数学问题解决的思维策略模式的认识和实践
杭州二中 尚 可
[摘要]：在策略层次上的思维能力的培养和水平的提高是易被忽视或乏力的问题。本文 对解题系统及目前的研究现状和学生学习中存在的问题作了分析和概述，认为思维策略是解 题系统的核心，藉此提出了一个四环节数学问题解决的思维策略模式，并从实践、理论两个 层面上对其内容、结构、涵义及实践要点作了分析论述。
一、问题的提出
策略，字面意为“计谋”，英文的“Strategy"一词可释为策略，也可解释为战略，是指一种总体的行动方针，而非具体方法(战术)。心理学认为，在问题解决过程中，若主体所接触的是非标准化了的问题，则就需进行创造性思维，需要一种问题解决的思维策略。因而，策略的产生及其正确性被证实的过程常被认为是创造的、解决问题的过程。对问题解决的策略，心理学家曾提出一些模式，尤其是认知心理学家们通过“河内塔问题”这类极其简单而典型问题的研究提出了四种不同的策略，但远未进入解决复杂问题的思维过程的透析。
我国是一个数学解题大国，产生了浩如烟海的数学的奇思妙解、技巧技法。近几年对数学思维模式的研究颇有建树，提出了等价与非等价转化、类比与归纳、移植与杂交以及升格、降格、缩格、更格、分格的五格思维模式，凡此等等，都极大地推动了数学教学的改革。但数学问题解决的思维策略，是指在数学问题解决过程中，主体所采取的总体思路，它是数学思想、观点在解决问题时思维决策的选择。它和作为数学问题解决过程中操作方向、信息处理程序和方式相对稳定的数学思维模式有所相同也有所不同。而且，数学解题是一种复杂的、呈现多种思维特征而且其特征充满各个环节的思维过程。实践中学生急需要的并非是一般的数学思维模式，缺的是具体问题如何设计解题策略的能力，即何时使用何种数学思维模式的能力，所以更需要研究针对中学生实际的、普遍适用的、实用的数学问题解决的思维策略模式。本文对此作一番认识和实践上的探讨，并藉此在实践的基础上提出一个四环节数学解题的思维策略模式。
二、思维策略是数学解题系统的核心
解题是—系统工程，可划分为四个模块，由知识、方法(狭义、具体的)、能力(基本能力)、经验等本质因素构成解题基础模块；由兴趣、爱好、态度、习惯、情绪、意志等构成解题的主观状态模块；由时空、环境、工具等约束构成解题的客观条件模块；还有一部分就是思维策略模块，“是什么促使你这样想、这样做的？”，“是怎样想到这个解法的？”等层面的问题都属于思维策略模块。显然，思维策略模块是其核心。光有基础知识，具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件， 即必须具有—定的思维策略水平。
如：设 A 、B ∈（0，π）且cosA+cosB-cos(A-B)=3/2,求A ，B 的值。
误解1
无法求A 、B
.sin sin cos )cos (cos cos 1cos 2cos cos 28122241222232222=?=-?=+-++-++-+B A B A B A B A B A B A B A B A
8
122281222222212222222221sin sin cos )sin sin cos (cos sin sin sin sin 4cos cos sin sin 4)cos 1)(cos 1(sin sin =?=-?=-?=---+B A B A A A B A B A B A B A B A B A B A 误解2.
原式=
纵观上述过程可知：解题受阻的原因非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目变形，见了和差就化积，“和角”化“单角”，根本未考虑变形的目的和意义，致使解题陷入混乱招致失败。实际上本题实质是解三角方程，一个方程二个未知数，一般情况无法确定解，只有在一种极端情形(如非负数和为0，二次方程△≥0，基本不等式中等号成立等)方可获解，所以要求发掘这种极端情况，可配方为：
1
cos 1cos 1cos 04cos 40cos 2cos cos 2. 0sin )cos (cos 2222222
222
122223222
122212=∴≤≥≥-=?=--===+-------+--+B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A ，，又知，由或整理为，便知π 学生对上述解法涉及的基础知识(三角恒等变形)和基本方法(配方法、判别式法)是熟悉 的，关键是不知如何为己所用，表明思维策略水平的低下，数学元认知能力尤其是元认知监 控能力的缺乏。在中学数学教学中波利亚就曾指出“解题的价值不是答案本身，而是在于弄 清是怎样想到这个解法的”。虽然大家都在喊要培养思维能力，但对策略层次上的能力培养 仍是忽视或乏力的。不少老师和学生往往多就各种类型就题论题地给出解答并演练，而少展 现思路尤其是思路的寻找过程且津津乐道于技巧技法。课堂上的学生除了对老师的神机妙算 叹服外，思维策略得不到学习和提高，依然停留在“套题型、背题解，依样画葫芦”的层次， 常导致今天做过的题，明大仍然做不出，这题会做了，题目背景稍加改造又—筹莫展、手足 无措，只有胡猜乱碰来代替有根据有目的的探索，脚踩西瓜皮滑到哪儿算哪儿，即使东碰西 撞、曲里拐弯算出了答案，心中也无数，只有靠对答案来检验自己解题思路的正误。部分师 生只得把各种各样的非质的、庞杂凌乩的具体解题技巧—概视为规律，成为谆谆告诫的重点， 也只有企图通过大量的机械重复、模仿、记忆来补偿思维策略水平的低下，能力的不足。长 期以往，不仅高负担低效率，还必将造成思维的萎缩利退化，对认知结构的构建、对数学思 维的发展都是极其不利的。
提高学生的思维策略水平，当然可以有利于解决考试中的综合题，也更有利地构建自 己的认知结构。这当然是很功利、现实的目标。然而认识其实应远远不止于此。数学教育的 主要目的在于为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想方法， 概括地说是为了扩展人脑十的数学空间。中学里、现实的数学的材料是有限的，所以—个人 已有的数学空间是很小的，然而所可能具有的数学空间是可以很大的，问题在于我们有没有 使学生学会思考，对所学的数学知识有所领悟，这个领悟就是扩展数学空间的手段。数学空 间不仅靠—些既得知识而构成，还靠思维链建立起有血有肉的生机勃勃的知识方法体系，而 且更重要的是借助于所学知识的生长点和开放面及思维过程，获得一种与数学相关的能力、 进而使数学空间具有某种开放性，所以思维策略水平的提高也是体现主体性培养培养现代人 之必需。
三、四环节数学问题解决的思维策略模式
K邓克尔曾提出一个范围渐趋缩小的汇综模式，分为—般解决——思维策略水平的解决；功能解决——思维模式水平的解决；特殊解决——运算技能水平的解决三个层次。G.波利亚曾给出著名的“解题表”，把数学问题解决过程分为4个阶段，在思维层次上可概括为理解、转换、实施、反思，这都是具有普遍意义和数学一般特点的解题模式。笔者受此二种模式的启发，针对中学数学教育实际和学生的思维特征，经过一定的探索和实践，提出一种更具实用性易为中学生掌握的四环节解题思维策略模式(以下简称四环节解题法)。
