《几何概型》教学案例 教学目标 一、知识与技能目标 （1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。 （2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。 （3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。 二、过程与方法 让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。 教学重点 几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。 教学难点 建立合理的几何模型求解概率。 教学过程 一、创设情境引入新课 师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。 生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。 师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？ 生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基本事件发生的 可能性相等。 师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。 如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区 域内的概率。 生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。 师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实 存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。那到底什
么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。 试验一 师：请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少？ 生丁：四分之一 师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？ 生丁：就是用阴影的面积比上总面积。 师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？ 生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。 师：非常好，请坐。我们梳理一下我们刚才的发现。首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。 试验二 在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率. 师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。 生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。师：所求的概率是多少？
古典概率中的摸球模型的解法及应用 摘要：摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。本文通过对古典概型中 两种摸球模型的探讨，提供了一些有用的解题思路和方法，并试图以明确的公式 形式表达特定问题的解。 关键词：古典概型；摸球模型；事件；概率 一、引言 摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭 配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。历史上曾有人 把浩翰繁杂的古典概率问题归纳为摸球问题、占房问题及随机取数问题，又有人 把其归纳为摸球问题、投球问题及随机取数问题。可见，“球文化”确是古典概率 中的一朵奇葩。本文通过对古典概型中摸球模型的探讨，提供了些有用的解题思 路和方法。 二、古典概率定义 若把黑球作为废品，白球作为正品，则摸球可以描述产品抽样．假如产品分 为若干等级，一等品、二等品、三等品等，则可用有多种颜色的摸球模型来描述．产品抽样检奁技术，在各个生产部门中有着广泛的应用，大型工厂每天生产 的产品数以万计，对这些产品的质量进行全面的逐件检查是不可能的．在有些情 况下，产品的检验方法带有破坏性(如灯泡寿命检验，棉纱强度试验等)，最适宜 的检验方法是采取不放回的抽样检查。当然有些产品检验无破坏可以采取有放回 的抽样检查，对此本文没有涉及，有兴趣的读者可以自行解决。 2.有放回地摸球模型 (1)摸球模型三 2.投球问题 例2.把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中 假设每个杯子可放任意多个球。 五、结束语 本文通过对古典概率中的两种摸球模型——有放回摸球、无放回摸球模型的 解题方法的探讨，并结合几种常见的实例，提供一些有用的解题思路和方法，并 试图以明确的公式形式表达特定问题的解。 参考文献： [1]梁之舜，邓集贤，杨维权，司徒荣，邓永录.概率论及数理统计[上].北京：高等教育出版社，2005. [2]刘长林.概率问题的两个摸球模型[J].数学教学研究，2003(3). [3]毛凤敏.古典概型中摸球模型的解法探讨[J].平顶山师专学报，2004(5). (作者单位：广西崇左市扶绥县龙华中学 543200)
概率学案3 §2.5.3概率综合 ——超几何分布 学习目标 1.根据题意能够识别概率模型。 学习过程 【任务一】分析典型例题，总结解题思路 例：某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分） 绘制成频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值； （Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3 名学生的成绩都在[60,70)内的概率； （Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70) 内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所 选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望． 小结： 1.模型特点：总数为N的几类元素，其中含某一类元素M个，从中随机选取n个元素，观察这类元素个数情况； 2.解题思路： A.根据题意识别超几何分布模型； B.利用超几何分布概率特点计算问题中描述的某个事件的概率。 【任务二】跟踪练习 甲口袋中有大小相同的白球3个，红球5个；乙口袋中有大小相同的白球4个，黑球8个，从两个口袋中各摸出2个球，求： (1)甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率； (2)两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率.
