces ?E
j are invariant under multiplication by τiσbecause τiσq j =q j τiσ.The πj are independent of τ.Suppose now that ?E ?M ?,{σ0}(H )/Hol ?(H )is invariant under multiplication by τiσfor all τ(τ=e su?ces).Let λ(w )= N ?=1(?1)
?+1σ0(K )→M σ0(C )
by M σ0(K )×M
σ))∈M σ0(C ).and likewise a pairing ισ0,R ⊥associated with R ⊥.Let P (σ):K →R ⊥be de?ned and holomorphic in a neighborhood of σ0∈C .De?ne P ?(σ)=P (
σ0.Then with the induced map P ?:M σ0(K )we have
ισ0,R ⊥(P (σ)u (σ),v (σ))=ισ0,K (u (σ),P ?(σ)v (σ)).
Furthermore,de?ne Θ:M σ0(C )→M
f (
σ0(C )→M σ0(C ).
ADJOINTS OF ELLIPTIC CONE OPERATORS19
Lemma6.1.Letβ1,...,βd∈Holσ
(R⊥)be such that theβj(σ0)are independent. Then there are?β1,...,?βd∈Hol
σ0
(C).We need
ισ
0,R⊥
(βi,?βj)= ?Θ(h?j)(b i,b?)+(σ?σ0) k,?a ikΘ(h?j)(b k,b?)=δij, or,with the matrices H=[h?j],A=[a ik],B=[(b k,b?)],
BΘ(H)+(σ?σ0)ABΘ(H)=I
so set
Θ(H)=[I+(σ?σ0)B?1AB)]?1B?1.
Lemma6.2.Let P(σ):K→R⊥be de?ned and holomorphic nearσ0,invertible forσ=σ0,P(σ0)=0.Letψj∈Mσ
(K)have independent leading coe?cients
and be such thatβj=Pψj∈Holσ
0(R⊥),with theβj(σ0)linearly independent.Let
?β
j
∈Hol
σ0
(K)be such that
ισ
0,K
(?β?i,β?j)=δij.
Then P??βj=(σ?
(σ?
σ0),thus the multiplicitiesμ?j for P?are the same as those for P,μ?j=μj.
Proof.We have P?β?j=(σ?σ0)μjβj,so
ισ
0,R⊥
(P?β?j,?βk)=(σ?σ0)μkδjk
=(σ?σ0)μkισ
0,K
(?β?j,β?k)
=ισ
0,K
(?β?j,(σ?
σ0)μkβ?k.
20JUAN B.GIL AND GERARDO A.MENDOZA
With the assumptions on P (σ)as in the previous lemma let
u ∈P ?1(Hol σ0(K ))and v ∈(P ?)?1(Hol
2π |σ?σ0|=εισ0,R ⊥
(P u,v )dσ.
The circle of integration is oriented counterclockwise.If v is holomorphic,then
[u,v ]P ,σ
0=0because P u is holomorphic.If u is holomorphic,then also [u,v ]P ,σ0=0,
since 1
2π |σ?σ0|=ε
ισ0,R ⊥(u,P ?v )dσ
Thus [·,·]P ,σ0de?nes a pairing
[·,·]?P ,σ0:?E σ0×?E ?
σ0=(P ?)?1(Hol σ0(R ⊥).
(6.3)
Theorem 6.4.[·,·]?P ,σ0is a nonsingular paring of vector spaces.
Proof.Pick ψj ∈M σ0(K )such that P ψj =βj ∈Hol σ0(R ⊥
),with the leading coe?cients
of the ψj forming a basis of K and with the βj (σ0)forming a basis of
R ⊥.Let ?βj ,?β?j ,and β?j be as in Lemma 6.2.According to the proof of Lemma 5.5,
if u ∈?E σ0and v ∈?
E ?σ0)?v j?ψ?j
(6.5)with constant u ik and v j?.Now,
P (u )=d i =1μi ?1
k =0
(σ?σ0)k u ik βi so
ισ0,R ⊥(P u,v
)=d i,j =1μi ?1 k,?=0
(σ?σ0)k +?u ik v j?ισ0,R ⊥(βi ,?βj )
=d j =1μj ?1
k,?=0
(σ?σ0)k +??μj u jk
v j?=i d j =1μj ?1
k =0u jk
如何写先进个人事迹 篇一：如何写先进事迹材料 如何写先进事迹材料 一般有两种情况：一是先进个人，如先进工作者、优秀党员、劳动模范等；一是先进集体或先进单位，如先进党支部、先进车间或科室，抗洪抢险先进集体等。无论是先进个人还是先进集体，他们的先进事迹，内容各不相同，因此要整理材料，不可能固定一个模式。一般来说，可大体从以下方面进行整理。 (1)要拟定恰当的标题。先进事迹材料的标题，有两部分内容必不可少，一是要写明先进个人姓名和先进集体的名称，使人一眼便看出是哪个人或哪个集体、哪个单位的先进事迹。二是要概括标明先进事迹的主要内容或材料的用途。例如《王鬃同志端正党风的先进事迹》、《关于评选张鬃同志为全国新长征突击手的材料》、《关于评选鬃处党支部为省直机关先进党支部的材料》等。 (2)正文。正文的开头，要写明先进个人的简要情况，包括：姓名、性别、年龄、工作单位、职务、是否党团员等。此外，还要写明有关单位准备授予他(她)什么荣誉称号，或给予哪种形式的奖励。对先进集体、先进单位，要根据其先进事迹的主要内容，寥寥数语即应写明，不须用更多的文字。 然后，要写先进人物或先进集体的主要事迹。这部分内容是全篇材料
