五年动态几何、类比探究题
动态几何类比探究题；类比探究10年8考，动态几何考查年（09年、16年），类比探究性问题是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形，由简单情形到复杂情形逐步深入，是利用类比的思想方法解决问题的一脉相承的综合性题目，问与问之间属递进关系，往往一题三问，第一问猜结论，第二问证结论，第一问用结论。解决类比探究问题的一般方法:1、根据题干条件，结合分支条件先解决第一问;2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题 【类型综述】 本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材,可以对函数图象进行平移,可以对几何图形进行平移、旋转,考查学生的数学综合应用能力．在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用．只要抓住全等变换的特点,找到变与不变的量就可以解决问题．预计在2019年中考中仍会在压轴部分渗透变换,但是会有新情境的渗透． 【方法揭秘】 1.平移的性质 (1)平移前后,对应线段平行、对应角相等； (2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等； (3)平移前后的图形全等,注意：平移不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等. 3.中心对称的性质： 在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分_．成中心对称的两个图形全等. 【典例分析】 【例1】操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF．取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN． （1）连接AE,求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是；
拓展与探究： （3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则（2）中的两个结论还成立吗？若成立,请加以证明；若不成立,请说明理由． 【例2】已知：如图1,OM是∠AOB的平分线,点C在OM上,OC＝5,且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,易得到结论：OD+OE等于多少； （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA不垂直时（如图2）,上述结论是否成立？并说明理由；（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA的反向延长线相交于点D时： ①请在图3中画出图形； ②上述结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请直接写出线段OD、OE之间的数量关系,不需证明． 【例3】两个三角板ABC,DEF按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)． (1)当点C落在边EF上时,x＝________cm； (2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围； (3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．
专题七 类比探究题 类型一 线段数量关系问题 (2018·河南)(1)问题发现 如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ① AC BD 的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究 如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写 出当点C 与点M 重合时AC 的长． 【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°； (2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OC OD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度 数； (3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，AC BD ＝3，可得AC 的长． 【自主解答】
解：(1)问题发现 ①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴AC BD ＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°， 在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究 AC BD ＝3，∠AMB＝90°，理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴ OD OC ＝tan 30°＝33 ， 同理，得OB OA ＝tan 30°＝33， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴ AC BD ＝OC OD ＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸 ①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，AC BD ＝3， 设BD ＝x ，则AC ＝3x ， 在Rt△COD 中，
?例题示范 类比探究（习题） 例1：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G． （1）尝试探究：如图1，若AF = 3 ，则 CD 的值是．EF CG （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF =m （m＞EF 0），则CD 的值是CG 解答过程． （用含m 的代数式表示），试写出（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC∥AB，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F．若AB =a ，CD BC =b（a＞0，b＞0），则AF 的值是（用含a，b 的代 BE EF 数式表示）． 1
【思路分析】 根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问． 问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，考虑通过相 似传递比例关系，进而求 CD 的值． CG 构造相似利用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似 △EFH ∽△AFB ，结合 AF = 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，故 EF CD = 3 ． CG 2 类比第一问思路，解决第二问． 分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此 时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m ． CG 2 照搬思路解决第三问． 虽然此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，依然可利用相似来整合条件，可照搬前面思路处理， 依然构造平行．过点 E 作 EH ∥AB 交 BD 的延长线于点 H ， 可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得 BC = CD ， BE EH AF = AB ，结合 AB = a ， BC = b ，可知 EF EH CD BE AF = AB = a ?CD = ab ． EF EH EH 2 1 2 3
G F E D C B A D A B M C N M C B A A B C E F M AB=AC D B C D'A 中考数学类比探究专题复习 一：知识点睛 1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构． 2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3.常见结构： ①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构 ④ 中点结构 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线 二：真题演练 （2015潜江1.24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转． （1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ． ①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ； ②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由． 2.（2015贵港26．（10分））已知：△ABC 是等腰三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰三角形PCQ ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+，PA=，则： ①线段PB= ，PC= 2 ； ②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ； （2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） 3、（2015齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，易证：DM=FM ，DM ⊥FM （无需写证明过程）