产品数量 【任务三】课后作业 （2010崇文一模文16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20， [)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示． 已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ； （Ⅱ）工厂规定从生产低于20 件产品的工人中随机的选取2工人进行培训，则这2位工人 在同一组的概率是多少？
几何概型常见题型归纳 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解。^_^天体运动，万有引力定律核心考点研读■安徽 张北春（特级教师） 《天体运动、万有引力定律》是高中物理的重要章节。主要考点有：开普勒定律、天体运动、万有引力定律、估算天体的质量和密度、揭示天体运行规律等。近几年高考试题中的天体运动问题多为匀速圆周运动模型，大多数试题可直接运用开普勒第三定律进行分析或计算，有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。下面通过典型例题解读这些核心考点，希望对同学们的学习有所帮助。 考点1：开普勒定律 【考点研读】开普勒行星运动定律具体表述如下。第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳
的连线在相等时间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 温馨提示：古人把天体的运动看得十分神圣，他们认为天体的运动不同于地面物体的运动，天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。开普勒则认为行星做椭圆运动。他发现假设行星做匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符，只有认为行星做椭圆运动，才能解释这一差别。 温馨提示：我们预期太阳对行星的引力与太阳到行星的距离有关，希望通过行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力求出这个引力，通过两次数学代换得到了太阳对行星的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；通过类比得到了行星对太阳的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；综合概括得到了太阳与行星间引力的数学表达式。 例2（2014年新课标全国卷I）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。对于地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（
3.2.1 古典概型（第一课时） [自我认知]: 1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 6 2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50% 3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为 ( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对 5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件 次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。 8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是1 2 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 1 3 ,那么从两个 口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。 9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个 [课后练习] 10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。 ②一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取 出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 ③一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 班次姓名
几何概型的定义及计算 几何概型的概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 几何概型的概率： 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率。 说明：（1）D的测度不为0； （2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积； （3）区域为＂开区域＂； （4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关． 几何概型的基本特点： （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等． 古典概型的定义及计算 基本事件的定义： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 等可能基本事件： 若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。 古典概型： 如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的； 那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
古典概型的概率： 如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。 古典概型解题步骤： （1）阅读题目，搜集信息； （2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； （3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m； （4）用公式求出概率并下结论。 求古典概型的概率的关键： 求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。 概率的基本性质（互斥事件、对立事件） 互斥事件： 事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 如果A 1，A 2 ，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A 1 ，A 2 ，…A n 彼此互斥。 对立事件： 两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。 事件A+B的意义及其计算公式： （1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。 （2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A 1，A 2 ，…A n 彼此互斥 时，那么P（A 1+A 2 +…+A n ）=P（A 1 ）+P（A 2 ）+…+P（A n ）。