(一) 四环节解题法的内容
可把数学问题解决的思维策略过程划分为四个环节：1．明确目标、寻找条件；2．发现差异、揭示本质；3．构造相同、联想相似；4．抉择通道、转化矛盾。完成此四个步骤，称为一个解题循环，通过多次循环，最终使问题获解。
它脱胎于前面述及的汇综模式和解题表。汇综模式和解题表更注重普遍性，而四环节
模式更注重于中学生的针对性、解决中学数学问题的实用性和操作性。解题表视解题为一次
性过程，从总体上设计出解题的程序，而四环节法则视解题为一个反复循环的过程，在单个
循环上理出解题策略。若将数学问题的解决过程视作一个攀登到螺旋式台阶的顶端的过程，
那么四环节法的每一次循环，就是攀登台阶的一级阶梯。反复循环，反复攀越，最终登顶。
台阶有多有少，循环也就有多有少。台阶有高有低，所以单个循环也有大有小；登低台阶的
循环中可能某些环节会产生一些跳跃，并非一定都要经过四环节；而登高台阶的循环中还可
能会嵌入一些子循环。由此可得出模式的操作程序如下：
四环节解题法的实质是把数学解题过程看作一个信息交往的控制过程。它的每一次循 环都是通过由初始状态(条件)到目标状态(结论)的逐步转化来实现的。
环节1：即是控制过程中信息的整理与编码，其它环节均是对信息的识别、加工与变换， 通过信息的不断反馈与调控，使控制过程反复循环，即将系统输出的“现实状态”与预期的 控制“目标状态”出现的差异，反馈到施控系统的输入端，作为下一步施控作用的依据，使 受控系统的施控结果向控制目标逼近、这一控制过程可表示如下：
图中的中间状态即后三个环节，它是核心环节，所以简单地说，四步解题法的主要内容、就是关于解题信息的利用与反馈的一种固定的处理模式。
现举两例，分析如下：
例1：△ABC 中，A=ο
60，a=1,求b+c 最大值
[初始状态] A=ο60，a=1 ①
[目标状态] b+c ≤常数 ②
[发现差异] 初始状态含A ，a,目标状态含b,c
[揭示本质] 建立b,c 与A,a 的联系。 [联想相似] 用正弦定理： 及等比定理 [转化矛盾1]
[新目标] sinB+sinC ≤常数 ③
[发现差异] ③的左边为两个变量，右边为常数
[揭示本质] 消去一变量，变为一元函数求最值
[寻找条件] ?=+??12060 =A C B [转化矛盾]=?-?=-?+=+)60cos(60sin 2)120sin(sin sin sin B B B C B
时取到等号）?=≤?-60(3)60cos(3B B
[转化矛盾2] 用余弦定理 bc c b A bc c b a -+=-+==22222cos 21 ④
[发现差异] ②中有b+c,而④中有b 2+c 2 、bc
[构造相同] b 2+c 2=(b+c)2-2bc
[转化矛盾] 上式代入④得bc c b 3)(12-+= 即 bc c b 31)(2
+=+ ⑤
[发现差异] 目标②中有b+c,而⑤中有bc )
sin (sin ,332sin sin 32sin sin sin C B c b C B c b C c
B b A a +=+∴=-?==++，
[揭示本质] bc 用b+c 代换（放缩代换）
[联想相似] bc c b 2≥+
[转化矛盾] 由⑤得2
22)(3131)(c b bc c b +
+≤+=+ 得c b c b =≤+(2时取等号） 或直接用22
22)(2c b c b +≥+，22)(c b bc +≤ 例2：△ABC 中，tgA,tgB,tgC 成等差数列，且f (cos2C)=cos(B+C －A)
求f (x) 的解析式。
[初始状态] f (cos2C)=cos(B+C-A) ①
[目标状态] f(x)的解析式
[差 异] ①中有三个变元，目标解析式中只允许有一个变元。
[本 质] 消元
[转化矛盾] ,π=++C B A ∴ ①A A C f 2cos )2cos()2(cos -=-=?π ②
[新目标] 使②中左右两边所含变元一致。
[差 异] ②中左边含C ，右边含A 。
[本 质] 消去一个参数，建立A 、C 间的等量关系g(A ，C)=0 ③ （子目标1）
[联想相似] tgA+tgC=2tgB ④
[转化矛盾] A+B+C=π,
3C)-2tg(A tgC tgA 122
=?=+=+-+tgAtgC tgAtgC tgC tgA
为使②中右边A 用含C 的式子代换，需寻找②中的cos2C 和⑤中的tgA
的关系。（子目标2）
[差 异] 函数名差异：余弦和正切；角度差异：倍角和单角。
[联想相似] A tg A
tg A 22112cos +-= ⑥ [转化矛盾] ②?f(cos2C)= 11
22+A tg A tg －,⑦?f(cos2C)= C tg C
tg 2299+- ⑧
已知⑧式，求f(x)的解析式。
[本 质] 统一⑧中两边的函数名。
[构造相同] cos2C= A tg A tg 2211+- ，由⑧?C tg C tg C tg C tg f 22229911)(+-+-=
⑨至此，问题转化为 [新目标] 由⑨求f(x)，这是一个标准化了的问题。 令 = x ?x
x
C tg +-=112
代入 x x
x f ++=?554)(
A tg A tg 2211+-
之所以对并不很复杂的两个题，如此详尽地分段叙述，旨在说明四环节模式的内容和方法。事实上把解题思维策略模式化不会禁锢人的思维。因为按定势和模式思维它表现出一种思维的准备状态，并能随时扩大已有经验的应用范围，定势的不断熟练和完善可使思维更加深入与灵活，同时思维的发散常常表现为对定势的调节与变异，发散不是目的，发散后必将形成新的定势，使解题通向目标，而四环节这种策略模式可帮助学生在解题时从记忆库里提取所需的具体知识和具体解题方法，通过问题本身的启示，把已有的知识、方法和要解决的问题联系起来，建立良好的信息交往，使解题通向目标。
(二)四环节中各环节的涵义
I.明确目标、寻找条件
即人们通常所说的“审题”，而这里不过是将此划分为二个具体的阶段。构成题目的主 要材料是其已知条件和解题目标，审题即是弄清题目的构成，为解题者提供问题结构的基本影象，而其它的诸如问题研究的范围、解题方法的限制等一些次要成分在最初阶段是无关紧要的。当然审题是一反复过程，是逐步深入、逐步完成的，可以说四环节法的整个过程都在审题，但各环节各有侧重，在此狭义地划分为二个主要阶段，目的是突出本环节思维的基本方向。
1．明确目标
即明确题目要求、把握问题的最后结果即目标状态，目标越明确，思维就越具体，变形 或推理便越具目的性和针对性。数学解题中，目标意识并没有得到人们的足够重视。有的学生甚至连题目都没有读完就忙于解答，有的虽然也了解一下结论，但不能从结论中充分获取有关信息去指导解题。总习惯于从条件出发，盲目进行各种推理或演算，这无异于瞎碰乱撞，到头来密密麻麻一大片，仍不得要领。比如椭圆的一个焦点分其长轴的比为2:3，求离心率这一小题，学生在得出23=-+c a c a 后抓不住变形方向，而是见右边根号就平方，误认为可使运算简单，而使解题中途而废。事实上，倘若一开始就抓住目标是要求出c ：a ，那么胜利的火花便已点燃。又如设abc=(a+b+c)(ab+bc+ca) ① 求证(a+b) (b+c) (c+a)= 0 ② 这一条件恒等式的证明，有的学生无法从目标信息中去监控自己的思维方向，而只是怀着侥幸的心理去盲目地演算，将右边展开，运算很繁。倘若注意到解题目标是要凑出a+b 、b+c 、c+a 因子。那么实际上只要能分离出因式a+b ，剩下的因式的产生便会水到渠成。所以只需集中精力思考如何产生因式a+b ，从而自觉挖掘①中已有的a+b 结构，在保留这一结构的基础上逐步分离出因式a+b 来。即：
abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)=[(a+b)+c][ab+c(a+b)]=(a+b)ab+(a+b)2c+abc+c 2(a+b) =(a+b)(ab+ac+bc+c 2)+abc=(a+b)(b+c)(c+a)+abc
明确目标不是简单重复题中的结论，重要的是要明确题中的结论是怎样一种的表现形 式，呈现何种数学结构，如求f(x)的最大值，其目标表现形式为不等式f(x)≤A 且等号成立， 其数学结构主要是函数f(x)的结构，需据f(x)的不同结构选取不同的数学方法求解。对不同 的目标要用不同的方式来明确。如对解析式表示的目标，只须弄清式子的结构、字母个数、 函数种类、数学特征就可有清楚的认识，象证恒等式、不等式、解方程都属此类；对用数学 概念表示的目标，应借助数学定义或题目规定的意义，用熟悉的形式来表示。如上文的离心 率，又如证f(x)为周期函数，即证)0,)(()(≠∈=+T A x x f T x f ；对于用普遍语言叙述的的目标，则应由实际意义，用数学语言等价翻译出来，使之易于计算推理，即先要数学化。如a 、b 、c 中至少一个为k ，可表述为(a-k)(b-k)(c-k)=0；如a 、b 中至少有一不为零，可表述为a 2+b 2>0 (a 、b ∈R)
数学问题的目标有时也是可选择的，如已知a+b=l ，a>0、b>0，求证(a+l ／a)2+(b+1／b)2 ≥25／2．既可选择(a+1/a)2+(b+1/b)2≥25/2为目标态，此时视a+b=l ，a>0、b>0为初始态，从
此入手，直接推出目标，或从目标入手，不断变形使之易用条件。也可选(a+l ／a)2+(b+1／b)2 为初始态，25／2为目标态，则从初始态入手，不断改造条件，向常数(目标)转化。因此目标 选择不同，解题策略也不同。如何恰当选择? 需依赖于学生对问题的直觉认识及一些必要的 尝试和推测，一般宜选较复杂的结构为初始态，较简单的为目标态。这样，解题方向在整体 上便呈现由复杂到简单的趋势。
明确目标并不是一次性完成的，一方面，有些目标有多种含义，需从不同角度认识，另 一方面，有些目标含义深刻，须逐步认识，逐步深入。因而当解题遭遇困难，甚至发现在“绕 圈”时，要指导学生问自己“我究竟在干什么?”目标是否正确，能否更换目标?一旦发现自 己的行为与目标的差距时，便会恍然大悟，找到正确的解题途径了。
2．寻找条件
寻找条件就是根据已确立的解题目标或子目标特征，通过对实现其目标的途径作一审 视后，察觉所需的条件，然后从题目的条件系统中依次找到所需的条件。学生常会对题设条 件掉以轻心，一眼扫过去便急急忙忙解题，有时甚至错看、漏看题目的条件，导致失误。这 不仅暴露对条件的粗心大意，更重要的是反映出解题者不善于从目标去把握和利用条件。
寻找条件是明确目标的必然结果、必然需求。条件和结论的联系、条件的作用有明显、 直接的，有隐蔽、间接的，当一旦明确了目标，有了途径设想后，就能由要求去寻找与之有 直接联系的条件。由此发挥条件的作用，这便是寻找条件的含义。如f(x)在(0，+∞)上递增， f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1，求集合P={x | f (x )+f ( x-3 )≤2}。条件和目标相距甚远，很难想象在没有把握目标之前，能预测条件有什么用，能推出何样的结果。反之，若抓住目标是解
f(x )+f (x-3 ) ≤ 2 ①便会设想脱掉式中的f 。由此寻找条件，猜想f(x)递增可能用上。f(x)递增)()(2121x f x f x x
当然，也可直接从条件入手导出结论，如由x>0，y>O 可导出x+y ，xy>0等等。然而这些结果是否有用，其推理有无必要等等就需据目标采判断，所以这种发散也以明确目标为前提。 寻找条件可分为四个层次：①对题目条件系统有一个整体印象，将条件分类组合，整理 分序，尽可能使之具有相同的表现形式，从而易于提取、利用以及启迪解题途径。因为信息 的表现形式对识别、运用信息的速度影响巨大，信息的有序化、可使信息一目了然，利于发 现各元素的关系。②理解条件的实际意义，把握条件的本质特征。要透过数字、符号、语言 的表象，弄清条件的信息，必要时可借助图表和模型。如A_={x | x=t ，t ∈R}、B={x| x = l-t 2 t ∈R}求A ∩B ，学生常误认为A ∩B 的元素为x=t 和x=l —t 2组成的方程组的解，即把x 、t 理解为取相同的值。其实若理解A 、B 两集合即为两函数的值域：便易知集合A={x|x ≥0} B={x|x ≤1)。③将题设条件的原始条件用我们所熟悉的数学形式来表达，或用与目标相接近的形式表达，必要时还可引入有关记号，借以形成有关对象及性质的某种表示，甚至通过适当的假设使条件在具体模型上得到体现。如有关排列组合题。又如Z 1、Z 2、Z 3对应复平面内单位圆周上的三等分点，求(Z 1+Z 2)(Z 2+Z 3)(Z 3+Z 1)／Z l Z 2 Z 3 值。这里Z l ，Z 2、Z 3是变化的要达到常数的目标，Z 1、Z 2、Z 3须满足某种和目标接近的特殊条件，由加法几何意义知Z 1十Z 2十Z 3=0。于是，原式=(—Z 1)(—Z 2)(—Z 3)／Z l Z 2 Z 3 =—1，如此出人意料的简捷的关键在于对条件表现形式的改造。④要全方位审视条件，发掘其多重含义。有些条件不只是在解题的某一处运用，而是要系统运用。甚至在各次运用中还会分别利用其不同的含义。此外，如给出一个确定的函数。它可能是奇或偶函数、周期或单调函数。又如条件x 2+y 2=1就隐含着|x|≤1、|y|≤1等等隐含条件都需要解题者自己去发掘。
明确目标，寻找条件仅是开始，它只是确立了问题系统，寻找途径的大量工作仍需要后 面环节进行，而且寻找条件需要随时进行，常与其它环节交错进行。
Ⅱ、发现差异，揭示本质
环节1使我们掌握了一定的解题信息量，但还必须对信息进行识别、筛选、酝酿探索，使解题思维沿着正确的航道前进。发现差异、揭示本质，实质上就是处理信息的一种手段，透过对题中差异的发现，本质特点的认识，进一步认识问题系统，使之从感性认识上升到理性认识，从而在较高的层次上把握题目的条件与目标，对解题方向作出直觉判断与认定，这一过程如下：
1．发现差异。
任何数学问题都存在不同形式的差异，没有差异就无须解题，解题过程实质上就是不 断消除差异、逐步达到条件与结论和谐统一的转化过程。实践告诉我们，学生解题失败的一个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何处着手，实质是找不到题中应消除的差异，使思维无法展开。反之若发现了题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题就可找到突破口。
