第10讲 数列单调性问题
一．选择题（共3小题）
1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*
n N ∈，在数列{}n a 中，2
163
n n a n =-，设数列{}n b 中
的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30
B ．28
C ．26
D ．24
【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*
n N ∈，在数列{}n a 中，2
163n n a n =-，
∴叠加可得2147
3(16)33
n n b b n -=-+，
21(24)529n b n b ∴=--+，
24n ∴=，n b 最小，
故选：D ．
2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103
B ．
865
8
C ．
825
8
D ．108
【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为29291
72244
n =-
==-?， n 是整数，
∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-?+?+=，
故选：D ．
3．设函数6(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---?=?>?
，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的
取值范围是( ) A ．(1,3)
B ．(2,3)
C ．9
(,3)4
D ．(1,2)
【解析】解：函数6(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---?=?>?
，
数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >??->??>-?，解得：1
32,9a a a a >??<-?
或，
即：23a <<， 故选：B ．
二．填空题（共4小题）
4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ． 【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立， 221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列， 10n n a a +∴->，
又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++
∴当1n =时，1n n a a +-最小，
12130n n a a a a λ+∴->-=+>，
3λ∴>-．
故答案为：(3,)-+∞．
5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是
6λ>- ．
【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立， 数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，
222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．
数列单调递减，6λ∴>-恒成立． 故答案为：6λ>-．
6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围
9(4-，3
)2
． 【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-， 1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，
两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-
123(1)2n n n λ+=+-，
对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，
∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，
13
(1)()2
n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，
∴当21n k =-时，21
33()22
k λ-<； 当2n k =时，23
9()2
4
k
λ>--
； 综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3
)2
．
7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++?=-∈．数列{}n b 满足2(2)2
n n n
b a -=-，则{}n b 中的最大项的值是
1
8
． 【解析】解：由1232n n a a a a n a +++?=-，得2n n S n a =-， 取1n =，求得11a =；
由2n n S n a =-，得112(1)(2)n n S n a n --=--，
两式作差得12n n n a a a -=-+，即11
2(2)(2)2
n n a a n --=-，
又1210a -=-≠，
∴数列{2}n a -构成以
1
2
为公比的等比数列， 则11
21()2n n a --=-?，
则12212
(2)()2222
n n n n n n n b a ----=
-=-=， 当1n =时，112b =-，当2n =时，20b =，当3n =时，31
8b =，
而当3n 时，111
12122(2)2n n n
n
n b n n b n ++--==--， {}n b ∴中的最大项的值是1
8．
故答案为：1
8
．
三．解答题（共11小题）
8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=， （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2
4()n n a b n =，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ； （Ⅲ）设
2()n n
n
n
a λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由已知13
n n S n S n
++=
，且111S a ==， 当2n 时， 321
121452(1)(2)
11216
n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=?=?=
-， 1S 也适合，
当2n 时，1(1)
2
n n n n n a S S -+=-=
，且1a 也适合， (1)
2
n n n a +∴=
． （Ⅱ）2
24(
)(1)n n a b n n
==+，设2(1)(1)n n
n =-+，
当n 为偶数时，1221(1)(1)(1)21n n n n
C n n n --+
=-+-+=+，
12341[5(21)]
(3)2()()()59(21)22
n n n n
n n n T C C C C C n -+++=++++?+=++?+-==，
当n 为奇数时，22
1(1)(2)34(1)22
n n n
n n n n T T n --+++=+
=-+=-
，且114T C ==-也适合． 综上得()()()234
232
n n n n T n n n ?++-??=?+?
