广义逆矩阵的计算方法
摘要：上世纪兴起的广义逆矩阵经过几十年的发展，已经成为现代数学研究中一个活跃的领域．作为逆矩阵的推广，广义逆矩阵的理论已成为数理统计、最优化理论、现代化控制理论和网络理论等学科的重要工具．在科学研究和工程应用中，很多问题都可以归结为求解矩阵广义逆（特别是伪逆）的数学问题．
本文首先回顾逆矩阵的相关知识，并结合例题对逆矩阵求解进行说明．然后通过对逆矩阵的推广来引出广义逆矩阵这一概念，并对其定义、性质、分类、计算以及与逆矩阵的关系进行介绍．我们将提出计算矩阵的不同类型的几类广义逆矩阵的不同方法，最后讲述广义逆矩阵在线性方程组中的应用．关于这个学说我们会给出一些数值计算关系．
关键词：逆矩阵；广义逆矩阵；满秩分解；线性方程组
The calculation method of generalized inverse matrix
Abstract：Arisen in the last century, generalized inverse has developed for several decades and become an active area of mathematics. As the promotion of the inverse matrix, the generalized matrix theory has become an important tool in the mathematical statistics, optimization theory, modern control theory, network theory and so on. In scientific research and engineering applications, many problems could be reduced as the mathematical problems of solving generalized inverse(especially, pseudo inverse).
First, the paper reviews the inverse matrix knowledge, and states the calculation of inverse matrix combined with the examples. Then draws forth the concept of generalized inverse matrix through the promotion of inverse matrix, and its definition, properties, classification, calculation method and the relationship between generalized inverse matrix with inverse matrix. We discuss the Moore-Penrose inverse of block matrices, full-rank factorization. Finally the generalized inverse matrix in the application of linear equations are introduced. We give some numerical computations relative to this theory.
Key words：inverse matrix；generalized inverse matrix；full rank decomposition；the system of liner equations
目
录
第一章 绪论 (1)
1.1 研究目的及意义 .......................................................................................... 1 1.2 国内外研究现状 .......................................................................................... 1 1.3 毕业论文主要内容 ...................................................................................... 2 第二章 逆矩阵 .. (3)
2.1 常义逆矩阵 .................................................................................................. 3 2.2 广义逆矩阵 .................................................................................................. 4 2.3 常义逆与广义逆的异同 .............................................................................. 6 2.4 其他广义逆 .................................................................................................. 6 第三章 矩阵的范数与分解 (9)
3.1 矩阵的范数 .................................................................................................. 9 3.2 矩阵的满秩分解 . (11)
3.2.1 满秩分解 ......................................................................................... 11 3.2.2 满秩分解的方法 .. (12)
第四章 广义逆矩阵的计算 (14)
4.1 减号逆-A （即()1A ） ................................................................................ 14 4.2 自反广义逆-r A （即()2,1A ） . (17)
4.3 最小范数广义逆-
m A （即()3,1A ） (18)
4.4 最小二乘广义逆-i A （即()4,1A ） .............................................................. 20 4.5 加号逆+A （即()4,3,2,1A ） .......................................................................... 21 第五章 广义逆矩阵的应用 . (27)