的主体，要下功夫写好，关键是要写得既具体，又不繁琐；既概括，又不抽象；既生动形象，又很实在。总之，就是要写得很有说服力，让人一看便可得出够得上先进的结论。比如，写一位端正党风先进人物的事迹材料，就应当着重写这位同志在发扬党的优良传统和作风方面都有哪些突出的先进事迹，在同不正之风作斗争中有哪些突出的表现。又如，写一位搞改革的先进人物的事迹材料，就应当着力写这位同志是从哪些方面进行改革的，已经取得了哪些突出的成果，特别是改革前后的．经济效益或社会效益都有了哪些明显的变化。在写这些先进事迹时，无论是先进个人还是先进集体的，都应选取那些具有代表性的具体事实来说明。必要时还可运用一些数字，以增强先进事迹材料的说服力。 为了使先进事迹的内容眉目清晰、更加条理化，在文字表述上还可分成若干自然段来写，特别是对那些涉及较多方面的先进事迹材料，采取这种写法尤为必要。如果将各方面内容材料都混在一起，是不易写明的。在分段写时，最好在每段之前根据内容标出小标题，或以明确的观点加以概括，使标题或观点与内容浑然一体。 最后，是先进事迹材料的署名。一般说，整理先进个人和先进集体的材料，都是以本级组织或上级组织的名义；是代表组织意见的。因此，材料整理完后，应经有关领导同志审定，以相应一级组织正式署名上报。这类材料不宜以个人名义署名。 写作典型经验材料-般包括以下几部分： (1)标题。有多种写法，通常是把典型经验高度集中地概括出来，一
河大桥右线4#墩0#块砼浇筑交底材料 一、0#块结构尺寸及砼方量 右线4#墩0#块长12m，墩身两端各挑出2.75m，0#块总高度7.5m，底板厚度1m，顶板厚度0.28m,隔墙厚度1.5m，整个0#块设计C50砼429方，其中钢筋及孔道约占15方，净砼体积为414方。 二、总体浇筑方案 1、总体方案 箱梁0#块混凝土施工采用混凝土输送泵将C50泵送混凝土一次性浇筑完成，浇筑顺序为先浇筑底板，然后浇筑腹板、隔墙部分，最后浇筑顶板混凝土，其中底板浇筑顺序为先浇筑墩顶部分，再由中间向两边、由低到高浇筑悬出墩身部分。 2、施工方法和要求 （1）混凝土输送管道布置 混凝土输送管道竖管通过塔吊塔身延接到0#块顶部位置，通过弯管从两端接到箱式内，在通过软管到达浇筑部位，软管长度能到达腹板大倒角位置并能在箱内顺利移动为宜。主管道向两端分岔位置在管道下方铺垫麻袋，防止换管、接管时混凝土落入顶板钢筋骨架内。 （2）混凝土浇筑分层及振捣要求 混凝土分层厚度控制在30～40cm，采用Φ50插入式振捣器，以砼表面水平、泛浆及无下沉为度，每层浇筑振捣棒应插入已浇下层砼10～15cm，以保证上下层砼之间的良好结合，钢筋密集区如倒角和锚垫板防崩网片等位置备用Φ30插入式振捣器辅助捣实。由于0#块的结构复杂，钢筋及预应力管道密集，尤其是底板及张拉端部位，砼振捣要充分、周密、不得漏振，以免出现空洞，同时，不得碰撞管道及预埋件，以防管道
漏浆堵塞和预埋件产生移动。混凝土入模过程，严禁采用振捣器振驱赶混凝土，要采用多点布料，均匀布料的方法施工。 （3）防止砼离析及振捣效果保证措施 因0#块总高度为7.5m，扣除底板厚度1m，腹板和隔墙到顶板高度为6.5m，如果从顶板位置直接向下倾倒混凝土浇筑腹板和隔墙，会由于混凝土下落高度过大而发生离析。采取在内模上开口分层灌注的方法能解决这个问题，具体操作如下：在内模上距底板顶面2m和4m的位置开口，开口尺寸进人处为60x60cm，不进人处30x30cm即可,混凝土输送软管直接通过开口伸入模内将混凝土泵入，振捣工人进入模内分层将混凝土振捣密实，混凝土高度到达开口下方时将开口模板重新焊牢加固，继续上层混凝土的浇筑直到第二层开口的下方位置，此时将开口补好后改从顶板上方位置向下浇筑混凝土。 整个0#块浇筑需在内模上开18个口，其中隔墙分部8个，腹板两端共8个，墩顶腹板大倒角位置共2个（现场如果操作不便，腹板及隔墙开窗可一层）。 0#块墩顶宽度2米高度范围内钢筋互相交错，容易出现漏振、振捣棒插不到位情况，会引起蜂窝及空洞现象，现场需酌情考虑在此位置安装附着式振动器加强振捣效果。总之，砼下落高度宜控制在2米以内，砼水平采用振捣器驱赶长度不超过2米。 为防止腹板及隔墙部位砼振捣密实、做到不漏振，现场准备带刻度的竹竿2根，用来两侧每次浇筑的砼层厚；振捣器橡胶管上采用扎丝做好标记，每层砼振捣棒插入深度是否到位，振捣工要做到心中有数。现场安排4组振捣工，每组两人，各自负责规划的工作区域，责任分明。 腹板浇筑过程中，在底腹板交接处采取压挡措施较小翻浆，或腹板浇筑速度适当放慢，多余砼不能清理出箱内，避免底板厚度增加。
小学生个人读书事迹简介怎么写800字 书,是人类进步的阶梯,苏联作家高尔基的一句话道出了书的重要。书可谓是众多名人的“宠儿”。历来,名人说出关于书的名言数不胜数。今天小编在这给大家整理了小学生个人读书事迹,接下来随着小编一起来看看吧! 小学生个人读书事迹1 “万般皆下品,惟有读书高”、“书中自有颜如玉,书中自有黄金屋”,古往今来,读书的好处为人们所重视,有人“学而优则仕”,有人“满腹经纶”走上“传道授业解惑也”的道路……但是,从长远的角度看,笔者认为读书的好处在于增加了我们做事的成功率,改善了生活的质量。 三国时期的大将吕蒙,行伍出身,不重视文化的学习,行文时,常常要他人捉刀。经过主君孙权的劝导,吕蒙懂得了读书的重要性,从此手不释卷,成为了一代儒将,连东吴的智囊鲁肃都对他“刮目相待”。后来的事实证明,荆州之战的胜利,擒获“武圣”关羽,离不开吕蒙的“运筹帷幄,决胜千里”,而他的韬略离不开平时的读书。由此可见,一个人行事的成功率高低,与他的对读书,对知识的重视程度是密切相关的。 的物理学家牛顿曾近说过,“如果我比别人看得更远,那是因为我站在巨人的肩上”,鲜花和掌声面前,一代伟人没有迷失方向,自始至终对读书保持着热枕。牛顿的话语告诉我们,渊博的知识能让我们站在更高、更理性的角度来看问题,从而少犯错误,少走弯路。
读书的好处是显而易见的,但是,在社会发展日新月异的今天,依然不乏对读书,对知识缺乏认知的人,《今日说法》中我们反复看到农民工没有和用人单位签订劳动合同,最终讨薪无果;屠户不知道往牛肉里掺“巴西疯牛肉”是犯法的;某父母坚持“棍棒底下出孝子”,结果伤害了孩子的身心,也将自己送进了班房……对书本,对知识的零解读让他们付出了惨痛的代价,当他们奔波在讨薪的路上,当他们面对高墙电网时,幸福,从何谈起?高质量的生活,从何谈起? 读书,让我们体会到“锄禾日当午,汗滴禾下土”的艰辛;读书,让我们感知到“四海无闲田,农夫犹饿死”的无奈;读书,让我们感悟到“为报倾城随太守,西北望射天狼”的豪情壮志。 读书的好处在于提高了生活的质量,它填补了我们人生中的空白,让我们不至于在大好的年华里无所事事,从书本中,我们学会提炼出有用的信息,汲取成长所需的营养。所以,我们要认真读书,充分认识到读书对改善生活的重要意义,只有这样,才是一种负责任的生活态度。 小学生个人读书事迹2 所谓读一本好书就是交一个良师益友,但我认为读一本好书就是一次大冒险,大探究。一次体会书的过程,真的很有意思,咯咯的笑声,总是从书香里散发;沉思的目光也总是从书本里透露。是书给了我启示,是书填补了我无聊的夜空,也是书带我遨游整个古今中外。所以人活着就不能没有书,只要爱书你就是一个爱生活的人,只要爱书你就是一个大写的人,只要爱书你就是一个懂得珍惜与否的人。可真所谓
省道308焦作至沁阳段改建工程ZQ-S3合同段
