成都石室中学高2020届2020～2020学年度下期期末考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.已知集合{}|1 2 A x x =-<<， {}
2|20 B x x x =+≤，则A B ?=（ ）
A. {}|0 2 x x <<
B. {}|0 2 x x ≤<
C. {}|10 x x -<<
D. {}|10 x x -<≤ 2.已知,a b R ∈，且a b >，则（ ）
A. 22
a b > B. 1a b > C. ()lg 0a b -> D. 1122a b
????< ? ?????
3.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176
4.设m 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//,//m m αβ，则//αβ B. 若//,m m αβ⊥，则αβ⊥ C. 若,//m αβα⊥，则m β⊥ D. 若,m αβα⊥⊥，则//m β
5.已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1-或7- D ．
13
3
6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22
a a a 成等差数列，89
67a a a a +=+（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为（ ）
A. 1800元
B. 2100元
C. 2400元
D. 2700元 8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2
2
2
2S a b c =+-，
俯视图
主视图1
22
2
则tan C （ ）
A. 1
2
B. 122
9.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 462+642+682+ D. 862+
10.已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为
50
3
，则此球的体积为（ ） A. 18π B. 6π C. 36π D. 323π
11.已知a ， b ， c 均为正数，且234a b c ++=，则2
ab ac bc c +++的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D.8
12.如图，平面α与平面β交于直线l ，,C A 是平面α内不同的两点，,B D 是平面β内不同的两点，且,,,A B C D 不在直线l 上，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列命题中正确的个数为（ ）
①若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 也平行; ②若AB ,CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行;
③若AB ,CD 是异面直线时，则不存在异于AB ,CD 的直线同时与直线,,AC MN BD 都相交；
④,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.
1tan151tan15??
+-的值为___________．
14.若,x y 满足约束条件20
402
x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
，则1y x +的取值范围为___________．
15.设数列{}n a 满足*1(1)()2n n n na n a n N n +-+=
∈+， 11
2
a =， n a =___________． 16.若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a
b
c 都在函数()f x 的定义域
内，就有函数值(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函
数，下面四个函数：①2
()(0)f x x x =>；
②()0)f x x =>；③()sin (0);2
f x x x π
=<<
④()cos (0);2
f x x x π
=<<
为保三角形函数的序号为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A . （Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.
18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形， D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证： 11//BC A CD 平面；
（Ⅱ）若直线1CA 与平面11A ABB 所成的角为30?，求三棱锥11B A CD -的体积．
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
19.（本小题满分12分）如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=?，
27,4AB BD ==．
（Ⅰ）求ABD V 的面积．
（Ⅱ）若120BAC ?
∠=，求AC 的长．
20.（本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （Ⅰ）当[0,]2
x π
∈时,求()f x 的值域；
（Ⅱ）若将函数()f x 向右平移(0)??>个单位得到函数()g x ，且()g x 为奇函数. (ⅰ)求?的最小值；
(ⅱ)当?取最小值时，若(0)y m m =>与函数()g x 在y 轴右侧的交点横坐标依次为12,,x x L ，求1220x x x +++L 的值.
21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式1001272
n n
S n -
22.（本小题满分12分）如图1，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，O 为DC 的中点，E 为线段OC 上一动点．现将AED ?沿AE 折起，形成四棱锥D ABCE -.
（Ⅰ）若E 与O 重合，且AD BD ⊥(如图2). (ⅰ)证明：BE ⊥平面ADE ;
(ⅱ)求二面角D AC E --的余弦值.
（Ⅱ）若E 不与O 重合，且平面ABD ⊥平面ABC (如图3)，设DB t =，求t 的取值范围.
图2
图 1
图3
成都石室中学高2020届2020～2020学年度下期期末考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.已知集合{}|1 2 A x x =-<<， {}
2
|20 B x x x =+≤，则A B ?=（ ）
A. {}|0 2 x x <<
B. {}|0 2 x x ≤<
C. {}|10 x x -<<
D. {}|10 x x -<≤ 【答案】D
2.已知,a b R ∈，且a b >，则（ ）
A. 22a b >
B. 1a b >
C. ()lg 0a b ->
D. 1122a b
????
< ? ?????
【答案】D
3.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ ( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 【解析】B
4.设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B
5.已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1-或7- D ． 133
【答案】A
6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321
3,,22
a a a 成等差数列，8967a a a a +=+（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 【答案】D
7.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为（ ）
A. 1800元
B. 2100元
C. 2400元
D. 2700元 【答案】C
8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2222S a b c =+-，则tan C （ ） A.