例：求证1+2sin αcos α/ (cos 2α-sin 2α)=1+tg α/(1-tg α)若将右边视为问题的目标状 态，左端视为初始状态，则二状态中所含的角相同，运算结构整体均呈现分式结构，其差异是函数名不同，所以只需将左边分子分母同除以cos 2α及利用Sec 2α=1+tg 2α即可转化。当然通常将1
换作sin 2α+cos 2α，这是因为学生熟悉1+2sin αcos α是一种固定的平方结构 (sin α+cos α)2，
更易于发现分子分母中的公因式，最终实现函数的转化到达目标状态。这一特殊技巧的应用的目的仍是为了消除差异。又如设asin 2α+b cos 2α=c ①acsc 2α+bsec 2α=d ② 求证0=++---d c b c b a b d a
。若将要证的等式为目标状态，则初始和目标两种状态的结构均较复杂，学生常被“大容量”、“多参数”形式所迷惑。其实若立足于寻找差异：目标状态中不含 α ，从而消去 α 解题途径就清晰可辨。
若把数学问题系统的各个部分，如初始状态、目标状态、题设条件、相关知识、基本方 法等称为问题系统的子系统，那么子系统中各元素间的差异可称为内部差异，如条件间的差 异，结论中各元素间的差异；子系统之间的差异可称之为外部差异，如条件和结论间的差异、 问题与相关知识的差异、当前问题与常见问题之间的差异等等。消除内部差异可减少研究对 象或研究对象的不同表现形式，协调各元素间的相互关系，从而简化问题，促进问题转化； 消除外部差异则是运用知识的前提， 是实现转化的必要条件。如求证4sin3A+5≥4cosA+5sinA ， 目标状态内部有角和函数名的差异，可用三角公式消除：4(3sinA-4sin 3A)+5 ≥4(1-2sin 2A)+5sinA ?16sin 3A-8sin 2A-7sinA-1≤0。至此，消除内部差异转化为单一的关于SinA 的不等式，因式分解即可证。又如已知a+b-c=0，求证ax+by+c=0恒过一定点。目标状态为 ax 0+by 0+c=0 ① 和初始状态a+b-c=0 ② 结构极相似，其差异是①中c 为正号，②中的c 带负号，为此①? —ax 0－by 0－c=0? a （—x 0）＋b （－y 0）－c=0 ∴x 0=－１，y 0=－1 这里通过初始和目标态间的外部差异的发现，然后变形消除差异，使两种状态一致而获解。
差异的发现，来源于对问题系统的全面深入的观察，把获取的信息与原有的(在学习过程中积累的)信息相比较，形成对差异的认识。当然，数学的观察是以特定分式，对数学对象(图、式等)的认识与辨析，而且是以发现差异为目的。如已知tgA 、tgB 是x 2+6x+7=0的两个根，求证sin(A+B)=cos(A+B)。从整体上观察表现形式，发现结论是一等式，而条件是方
程的根，为消除差异，条件改成等式形式：tgA+tgB=－6、tgAtgB=7，再观察，主要是角A 、B
和A+B 的差异，可联想tg(A+B)tgAtgB tgB tgA -+1＝，由此得tg(A+B)=1。最后观察知，可用同角关
系获证，所以这里是不断观察，不断发现差异，消除差异，最终获解。
为使观察深入，解题中可自我设计一些启发性问号。如“某个特殊未知(分子、分母、指数等)有差异否?”，“问题的表现形式与过去熟知结构的差异如何?”，“各子系统所含字母，函数名，运算结构有何差异?”这种自问可帮助我们打开眼光，获取信息。
为发现题中差异，有些还需对问题系统进行改造，尤其是当问题原始形声较复杂、混乱 时，应将问题系统整理、简化，调整各部分的构成，使之更明显反映出问题的特点，借以发掘差异。
2．揭示本质
即从本质上把握事物特点和性质，即决定事物性质的主要方面，数学问题的本质，是指哪些直接影响解题的信息，主要包括二个方面：一是本质特征，即问题具备的与解题有关的一些特点和性质。二是本质要求，“明确目标”仅仅是认识了题目要求的表象，但这种要求的本质是什么?由条件到结论的差异如何消除等还需解题者从更高的层次上去把握。
揭示本质主要有两种形式：一是从差异看本质，二是从联系看本质。所谓从差异看本质，就是先认识题中的各种差异，然后了解差异在题中所处的地位，进而抓住其中最主要的、最能反映事物特征、决定事物性质的差异，由此产生对题目本质要求的认识。一些数学问题常常只须消除题中的主要差异便可获解，或者使问题发生根本转化，变得易于求解。特别地，当问题中只存在一种差异时，问题的本质要求常常就是消除这一差异。所谓从联系看本质，就是通过发掘题中各要素的特征及其相互关系，揭示事物的本质。这里基本数学思想方法诸如函数方程思想，化归思想，参数思想，数形结合思想对发掘各要素的内在联系从而揭示本质起着主要作用。因为基本数学思想是对数学的总体认识，它比一般的数学概念具有更高概括、抽象水平。限于篇幅，不再一一举例。
发现差异、揭示本质是相互联系的，发现差异实际上就是获取信息，而揭示本质就是识 别信息、筛选信息。差异的发现有助于本质的认识，认识了本质又能获取更多的信息，发现 新的差异。发现差异、揭示本质还只是认识了问题系统本身，将问题和相关知识联系起来， 消除差异、达到统一还需靠后面的环节。
Ⅲ、构造相同，联想相似
认识了本质，解题进入了设想阶段。如何利用条件和相关知识通过推演，消除题中差异， 使条件、结论达到和谐统一? 构造相同、联想相似便是一重要手段，它通过构造和联想沟通 知识、方法与问题间的联系，扩大解题系统中的信息量，促使问题转化。
本环节的主要任务是由问题找到相关的知识和方法，并适当地变换结论和条件，为条件、 结论间的相互利用、转化创造条件，这一过程如下：
1．构造相同：所谓构造相同是在两种事物中构造出具有共同特征的数学对象，它是直接 消除差异的一种“强制性”手段，具体表现为式的变形，即对字母、数字、符号进行新的排列组合，使之呈现我们所需的结构形式，借以消除已发现的差异。它主要有以下几种形式：
①在条件中构造结论。为了达到某一目标，先在条件中构造出这一目标，然后对剩余因 素(差异)进行调整和改造，最终实现目标。例如：设x 2+y 2+xy=9,x,y ∈Ｒ求x 2+y 2 的最值。本题
目标态是a ≤x 2+y 2≤b ，①初始态为x 2+y 2+xy=9 ②，两种状态的重要差异是①中不含xy 项，为
消除差异，从xy 入手，期望将它构造成结论中的结构x 2+y 2，而且需要的是xy 和x 2+y 2的双向
不等关系，这由2xy ≤x 2+y 2即可实现。这里构造相同是一种放缩构造，也有的是恒等构造。
②从条件中构造条件。这种构造是从题设的某个或某几个条件入手，构造出另一条件中 的有关结构，使各条件互相联系、互相利用，由此实现解题目标，它是一种消除条件系统内 部差异的构造方式。
③在结论中构造条件。这种构造是从结论入手，为了利用某个条件而在结论中构造出条 件的有关结构的一种构造方式。通过在结论中构造条件，便可将条件所揭示的关系直接代入 结论之中，以求得问题转化。如设|z-p|=r,p 、q 为复数。求|z-q|的最值。可在结论|z-q|中构造出|z-p|以利用条件。|z-q|=| (z-p)+(p-q) |≤|z-p|+|p-q|=r+|p-q|;|z-q|=|(z-p)+(p-q)|≥