沁河大桥 块施工方案0#箱梁 河南鹏程路桥建设有限公司 省道308焦作至沁阳段改建工程 ZQ-S3合同段项目部 一三年六月0二 0#块施工技术方案 一、箱梁0#块概况 沁河大桥上部箱梁采用单箱单室断面，箱梁顶板宽12.0m,底板宽 6.5m,箱梁顶面设2%单向横坡。满堂支架浇筑0#块段长6.5m。0# 块在墩顶位置梁高为3.5m，箱梁高度按2次抛物线变化；箱梁顶板厚为28cm,
底板根部厚为65.5cm，0#块腹板厚度为70cm。全桥0# 块共有8个，每个桥墩上1个。 二、施工依据 1.《公路桥涵施工技术规范》 2.《公路工程质量检验评定标准》 3.《公路工程施工工艺标准（桥涵）》 4.《碗扣式脚手架施工技术规范》 5.《钢管满堂支架预压技术规程》 6.相关设计图、设计文件 7.相关合同文件三、0#块施工工艺流程图 块施工流程图箱梁0#施工前各项准备工作搭设满堂支架支座安装模板安装预压及观测模板调整底板、腹板及隔墙钢筋制作安装安装纵向、竖向预应力波纹管内模安装 顶板及翼缘板钢筋制作安装 安装纵向、横向预应力波纹管 安装端模 安装预埋件 浇筑混凝土 拆除端模 养生
挂篮拼装及安装 拆除支架. 四、总体施工方案 1、施工准备 0#块是T形刚构桥梁施工的开始，也是挂篮连续箱梁施工的基础，做好0#块施工的各项准备工作和检查工作，在各方面准备工作都就绪后，再进行施工尤为关键。
首先是确定0#块的施工工艺，通过各方考虑，0#块将采用满堂支架现浇方案。满堂支架的设计及验算委托华北水院，设计方案出来后，我方根据设计方案进行施工。 1.人员准备及培训：安排具体人员并明确每个人的岗位职责，对相关技术、施工人员进行技术交底，熟悉施工方案，施工中各个环节的关键点及质量验收标准，工作环境标准等熟练掌握。 全桥施工及安全总负责人为项目经理赵永忠，总工程师李长安。 工地试验室主任：赵银萍；试验员：张鹏、赵霞资料员：张喜银 工程部负责人：葛海啸；技术员：郝卫卫、靳伟；资料员：郝丽萍安全部负责人：张福礼；资料员：李亚茹 材料负责人：孟武龙； 测量队长：申小辉；技术员：郭之佳 拌合站负责人：宋国胜 施工队负责人：陈文浩；施工员：鲁学甫；安全员：陈炳南；技术员： 汪磊、石维新。 2.材料准备：材料分为工作用材料、工程用材料、试验用材料。工作用材料主要为：碗扣支架、支座、底模、侧模、养生材料等，工. 程用材料主要为钢筋、波纹管、钢绞线、砂石、水泥、粉煤灰、减水剂、进场的所有材料均应做好检测和存放。 3.设备、机具准备：设备的选择，设备调试及检查，设备的工作标准，设备的生产工作能力影响因素分析。主要准备设备机具为：测量仪器、 试验仪器、拌合设备、运输设备、观测工具、通讯工具、照明设备等。
浅析整体吊装法在连续梁0#块施工中的应用摘要:本文介绍了石武客运专线整体吊装法在鹤壁特大桥 （48+80+48）m连续梁0#块施工中的应用，通过现场实施表明：0#块整体吊装加快了连续梁的施工进度、有效缓解了高铁项目的工期压力。 关键词: 客运专线连续梁0#块整体吊装 abstract: this paper introduces the passenger special line shiwu integral hoisting method in hebi big bridge (48 + 80 + 48) m continuous beam blocks 0 # in the construction of the application, and through the field implementation shows that: 0 # piece of integral hoisting speed up the construction progress of the continuous beam, effectively relieve the pressure of high iron project construction period. keywords: passenger special line continuous beam 0 # piece of integral lifting 中图分类号： tu74文献标识码：a 文章编号 一、整体吊装法提出的背景 石武客专河南段1标鹤壁特大桥匝道口工程是石武客专河南段的“头号工程”，影响全线的贯通。由于此处连续梁位于鹤壁市高速出口匝道内，由于协调原因进场施工比较晚，2010年2月份才完成钻孔桩施工，节点工期要求7月底完成连续梁施工，10月底完成
个人先进事迹简介 01 在思想政治方面,xxxx同学积极向上,热爱祖国、热爱中国共产党,拥护中国共产党的领导.利用课余时间和党课机会认真学习政治理论,积极向党组织靠拢. 在学习上,xxxx同学认为只有把学习成绩确实提高才能为将来的实践打下扎实的基础,成为社会有用人才.学习努力、成绩优良. 在生活中,善于与人沟通,乐观向上,乐于助人.有健全的人格意识和良好的心理素质和从容、坦诚、乐观、快乐的生活态度,乐于帮助身边的同学,受到师生的好评. 02 xxx同学认真学习政治理论,积极上进,在校期间获得原院级三好生,和校级三好生,优秀团员称号,并获得三等奖学金. 在学习上遇到不理解的地方也常常向老师请教,还勇于向老师提出质疑.在完成自己学业的同时,能主动帮助其他同学解决学习上的难题,和其他同学共同探讨,共同进步. 在社会实践方面,xxxx同学参与了中国儿童文学精品“悦”读书系,插画绘制工作,xxxx同学在班中担任宣传委员,工作积极主动,认真负责,有较强的组织能力.能够在老师、班主任的指导下独立完成学院、班级布置的各项工作. 03 xxx同学在政治思想方面积极进取,严格要求自己.在学习方面刻苦努力,不断钻研,学习成绩优异,连续两年荣获国家励志奖学金；作
为一名学生干部,她总是充满激情的迎接并完成各项工作,荣获优秀团干部称号.在社会实践和志愿者活动中起到模范带头作用. 04 xxxx同学在思想方面,积极要求进步,为人诚实,尊敬师长.严格 要求自己.在大一期间就积极参加了党课初、高级班的学习,拥护中国共产党的领导,并积极向党组织靠拢. 在工作上,作为班中的学习委员,对待工作兢兢业业、尽职尽责 的完成班集体的各项工作任务.并在班级和系里能够起骨干带头作用.热心为同学服务,工作责任心强. 在学习上,学习目的明确、态度端正、刻苦努力,连续两学年在 班级的综合测评排名中获得第1.并荣获院级二等奖学金、三好生、优秀班干部、优秀团员等奖项. 在社会实践方面,积极参加学校和班级组织的各项政治活动,并 在志愿者活动中起到模范带头作用.积极锻炼身体.能够处理好学习与工作的关系,乐于助人,团结班中每一位同学,谦虚好学,受到师生的好评. 05 在思想方面,xxxx同学积极向上,热爱祖国、热爱中国共产党,拥护中国共产党的领导.作为一名共产党员时刻起到积极的带头作用,利用课余时间和党课机会认真学习政治理论. 在工作上,作为班中的团支部书记,xxxx同学积极策划组织各类 团活动,具有良好的组织能力. 在学习上,xxxx同学学习努力、成绩优良、并热心帮助在学习上有困难的同学,连续两年获得二等奖学金. 在生活中,善于与人沟通,乐观向上,乐于助人.有健全的人格意 识和良好的心理素质.