5.1 线性方程组的求解问题 ............................................................................ 27 5.2 相容方程组的通解与-A (28)
5.3 相容方程组的极小范数解-m A (30)
5.4 不相容方程组的最小二乘解与-i A ........................................................... 32 5.5 加号逆+A 的应用 ....................................................................................... 35 5.6 广义逆矩阵在其他领域的应用 . (37)
第六章结论 (38)
参考文献 (39)
致谢 (40)
附录 (41)
第一章绪论
1.1 研究目的及意义
矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论．逆矩阵和广义逆矩阵是矩阵理论的重要分支，在高等代数中我们已经了解到逆矩阵的一些基本的性质和计算，当时讨论矩阵的逆都是在矩阵为方阵且行列式不为零的情况下进行讨论的．而针对更一般的矩阵我们就提出广义逆矩阵的概念，广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广．一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，但是在很多实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的，显然不存在常义逆矩阵．因此提出广义逆矩阵的概念以便更加牢固地掌握理论知识，更加熟练的解决各种问题．
矩阵是现代自然科学、工程技术乃至科学许多领域的一个不可或缺的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛．由于计算机的出现，推动了计算科学的发展，广义逆矩阵得到了迅速的发展，它在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等领域有重要的应用，如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面都有重要的应用，因而大大推动了广义逆矩阵的研究，使其得到迅速的发展，成为矩阵的一个重要分支．
本文将在介绍逆矩阵的基础上，重点研究广义逆矩阵的性质及其在解线性方程组、煤热值等的应用．
1.2 国内外研究现状
广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，广义逆矩阵的概念最早是由瑞典数学家弗德霍姆在1903年提出的，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（称之为伪逆）．1904年，德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆．1920年美国芝加哥的摩勒(Moore)E．H首先引进了广义逆矩阵这一概念，但由于不知其用途及他特殊难懂的符号，该理论几乎未被注意，在以后30年中都没有多大的发展．
我国数学家曾远荣在1933年，美籍匈牙利数学家冯．洛伊曼J和弟子默里F．J 在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论和研究．
1951年瑞典人布耶哈梅尔重新发现了摩勒(Moore)E．H广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系．
1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与摩勒(Moore)E．H等价的广义逆矩阵定义，因此后来通常称为Moore-Penrose广义逆矩阵，
从此广义逆矩阵的研究进入一个新阶段，是广义逆的研究中一个重要的里程碑．Moore-Penrose广义逆矩阵是以四个矩阵方程定义的广义逆．
近五十年来，广义逆矩阵的理论和应用得到了迅速发展．其中，在广义逆研究的高峰时期，统计学家的研究工作占了相当分量．通过研究逆的结构表示和不唯一性并把它应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析的估计与检验问题．广义逆的理论经过80年的演化和深入的研究，已经取得了丰硕的成果，但仍然是国际数学界非常活跃的一个研究领域，因为广义逆在最优化、数值线性代数、数值分析、控制论、微分和积分方程等许多领域以及其它应用学科中都有重要的应用．现今，广义逆矩阵在数据分析、信号处理、系统理论、网络理论、现代控制理论等喜多领域中有着重要的作用,如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面．
1.3 毕业论文主要内容
通过学习和总结，主要分析并完成以下内容：
1．阅读有关矩阵运算和分解的参考资料．
2．了解不同广义逆的概念、性质、种类以及在工程中的应用．
3．给出4种以上求广义逆+A的计算方法及其比较．
4．了解约束逆、加权逆、群逆的概念．
5．对+A的迭代方法给出算法设计．
第二章 逆矩阵
2.1 常义逆矩阵
定义2-1 对于n 阶方矩阵A ,如果有一个n 阶方矩阵B ，使
E BA AB ==, ()1.1.2 则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵．[1],[9] 定理2-1 如果矩阵A 是可逆的，那么A 的矩阵是惟一的． 证明：设C Β,都是Α的逆阵，则有 E AC E AB ==,
C,E C (BA)C B(AC)BE B ===== 所以A 的逆阵是唯一的．
A 的逆阵记作1A -．即若E BA A
B ==，则B =1A -． 定理 2-2 若矩阵A 可逆，则A 0≠． 定理 2-3 若A 0≠，则矩阵A 可逆，且 *
1A A
A 1=- ， ()2.1.2 其中*A 为矩阵A 的伴随阵．
当A =0时，A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵．由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是A 0≠，即可逆矩阵就是非奇异矩阵．[10]
推论 若E AB =)(E BA =或，则1A B -=． 方阵的逆阵满足下述运算规律：
1）若A 可逆，则1A -亦可逆，且.)(11A A =-- 2）若A 可逆，且λ0≠，则A λ可逆，且111
)(--=
A A λ
λ．
3）若A ，B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111
---=A B AB ．
例2-1 求二阶矩阵???
?
??=d c b a A 的逆阵．
解： , d b ad bc c a -??
=-= ?-??
*
A A ，
利用逆阵公式()2.1.2，当A 0≠时，有
???
?