??为奇数为偶数 （Ⅲ）2(
)n n
n
n
a λ=-，使数列{}n 是单调递减数列， 则1422(
)021
n n n
C n n λ+-=--<++，对*n N ∈都成立， 则42(
)21
max n n λ-<++， 42222
21(1)(2)3n n n n n n n
-==++++++， 当1n =或2时，421(
)213
max n n -=++， 1
3
λ∴>．
9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()
()2
n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2a =，且2
1114
m n a S -=，求m 、n 的值；
（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由已知，得11111()
02
a a a S ?-===，2n n na S ∴=，
则有1
1(1)2
n n n a S +++=
， 112()(1)n n n n S S n a na ++∴-=+-，即1(1)*n n n a na n N +-=∈， 21(1)n n na n a ++∴=+，
两式相加得，122*n n n a a a n N ++=+∈， 即211*n n n n a a a a n N +++-=-∈， 故数列{}n a 是等差数列．
又10a =，2a a =，(1)n a n a ∴=-．
（2）若2a =，则2(1)n a n =-，(1)n S n n ∴=-．
由21114
m n a S -=，得2211(1)n n m -+=-，即22
4(1)(21)43m n ---=， (223)(221)43m n m n ∴+---=．
43是质数，223221m n m n +->--，2230m n +->， ∴221122343m n m n --=??+-=?
，解得12m =，11n =．
（3）由n a b p +，得(1)a n b p -+． 若0a <，则1p b
n a
-+，不合题意，舍去； 若0a >，则1p b
n a
-+．不等式n a b p +成立的最大正整数解为32p -， 32
131p b
p p a
-∴-+<-， 即2(31)3a b a p a b -<--，对任意正整数p 都成立． 310a ∴-=，解得1
3
a =，
此时，
2013b b -<-，解得2
13
b <．
故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是13a =，2
13
b <．
10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设43
4n n n
a b +=
，求数列{}n b 中的最大项的值． 【解析】解：（1）1(1)3n n n a a n +=++，1(1)3n n n a a n +∴-=+． ∴当2n 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+?+-+
123(1)323n n n n --=+-+?+?，
则1233(1)323n n n a n n -=+-+?+?，
231
31123
223333
32333122
n n n
n n n n a n n ---∴-=?+++?+-=+-=+-，
213
344
n n n a -∴=
?-． 当1n =时也成立， 213
344
n n n a -∴=
?-． （2）433(21)()044
n
n n n
a b n +=
=->， ∴1
13(21)()634384(21)()4n n n n n b n b n n ++++==--，
由于(63)(84)72n n n +--=-，
可得1n =，2，3时，1n n b b +>；当4n 时，1n n b b +<． ∴数列{}n b 中的最大项为4b ，可得443567
7()4256
b =?=．
11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．
（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正； （Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；
（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
3
a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n n
b f S =，问数列{}n b 中是否存在
最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由()()()f x f y f x y =+，令0x >，0y =，则()(0)()f x f f x =， 当0x >时，有0()1f x <<，(0)1f ∴=．?（2分） 当0x <时，0x ->，0()1f x ∴<-<， 由于()()()(0)1f x f x f x x f -=-== 所以1
()10()
f x f x =
>>-，综上可知，()f x 恒正；?（4分） （Ⅱ）设12x x <，则210x x ->，210()1f x x ∴<-< 又由（1）可知1()0f x >
所以22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-< 故()f x 在实数集R 上是减函数；?（8分） （Ⅲ）由题意11
3a =，()n a f n =，
∴11(1)3a f ==
，111(1)()(1)()33
n n a f n f n f f n a +=+=== ∴数列{}n a 为以首项11
3
a =
，公比为13的等比数列，
∴111
(),(1)323
n n n n a S ==-?（12分）
由此可知，n S 随着n 的增大而增大，再根据（2）可得()n f S 随着n 的增大而减小， 所以数列{}n b 为递减数列，
从而存在最大项，其为311111
()()()()(1)33b f S f a f f f =====（14分）
12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++?+=-，(1n =，2，3，)?． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)?，求数列{}n b 的最大项的值；
（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有21
4
n b t t +，求实数t 的取值范围．
【解析】（1）证明：由题可知：123n n a a a a n a +++?+=-，?①
，
123111n n a a a a n a +++++?+=+-，?②，②-①可得121n n a a +-=?（3分）；
即：111(1)2n n a a +-=-，又11
1..2
a -=-?（5分），
所以数列{1n a -是以12-为首项，以1
2为公比的等比数列....??（4分）
（2）解：由（1）可得1
1()2
n n a =-，故22n n n b -=，
设数列{}n b 的第r 项最大，则有1
121
222322
r
r r r r r r r +---????