||z-p|-|p-q||=|r-|p-q|| ④同时在条件、结论中构造出相同的结构。有些问题既不便在条件中构造结论，也难于在结论中构造条件，便可从条件、结论双方入手，构造出一个新的与条件、结论较接近的数学对象，如设a 、b 、p 、q 为正常数，x>o 、y>o ，且
1=+y b x a ，求px+qy 的最值。目标态px+qy ≥常数①和初始态1=+y b x a
②，虽都是“和”的结构，但②中变量在
分母。为此由②?xy —ay —bx=0③，仍难以构造出px+qy ，也难于在①中构造出xy —ay —bx=0。因此考虑同时和“第三者”联系。由于①和②和基本不等式a+b ≥2ab 接近，所以期望将③构
造成积的形式 (x —a)(y —b)=ab ④，但④中的“积”和①中的“和”还存在因素上的差异，为 此将 ① 再构造为：px+qy=p(x —a)+q(y —b)+pa+pb 。．∴px+qy ≥))((2b y a x pq --+pa +pb ，将④代入得px+qy ≥22)(qb pa qb pa pqab +=++
2．联想相似
即将已感知到的题目的特点与相近的知识联系起来，建立条件、结论，知识、方法间的信息交往。当发现了差异，认识了本质有了清晰的解题印象后，应及时在知识库中寻找与这一印象相似的知识，建立解题策略，
联想相似主要包括①联想与题本身特点相似的有关数学对象，即直接由对象到对象的直接联想，其结果常可充实问题的条件，扩大条件系统。②联想与题目本质要求相接近的有关 数学公式、定理、方法、法则的间接联想。它是在认识转化矛盾的需要后，联想到其功能与这一需要吻合的数学工具，其结果常可接通思路，为转化矛盾提供方法。如设tgA=b ／a ，求证aCOS2A+bSin2A=a 。二种状态是明显的角和函数名的差异，本质要求是A 到2A ，正切到 正、余弦的转化。是否有一公式可同时完成这两种转化呢?联想与这本质要求吻合的公式，可知
A A tgA 2sin 2cos 1-
=符合。解答如此的简捷，主要是间接联想使我们找到了恰当的促使矛盾转化
的工具。
从数学联想的方式上看有相似联想、接近联想、对比联想；从联想对象上看又有定义联 想、命题联想、工具联想等等；从联想的外部诱因上看，又有元素联想、结构联想、关系联 想等，这里仅举一关系联想为例，其它不再一一举例论述。
例、设m 是常数，对任何x ∈R ，有f(x+m)=)(1)
(1x f x f -+，求证，f(x)是周期函数。周期函数，
自然想起其典型——三角函数，观察条件结构，期望找到符合该结构的三角函数。联想
tgx tgx x tg -+=+114)(π,知tgx 符合，因为tgx 周期为π，且π是m=π／4的4倍，这一关系
使我们联想符合题设的f(x)应具有这一关系，于是只需证f(x+4m)=f(x)即可。
联想是接通解题思路的桥梁。由于直接联想常可丰富题设，所以它又可提前在环节1中进行。联想与构造又是交织在一起的，联想可发现特殊的构造途径，而在新构造的对象上也可发生联想。联想与构造必须以丰富的知识、方法、材料为基础，材料越丰富，联想便越活跃，构造便越具体。
Ⅳ、抉择通道，转化矛盾
前面的三环节为我们的推理提供了条件，为知识应用扫清了路障，接下来就是用前面三 环节所提供的工具和思路，向目标“攻击”，抉择通道，转化矛盾即是一操作环节。其过程 如下：
1．抉择通道
即确定通向解题的成功之路，具体表现为二方面：①筛选再现的知识。环节3所联想的知识是否有用，哪些有用，需正确判断、识别、筛选。②认定前进方向。前面的环节已认定了解题的大方向，但途径并未完全确定，在实现题目本质要求的具体措施上，还处于“十字路口”，思路沿何种方向前进其成功的可能性最大或最易操作、实现，还需对最后的小方向作出正确的抉择。
如何抉择?除了植根于经验的结果，尝试是主要手段，尝试过程中的困惑或失败的体验，促使我们对原有思维方向的否定，继而重新调整尝试。当然，尝试并非盲目，要优先考虑与已知条件密切联系或较接近的途径。条件有时还可促使我们对某一解题通道的认定。
2.转化矛盾
即实施拟定的解题方案，促使矛盾转化。本环节的操作结果常常是解决整个问题中一个子问题，从而将原问题转化为一个新问题，实现矛盾的转化，这种转化常常是运算形式的转化；数形之间的转化；概念之间的转化等等，矛盾每发生一次转化，问题就向目标靠近一步。
转化与抉择交织进行，正确抉择以后即可进行转化，矛盾转化后又要进行新的抉择，如此反复直至新的问题系统确定，确定后，四环节的第一个循环到此结束，随后又可对新问题开始第二个循环。
四、实践要点与结论
综前所述，四环节法是一种寻求数学问题解决的思维策略，非解决问题的具体方法，它提供的是解题思路的寻求，而非告诉怎样的解题技巧，近三年的实践证明对学生解题策略水平的提高从而提高解题能力效果是明显的。实践中以下几点要注意：
1．最好在高一便开始实施、训练此模式，以便养成一个好的思维习惯和规范，这有助于思维策略水平和能力的提高。否则积习难改、积重难返。由于三角函数有关问题中，差异问题体现最为充分，所以三角函数教学中可有一个很好的学习此模式的开端和基础。
2．学生的心态是急功近利，总想立马得出结果，不愿如此去思维，所以学生接受、学习此模式的积极性高低的关键是要让他们自主体验、感悟，让他们充分体会到此模式带来的成功，感受到此模式的威力，否则学生仍会我行我素、屡教不改。
3，四环节法的过程和医生治疗病人的工作过程有十分的相似，若把问题视作病人，把解题视作治病，那么环节①是理解病人的表面症状；环节②是切脉、听诊；环节③是寻药、煎药；环节④便是服药、观察。如此反复循环，直至病人康复。正如再好的医生也不能包治百病，此模式也未必适合所有问题，一方面有些问题简单，无须如此去分析；另一方面，有些问题本身就有固定的程式(如知识性问题，某些非知识性问题)也无须如此分析。尽管如此，事实上某些非知识性问题的本身的解决程式也可以或也是由四环节模式寻探而来，而且这种分析寻探本身也有助于对问题的深入的、多角度的理解，以致有助于产生一题多解，也有助于对四环节模式的认识和掌握。同时必须承认此策略模式仍适合大量的，尤其是综合性强、与相关知识相距甚远的问题。限于篇幅，许多例子不能一一举出，否则当能表述得更充分、准确。
小学数学问题解决教学策略探讨摘要:在小学数学教学的过程中，培养学生的问题解决能力是一个非常重要的教学目标，尤其在素质教育背景下更是如此。而从当前的小学数学教学情况来看，在“问题解决”教学策略实施的过程中，仍旧存在着一些问题。本文对小学数学“问题解决”教学现状进行了分析，最后探索了小学数学“问题解决”教学策略的实施情况，希望有助于利用更加合理的“问题解决”教学策略来培养学生解决问题的能力。 关键词:小学数学;问题解决;教学策略;实施 新课标中明确指出，教师应当培养学生从数学角度来发现和提出问题的能力，同时应当使其能够运用所学的数学知识来解决实际生活中遇到的一些问题，提升其数学应用意识和相应的实践能力。由此可见，培养学生的问题解决能力是当前小学数学教学的一个重要目的。这就要求教师在日常教学的过程中，不仅应当让学生能够通过解题获得正确答案，还要培养其问题解决能力。基于此，本文对小学数学“问题解决”教学策略的实施情况进行了探索。 一、小学数学“问题解决”教学现状 从当前的小学数学“问题解决”教学现状来看，在教学过程中仍旧存在着一些问题，不利于小学生问题解决能力的培养。首先，教师在教学过程中多数仍旧采用传统教学模式，完善按照自己的教学计划开展教学，遇到特殊情况也会将学生尽快拉回到其设置的教学轨道中。这样的教学模式很容易让学生形成相应的思维定式，影响了学生的思维活跃性，不利于其积极主动的发现问题、解决问题，从而影响了其