1
2
B. 12 D. 2
【答案】D
9.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. 462+642+682+ D. 862+ 【答案】D
10.已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503
，则此球的体积为 （ ）
A. 18π
B. 6π
C. 36π
D. 323π 【答案】C
11.已知a ， b ， c 均为正数，且234a b c ++=，则2
ab ac bc c +++的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D.8 【答案】A
12.如图，平面α与平面β交于直线l ，,C A 是平面α内不同的两点，,B D 是平面β内不同的两点，且,,,A B C D 不在直线l 上，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列命题中正确的个数为（ ）
①若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 也平行; ②若AB ,CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行; ③若AB ,CD 是异面直线时，则不存在异于AB ,CD 的直线同时与直线,,AC MN BD 都相交；
④,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.
1tan151tan15??
+-的值为 .
3
14.若,x y 满足约束条件20
{40 2
x y x y y -+≥+-≤≥，则1
y
x +的取值范围为__________．
【答案】2,23
??????
15.设数列{}n a
n a =__________．
16.若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函
数，下面四个函数：①2
()(0)f x x x =>；
②()0)f x x =>；③()sin (0);2
f x x x π
=<<
④()cos (0);2
f x x x π
=<<
为保三角形函数的序号为 .
【答案】②③
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A .
（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【解析】直线310mx y m +--=可化为(3)10m x y -+-=， 由3010x y -=??
-=?可得3
1x y =??=?
，所以点A 的坐标为(3,1).………………2分
（Ⅰ）设直线l 的方程为20x y n -+=，
将点A (3,1)代入方程可得1n =-，所以直线l 的方程为210x y --=..………………5分 （Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，因为直线过点A ，所以直线方程为3x =， 符合原点到直线l 的距离等于3. ..………………7分
②当直线l 斜率不存在时，设直线l 方程为31y kx k =-+，即310kx y k --+=
因为原点到直线的距离为3
3=，解得4
3k =-
所以直线l 的方程为43150x y +-=
综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=..………………10分
18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ABC ⊥平面，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形， D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证： 11//BC A CD 平面；
（Ⅱ）若直线1CA 与平面11A ABB 所成的角为30?，求三棱锥11B A CD -的体积．
【解析】（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于E 点，连接DE ． 因为D E ，分别为1AB AC ，的中点，所以1//DE BC ， 又11BC ACD ?平面， 1DE A CD ?平面， 所以11//BC A CD 平面． ..………………6分 （Ⅱ）等边三角形ABC 中， CD AB ⊥，
1AA ABC ⊥Q 平面， 1AA CD ∴⊥，且1AB AA A ?=， 11CD A ABB ∴⊥平面．
则1CA 在平面11A ABB 的射影为1DA ，
故1CA 与平面11A ABB 所成的角为1CA D ∠． ...………………8分 在1Rt A DC ?中， 1=30CA D ∠?， =3CD 1=
3tan30CD
DA =?
，
2211=22AA A D AD ∴-=， ...………………10分
1111111126
223333
B A CD
C A B
D A B D V V S CD --==??=??=V ...………………12分
19.（本小题满分12分）如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上， 60ADC ∠=?，
27,4AB BD ==．
（Ⅰ）求ABD V 的面积．
（Ⅱ）若120BAC ?
∠=，求AC 的长． 【解析】（Ⅰ）由题意，120BDA ∠=? 在ABD V 中，由余弦定理可得
2222120AB BD AD BD AD cos =+-???
即2
281642AD AD AD =++?=或-6AD =（舍）...………………4分 ∴ABD V 1134223222
S DB DA sin ADB =???∠=???=...………………6分
（Ⅱ）在ABD V 中，由正弦定理得AD AB
sinB sin BDA
=∠， 代入得21sin B B 为锐角，故57cos B =………………8分 所以21
sin sin(60)sin 60cos cos60sin C B B B ???=-=-=...………………10分 在ADC V 中，由正弦定理得
sin AD AC
C sin CDA
=∠， ∴
221372
AC
=
，解得7AC =．...………………12分 20.（本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （Ⅰ）当[0,]2
x π
∈时,求()f x 的值域；
（Ⅱ）若将函数()f x 向右平移(0)??>个单位得到函数()g x ，且()g x 为奇函数. (ⅰ)求?的最小值；
(ⅱ)当?取最小值时，若(0)y m m =>与函数()g x 在y 轴右侧的交点横坐标依次为12,,x x L ，求1220x x x +++L 的值.