（2012一测）21、如图1，直角∠EPF 的顶点和正方形ABCD 的顶点C 重合，两直角边PE ，PF 分别和AB ，AD 所在直线交于点E 和F ，易得△PBE ≌△PDF ，故结论“PE=PF ”成立； （1）如图2，若点P 在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n ，直接写出PF PE 的值。 （2013一测）22.（本题10分） （1）问题背景 如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于E ．请探究线段BD 与CE 的数量关系． （事实上，我们可以延长CE 与直线BA 相交，通过三角形的全等等知识解决问题．） 结论：线段BD 与CE 的数量关系是______________________（请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果AB ≠AC ，且AB =nAC （0＜n ＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD 与CE 的数量关系． 结论：BD =_____CE （用含n 的代数式表示）． D E C B A F A B C E D F B E C A D 图1 图2 图3
G F E D C B A A B C D E F G H K L I J G F E D C B A （2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． (1)求 ； (2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的； (3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值. （2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ． （1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 的和为10，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由． 图1 图2 图3
1.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数； （2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 2.如图①，在△ABC中,AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点, ED 为一边，作 ∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F. (1)求证:四边形ADEF为平行四边形； (2)当点D为AB中点时，?ADEF的形状为； (3)延长图①中的DE到点G, 使EＧ＝DE，连接AE,AG,FG得到图②若AD =AG, 判断四边形AEGF的形状，并说明理由. 3.【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 4,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在 AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为； （2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2√2，BC，请求出GE的长． CD=1 4 5.如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交CB，BA（或它们的延长线）于点E，F； ①当CE=AF 时，如图①，DE 与DF 的数量关系是； ②继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图②，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； ③再次旋转三角形纸片，当点E，F 分别在CB，BA 的延长线上时，如图③，请直接写出DE 与DF 的数量关系．
（2012一测）21、如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在直线交于点E和F，易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n，直接写出 PF PE的值。 （2013一测）22.（本题10分） （1）问题背景 如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD 于E．请探究线段BD与CE的数量关系． （事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．） 结论：线段BD与CE的数量关系是______________________（请直接写出结论）； （2）类比探索 在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸 在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系． 结论：BD=_____CE（用含n的代数式表示）． D E C B A F A B C E D F B E C A D 图1 图2 图3
G F E D C B A A B C D E F G H K L I J G F E D C B A （2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． (1)求 ； (2)把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的； (3)把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值. （2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ． （1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 的和为10，分别以四边形 ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 、正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由． 图1 图2 图3
类型1图形旋转引起的探究 1.[2018焦作一模]如图(1),在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点,连接DE,PM,PN,MN. (1)观察猜想 图(1)中△PMN是(填特殊三角形的名称). (2)探究证明 如图(2),△ADE绕点A按逆时针方向旋转,则△PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由. (3)拓展延伸 若△ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值. 图(1)图(2) 2.如图(1),在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,AB'=,连接CC'. (1)问题发现:计算的值;
(2)拓展探究:将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转,记旋转角为θ，连接BB'.试判断:当 0°≤θ<360°时,的值有无变化?请仅就图(2)中的情形给出你的证明; (3)问题解决:在旋转过程中,BB'的最大值为多少?请在备用图中画出图形,并给出解题过程. 图(1)图(2) 备用图 3.如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A作AE⊥AC,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F,D. (1)问题发现:∠NDE=; (2)拓展探究:如图(2),当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.
(3)如图(3),若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长. 图(1)图(2) 图(3) 4.(1)问题背景:
类比探究问题（讲义） ? 课前预习 1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由 简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． 2. 解决类比探究问题的一般方法： （1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括_________________，________________， _________________． 3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再 做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ? 知识点睛 1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________， ___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________． 2. 类比探究问题中常见结构举例 ①旋转结构 AB=AC D C D' A ②中点结构 A B C E M D A B M C N M A （类）倍长中线 平行夹中点 中位线
? 精讲精练 22. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°， 连接EF ，易证EF =BE +DF ． 图1 B C D E F A （1）类比引申： 如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°， ∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由． A F E D C B 图2 （2）联想拓展： 如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程． 图3 B D E F A