??---==-a c b d bc ad 11*1
A A A ． 2.2 广义逆矩阵
逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义，但是在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即便是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑，将常义逆推广．广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组
b Ax = ()1.2.2 当A 是n 阶方阵，且0det ≠A 时，则方程组()1.2.2的解存在，并可写成
b A x 1-= ()2.2.2 但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A 往往是奇异方阵或是任意的n m ?矩阵（一般n m ≠），显然不存在常义的逆矩阵1A -，这就促使人们去思考能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G ，使得其解仍可以表示为类似于()2.2.2的形式？即
Gb x = ()3.2.2 所以为了能解决更多的实际问题，我们提出了广义逆矩阵的概念并讨论它的性质和算法．本重着重介绍广义逆的概念，将使用和[14]相同的符号．
定义2-2 设矩阵n m C A ?∈，若矩阵m n C G ?∈满足如下四个Penrose 方程 ()i A A G A = ()ii G G A G =
()iii ()GA GA H
= ()4.2.2
()iv ()AG AG H
=
的某几个或全部，则称G 为A 的广义逆矩阵；
我们用{}l j i A ,, 表示方程()()()l j i ,,的解集，这里{}{}4321,,,,,,?l j i ，且任一
(){}l j i A A l j i ,,,,,, ∈称为A 的()l j i ,,, 逆．特别地，称满足全部四个方程的矩阵
()4321,,,A 为Penrose Moore -逆，即为+A ．[2],[3],[4]
推论 若A 为非奇异矩阵，则1-+=A A ，即常义逆． 验证常义逆A 满足四个Penrose Moore -方程．
证明：若令Q 为A 的常义逆，即1-=A Q ，
① 将其代入方程()i 的左边，则有A AE A AA AQA ===-1 ，即有A AQA =，所以常义逆1-A 满足方程()i ．
② 将其代入方程()ii 的左边，则有Q A E A AA A QAQ ====----1111，即有
Q Q A Q =，所以常义逆1-A 满足方程()ii ．
③ 将其代入方程()iii 的左边，则有()()
QA E A
A QA H
H
===-1，
即有()QA QA H
= 所以常义逆1-A 满足方程()iii ．
④ 将其代入方程()iv 的左边，则有()()
AQ AA E AA AQ H
H
====--11
，即有
()AQ AQ H =，所以常义逆1-A 满足方程()iv ．
综上，当A 是非奇异矩阵，即存在1-A ，则常义逆1-A 是满足4个Penrose Moore -方程的．所以若A 非奇异，则1-+=A A ．
由定义知，广义逆矩阵有154
4342414
=+++C C C C 个不同的类型．
在所有不同的广义逆矩阵中，只有+A 是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又包含着一类矩阵，如下：
1．{}
1A ：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g 逆，记为1
-A ； 2．{
}21 ,A ：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为r A ； 3．{
}31 ,A ：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为m A ； 4．{
}41 ,A ：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为i A ； 5．{}4321 , , ,A ：唯一，称作加号逆，或伪逆，或Penrose Moore -逆，记为+
A ．
关于几种广义逆的性质及计算将在第四章详细讨论．
2.3 常义逆与广义逆的异同
相同点：
1. 当A 为非奇异矩阵，则1-+=A A ，即常义逆．此时的A 满足公式()4.
2.2中的全部
方程．
2. 常义逆与广义逆中的伪逆有具有相同的几个性质：
(1) A A AA =-1 (2)111---=A AA A ； (3)I AA =-1 (4) I A A =-1 3. 常义逆与广义逆都还可以采用行列初等变换来计算． 不同点：
1. 常义逆是只针对非奇异矩阵而言才有意义，所以在实际问题中有很多矩阵是不存
在常义逆的；而广义逆矩阵是针对更一般的长方形矩阵都存在逆矩阵． 2. 常义逆只能用于计算部分相容方程组；而广义逆矩阵还可以用于计算不相容的方
程组（即矛盾方程组）．
3. 常义逆是固定的只有一种；而广义逆有很多种．
2.4 其他广义逆
随着广义逆研究的深入，人们又发现了许多其他类型的广义逆，如加权MP 逆、约束Drazin 逆以及Duf f in -Boot 群逆等．[3],[5],[6] 一、加权逆