模板与支架计算 1、荷载取值 静载：静载主要为梁段混凝土和钢筋自重，以及模板支架重量。活载：施工荷载 将截面分成如所示 根据规范要求，在箱梁自重上添加荷载 ⑴、砼单位体积重量：26.5kN/3 m ⑵、倾倒砼产生的荷载：4.0kN/2 m ⑶、振捣砼产生的荷载：2.0kN/2 m ⑷、模板及支架产生的荷载：2.0kN/2 m m ⑸、施工人员及施工机具运输或堆放荷载：2.5 kN/2 荷载系数： ⑴、钢筋砼自重：1.2； ⑵、模板及支架自重：1.2； ⑶、施工人员及施工机具运输或堆放荷载：1.4； ⑷、倾倒砼产生的竖向荷载：1.4； ⑸、振捣砼产生的竖向荷载：1.4； ⑹、倾倒砼产生的水平荷载：1.4； ⑺、振捣砼产生的水平荷载：1.4； 作用在面板顺桥向1m 长，横桥向1m 宽的面荷载：
2、模板验算 模板宽度取1m 计算，作用在底模板上每m 宽的均布荷载为： 翼缘荷载： Q1=1.2×(29.495/3.55+2)+1.4×(2.5+4.0+2.0)=24.27 kN/m 腹板荷载： Q2=1.2×(82.865/0.5+2)+1.4×(2.5+4.0+2.0)=213.176kN/m 底板荷载： Q3=1.2×(128.26/4.375+2)+1.4×(2.5+4.0+2.0)=49.48 kN/m 2.1、底板底模板验算 外部模板均采用高强度竹胶板板厚15mm,各部位下模板均按三跨连续梁结构计算。取方木间距为0.3m。按三跨连续梁计算，竹胶板力学参数：h=0.015m； I=bh3/12=1×0.0153/12=2.81×10-7 m4； A=bh=1×0.015=0.015m2； E=9.5×103 Mpa； W=bh2/6=1×0.0152/6=3.75×10-5 m3； EA=9.5×103×106×0.015=1.425×108； EI=9.5×103×106×2.81×10-7=2669.5； P= Q3=49.48KN/m； 建立力学模型： 结构弯矩图： M max=0.45kN·m 弯矩正应力σ=M/W=0.45×103 /(3.75×10-5)=12MPa<[σw]=13 MPa 结构位移图： fmax=0. 7mm<0.3/400= 0.75mm
XX特大桥60+100+60m连续梁0#块支架预压和卸载方案 、工程概况 本桥桥址经过学习镇、XX镇、XX镇三个乡镇。大桥主要跨越XX支 流及多处乡村公路。 全桥孔跨布置：48-32m简支梁+1-(48+80+80+48) m连续梁+6-32m简 支梁+3-24m简支梁+23-32m简支梁+1-( 60+100+60)m连续梁+34-32m简 支梁+1-( 60+100+60)m连续梁+1-32m简支梁+2-24m简支梁+8-32m简支 梁+2-24m简支梁+3-32m简支梁+2-24m简支梁+5-32m简支梁+1-24m简支梁 +1-32m简支梁+1-(40+72+40)m连续梁+22-32m简支梁。其中跨越XX高 速和XX及其支流连续梁均采用挂篮悬臂浇筑法施工。 二、0#块支架预压的原因 为了保证连续梁在浇注砼后满足设计的外形尺寸及挠度要求，检验支架的整体稳定性及支架的实际承载能力，克服砼浇筑过程中支架的不均匀沉降，避免连续梁砼因支架不均匀沉降而出现裂缝，在浇筑连续梁砼前必 须进行支架的压载试验。为了能迅速便捷的完成对0#块支架的预压，缩短 预压周期，降低施工成本，决定采用千斤顶张拉钢绞线预压。 三、0#块支架预压工法 1.利用千斤顶张拉钢绞线预压，消除0#块件的非弹性变形，得出块件 的弹性变形。 2.本工法与沙袋等预压相比，缩短预压周期，解决0#块大吨位预压难 度，且可操作性强、安全可靠，可利用工地现有的相关张拉机具设备，不需要另行投资，经济适用。 四、使用范围 本工法使用于连续梁的0#块施工
五、0#块支架架预压方案原理 在现有构架上设置千斤顶反压架，利用千斤顶对块件进行分级模拟施压，以得到块件支架变形的各类技术参数，指导构件施工。 工程中一般采用预压重然后边浇筑边卸重的换重法，以防止支架的不均匀变形使混凝土产生裂缝。XX特大桥主跨100米连续梁0#块为C50混 凝土424m3,作用在单侧支架上的重量很大，达到330T，利用千斤顶张拉 钢绞线进行超载倍预压，预压不少于24h后测定支架的变形量，然后根据 支架的变形量来确定0#块底模的支模高度，0#块底模支模高度二设计标高+ 变形量+5mm。 六、施工工艺 （一）、工艺流程图 （二）施工要点 1.预压前准备 （1）反压构件加工 反压构件主要材料为型钢，根据构件受力要求，选择合适的型钢制作反力架（可就地选择挂蓝的扁担梁） (2)检查承台预埋精轧螺纹钢是否稳定，模拟试拉。
优秀党务工作者事迹简介范文 优秀党务工作者事迹简介范文 ***，男，198*年**月出生，200*年加入党组织，现为***支部书记。从事党务工作以来，兢兢业业、恪尽职守、辛勤工作，出色地完成了各项任务，在思想上、政治上同党中央保持高度一致，在业务上不断进取，团结同事，在工作岗位上取得了一定成绩。 一、严于律己，勤于学习 作为一名党务工作者，平时十分注重知识的更新，不断加强党的理论知识的学习，坚持把学习摆在重要位置，学习领会和及时掌握党和国家的路线、方针、政策，特别是党的十九大精神，注重政治理论水平的提高，具有坚定的理论信念;坚持党的基本路线，坚决执行党的各项方针政策，自觉履行党员义务，正确行使党员权利。平时注重加强业务和管理知识的学习，并运用到工作中去，不断提升自身工作能力，具有开拓创新精神，在思想上、政治上和行动上时刻同党中央保持高度一致。 二、求真务实，开拓进取 在工作中任劳任怨，踏实肯干，坚持原则，认真做好学院的党务工作，按照党章的要求，严格发展党员的每一个步骤，认真细致的对待每一份材料。配合党总支书记做好学院的党建工作，完善党总支建设方面的文件、材料和工作制度、管理制度等。