【解析】（Ⅰ）4422()cos 2sin cos sin cos sin sin 2f x x x x x x x x =--=--
cos 2sin 22)4
x x x π
=-=+
………………3分
52
[0,],2[,],cos(2)[]24444x x x πππππ∈+∈+∈-Q ，()[2,1]f x ∴∈- ………………5分
（Ⅱ）()()22)4
g x f x x π
??=-=-+，由()g x 为奇函数，
故2,4
2
28
k k k Z π
π
ππ
?π?-+
=+
?=-
-∈，由0?>， 故?的最小值为
38
π
. ………………7分
(ⅱ)此时())22
g x x x π
=-=，故m ∈时满足题意. ………………8分
当m =*322(1)()2
4n n x n x n n N π
πππ=-+?=-
∈，{}n x 是以4
π
为首项，π为公差的等差数列，120122020()
1952
x x x x x π++++=
=L . ………………10分
当m ∈时,由对称性，112()2((n 1))2
2
n n n n x x x x n ππ
ππ+++=?+-?+=-，其中n 为奇数，
故1{}n n x x ++（n 为奇数）是以
2
π
为首项，2π为公差的等差数列. 故122012341920()()()95x x x x x x x x x π+++=++++++=L L .
综上：当m 时，1220195x x x π+++=L ，
当m ∈时，122095x x x π+++=L . ………………12分
21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式1001272
n n
S n -<
?.
【解析】（Ⅰ）由题意2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L
故1=n 时，111
313
a a =?=……………………1分
当2≥n 时，12121393(1),n n a a a n --+++=-L
221
3(1)21(21)()3
n n n n a n n n a n =--=-?=-……3分
经检验 1=n 时，上式也成立
故数列{}n a 的通项公式1
(21)()()3n n a n n N *=-?∈……………………4分
（Ⅱ）121111()3()(21)()333
n n S n =?+?++-?L 左右两边同乘以1
3
，
得
23111111
1()3()(23)()(21)()33333
n n n S n n +=?+?++-?+-?L ……6分 两式相减得231211111
2[()()()](21)()333333
n n n S n +=++++--?L
图2
图 2
图3
211111()
1()1121332(21)()2(1)()1333313
n n n n n -++??- ???=+?
--?=-+- 所以1
1(1)()3
n n S n =-+（*∈N n ）………………8分
由11002100
1(1)()(1)()3327272n n n n
S n n n n -=+
(1)(2)(),3n n d n n ++=++
11222(4)
(1)(2)()(1)()(1)(),3333
n n n n n n d d n n n n n ++--=++-+=+Q
故4n <时，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增；
故4n =时，54320100
8127
d d ==
>
； 故4n >时，1n n d d +<，数列{}n d 单调递减；………………11分
又332100927d =
<，6896100
24327
d =<
故3n ≤或6n ≥且*n N ∈. ………………12分
22.（本小题满分12分）如图1，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，O 为DC 的中点，E 为线段OC 上一动点．现将AED ?沿AE 折起，形成四棱锥D ABCE -.
（Ⅰ）若E 与O 重合，且AD BD ⊥(如图2). (ⅰ)证明：BE ⊥平面ADE ;
(ⅱ)求二面角D AC E --的余弦值.
（Ⅱ）若E 不与O 重合，且平面ABD ⊥平面ABC (如图3)，设DB t =，求t 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）
(ⅰ)由E 与O 重合，则有,AD DE AE BE ⊥⊥,
因为AD BD ⊥，,AD DE BD DE D AD ⊥=?⊥I 平面
BDE ,AD BE ∴⊥,………………1分
,,BE AD BE AE AD AE A ⊥⊥=Q I ,所以BE ⊥平面ADE . ………………3分
(ⅱ)由BE ⊥平面ADE ，BE ?平面ABC ，故平面ADE ⊥平面ABC ，
作DG AE ⊥于G ,作GH AC ⊥于H ，连接DH .
因为DG AE ⊥，平面ADE ⊥平面ABC ，AE 为交线，故DG ⊥平面ABC ，
故DG AC ⊥，又GH AC ⊥Q ，故AC ⊥平面DGH ,所以DHG ∠为所求角.………………5分 易求得2,DG 在AEC V 中，可求得5GH =55DH =, 11
cos GH DH θ∴=
=
. ………………7分
（Ⅱ） 如图，作DF AB ⊥于F ,作FI AE ⊥于I ，连接DI .
由平面ABD ⊥平面ABC 且DF AB ⊥可得DF ⊥平面ABC ,故DF AE ⊥,由FI AE ⊥可得AE ⊥平面DIF ,故在平面图形中，,,D I F 三点共线且AE DF ⊥. ………………10分 设(2,4]DE x =∈，由4ADE FAD AF x ?=V :V ，故44BF x
=-, 222216
4DF DA AF x =-=-
，所以222
22
41632(4)420(4,12]DB DF BF x x x
=+=-+-=-∈， (2,23]t BD =∈ ………………12分
备注：本题各问利用其它方法酌情分步给分.