问题解决能力的培养。其次，教师在教学过程中没能为学生创设合适的教学情境，部分教师虽然进行了情境创设，但是创设的情境学生无法完全理解，这样也会影响其对相关知识的理解，自然也不利于其在此情境中来解决相应的问题，从而影响了其问题解决能力的提升。 二、小学数学“问题解决”教学策略 (一)帮助学生突破思维定式 在新课改不断推进的背景下，素质教育已经成为学校重点关注的一个问题，在这一背景下，教师必须对传统教学观念、教学模式等进行改进，采用新的教学模式来开展教学，这样才能帮助学生突破思维定式，使其思维变的更加活跃，这对于其问题解决能力的培养是非常必要的。这就要求教师在教学的过程中应当对学生的一些突发奇想给与尊重，对学生的想法进行正确评价。有学者曾经指出，人的内心往往隐藏着非常强烈的探索欲、发现欲，而在儿童的内心中这种欲望更为强烈，但是必须为其提供适当的养料，儿童的这种欲望才能保持下去并且愈加旺盛。而学生的探索欲、发现欲就是促进学生问题解决能力提升的重要推动力，因此教师应当对此加以关注。比如，在进行一些开放式题目的解答时，可能会有很多不同的解法，甚至题目的答案也可能会有很多个，教师不能因为某位同学的解题方法太复杂，或者是答案不是最佳答案就否定学生的想法，而是应当在肯定学生的答案的同时，经过一定的引导来帮助其掌握更加简便的解题方法，或者是寻找到最佳答案。这样学生才能保持旺盛的探索欲，愿意积极主动的尝试各种方法进行解题，从而培养其问题解决能力。
二、《解密数学思维的内核》 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）、充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）、全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己
“问题解决教学的策略研究”课题方案 数学组张爱丽 一、研究的目的及意义 1、课题提出的背景：随着数学教育的发展，教育工作者教育理论水平、认识水平与实践能力有了较大的提升，人们对数学教学寄予了更高的期望。然而传统教育的诟病依然存在，阻碍数学教育与学生数学学习品质的发展，其机械、被动学习状态受到批判，于是人们开始改革传统教育，从以人为本的角度提出了以解决问题学习为核心的改革思路，并将“解决问题”作为课程标准提了出来，以解决问题为目标的教学方式引起了人们的关注与重视。 传统的教学中,往往忽视了思维训练与学习能力的培养，在方法上以模仿套用代替创新与生成，忽视中学数学课堂教学最本质的东西——数学思维能力的培养（也就是用数学的眼光看问题、分析问题，用数学方法思考问题、解决问题），其后果是学生的数学综合素质不过硬，不能在数学问题的解答上游刃有余。因此，我们有必要抓住要点进行突破，以解决问题的策略研究为抓手，对数学教学中问题进行反思、总结，在研究中使得师生共同提高。 2、课题的理论与实践价值 解决问题不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。 问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。 20世纪80年代以来，世界上所有的国家都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。 解决问题学习强调为教学实际服务，以学生的发展为中心，主张在教师引导下，学生对数学知识的再发现与再创造。解决问题学习的研究，不再只是对比发现学习与传统教学孰是孰非，孰优孰劣，而是对发现学习本身的过程、机制做了更深入的研究，探讨如何发挥发现学习的优势，促进解决问题学习的效果和效率，提高学生数学学习的层次。 二、课题界定与理论依据 （一）课题界定：
《解决问题的策略列表整理》教学设计 教学内容：苏教版数学教材四年级上册65~67页的例题，67~68页想一想1、2、3、4。 教学目标： 1、让学生对解决问题的过程进行回顾和反思，使学生体验整理信息表示题意的 简洁性，体会整理信息在解决问题过程中所起的作用，感受到整理信息是一种解决问题的有效策略。 2、使学生掌握整理信息的方法，能够根据整理出的信息分析数量之间的关系， 快速地寻找到中间问题并解决问题。 3、使学生进一步积累解决问题的经验，培养解决问题的能力，在体验成功的基 础上培养学生学习数学的兴趣、提高学生学好数学的自信心。 教学重点：整理信息的方法，寻找中间问题。 教学过程：课前谈话 课前播放《田忌赛马》的视频 师：你知道孙膑的策略是什么？看来策略就是好方法，那么在解决数学问题的时候也要学会运用策略。这节课我们一起来学习解决问题的策略。（板书课题） 一、联系经验，感受策略 1.课表对比。 （1）多媒体出示： 你能很快找到周三第三节什么课吗？周五第四节呢？ （2）多媒体出示：
现在你能看出周三第三节什么课？周五第四 节呢？ 对呀！在生活中有很多信息是很零乱的，但 是经过整理，零乱的信息就清楚了。 二、解决问题，获得体验 1．激发需求，整理信息。 谈话：有些数学问题，也要进行整理，才能有效的解决问题，这就有一个生活中的实际问题。出示例题： ⑴从图中你得到了哪些数学信息？ ⑵根据这些信息可以提出什么数学问题？（选取“小华用去多少元”解决） ⑶那么要解决“小华用去多少元？”这个问题，那解决这个问题是不是所有的信息都用到呢？那就请你把解决这个问题有关的条件和问题简单明了的整理出来。 2. 反馈交流，突出策略。 反馈：展示交流整理信息的各种形式。根据学生生成合理安排交流次序，组织学生思考评价。 （1）文字摘录信息： 你认为用这种形式进行整理，可以吗？ （2）列表整理信息：