三、生活朴素，乐于助人 平时重视与同事间的关系，主动与同事打成一片，善于发现他人的难处，及时妥善地给予帮助。在其它同志遇到困难时，积极主动伸出援助之手，尽自己最大努力帮助有需要的人。养成了批评与自我批评的优良作风，时常反省自己的工作，学习和生活。不但能够真诚的指出同事的缺点，也能够正确的对待他人的批评和意见。面对误解，总是一笑而过，不会因为误解和批评而耿耿于怀，而是诚恳的接受，从而不断的提高自己。在生活上勤俭节朴，不铺张浪费。 身为一名老党员，我感到责任重大，应该做出表率，挤出更多的时间来投入到**党总支的工作中，不找借口，不讲条件，不畏困难，将总支建设摆在更重要的位置，解开工作中的思想疙瘩，为攻坚克难铺平道路，以支部为纽带，像战友一样团结，像家庭一样维系，像亲人一样关怀，践行入党誓言。把握机遇，迎接挑战，不负初心。
新建合福铁路TJ-2标段 柘皋河特大桥40+64+40m连续梁 （40+64+40）m 连续梁0#块支架预压方案 中铁十三局合福铁路项目三分部 2010年7月7日
目录 一、预压目的 (1) 二、支架情况 (1) 三、荷载情况 (2) 四、预压方案 (4) 4.1 加载分级 (4) 4.2 卸载分级 (5) 4.3 测量及记录 (5) 4.4 加载材料及堆码 (6) 五、安全措施 (7)
柘皋河特大桥（40+64+40）m 连续梁0#块支架预压方案 一、预压目的 由于在支架安装过程中，各杆件与结点板之间存在一定的间隙，在荷载作用下，除弹性变形外还将产生部分非弹性变形，所以必须对支架进行不小于施工总重量（支架理论上应分摊的0#梁段墩顶3.2m范围以外钢筋混凝土重量+施工荷载），按照混凝土重量的130%等效荷载进行充分预压，以消除非弹性变形，同时测出弹性变形，绘制出荷载—变形曲线，以找出支架对应于承担（荷载情况的支架下沉量，以便为确定0#梁段底模预拱度提供依据）。 二、支架情况 根据设计桥墩高度和现场情况，0＃块采用牛腿支架现浇施工。0＃临时支架利用工字钢，汽车运输至施工现场，吊装至墩身、墩帽对应位置处，与预埋在墩身、墩帽的钢板焊接牢固，一个墩上共7个I32b工字钢，然后在其上横桥向布置I25a工字钢作分配梁，一侧设置7根，最后安设木跳板形成工作平台。施工时，严格控制焊接质量，经检测合格后方可进行下道工序施工。 详见图2-1～2-2。
图2-1
图2-2 三、荷载情况 根据分析，支架预压需要计算0#块在墩顶3.2m范围以外的混凝土重量，单侧共205.6t，一个墩压重为411.2t。 四、预压方法 4.1、加载分级 根据现场条件，采用堆码砂袋的方法模拟支架的实际受力情况对其进行等效逐级预加载，共加载3次，每次加载前后都检查所有焊接部位。 加载分四个阶段进行： 第一阶段，在支架对应的0#梁段位置处按照支架应分摊的0#梁段钢筋混凝土重量的50%，取102.8t模拟加载，观察支架焊接、变形情况。
主要事迹简介怎么写 概括?简要地反映?个单位(集体)或个?事迹的材料。简要事迹不?定很短，如果情况 多的话，也有?千字的。简要事迹虽然“简要”，但切忌语?空洞，写得像?学?期末鉴定。 ?应当以事实来说话。简要事迹是对某单位或个?情况概括?简要地反映情况，?如有三个??很突出，就写三个??，只是写某???时，要把主要事迹突出出来。 简要事迹?般来说，?少要包括两个??的内容。?是基本情况。简要事迹开头，往往要??段?字来表述?些基本情况。如写?个单位的简要事迹，应包括这个单位的?员、 承担的任务以及?段时间以来取得的主要成绩。如写个?的简要事迹，应包括该同志的性 别、出?年?、参加?作时间、籍贯、民族、?化程度以及何时起任现职和主要成绩。这 样上级组织在看了材料的开头，就会对这个单位或个?有?个基本印象。?是主要特点。 这是简要事迹的主体部分，最突出的事例有?个??就写成?块，并按照?定的逻辑关系进 ?排列，把同类的事例排在?起，?个??通常由?个?然段或?个?然段组成。 写作时，特别要注意以下四点： 1.?第三?称。就是把所要写的对象，是集体的?“他们”来表述，是个?的称之为“他(她)”。 (她)”，单位可直接写名称，个?可写其姓名。 为了避免连续出现?个“他们”或“他 2.掌握好时限。?论是单位或个?的简要事迹，都有?个时间跨度，既不要扯得太远，也不 要故意混淆时间概念，把过去的事当成现在的事写。这个时间跨度多长，要根据实际情况 ?定。如上级要某个同志担任乡长以来的情况就写他任乡长以来的事迹;上级要该同志两年 来的情况，就写两年来的事迹。当然，有时为了需要，也可适当地写?点超过这个时间的 背景情况。 3.?点他?的语?。就是在写简要事迹时，可?些群众的语?或有关?员的语?，这样会给??种?动、真切的感觉，衬托出写作对象?较?的思想境界。在?他?语?时，可适当加?，但不能造假。 4.?事实说话。简要事迹的每?个??可分为多个层次，?个层次先??句话作为观点，再???两个突出的事例来说明。?事实说话时，要尽量把?个事例说完整，以给?留下深 刻印象。