高中数学中古典概率应用上之易错处探究 戴少奇 西南大学数学与统计学院，重庆，400715 摘要：本研究关注的是高中理科生在学习高中概率的过程中存在的典型错误及其错误的原因，本文通过对教材分析、课堂观察以及日常作业情况找出学生存在的典型错误，再参考教材及与在职教师的探讨后，根据所掌握的统计结果和学生的访谈情况对存在错误的可能性作出归因分析。 关键词：高中数学；概率；易错题；探究 Some explorations on error-prone exercise of classical probability in high school mathematics Dai Shaoqi School of Mathematics and Statistics,Southwest University,Chongqing 400715,china Abstract: This study focuses on the typical mistake of high school science students in the course of learing probability and the reasons of these mistake.we explore ther typical mistakes of the students by the analysis of the teaching materals,classroom observation,and daily operations.Finaly, according to teaching materials,the discussions with service teachers.available statistics and interviews with students,we give some attributiion analysis on the probability of the exercise of the errors. Keywords: high school mathematics; probability; error-prone exercise; exploration 1. 问题的提出 1.1 研究背景 在日常生活中，人们经常要在不确定的情况下做出决定，如在买彩票时，要凭借每 一个号码出现的情况来预测结果,人们在乘坐飞机时都要根据该飞机的飞行状况来确定 是否买保险,我们常常根据自己的经验判断某一件事情发生的可能性大小等。可以这样 说，在我们所生活的世界上，充满了不确定性和随机性。因此我们就试图通过某一种确 定的东西来猜测这样一种不确定性，而这样一种能够提供给我们参考的数据就是某一件 事件发生的概率(probability),它在帮助人们正确的处理信息、作出合理的决策方面有 着很大的参考价值，同时也成为人们处理事情所必须掌握的基本素质之一。 从20世纪90年代后期起，概率又被重新列入“实验”，随着2001年《全日制义务 教育数学课程标准(实验稿)》的颁布，基础教育课程改革拉开序幕。2003年《普通高
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/317322569.html, ASSHTO模型中碰撞几何概率的修正及在长江上的应用 作者：周立万大斌王辉杨洋 来源：《中国水运》2015年第08期 摘要： AASHTO（美国道路工程师协会）规范模型为目前应用最广泛的船桥碰撞概率计算模型之一，该模型将船桥碰撞几何概率作为正态分布考虑，正态分布的标准差等于设计代表船只的船长，期望为0。通过统计长江上船舶过桥时的船位分布情况得知，受航行规则影响，船舶通过单孔双向通航的桥梁时船位沿桥轴线方向成“双峰”分布，该双峰分布可近似的看成由两个正太分布混合而成，据此对AASHTO模型中碰撞几何概率参数进行了修正，修正后的模型与长江干线实际情况更加适应。 关键词： ASSHTO修正模型长江干线船舶碰撞桥梁概率 近年来国内发生了较多的船舶碰撞桥梁事故造成了巨大的人命财产损失，2006年杭州湾 大桥被一走锚失控船舶撞击，大桥多处局部破损，造成经济损失1000余万元；2007年广东九江大桥被砂石船舶碰撞致倒塌造成8人死亡，损失约1.4亿元人民币；2008年浙江宁波金塘大桥被一艘货轮撞击，桥面箱梁塌落，4人死亡；而在长江干线上，从1957年首个有记载的桥 梁被船碰撞的事故以来，已发生的船舶撞桥事故超过300起，其中武汉长江大桥被撞次数最多，已被撞击100余次，虽未造成桥梁倒塌事故，但每一次撞击都会牵动亿万人民的心。因此，开展船舶碰撞桥梁概率研究，为船舶通航安全、桥梁设计、建设与管理提供技术支撑依据非常有必要。 目前，在桥梁防撞设计中，应用较多的船桥碰撞概率计算模型有AASHTO规范模型、拉森（IABSE）模型、欧洲规范模型、昆兹（Kunz）模型和黄平明直航路模型等，不同的模型各有不同侧重和特点。相比较而言，AASHTO模型虽然是依照美国和欧洲的船舶碰撞资料统计 而设计出来的，但因其思路清晰、方法完善、实用性强，是目前应用最为广泛的船桥碰撞概率模型，该规范将船撞桥事件视为风险事件，根据可接受风险的水平指导桥梁的防撞设计，已经形成了系统的思想。 AASHTO模型在长江上应用存在的问题 在该模型中船舶碰撞几何概率以航道中心线为对称轴，船舶的横向分布用正态分布描述，期望为0，即船舶出现的峰值在桥墩之间航道的中间位置。该模型适用于长江上单孔单向通航的桥梁，但长江干线上90%以上的桥梁实行的是单孔双向通航，且长江干线界石盘以下河段均实行了船舶定线制或船舶分道航行规则，船舶在通过单孔双向通航的桥孔时各自靠一边行驶，其中定线制水域还设有分隔带，因此从理论上分析船舶在航道上的几何分布应成“双峰”或“多
几何概型 考纲解读 1.根据随机数的意义，用模拟方法估计生活中的概率问题；2.根据几何概型的意义，运用几何度量求概率；3.根据几何概型，估计几何度量． [基础梳理] 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . [三基自测] 1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案：A 2．已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y ≤2}，B ＝{}(x ，y )|1－x 2≤y .若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( ) A ．1－π 8 B.π4 C.π 4－1 D.π8 答案：A 3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则 X ≤1的概率为( ) A.4 5 B.35 C.25 D.15 答案：B
4．(必修3·3.3例1改编)在[0,60]上任取一个数，则x ≥50的概率为________． 答案：16 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)求在半径为r 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率． 答案：1π 考点一 与长度型有关的几何概型|方法突破 命题点1 与线段长度有关的几何概型 [例1] (2018·长春模拟)已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________． [解析] 设长方体的长为x ，宽为(12－x )， 由4x (12－x )>128，得x 2－12x ＋32<0， ∴4 古典概型解题的归纳和分析 （西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070） 摘 要：本文通过对古典概型的模型归纳使得在计算古典概率时更加便捷和准确. 关键词：古典概型；模型；概率 古典概型的研究在历史上最先开始，它简单﹑直观，不需做大量的重复试验，在经验事实的基础上，经过逻辑分析得出事件的概率.因此，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，古典概型解题的很好掌握不仅可以为其它的概率的学习奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的许多基本概念，古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际中有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率的模型. 一、古典概型的基本性质 1.等可能性,即每个样本点发生的可能性相等.如抛一枚理想的均匀硬币“出现正面”与“出现反面”的可能性相等. 2.所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如样本点为n 个. 3.若事件A 含有K 个样本点，则事件A 的概率为 )(A P = 中所有样本点个数 所含样本点的个数事件ΩA = n k . 