《小学数学疑难问题解决策略》 我以《小学数学新课标》为依据，展开对数学四个领域的疑难问题的研究与解决。 一、数与代数 在本学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。 “数与代数”的概念是数学课改内容的一个亮点之一。用代数方法解决数学问题，往往简单快捷，可使复杂问题简单化；使数学更贴近生活，更贴近现实，发挥其实用的魅力；它 生思维。 1、逐步渗透，分散学习，初步感受代数意识 《数学课程标准》明确规定在小学各年级中，在打好算术基础的前提下，逐步渗透代数初步知识。代数知识的引入，在教学上决不能有一蹴而就、毕其功于一役的思想。在教学中必须注意与有关知识点的有机联系，采取分散难点，逐步渗透的方法。 2、简易方程，必要抽象，渐进激活代数意识 简易方程是小学数学中代数初步知识教学的主要内容，目的是使学生掌握、运用代数方法解决实际问题，使数学贴近现实生活。教学的关键是在学生理解“等式”、“含有未知数的等式”这两个概念的基础上，进而理解方程、方程的解和解方程等概念。教师可先借助天平创设“平衡”的情境，让学生真正理解“等式”的含义。然后，在天平的一边加入一个已知重量的砝码，使天平不平衡；再在天平的另一边加入不知重量的砝码，使天平重新平衡，这个不知重量的砝码，就是含有未知数“ｘ”的砝码，这就可以建立起“含有未知数的等式”的概念，而“含有未知数的等式，就是方程”。在此基础上，引导学生分析寻找出含有“ｘ”砝码的重量，寻找的过程就是“解方程”的过程；寻找的结果就是“方程的解”。这样，学生也就易于理解这一系列有关概念的含义了。通过这样的教学，不仅加深学生对简易方程的理解，而且调动了学生的学习兴趣，提高了学生的分析观察能力，开始形成用代数方法解题的思想习惯。 3、方法多样，思维腾飞，培养发展代数意识 我国著名数学家吴文俊教授说：“对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，你若用代数方法
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
小学数学教学中解决问题的策略和方法 解决问题是传统教学中的的应用题教学，源于学生的生活实际，又回到学生的生活中；是学生在学习中遇到困难，找到一条绕过障碍的出路，达到可以解决问题的答案。解决问题有利于发展学生的创新精神和解决问题的实践能力，能让小学生用原有的知识，技能和方法迁移到课程情景中解决新的问题，从而培养学生解决问题的能力。 策略一：实际操作。儿童的智力活动是与他对周围物体的作用密切联系在一起的，也就是说，儿童的理解来自他们作用于物体的活动。小学数学的学习是一项重要智力活动。特别是数学具有高度的抽象性，而小学生往往缺乏感性经验，只有通过亲自操作，获得直接的经验，才便于在此基础上进行正确的抽象和概括，形成数学的概念和法则。这在教学实践中的例子很多。例如，一年级教学元、角、分的认识，由于学生缺乏实践经验，长期以来是个难点。由于加强了实际操作，学生对元、角、分的进率就很清楚。中年级教学周长和面积时往往容易混淆，加强实际操作以后，学生对两个概念获得明确的表象，弄清两者的区别，计算错误也大大减少。高年级教学约数和倍数这一单元时，概念多术语也多，学生容易弄混。有些教师使用奎逊耐木条或计数板，引导学生进行操作，大大减少学习的难度，弄清概念的正确含义和求最大公约数、最小公倍数的方法。因此，无论从理论上或从实践上看，加强实际操作都是十分必要的。可以说，加强实际操作是现代的数学教学和传统的数学教学重要区别之一。正如皮亚杰所指出的，传统教学的缺点，就在于往往是用口头讲解，而不是从实际操作开始数学教学。只有加强实际操作，才能体现智力活动源泉这一基本思想。
策略二：从日常生活中寻求解决问题的答案。小学数学知识与学生有着密切的联系。教学时要让学生感到生活之中处处有数学。“辨认方向”的教学，就是创设了日常生活中习以为常的辨认方向的情景，引入新课的。让学生感觉学习方向的必要性，并让学生在模拟街区中解决实际问题的矛盾中探究东南、东北、西南、西北四个新方向。由此教师引导学生学会用数学的眼光观察周围的事物，想身边的事情。在学生获得新知以后，教师又要求学生运用所学知识去寻找周围的小朋友分别坐在自己的哪个方向；去帮助动物园的叔叔、阿姨绘制动物园示意图；去探究指南针里面的方向板的作用。这样，既有利于学生对知识的掌握，也可诱发学生的创新意识，拓展创新空间。 策略三：问题简单化和从问题中找条件。教学中教师运用生动有趣的材料为全体学生积极主动地参与创设了良好的学习氛围。 1）让学生在现实情境中体验和理解数学 从老师女儿四次喝牛奶这一情境，根据每次喝牛奶的量，让学生根据一些数据提出若干数学问题，并且有学生自己尝试解决，通过“提出问题-解决问题”这一个过程，学生懂得了“移多补少”的知识。这样的教学过程设计，能使学生体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握了必要的基础知识与基本技能。 2）鼓励学生独立思考、引导学生自主探究、合作交流，还原学生的主体地位。比如教师及时提出“如何来求平均数？”，通过小组讨论，得到求平均数应用题的数量关系。教师起到引导的作用，学生是真正的学习主体。在这样一种学习氛围中，通过”问题解决“这一教学手段，串起了整个学习新知的过程。
解决问题的策略——列表整理 2013年8月 教学内容：教材第65到67页的内容。 教材简析：本节课是以有条理地整理信息，发现数量之间的联系作为策略教学的切入口。发现和利用数量关系是解决实际问题的途径，本课通过整理信息，明确和把握数量关系，既是可操作的方法，也是解决问题的策略。同时，让学生学会整理信息的常用方法，体会它的作用与意义，从而内化成自己的策略。教材充分注意到学生是初步学习利用表格整理信息，让学生在解决实际问题的过程中，逐渐养成整理信息的习惯。整理信息是解决问题的策略，整理的方法和形式是多样的，列表整理只是其中的一种。教材选择列表整理是它易于操作，适宜学生运用。同时教材也力求让学生体会到整理信息的意义，并转化成内在的需要，真正形成解决问题的策略。 教学目标： 1、使学生在解决简单实际问题的过程中，初步体会用列表的方法整理相关信息的作用。 2、使学生会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，会通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。 3、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心。 教学重点、难点： 重点：会用列表的方法整理信息，分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。 难点：列表的过程中熟练分析数量关系。 教学准备：课件。 设计思路：本节课由学生熟悉的生活情景提出问题引入列表整理条件和问题这个策略。在学生独立完成表格的系列活动中，先看表格分析数量关系，小结得出列表整理条件和问题可以帮助我们分析应用题，再出示问题再次验证列表整理条件和问题这个策略的实效性，然后合并表格引出简表并观察，最后练习巩固、全课总结。 教学过程：
小学数学解决问题的策略研究(结题报告)