40+64+40米连续梁支架方案 一、中墩预埋 中墩0、1#块支架砼重量按40+64+40米计算，计算荷载取砼重量的1.25倍，墩宽按最小墩宽3.4米计算。底支点预埋按空心墩结构设计，实心墩底支点方管预长度不小于0.8米。 0#块长度8米,0#块砼177.93立方,重462.6吨.1#块长度3米, 1#块砼46立方,重119.6吨.2#块长度3米, 2#块砼40.94立方,重106.4吨。墩身砼设计标号C35，预埋件以下1米及以上部分砼提高为C40。预埋件下φ8钢筋网。 1、支架方案 连续梁中墩0#块和1#块，墩身高，采用预埋三角型钢支架施工，支架水平向主梁采用贝雷梁，斜杆采用槽钢管。先施工0#块，后施工1#块，然后拼装挂篮施工2#块。 主梁采用8排贝雷片，每两排一组，采用90花架横联。 斜杆采用双32槽钢管，方管端头削平，焊接10mm厚钢板，钢板上设螺栓孔。贝雷梁底钢管顶设50工字钢分配梁，工字钢与贝雷梁采用U型型钢连接，工字钢底焊10mm厚钢板，钢板设螺栓孔，方管斜撑与工字钢螺栓连接。空心墩砼预穿槽钢管作为斜杆的支撑点，槽钢管采用32槽钢焊接，方管宽32cm，高32cm，槽钢顶、底焊接10mm 最厚钢板形成方管，方管出露墩身0.8米。方管悬出部分安装牛腿，牛腿采用10mm厚钢板焊接，每20 cm设一筋板，牛腿顶宽80cm，高32cm，采用螺栓与方管连接。斜杆间采用16槽钢作剪刀撑。斜杆中
部采用双16槽钢与上支点连接。 墩身部分翼缘板砼采用支架法施工，在距墩最外边20CM处顺桥向安装32工字钢，横桥向安装32工字钢。顺桥向工字钢在下，工字钢端头与墩顶用钢箍连接。 b工字钢 二、边跨预埋 1、支架方案 连续梁边跨现浇段，墩身高，地质差，采用预埋三角型钢支架施工，支架水平向主梁采用贝雷梁，斜杆采用槽钢管。墩身砼设计标号C35，预埋件以下1米及以上部分砼提高为C40。预埋件下φ8钢
树立榜样的个人事迹简介怎么写800字 榜样是阳光,温暖着我们的心;榜样如马鞭,鞭策着我们努力奋斗;榜样似路灯,照亮着我们前进的方向。今天小编在这给大家整理了树立榜样传递正能量事迹作文,接下来随着小编一起来看看吧! 树立榜样传递正能量事迹1 “一心向着党”,是他向着社会主义的坚定政治立场;“人的生命是有限的,可是,为人民服务是无限的,我要把有限的生命投入到无限的为人民服务中去”,是他的至理名言;“甘学革命的“螺丝钉”,是他干一行爱一行、钻一行的爱岗敬业态度。他——雷锋,是我们每一个人的“偶像”…… 雷锋的事迹传遍大江南北,他,曾被人们称为可敬的“傻子”。一九六零年八月,驻地抚顺发洪水,运输连接到了抗洪抢险命令。他强忍着刚刚参加救火工作被烧伤的手的疼痛,又和战友们在上寺水库大坝连续奋战了七天七夜,被记了一次二等功。望花区召开了大生产号召动员大会,声势很大,他上街办事,正好看到这个场面,他取出存折上在工厂和部队攒的200元钱,那时,他的存折上只剩下了203元,就跑到望花区党委办公室要为之捐献出来,为建设祖国做点贡献,接侍他的同志实在无法拒绝他的这份情谊,只好收下一半。另100元在辽阳遭受百年不遇洪水的时候,他捐献给了正处于水深火热之中的辽阳人民。在我国受到严重的自然灾害的情况下,他为国家建设,为灾区捐献出自已的全部积蓄,却舍不得喝一瓶汽水。就这样,他毫不犹豫的捐出了自己的所有积蓄,不求功名,不求名利,只求自己心安理得,只求为
革命献出自己的微薄之力,甘愿做革命的“螺丝钉”——在一次施工任务中,他整天驾驶汽车东奔西跑,很难抽出时间学习,他就把书装在挎包里,随身带在身边,只要车一停,没有其他工作时,就坐在驾驶室里看书。他曾经在自己的日记中写下这样一段话：”有些人说工作忙,没时间学习,我认为问题不在工作忙,而在于你愿不愿意学习,会不会挤时间来学习。要学习的时间是总是有的,问题是我们善不善于挤,愿不愿意钻。一块好好的木板,上面一个眼也没有,但钉子为什么能钉进去呢?这就是靠压力硬挤进去的。由此看来,钉子有两个长处：一个是挤劲,一个是钻劲。我们在学习上也要提倡这种”钉子“精神,善于挤和钻。”这就是他,用自己的实际行动来证明自己,用自己的亲生经历来感化世人,用自己的所作所为来传颂古今……人们都拼命地学习他的精神,他的精神被不同肤色的人所敬仰。现在,一切都在变,但是,那些决定人类向前发展的基本要素没有变,那些美好的事物没有变,那些所谓的“螺丝钉”精神没有变——而这正是他的功劳,是他开启了无私奉献精神的大门,为后人树立了做人的榜样…… 这就是他,一位中国家喻户晓的全心全意为人民服务的楷模,一位共产主义战士!他作为一名普通的中国人民解放军战士,在他短暂的一生中却助人无数。而且,伟大领袖毛泽东主席于1963年3月5日亲笔为他题词：“向雷锋同志学习”。 正是因为如此,全国刮起了学习雷锋的热潮。雷锋已经离开我们很长时间了。但是雷锋的精神却深深地在所有中国人心中扎下了根,现在它已经长成一株小树。正以其顽强的生命力,茁壮成长。我坚信,
连续梁0#块牛腿托架设计与计算 摘要：通过连续梁0#块牛腿托架设计，解决高墩身连续梁0#块 支架搭设施工的难题。0#块牛腿托架主要包括：纵向分配梁、横向分配梁、双拼32a槽钢拉杆、牛腿等。基于有限元分析的牛腿托架设计与计算为连续梁0#块牛腿托架施工提供了理论基础，可为同类桥梁施工提供参考。 关键词：连续梁；高墩身；牛腿托架；设计 abstract: the design of 0 # continuous beam corbel bracket can solve the difficulty of 0 # continuous beam bracket with high pier building. 0 # corbel bracket includes: longitudinal allocation beam, horizontal allocation beam, larry 32a u-steel pull rod, corbel. and the design and calculation of corbel bracket based on the finite element analysis provides a theoretical basis for the 0 # continuous beam corbel bracket, providing reference for the construction of the similar bridges. keywords: continuous beam; high pier body; corbel bracket; design 中图分类号：[f213.2]文献标识码：a文章编号：2095-2104（2012） 工程概况 甬江左线特大桥353#～356#墩（dk016+811.240～