二、古典概型模型归纳 1.抽样模型 抽样有两种方式：放回抽样与不放回抽样 (1)放回抽样 放回抽样是抽取一件后放回，然后再抽取下一件，……，如此重复直至抽出n 件为止. 例1 一批产品共有N 件，其中M 件事是不合格品，M N -件是合格的，从中随机抽取n 件，试求事件m B =“取出的n 件产品中有M 件不合格品”的概率. 解 第一次抽取时，可从N 件中任取一件，有N 种取法.因为是放回抽样 ，所以第二次抽取时，仍有N 种取法，……，如此下去，每次都有N 种取法，一 共抽取了n 次，所以共有n N 个等可能的样本点. 事件o B =“取出的n 件产品全是合格品”，故o B 的概率为： P （o B ）= n n N M N ) (-=n N M ) 1(- . 事件1B =“取出的n 件产品全是合格品”，故1B 的概率为： P （1B ）= n n N M N nM 1 ) (--= 1 ) 1(-- n N M N M n . 事件m B =“取出的n 件产品全是合格品”，故m B 的概率为： )(m B P = n m n m N M N M m n --? ?? ? ??)(= m n m N M N M m n --??? ? ????? ??)1(，n m ,2,1,0 =. 由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占比例M /N 是不变的，记 p =M /N ,则上式可改写为：)(m B P = ??? ? ??m n m n m p p --)1(，n m ,2,1,0 =. 例2 有一袋内装有编号为1—5的5个球，从袋内放回按顺序任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？ 解 设A=“3个球编号组成奇数”，基本事件总数为35，A 所含基本事件总数为2 5×3.故)(A P = 3 2 5 35?= 5 3 =0.6 例 3（随机取数问题）从0～9中任取一数，假定每个数字被取出的机会是均等的，每次取出一数，取后放回，连续取4次.求： （ⅰ）4个数字全相同的概率. （ii ）不含数字2和7的概率. （iii ）数字6恰好出现2次的概率. 解 设A ={4个数字全不相同}，B ={不含数字2和7}，C={数字6恰好出现2次}， 基本事件总数n=410=10000 ；事件A 所包含的基本事件数A m = 4 10P =5042;事件 B 所包含的基本事件数B m = 48=4096;事件 C 所包含的基本事件 数C m = 1924P C =54 故)(A P = n m A = 10000 5042=0.50; )(B P = n m B = 10000 4096=0.41; )(C P = n m C = 10000 54=0.005. 几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3 ．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1之间的概率为 31232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯,问A 与与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基 或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。 只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自最全：初中数学几何模型 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线， 形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自 摘要：通过介绍古典概率的计算方法，使学生在解题过程中能正确分析题意，运用适当的方法获得准确的答案，从而提高分析问题和解决问题的能力。应用古典概率知识分别对抽签问题、方案决策问题、购物问题、线路设计问题进行了概率分析，旨在说明概率的实际应用。 关键词：古典概率；排列组合； Abstract: This paper introduces calculations of classical probability that cause students to correctly analyze the question in the solution process and acquire the accurate answer via an appropriate method. Therefore, in so doing, students' ability to analyze and solve problems can be improved. Application of classical probability knowledge to draw respectively, decision making problems, shopping, circuit design problems on the probability analysis, aims to show that the probability of practical application. Keywords: classical probability；permutation and combination 几何概率 华图在线杨洁 近几年概率问题考查的越来越多，其中几何概率也随之成为一个小的热点模型。几何概率的本质非常简单，考试题目难度一般不大，如果掌握了几何概率的本质则很容易拿到这部分题目的分数。 先来看定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 这个定义的本质其实就是在一个几何维度中，每一个点被取到的机会都一样。相对于基础的概率公式，把可以计数的“满足条件的情况数”变成了不可计数的“满足条件的长度/面积/体积”，将等可能事件的概念从有限向无限进行了延伸，也是初中学习的内容。那么几 何概率的公式就变成了p=满足条件的长度/面积/体积总的长度/面积/体积 。 【例1】（2019上海A/B）射击用的靶子是由若干个同心圆组成，最中心的圆代表10环，而10环外圈的一个圆环代表9环。在随机射击时，若要使得击中10环和9环的概率相同，那么10环外圈半径与9环外圈半径的比值为： A.1 C.1/2 【答案】D 【解析】第一步，本题考查几何概率。 第二步，要使得击中10环和9环的概率相同，根据几何概率基本公式，则10环和9环的面积相同。如下图所示，设10环外圈的半径为r1，9环外圈的半径为r2，根据面积相等有 πr12=πr22－πr12，整理得r1∶r2= 2 。 因此，选择D选项。 在圆形区域内考查几何概率比较多见，需要根据圆内各个半径计算面积的比值从而计算 概率。2018年上半年多省市联考也考到了这样一道几何概率： 【例2】（2018联考上）小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的概率为： A.13/16 B.2/5 C.3/5 D.1/16 【答案】A 【解析】第一步，本题考查几何概率问题。 第二步，如下图所示，赋值圆圈A的半径为4，则到圆心距离为圆A半径一半的圆B 的半径为2，到圆心距离为圆A半径的1/4的圆C半径为1，根据面积的比等于半径之比的平方，可得圆A、B、C的面积之比为16∶4∶1，那么留在家看书的概率为（4－1）÷16= 3 16 。 第三步，小波周末不在家看书的概率为1－ 3 16 = 13 16 。 因此，选择A选项。 这两道题都是近两年考查几何概率的考题中比较简单的题目。近几年也考查过一些比较难的题目，这一类题目需要考生理解模型，从而在建造几何模型的过程中胸有成竹。当然如果考场上第一次遇见，没思路也可以放弃。 【例3】（2018江西）将一长度为L的线段任意截成三段，设P1为所截的三线段能构成 12． 古 典 概 型 1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 2．