--???，∴2(2)122(3)r r r r --??--?
，34r ∴，
故数列{}n b 的最大项是341
(8)
b b ==?（8分）
（3）解：由（2）可知{}n b 有最大值是341
8b b ==，所以，对任意*n N ∈，都有18n b ，
对任意*n N ∈，都有21
4
n b t t +，即214n b t t -成立，
∴
211
84
t t -，?（11分）
， 解得1
2
t
或14t -
∴实数t 的取值范围是(-∞，1
1
]
[42
-，)+∞?（12分） 13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2
*1(n n
a a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ?，||2}i a ，{|M c =对任意*
i N ∈，||2}i a ．
（Ⅰ）写出2M ，3M ； （Ⅱ）当1
4
c >
时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ?； （Ⅲ）求集合M ．
【解析】（Ⅰ）解：根据题意可得，2[2M =-，2]，3[2M =-，1]； （Ⅱ）证明：当14c >时，对任意*n N ∈，都有2
21111()0244
n n n n n a a a c a a c c +-=+-=-+-->， 所以1n n a a +>，
所以数列{}n a 是递增数列，
因为111211111
()()()()()()444n n n n n a a a a a a a a c c c ++-=-+-+?+-+-+-+?+-，
所以11
()4n a n c +-，
令08
{|}41
n min t N t c =∈>
-， 则010181
()()24414n a n c c c +->-=-，
所以01n c M +?，
所以存在正整数01n =+，使得c M ?；
()III 解：由题意得，对任意*n N ∈，都有1n n M M +?且n M M ?．
由（Ⅱ）可得，当1
4
c >时，存在正整数，使得c M ?，所以c M ?， 所以若c M ∈，则14
c
， 又因为3[2M M ?=-，1]， 所以若c M ∈，则2c -， 所以若c M ∈，则124c
-，即1[2,]4
M ?-． 下面证明1
[2,]4M -?．
①当1
04
c
时，对任意*n N ∈，都有0n a ． 下证对任意*n N ∈，12
n a <
． 假设存在正整数，使得12
a ． 令集合*1
{|}2
S N a =∈，则非空集合S 存在最小数0s ． 因为211
042
a c
=<，所以02s >． 因为01s S -∈/，所以01102
s a -<． 所以00211142s s a a c c
-=+<
+，与01
2
s a 矛盾． 所以对任意*n N ∈，1
02
n a <． 所以当1
04
c
时，||2n a ． ②当20c -<时，220c c +． 下证对任意*n N ∈，||
||n a c ．
假设存在正整数，使得||||a c >．
令集合*{|||||}T N a c =∈>，则非空集合T 存在最小数0t ． 因为2a c =，所以2||||a c ，所以02t >．
因为01t T -∈/， 所以01||
||t a c -．00221t t a a c c c c -=++-，且0021t t a a c c -=+，
所以0||||t a c ，与0||||t a c >矛盾．
所以当20c -<时，||
||2n a c ．
所以当1
[2,]4c ∈-时，对任意*n N ∈，都有||2n a ．
所以c M ∈，即1
[2,]4M -?．
因为1[2,]4M ?-，且1
[2,]4
M -?，
所以1
{|2}4
M c c
=-． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：
123111134
n T T T T +++?+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围． 【解析】（Ⅰ）解：2n n S a a =+， 当2n 时，112n n S a a --=+，
两式作差得，1122n n n n n a S S a a --=-=-，12(2)n n a a n -∴=， 当1n =时，1112a S a a ==+，则10a a =-≠， ∴数列{}n a 是等比数列，10a a =-≠，2q =． ∴1122n n n a a a --=-?=-；
（Ⅱ）①证明，3n n n T a =+，若1a =，则132n n n T -=-，
当2n 时，111323323n n n n n n T ---=->-=?，
1113
24T =<； 当2n 时，
2
1
12311111111
2232323n n T T T T -+++?+<+++?+???