类比探究类问题解析版 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F． (1) 如图1，求证：AE=DF； (2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明 理由； 2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． (3) 如图3，若AB=3 ① 直接写出线段AE长度的取值范围； ② 判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。 （2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD于H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。 ∴∠AME＋∠GMH=90°。 ∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①23 3 ＜AE≤23。 ②△GEF是等边三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴MG GH EM AM =。 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH23 3 EM AM2 ===。∴∠MEG=600。 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。 2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。 （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。 由（1）知△CBE≌△CDF，
2019-2020 年中考北师大版中考数学专题复习：类比探究测 试题 一、知识点睛 解决类比探究问题的处理思路 1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决． 类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构． 2. 若不属于常见结构类型： ①根据题干条件，结合 _______________先解决第一问．②类比解决下一问． 如果不能，分析条件变化，寻找 ______________．③结合所求目标，依据 __________，大胆猜测、尝试、验证． 二、精讲精练 1. 已知：线段 OA ⊥OB ，点 C 为 OB 中点，D 为线段 OA 上一 点．连接 AC ， BD 交于点 P ． （ 1）如图 1，当 OA=OB ，且 D 为 OA 中点时，求 AP 的值； PC B （ 2）如图 2，当 OA=OB ，且 AD 1 时，求 ∠ BPC 的值； OA tan 4 （ 3）如图 3，当 AD: OA: OB=1: n: 2 n 时，直接写出 tan ∠ BPC 的值． B B A D P C O 图 1 A D P C O 图 2 A D P C O 图 3
2.如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°， AD⊥BC 于点 D，点 O 是 AC 边上 一点，连接 BO，交 AD 于点 F，OE⊥OB 交 BC 于点 E． （1）求证：△ABF∽△COE； （ 2）如图 2，当O为AC边中点，AC 2 时，求 OF 的值；AB OE （ 3）如图 3，当O为AC边中点，AC n 时，请直接写出 OF 的值． AB OE B D F E A O C 图1 B D F E A O C 图2 B D F E A O C 图3
中考数学类比探究（一）——直角、平行（习题） 1. 如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ． （1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则 CD 的值是 ． EF CG （2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF = m （m ＞ EF 0），则 CD 的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出 CG 解答过程． （3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB = a ， CD BC = b （a ＞0，b ＞0），则 AF 的值是 （用含 a ，b BE EF 的代数式表示）．
2.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC= ∠DEF=90°，∠EDF=30°． 【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q． 【探究】在旋转过程中， （1）如图2，当CE =1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA 并给出证明． （2）如图3，当CE = 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA 并给出证明． （3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE =m时，EA EP 与EQ 满足的数量关系式为．
3.在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心， 过点G 的直线分别交AB，AC 于点E，F． （1）如图1，当点E 与点B 重合时， AG = GD （2）如图2，当EF∥BC 时，求证： BE + CF ． = 1 ． AE AF （3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E，F 分别在线段 AB，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出 证明；如果不成立，请说明理由． 提示：①过点 A 作AM∥BC，交EF 于点M，直线FE 交BC 于N；②NB+NC=2ND． （4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长 线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由．
河南中考数学类比探究 学生精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
中考数学类比探究 实战演练（一） 22. （10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM ⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ． （1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系； 图1 N M E D C B A C B A D E M N 图2 图3 N M E D C B A ． 中考数学类比探究 实战演练（二）
22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求． （1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题： ①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ， PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值． ②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）． 图1 P A D B E C B C P A 图2 P 图3 D C B A
中招22题 类比、拓展探究题 作图微技能 1. 如图①，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，点P 为射线BD ，CE 的交点，若把△ADE 绕点A 旋转，请在图②中作出当∠EAC ＝90°时的图形. 第1题图 2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，当CE ＝BC 时，请在图②中作出△EDC 旋转至A ，D ，C 三点共线时的图形. 第2题图 3. 如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，E 为AC 上一点，且AE ＝14 AC ，过点E 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，连接CD ，分别取DE 、BC 、CD 上中点M ，N ，P ，若△DAE 绕点A 在平面内自由旋转，请在图②中作出当△MPN 面积最大时的图形. 第3题图 4. 如图①，已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝12 AB ，连接BE ，BD ，CE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 的中点，连接GF ，FH ，GH .将△ADE 绕点A 自由旋转，请在图②③
中作出在旋转的过程中GH最大和最小时的图形. 第4题图 5. 如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，点E、F分别是AB、AC的中点，连接EF.以点A 为旋转中心，将△AEF顺时针转动，连接BE，CF，设直线BE，CF相交于点P，请在图②③中作出当S△PBC面积为最大值和最小值时的图形. 第5题图 6. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.请在图②中作出点P到AB所在直线的距离最大时的图形. 第6题图 7. 如图①，射线OA与OB的夹角为α(0°＜α＜180°)，点P在∠AOB的平分线上，且OP＝a，点M 在射线OA上运动，在射线OB上取一点N，使得∠MPN＋∠AOB＝180°，请在图②中作出△PMN周长的值最小时的图形.