有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 110 B. 310 C.12 D.25 3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D. 710 4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为 顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 6.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 7.从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有1个是黑球与都是黑球； B.至少有1个是红球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲选中的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 34 9.同时掷3枚均匀的硬币，下列互为对立事件的是（ ） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有1枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A. 23 B. 910 C. 35 D. 25 高考理科数学知识归纳——概率 一．离散型随机变量的期望(均值)和方差 X 1x 2x … n x P 1p 2p … n p 1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称112 2...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++ 性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数） 2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值 μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ． 方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++- 2．方差公式也可用公式22221()()n i i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算． 3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X 的标准差，即 ()D X σ=． 1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。 X －1 0 1 P 9 5 对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X X 0 1 2 … l P 0n M N M n N C C C - 11n M N M n N C C C -- 22n M N M n N C C C -- … l n l M N M n N C C C -- 其中min(,)l n M = 随机游走模型的几何结构 统计学中的微分几何方法已经成为统计学的令人瞩目的分支，在统计推断、随机分布控制等领域有着成功的应用。Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，随机游走是由一系列随机步伐所形成的的活动模型。如今随机游走模型已被应用于诸多领域：生态学、经济学、心理学、计算机科学等。随机游走模型的几何结构属于信息几何的研究领域，是应用几何的新领域。应用信息几何的方法去研究随机游走模型的几何结构可以更加直观、系统地把握随机游走模型的统计分布性质，为其在更多领域的的应用带来了新的研究方法。 1 统计流形的概念 对于统计分布流形，其中为欧氏空间中的开集，是密度函数，我们引入Fisher信息矩阵： 这里E为数学期望.这样便在S上引入了黎曼度量，称为Fisher度量。其Levi-Civita联络系数为： 进一步可定义联络 其中 统计流形的黎曼曲率张量为 令，则 里奇曲率张量为： 若统计流形（M，g）上一对无挠的仿射联络和满足： 则称和是关于g的对偶联络。显然和是一对对偶联络。 2 散度函数 散度函数是刻画两个统计分布差异程度的量，其定义为： 定义2.1 在局部坐标系下，散度函数D ：M×M→R定义为一个光滑函数，满足： （1），? ∈ V 等式成立当且仅当； （2） （3）是正定的 引理2.1（Eguchi，1983）.散度函数可导出一对无挠的仿射联络满足： 对于两个给定的临近的密度函数，和，我们定义J-散度为： 运用泰勒展式可以得到： 即J-散度函数是距离微元的平方。 3 随机游走模型 ?S机游走模型的概率密度函数为： ， 的期望和方差分别为： . 运用公式可以得到信息阵为： 协方差矩阵 . 相应的黎曼联络系数： 由黎曼曲率张量：得： 古典概率模型 一、教学内容分析 本节课内容是高中数学古典概率，也是新课改后在学生没有学习排列组合情况下的新教学.古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.利用列举法求古典概率模型，有利于理解概率的概念，计算一些事件的概率，也有利于解释生活中常见的一些问题. 二、教学目标 1．理解随机事件和古典概率的概念 . 2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 三、教学重点及难点 重点是求随机事件的概率，难点是如何判断一个随机事件是否是古典概型，搞清随机事四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、课前准备 在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验， 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要 求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总. 试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总. 二、学习新课 1．引入： 课堂提问： 在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？ 学生回答： 在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的， 由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是1 2 . 在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等， 即它们的概率都是1 6 . 2．引入新的概念： 基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件. 古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率. （1）一次试验所有的基本事件只有有限个. 例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件. （2）每个基本事件出现的可能性相等. 试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同. 随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象. 随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A、B 等来表示. 必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作 .例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.古典概型解题的归纳和分析
几何概型的经典题型及答案
初中数学——最全：初中数学几何模型
古典概率计算中的若干方法
公考数量关系一点通-几何概率
古典概率模型练习题
超几何和二项分布概率模型总结
随机游走模型的几何结构-最新文档资料
古典概率模型
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