11(1)
13133(1)12
43413
n n
?-
=?=-<-，
综上，
123111134
n T T T T +++?+<； ②解：123n n n T a -=-?+，113b T a ==-，
当2n 时，1121213232232n n n n n n n n n b T T a a a ------=-=-?-+?=?-?，
112121(232)(232)432n n n n n n n n b b a a a -----+-=?-?-?-?=?-?，
由1
2
143
2
0n n n n b b a --+-=?-?>，得122433
12()(2)22
n n n a n ---?<=?，
当2n 时，函数23
()12()2
n f n -=?在2n =时取得最小值为12，
又2123(3)3b b a a -=?---=，12a ∴<． ∴数列{}n b 为递增数列时，a 的范围为(,12)-∞．
15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有
2
(n n
a q q a +=为常数）
，则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}n b 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++?=． （1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”； （2）求{}n b 通项公式；
（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．
【解析】解：（1）证明：因为112n n n b b ++?=，所以2122n n n b b +++?=，
所以
2
1211222
n n n n n n b b b b +++++?==?， 所以数列{}n b 是“类等比数列”．
（2）由已知得2112,2b b b b =?=，故24b b
=
． 结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以b ，
4
b
为首项，且公比皆为2的等比数例． 故1
22
22,42,n n n b n b n b
--????=?????为奇数
为偶数，*()n N ∈． （3）若{}n b 是单调递增数列，则满足21
22
1
b b b -+<<，
即1
1
4
2
22b b b
--?<
?
，即4
2b b b
<
<， 2b <<．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为22
n a
S n =．
（1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）． 【解析】解：（1）由已知，得112
a
a S ==， *1(21)(,2)22
n n n a a
a S S n an n N n -=-=
-=-∈?（3分） 又*1(n n a a a n N --=∈，2)n ?（2分）
所以，数列{}n a 为公差为a 的等差数列．?（1分） （2）由*1(n n a a a n N --=∈，2)n 得
当0a >时，数列{}n a 为递增数列；?（2分） 当0a =时，数列{}n a 为常数列；?（2分） 当0a <时，数列{}n a 为递减数列．?（2分）
17．已知函数2
2()1
x f x x =+，()n a f n =．
（1）求证：对任意*n N ∈，1n a <；
（2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？ 【解析】（1）证明：由题意，可知
22222
111
()1111
n n n a f n n n n +-====-+++， *n N ∈，
212n ∴+，则211
012
n <+，
2
11
02
1
n ∴-
-
<+， 则
2111121
n -<+， ∴对任意*n N ∈，都有1n a <恒成立，
故命题得证． （2）由题意，可知
12
1
1(1)1
n a n +=-
++， 则122
11
1(1)(1)11
n n a a n n +-=-
--+++ 2211
1(1)1
n n =
-+++ 222
2
(1)11
(1)[(1)1]
n n n n ++--=+++ 2
221
(1)[(1)1]
n n n +=
+++，
*n N ∈， ∴
2221
0(1)[(1)1]
n n n +>+++，
即10n n a a +->， ∴数列{}n a 是递增数列．
18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和． （1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；
（2）若12
p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【解析】解：（1）因为{}n a 是递增数列，所以n n l n a a p +-=． 因为11a =，1a ，22a ，33a 成等差数列，所以21343a a a =+， 则322133a a a a -=-，即230p P -=，解得1
3
p =或0p =．
当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾， 所以1
3
p =．
（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->， 所以212221()()0n n n n a a a a +--+->． 因为
22111
22
n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-． 所以2210n n a a -->，
因此221221211(1)()22
n
n n n n a a -----==．
因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，
所以21
221221(1)()22n n n n n a a ++--=-=．
所以1
1(1)2n n n n
a a ++--=．
于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+?+-，
1211
11()111(1)41(1)2111222233212
n n n n n -------=+=+-+?+=++， 所以数列{}n a 的通项公式为1
41(1)332n
n n a --=+．
（3）11
()()2
n n n n c n a a n +=-=--，
所以12111
1()2()()222n n T n =-?--?--?--，
两边同乘1
2
-可得：
2311111
1()2()()2222
n n T n +-=-?--?--?--， 两式相减可以得到：
221
()()9922
n n n T =
-+-．