定义2-3 设n
n n
m m m n m C K C M C A ???∈∈∈,,．若m m C X ?∈满足
（1）A AXA =； （2）X XAX =；
（3）()MAX MAX H
=； ()1.4.2
（4）()KXA KXA H
=．
则X 称为A 的加权MP 逆，记为+
MK A ．
注：若X 满足方程中的第()i 个，…，第()j 个方程，那么称X 为A 的加权()i ，……
()j —逆矩阵，记作()j i K M A ,,, ，所有的()j i K M A ,,, 记作{}j i K M A ,,, ．
引理2-1 若A 关于M 和K 的加权Penrose -Moore 广义逆+
MK A 存在，则A M A T T 、
T T A AK 均为对称矩阵．
证明：由于
()
(
)
(
)
()A
M A T M T A
A AA A M AA A A MAA A A
MAA A MA
A A M A T T T T T T T T
T
T
=+=====++
+ 所以A M A T T 对称．同理可得T T A AK 也对称．
引理2-2 若+
MK A 存在（即A 关于M 和K 的加权广义逆存在），则必唯一，且可
表示为
+
MK A ()()()()
H H H H
H
H M A A M A
A A AK A K 1
1
11--=，
其中(
)()()()
1
1
1A M A
A AK H H
H ,-均可任取．()1A 指满足()A A AA =1的广义逆．
二、约束逆
定义2-4 设n m R A ?∈，m R b ∈，S 是n R 的子空间．考虑约束方程组
b Ax =， S x ∈ ()2.4.2
定理2-4 约束方程组()2.4.2相容的充要条件是 b AXb =
其中X 是A 的S-约束Moore-Penrose 逆．其通解为()z XA I Xb x -+=． 三、群逆
定义2-5 设n m C A ?∈，()Ind A k =，若n n C X ?∈满足 XA AX X XAX A XA A k k ===,,
则称X 为A 的Drazin 逆，记为D A ．其中()A Ind k =称为A 的指标，是指k 满足 ()()
k j A r a n k A r a n k j j <≠+,1 ()()1+=k k A r a n k A r a n k ．
特别地，当()1Ind =A 时，则称X 为A 的群逆，记为g A ．
第三章 矩阵的范数与分解
3.1 矩阵的范数
n 维向量范数可以推广到矩阵上去，一个n n ?矩阵A 可看作2n 维向量空间中的一个向量．
定义3-1（矩阵范数） 矩阵n n R A ?∈的某个非负实值函数()A A N ≡，若对任意的n n ?矩阵A ，B 满足下述条件：
① 正定性：0≥A ，且00=?=A A ; ② 齐次性：R A A ∈=ααα,； ③ 三角不等式： B A B A +≤+． ④ 次乘性：B A AB ?≤
则称 ()A N 是n n R ?上的一个矩阵范数（模）．[3],[7],[8]
定义实值函数如下： ()2
1
1,2???
? ??==∑=n
j i ij F
a A
A F ()3.1.1 显然()A F 满足定义3-1，所以()A F 是n n R ?上的一个矩阵范数，称其为A 的Frobenius 范数．
由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种与向量范数相关矩阵的范数，且满足范数相容条件，即对任何向量n R x ∈及
n n R A ?∈都有x A Ax ?≤，为此我们再引进一种矩阵的范数—矩阵的算子范数．
定义3-2 设n R ∈，n n R A ?∈，
相应的定义一个矩阵的非负
函数：
()R x v A A N n
≠=≡0
max
()3.1.2
可验证v A 满足定义3-1，所以称()A N 为矩阵A 的关于向量范数v ?的算子范数或诱导范数．
定理3-1
为n R 上的向量范数，则()A N v A ≡是n n R ?上一个矩阵范数且满
足相容条件：
1
．v A Ax ≤ ()3.1.3
2．()
n n v v v R B A B A AB ?∈?≤,． ()3.1.4 证明：验证矩阵范数定义3-1中条件（4），由()83.可知 v v v v v v x B A Bx A ABx ≤≤ 当0≠x 时，有 v
v v
v
B A x
A B x ≤，
故
(
)v v v
v x v B A x
ABx AB ≤
=≠/max 0
定理3-2 （矩阵范数公式）
n R ∈，n n R A ?∈，则
1．A 的行范数：∑=≤≤≠∞==n
j ij n
i a A 1
10
max max
；
2．A 的列范数：∑=≤≤≠==n
i ij n
j a A 1
10
1max max
；
3．A 的“2”范数或A 的谱范数：()
A A A T max max
λ==≠0
2．
其中()
A A T max λ为A A T 的最大特征值． 【注意】
① 矩阵的算子范数是矩阵范数，矩阵范数并不一定是算子范数． 如：弗罗贝尔乌斯范数不是诱导范数，因为单位矩阵的任何诱导函数都是
10==
≠?， 而 11
1
2
≠==
∑=n I
n
i F
② 并不是所有矩阵范数都满足相容性．
ij n
j i a A ≤≤=,max 1是矩阵范数，但不满足相容性．
如：???? ??=2222A ，???? ??=1111B ，???