大学生先进事迹简介怎么写 苑xx，男，汉族，1990年07月22日出生，中国共青团团员，入党积极分子，现任xx学院电气优创0902班班长，担任xx学院09级总负责人、xx学院团委学生会科创部干事、xx学院文艺团主持部部长。 步入大学生活一年以来，他思想积极，表现优秀，努力向党组织靠拢，学习刻苦，品学兼优，工作认真负责，脚踏实地，生活勤俭节约，乐于助人。一直坚持多方面发展，全面锻炼自我，注重综合能力、素质拓展能力的培养。再不懈的努力下获得了多项荣誉： ●获得09-10学年xx大学“百佳千优”(文化体育)一等奖学金和“百佳千优”(班级建设)二等奖学金; ●获得09-10学年xx大学“优秀学生干部”荣誉称号; ●2010年xx大学普通话知识竞赛中获得一等奖; ●2010年xx大学主持人大赛中获得一等奖，被评为金话筒; ●xx学院首届“大学生文明修身”活动周——再生比赛中获得一等奖; ●xx学院首届“大学生文明修身”活动周——演讲比赛中获得一等奖。 一、刻苦钻研树学风 作为班长，他在学习方面，将班级同学分成各个学习小组，布置每日学习任务，分组竞争，通过开展各项趣味学习活动，全面调动班级同学的积极性，如：排演英语戏剧、文学常识竞答、数学辅导小组等。他带领全班同学努力学习、勤奋刻苦，全班同学奖学金获得率达91%，四级通过率达66%。 二、勤劳负责建班风
在日常班级工作中，他尽心尽力，通过网络组织建立班级博客，把班级的日常情况，班级比赛，特色主题班会等活动，及时上传到 班级博客，以方便更多同学了解自己的班级，也把班级的魅力、特色，更全面、更具体的展现出来。 在班级建设中，他带领全班同学参加学院组织的各项文体活动中也收获颇多： ●在xx学院首届“大学生文明修身”活动周中荣获第二名， ●xx学院首届乒乓球比赛中荣获第一名、精神文明奖， ●在xx学院“迎新杯”男子篮球赛中荣获第四名、最佳组织奖。 除了参加学院组织的各项活动外，为了进一步丰富班级同学们的课余生活，他在班级内积极开展各式各样的课余活动： ●普通话知识趣味比赛，感受中华语言的魅力，复习语文文学常识，为南方同学打牢普通话基础，推广普通话知识。 ●“我的团队我的班”主题班会活动中，创办特色活动“情暖你我心”天使行动，亲切问候、照顾其他同学的生活、学习方面细节 小事，即使在寒冷的冬天，也要让外省的同学感受到家一样的温暖。 ●“预览科技知识”科技宫之行，作为现代大学生，不能只顾书本知识，也要跟上时代，了解时代前沿最新科技。 ●感恩节“感谢我们身边的人”主题班会活动，在这个特殊的节日里，他带领同学们通过寄贺卡、送礼物等方式，来感谢老师辛勤 的付出;每人写一封家书，寄给父母，感谢父母劳苦的抚育，把他们 的感激之情，转化为实际行动来感化周围的人;印发感恩宣传单，发 给行人，唤醒人们的感恩的心。 三、热情关怀暖人心 生活中，他更能发挥榜样力量，团结同学，增强班级凝聚力。时刻观察每一位同学的情绪状态，在心理上帮助同学。他待人热情诚恳，积极帮助生活中有困难的同学：得知班级同学生病高烧，病情 严重，马上放下午饭，赶到同学寝室，背起重病同学到校医院进行
珠三角城际轨道交通佛山至肇庆段项目GZZH-4标北江特大桥跨东围电排站（50+80+80+44.03）m连续梁0#块托架预压施工方案 编制： 审核： 中铁一局佛肇城际4标项目经理部 二0一一年七月
1、工程概况 本桥梁77#、78#、79#墩高分别为18.5m、15.5m、23.5，墩身为矩形截面，连续梁0#现浇直线段长12m，桥面宽11.6m，底板宽度5.5m，底板厚度69.3cm，腹板厚80cm，梁体中心截面高度为5.65m，0#块端头支点梁高5.095m，现浇段混凝土体积共227.16m3，托架主要承受0＃块悬挑部分（每侧各4.5m）混凝土、模板重量(合计200t)，一次浇注完成。 2、试压目的 测试托为了对0＃块托架进行承载检验、消除托架各杆件之间的非弹性变形、并获得弹性变形值以便调整预拱度；根据测得的数据推算0#块施工时各点的变形植，为0#块施工高程控制提供可靠的依据。 3、加载方法及材料配重 3.1 加载方法 为了确保监测值的准确性，根据施工荷载对托架的作用力，采用模拟加载方法，按规范超载预压重量应大于结构重量的1.2倍，根据图纸要求，本工程堆载预压按照0＃块悬挑部分（每侧各4.5m）220t 的1.2倍超载预压，根据现场实际，先吊装平铺14块栈桥预制板（每块重5.47t），然后再其上加上现场32t的型钢，剩余重量换算为砂的重量，用编制袋装砂过磅后分级加载，为了保证加载过程的安全性，确保砂袋堆码高度控制在5m以内。加载需分级进行：30％、50％、80％、100％、120%，每级加载之间时间间隔最小为2小时，并对布置在横梁和翼板纵梁上的监测点进行标高变化测量。加载至120％后，
