2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳法知能训练轻松闯关理北师大版

2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳

法知能训练轻松闯关理北师大版

1．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2

解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．

2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n

能被x ＋y 整除”的第二步是( )

A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *

)

B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *

)

C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *

)

D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *

)

解析：选B.因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *

)．

3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1

，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成

立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．

解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋1

2k －1

＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1

项． 答案：2k

4．(xx·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *

)，经计算得f (4)>2，f (8)>52

，f (16)>3，

f (32)>7

2

，则其一般结论为________．

解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n

)>n ＋22.

答案：f (2n )>n ＋22

(n ≥2，n ∈N *

)

5．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *

)． 证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥1)时等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k ) ＝2k

·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，

左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k

·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1

·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对所有n ∈N *

等式成立．

6．(xx·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *

，且S 3＝15.

(1)求a 1，a 2，a 3的值；

(2)求数列{a n }的通项公式．

解：(1)由题意知S 2＝4a 3－20，所以S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，所以a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， 所以a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.

(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立；

②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1，

则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]

2

＝k (k ＋2)．

又S k ＝2ka k ＋1－3k 2

－4k ，

所以k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2

－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， 所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，

即当n ＝k ＋1时，结论成立．

由①②知，对于∀n ∈N *

，a n ＝2n ＋1.

2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式增

分练

1．[xx·金版创新]设c >0，则下列各式成立的是( ) A ．c >2c

B ．c >⎝ ⎛⎭

⎪⎫12c

C ．2c <⎝ ⎛⎭

⎪⎫12c

D ．2c >⎝ ⎛⎭

⎪⎫12c

答案 D

解析 c >0时，2c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c <1，所以2c >⎝ ⎛⎭

⎪⎫12c

.

2．[xx·宁波模拟]若a 1

b

B.

1a －b >1a

C ．|a |>|b |

D ．a 2

>b 2

答案 B

解析 ∵a 1b ，故A 对．∵a 1

a －b

，故B 错．∵

a <

b <0，∴－a >－b >0，即|－a |>|－b |，∴|a |>|b |，故C 对．∵a －b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对．故选B.

3．若x ，y 满足－π4

4

，则x －y 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4，π4 答案 A

解析 由x

2

4．设a >b >0，下列各数小于1的是( )