类比探究（作业） 例：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ． （1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则 CD 的值是 ． EF CG （2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF = m （m >0）， EF 则 CD 的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出解答 CG 过程． （3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB = a ， CD BC = b （a >0，b >0） ，则 AF 的值是 （用含 a ，b 的 BE EF 代数式表示）．
【思路分析】 根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问． 问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，根据这些特 征我们思考通过相似来传递比例关系，进而求 CD 的值． CG 构造相似我们采用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型 相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF = 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ， EF 故 CD = 3 ． CG 2 类比第一问思路，解决第二问． 分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此 时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m ． CG 2 照搬思路解决第三问． 此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点 E 作 EH ∥ AB 交 BD 的延长线于点 H ，可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽ △EFH ，可得 BC = CD ， AF = AB ，结合 AB = a ， BC = b ， BE EH EF EH CD BE 可知 AF = AB = a ?CD = ab ． EF EH EH 1 2 3
专题之类比与探究题 类比与探究题的主要考查类型有：几何图形的类比拓展探究；几何图形变换的类比拓展探究等．考查的知识点有：三角形的性质、平行四边形的性质、相似、全等、折叠性质、图形变换和勾股定理等．基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，学会分解和组合图形，明确图形中的变化信息，类比模仿、从特殊到一般的方法求解证明问题. 解决此类问题要注意灵活掌控、发散思维、以静制动，建立相应的数学模型． 类比与探究题是河南省中考数学中的必考题，均在第22题以解答题形式呈现，分值为10分，设问数均3问．河南省中考对此问题的考查：2013年、2014年、2015年、2016年、2017年、2019年中考试题第22题均以解答题的形式考查了几何图形变化的类比拓展探究. 类型一静态几何图形的类比拓展探究 这类问题通常是先给一特殊图形，通过观察、归纳特殊图形对应的线段或角的性质，然后再在一般图形中判断结论是否成立，最后利用总结结论解决更一般图形中的相关问题．解决这类题目的关键是掌握从特殊到一般的研究方法，再类比模仿探究．
例1 (2014·河南) (1)问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空： ①∠AEB的度数为 ； ②线段AD，BE 之间的数量关系为． (2)拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD＝2.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
学生做题前请先回答以下问题 问题1：类比探究问题的处理思路是什么？ 问题2：想一想，画一画类比探究问题中旋转结构的特征是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：类比探究问题的处理思路是什么？ 答：类比探究问题的处理思路为： （1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题． ①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问． ②类比解决下一问． 如果不能，分析条件变化，寻找不变特征． ③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证． 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决． 问题2：想一想，画一画类比探究问题中旋转结构的特征是什么？ 答： 等线段共点： 类比探究专题（三）——旋转结构
一、单选题(共7道，每道14分) 1.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与点B，C重合），点M在BC的延长线上． （1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．则∠ECM的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转结构 2.（上接第1题）（2）如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE． 则∠ECM的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转结构 3.（上接第1，2题）（3）如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为( )
中考数学类比探究实战演练（四） 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 玉壶存冰心,朱笔写师魂。——冰心《冰心》 漂市一中钱少锋 1.（本小题4分）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA， CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）． （1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交 CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由． （2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由．
（1）中△OMN的形状为( ) ? B.等边三角形 ? C.等腰直角三角形 ? D.含30°角的直角三角形 知点： 中考数学几何中的类比探究 解题思路 见第2题中解析 2.（本小题6分）（上接第1题）（2）中△AGD的形状为( ) ? A.等腰三角形 ? B.等边三形 ? D.含30°角的直角三角形 知识点：
中考数学几何中的类比探究解题思路
3.（本小题7分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题如下探究：（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连AE并延长，交BC的延长线于点F，求证：（S表示面积）． （2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由． （3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB= 30°，OP=4km，试求△MON的面积．（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）
类比、拓展探究题 1.如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF . (1)发现 线段BE 与AF 的位置关系是______，AF BE ＝______； (2)探究 如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，连接AF ，BE ， (1)中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)延伸 如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)时，延长FC 交AB 于点D ，若AD ＝6－23，直接写出旋转角α的度数． 第1题图 1.解：(1)BE ⊥AF ，3； 【解法提示】∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ， ∴线段BE 与AF 的位置关系是BE ⊥AF ； ∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BC tan 30°＝23， ∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，
∴AF BE ＝AC BC ＝ 3. (2)(1)中结论仍然成立． 理由如下：如解图①，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴EC ＝12BC ，FC ＝12AC ，∴EC BC ＝FC AC ＝12， 第1题解图① ∵∠BCE ＝∠ACF ＝α，∴△BEC ∽△AFC ， ∴AF BE ＝AC BC ＝1tan 30°＝3，∠1＝∠2， ∵∠BOC ＝∠AOM ，∴∠AMO ＝∠BCO ＝90°， ∴BE ⊥AF ； (3)135°. 【解法提示】如解图②，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， ∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°， 第1题解图② ∴AB ＝4，∠B ＝60°，∴DB ＝4－(6－23)＝23－2，