? ??=4444AB 2124=?=?>=B A AB 此范数也不是诱导范数．
③ 以后讨论线性方程组时用到的范数都是诱导范数，均是相容的，且与它相应的向量范数也是相容的．
定义3-5 设n n R A ?∈的特征值为()n i i ,,, 21=λ，称
()i n
i A λρ≤≤=1m a x 为A 的谱半径． ()3.1.5
定理3-3（特征值上界） 设n n R A ?∈，则()A A ≤ρ，即A 的谱半径不超过A 的任何一个范数．
定理3-4 如果n n R A ?∈为对称矩阵，则()A A ρ=2．
3.2 矩阵的满秩分解
矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR 分解、Jordan 分解和奇异值分解等．本节主要介绍满秩分解，为广义逆的计算作准备． 3.2.1 满秩分解
将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解．
在所有广义逆的直接计算方法中，几乎都要进行满秩分解，如QU 分解等等．但在计算某些广义逆时，QU 分解将带来大量非必要的计算，因而有必要对满秩分解的方法进行简化，为此，我们首先用构造性方法证明下述定理．
定义3-6 设A 是秩为r (0>r )的n m ?复矩阵，若存在r m ?列满秩矩阵F 和n r ?行满秩矩阵G ，使得
FG A = ()3.2.1
则称()3.2.1式为矩阵A 的满秩分解．
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解．[7],[8]
定理3-5 设A 为任一秩为r 的n m ?矩阵，则A 必有满秩分解()3.2.1，其中F 为列满秩的，G 为行满秩的．
定理3-6 设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解．
但是，矩阵A 的满秩分解不唯一．这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则
有G F G D FD FG A ~
~))((1===-．
定理3-7 任何非零矩阵都存在满秩分解． 3.2.2 满秩分解的方法
设A 为n m ?矩阵，通过行初等变换，可以将矩阵A 简化为行阶梯形矩阵，根据列向量组的性质，行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系．
定义3-7 设n m r C H ?∈()0>r ，且满足：
① H 的前r 行中每一行至少含一个非零元素，且第一个非零元素是1，而后r m -行元素为零；
② 若H 中第i 行的第一个非零元素1在第),,2,1(r i j t =列，则r j j j <<< 21； ③ H 中的r j j j ,,,21 列为单位矩阵m I 的前r 列． 那么就称H 为Hermite 标准形． 即有
H ?
?
????
?
??
??
??=00000000000
000000000000**10*000000
**0**100000**
*
*
*
*
1
()5.3.3 任意非零矩阵n m r C A ?∈可通过初等行变换化为Hermite 标准形H ，且H 的前r 行线性无关．
定理3-8（满秩分解定理） 设n m r C A ?∈()0>r ，且A 的Hermite 标准形H 为
()5.3.3．
则取A 的第r k k k ,,,21 列（单位向量的列）构成矩阵F ，取H 的前r 非零行构成矩阵
G ，则=A FG 即为A 的满秩分解． 满秩分解的步骤：
① 求矩阵A 的Hermite 标准形H ； ② 取H 的前r 个非零行为矩阵F ；
③ 取A 的对应于H 的r 个单位向量的列为矩阵G ， 则=A FG ．
例3-2 求矩阵101212112221A -??
?=- ?
?--??的满秩分解． 解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形
101
2101212110103222210000---???? ? ?
=-→= ? ? ? ?--????
A H ，H 的第1列与第2列构成3I 的
前两列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的23?矩阵，G 为H 的前2行构成的42?矩阵，即
101222F -??
?= ? ?
??，101201032--??= ???G ， 所以
101222A FG -??
?== ? ???
101201032
--??