个人事迹简介 我是来自计算机与与软件学院的学生，现在为青年志愿者协会的干事，在班级担任生活委员。在过去的一年里，我注重个人能力的培养积极向上，热心公益，服务群众，奉献社会，热忱的投身于青年支援者的行动中！一年时间虽短，但在这一年的时间里，作为一名志愿者，我确信我成长了很多，成熟了很多。“奉献、友爱、互助、进步”这是我们志愿者的精神，在献出爱心的同时，得到的是帮助他人的满足和幸福，得到的是无限的快乐与感动。路虽漫漫，吾将上下而求索！在以后的日子里，我会在志愿者事业上做的更好。 在思想上，我积极进取,关心国家大事，并多次与同学们一起学习志愿者精神,希望我们会在新的世纪里继续努力,发扬我国青年的光传统,不懈奋斗,不断创造,奋勇前进,为实现中华民族的伟大复兴做出了更大的贡献。 在学习上刻苦认真，抓紧时间，不仅学习好学科基础知识，更加学好专业课知识，在课堂上积极配合老师的教学，乐意帮助其它同学，有什么好的学习资料，学习心得也与他们交流，希望大家能共同进步。在上一个年度总成绩在班级排名第四，综合考评在班级排名第二。在工作中，我认真负责，出色的完成老师、同学交给的各项任务，所以班级人际关系良好。
此外参加了学院组织的活动，并踊跃地参加，发挥自己的特长，为班级争得荣誉。例如：参加校举办的大合唱比赛并获得良好成绩；参加了计算机与软件学院党校学习并顺利结业；此外,参加了计算机与软件进行的“计算机机房义务打扫与系统维护”的活动。在这些活动中体验到了大学生生活的乐趣。 现将多次参与各项志愿活动汇报如下：2013年10月26日，参加计算机与软件学院团总支实践部、计算机与软件学院青年志愿者协会组织“志愿者在五福家园的健身公园开展义务家教招新活动”；2013年11月7日，参加组成计算机与软件学院运动员方阵在田径场参加学院举办的学校运动会；2013年12月5日，参与学校学院组织的”一二．五“大合唱比赛；2014年3月12日，参加由宿舍站长组织义务植树并参与植树活动；2014年3月23日，在计算机与软件学院团总支书记茅老师的带领下，民俗文化传承协会、计算机与软件学院青年志愿者协会以及学生会的同学们参观了“计算机软件学院的文化素质教育共建基地--南京市民俗博物馆”的活动；2014年3月26日，参加有宿舍站长组织的“清扫宿舍公寓周围死角垃圾”的活动；2014年4月5日，参加由校青年志愿者协会、校实践部组织的“南京市雨花台扫墓”活动，2014年4月9日，作为班级代表参加计算机软件学院组织部组织的“计算机应用office操作大赛”的活动。 在参与各项志愿活动的同时，我的学习、工作、生活能力得到了提高和认可，丰富生活体验，提供学习的机会，提供学习的机会。
编号： 交底内容连续梁施工日期 工程名称京沪上行线跨京沪高铁特大桥根据图号徐宿淮盐施桥（特）03-I（02） 一、连续梁施工主要工序 1、施工准备。 ⑴在底模拼装前，控制模板下方木标高复核设计要求，由测量组放出中线位置。 ⑵检查模板的几何尺寸，检查模板面是否平整、光洁、有无凹凸变形。 ⑶清除模板上的垃圾和杂物。 2、模板搭设。 ⑴底模 施工过程中，现场管理人员应对底模施工状态进行检查，模板班组根据现场管理人员对底模各项控制点测量、检查的结果进行相应调整。 ①技术状态检查 底模板铺设完成后，模板班组及时清理底模，工程部对底模平整度、预拱度设置、支座预偏量位置、底模长度、拼缝错台等情况进行检查。底模平整度采用1m靠尺检查，要求不平整度≤2mm/m。预拱度采用水准仪测量，支座预偏量位置采用全站仪测量，要求支座板位置高差≤1mm，并对同一支座板的四个角点、支座板范围内的平整度进行测量，要求其下座板的四角相对高差不大于2mm。底模长度采用在底模上放出预偏后的梁端线后用钢尺量测长度。 ②预埋件安装 底模上的预埋件有：支座板与防落梁预埋板，预埋板必须事先经过防腐处理，预埋件进场后，工程部、安质部应进行检查，检查预埋件的尺寸、套筒间距以及预埋板外露面平整度。 ③底模清理 底模清理宜在底模、侧模均安装调整好后进行，以防在检查调整侧模时被二次污染。 底模清理采用便携式鼓风机直接清理底板碎小杂物配合人工清理。 交底单位交底人 接收单位接收人
编号： 交底内容连续梁施工日期 工程名称京沪上行线跨京沪高铁特大桥根据图号徐宿淮盐施桥（特）03-I（02） 底模加工与安装尺寸允许偏差 序号检查项目允许偏差检验方法 1 底模全长±10mm 全站仪测量 2 底模支座中心线间距±5mm 全站仪测量 3 底模宽度+5mm，0 卷尺检查 4 底模预拱值偏差≤3mm 水平仪检查 5 底模板中心线与设计位置偏差≤2mm 全站仪检查 6 支座板处的任意两点高差≤1mm 水平尺检查 7 表面平整度≤2mm/m 1m靠尺检查 8 预留孔位置正确钢卷尺检查 ⑵侧模与翼板 ①模板拼装 侧模板与底板的连接采用圆弧倒角顺接后覆盖铁皮的方式，严格控制底板边界与腹板接头的位置准确性。腹板与腹板的拼接用双面胶密实。 ②模板清理及涂刷脱模剂 侧模全部调整就位后，对底、侧模面板同步进行清理，相应模板接缝则应在安装前即进行清理，确保接缝严密。底、侧模清理可采用人工用抹布清洁，如遇有锈蚀、浮浆难以清除，亦可采用钢丝圈打磨清理。在底模清理干净后，宜及时对面模涂刷脱模剂，脱模剂应涂刷均匀。 ③技术及质量控制 侧模技术控制除执行底模相同平整度检查外，还应对侧模保证桥梁高度、桥面宽度进行检查。 调整侧模顶部尺寸时，工程部技术员采用水准仪测量相同位置底模与翼缘板外侧顶面高差，高差须与设计梁高一致，偏差应满足：≤5mm。调整过程中，技术员置镜观测指导调整量，并且注意不可将水准仪置镜于正在调整模板上。两侧侧模均调整到位后，工程部技术员采用钢尺检查桥面宽度，桥面宽度允许偏差为±10mm，检查不应少于10点。 测量放样时工班长必须全程参与交接。