???．
此处介绍的满秩分解在之后广义逆矩阵的计算中有很大的用处．
第四章 广义逆矩阵的计算
在上节中我们提到广义逆矩阵共有15种，其中应用最多的是 {}{}{}{}{}43214131211,,,,,,,,,,A A A A A
分别是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆和加号逆（又称伪逆或Moore-Penrose 逆）．
4.1 减号逆-A （即()1A ）
一、最大秩矩阵的右逆和左逆[7]
定义4-1 设n m R A ?∈，若有m n R G ?∈，使得I AG =或I GA =，则称G 为A 的右
逆（左逆），记作-R A （-L A ）．
1．设A 是行最大秩（行满秩）的n m ?实矩阵（n m ≤），则必存在A 的右逆，且
()
1
--=T
T R AA A A ()1.1.4
2．设A 是列最大秩（列满秩）的m n ?实矩阵（n m ≥），则必存在A 的左逆，且
()
T T L A A A A 1
--= ()2.1.4
证明：因为A 是行（或列）满秩矩阵，所以T AA （或A A T ）为满秩矩阵， 因此
()()1
1
--?==T T T T m m AA AA I AA AA
或()()1
1
-?-==A A A A I A A A A T T n n T T
因此
()
1
--=T
T R AA A A 或()
T T L A A A A 1
--
=
需要指出，对于行（或列）满秩的n m ?矩阵来说，右逆不是唯一的，上面给出的右（左）逆只是其中的一个，下面给出右逆和左逆的一般表达式． 对于行满秩的n m ?矩阵A ，()n m rank ≤=A ，总有许多满足于等式 r a n k ()
=T AVA r a n k ()A =m 的n 阶满秩方阵V 存在，这是A 的右逆一般表达式为
()
1
--=T
T R A V A
VA A ()3.1.4
同理，列满秩的n m ?矩阵A 的左逆一般表达式为
()
U A UA A A T T L 1
--
= ()2.1.4
其中，U 满足rank (
)=T
AVA rank ()A =n 的任意m 阶满秩方阵．
当A 为列（行）满秩时，可由公式求出右（左）逆，它们均为待定的A -． 当A 为亏矩阵时，rank ()A =r ()n m min ,≤．
设A FG =为矩阵A 的满秩分解，则A 的广义逆矩阵A -的一般形式为
R L A G F --
-= ()3.1.4
二、减号逆
定义4-2 设有n m ?实矩阵A (n m ≤，当n m >时，可讨论T
A )，若有一个m n ?实矩阵-
A 存在，使下式成立，则称-
A 为A 的减号逆或g 逆（-
A 即()1A ）；
A A AA =- ()4.1.4
当-A 存在时，显然-A 满足上式，可见减号逆-A 是普通逆矩阵的推广；另外，由A A AA =-得
()
T T
A A AA =- 即
()
T T T
T A A A A =-
可见，当-A 为A 的一个减号逆时，()T
A -就是T A 的一个减号逆．
例4-1 ??
??
?
?????=010101A ，??????=010001B ，??????=100001C ，容易得到 A ACA A ABA == , 故B 与C 均为A 的减号逆．
例4-2 若??
????=00
0r
I
A ，则**
*r n m
I A -
???
=????，其中*是任意的实数．
证明：因为对任意的**
*r
n m
I
???
????，都有 n
m r
I
???????00
0***r
n m
I ??????
?n m r
I ??????
?000=n
m r
I ????
???00
所以**
*r n m
I A -
???
=???? 反之，任意的m
n X X X X
X ????
???=43
21
，若满足
??
?
???=??????????????????0000000004321
r
r
r
I I X X X X I
必须有r I X =1，即X 为***r
n m
I ???
?
???的形状 例4-2表明，标准形??
?
???000r
I
的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*的位置，就是一个减号逆，填不同数，就得到不同减号逆．
定理4-1（存在性） 任给n m ?矩阵A ，那么减号逆-A 一定存在，但不唯一．[12] 证明：（1）如果0=Αrank ，即A =n m ?0，这时对任意的X ，都有000=X ，所以任意m n ?矩阵X 都是零矩阵的减号逆．
（2）如果0>=r rank A ，那么存在m 阶满秩矩阵P 与n 阶满秩矩阵Q ，使得
n
m r
R B I P A Q ?∈=??
??
??=000 由例4-2知，存在
??
?
???=-**
*r
I
B ，*为任意实数 再由引理知，存在
P I Q A r ??
???
?=-
**
*