小学数学解决问题基本策略研究结题报告2012年1月课题“小学数学解决问题的基本策略研究”被山阳小学确立为校级课题，两年多来，本课题的研究与课堂教学实践研究紧密结合，有效促进了学生解决问题策略的形成，切实提高了学生解决问题的策略意识，完成了研究预设的目标任务。现对课题研究情况总结如下： 一、研究背景。 1．重视问题的解决是数学课程标准的一个显著特点。 数学课的根本目的是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题的能力。小学阶段学生学习数学应立足于他们的终身学习和发展服务，让每一位学生学得有用的数学。让学生从小能形成解决实际问题的基本策略就是以这一点为出发点。本课题从学生学的角度，探索学生解决问题时选择基本策略的过程，形成了怎样的策略？对学生今后学习数学有什么样的实践意义？即对学生解决问题的策略形成的有效性进行研究。通过研究达到提高学生良好的解决问题的能力，达到标准对学生的总体目标要求都具有很强的理论意义与实践意义。 2．国内外“解决问题”研究现状决定解决问题策略研究对实践课程标准的重要性。 20世纪80年代以来，国际数学教育界提出“问题解决”这一重要概念，明确提出“具有解决数学问题能力”是数学课程的重要目标之一。面对知识经济时代和信息科技发展的需要，我国教育部2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程（课程实验稿）》中，也明确规定：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。不难看出，“解决问题”不仅是数学学习的目的，而且也是数学学习的重要方式。 3.上海版教材的特点决定“小学数学问题解决基本策略的研究”的必要性 义务制教育上海版教材中对问题解决没有单独列为“章节”，而是渗透、融合在各个知识点中；为了让学生建立更明确的问题解决策略，帮助学生更容易地解决问题，结合本课题，把上海版教材和苏教版教材相结合，把问题解决策略结合上海版教材中的问题一起实施、一起解决、一起研究，一方面提高教师教学的创造性和整合教材的能力，另一方面帮助学生掌握解决问题的策略，提
小学数学解决问题的策略 一、精心选择素材 “解决问题的策略”宜在特定的问题情境中产生。教学的关键在于精心选择素材，创设出一个具体的解决问题的情境，让学生去亲临和应对，去体验和领悟。 1.情境创设的策略 我们都知道，学生在正式学习画图、列举、倒推、转化等策略之前，已经多次用到过这些策略，只是没有明确指出，学生还没有建立起一种完整的数学模型。因此，在情境创设时，要能够唤醒学生头脑中已有的生活经验，并巧妙地帮助学生提取已有的经验。 例如，在教学六年级下册（苏教版，下同）《解决问题的策略――转化》时，我们大都会创设“曹冲称象”的故事情境来引入转化的策略，然而如果仅仅指出“曹冲称象”的故事中用到了转化的策略显然还是不够的。一位教师在教学时是这样做的：让学生重温《曹冲称象》的故事后，提出了四个问题：（1）曹冲将称“大象”转化成了称“什么”？（2）为什么转化成石头？（3）为什么要在船舷上刻道线做个记号？（4）一定得转化成石头吗？ 显然，这位老师在故事之后追问的四个问题，提取了学生的生活经验，直指“转化”的实质：“转化的对象要明确”、“转化的目的是为了化难为易”“转化在变化的形式中有着不变的本质”“转化的方式可以是多样的”。这样的处理营造了轻松的教学氛围。 2.问题呈现策略 在教学解决问题时，问题的呈现要有方法。这就需要我们依据教材提供的题材进行适当的加工与整合。 例如，四年级上册《解决问题的策略――列表整理信息》，教材中的情境图只呈现了小明和小华的信息（小明：我买3本，用去18元；小华：我买5本。），由于学生已有熟练解答两步计算实际问题的知识经验，对于解决“小华用去多少元”这个问题很难使学生产生整理信息的心理需求，因此教学时，我把
高考数学解题思维能力是怎样练成的 纵观近几年高考数学试题，可以看出高考数学试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高考数学解题思维能力怎样练成的 第一，从求解(证)入手——寻找解题途径的基本方法遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔路众多，顺推下去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所求，必须要做什么，找到"需知"后，将"需知"作为新的问题，直到与"已知"所能获得的"可知"相沟通，将问题解决。事实上，在不等式证明中采用的"分析法"就是这种思维的充分体现，我们将这种思维称为"逆向思维"——必要性思维。 第二，数学式子变形——完成解题过程的关键解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一道数学综合题，要想完成从已知到结论的过程，必须经过大量的数学式子变形，而这些变形仅靠大量的做题过程是无法真正完全掌握的，很多考生都有这样的经历，在解一道复杂的考题时，做不下去了，而回过头来再看一看答案，才恍然大悟，解法这么简单，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢? 其实数学解题的每一步推理和运算，实质都是转换(变形).但是，转换(变形)的目的是更好更快的解题，所以变形的方向必定是化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，也就是创造条件向有利于解题的方向转化.还
必须注意的是，一切转换必须是等价的，否则解答将出现错误。 解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的 桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。寻找差异是变形依赖的原则，变形中一些规律性的东西需要总结。在后面的几章中我们列举的一些思维定势，就是在数学思想指导下总结出来的。在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单，这也就是转化，数学式子变形的思维方式：时刻关注所求与已知的差异。 第三、回归课本---夯实基础。 1)揭示规律----掌握解题方法高考试题再难也逃不了课本揭示的思维 方法及规律。我们说回归课本，不是简单的梳理知识点。课本中定理，公式推证的过程就蕴含着重要的方法，而很多考生没有充分暴露思维过程，没有发觉其内在思维的规律就去解题，而希望通过题海战术去"悟"出某些道理，结果是题海没少泡，却总也不见成效，最终只能留在理解的肤浅，仅会机械的模仿，思维水平低的地方。因此我们要侧重基本概念，基本理论的剖析，达到以不变应万变。 2)构建网络----融会贯通在课本函数这章里，有很多重要结论，许多学生由于理解不深入，只靠死记硬背,最后造成记忆不牢，考试时失分。 例如： 若f(x+a)=f(b-x)则f(x)关于对称。如何理解?我们令x1=a+x,x2=b-x,则f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常数，即两自变量之和是定值，它们对应的函数值相等，这样就理解了对称的本质。结合解析几何中的中点坐标的横坐标为定值，或用特殊函数，二次函数的图像，记忆这个结论就很简单了，
解决问题的策略（1） 知识点： 1.用倒过来推想的策略解决问题 2.用替换的策略解决问题 3.用假设的策略解决问题 4.用转化的策略解决问题 一．用倒过来推想的策略解决问题 在解决实际问题的过程中，学会用倒过来推想的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题步骤，从而有效的解决问题。 2.提高解决特定问题的价值，进一步发展分析，综合和简单推理能力。例1：40个同学分成了两组做游戏，如果从第一组调4人到第二组，那么两组的人数就相等了。原来的两组各有多少人？ 根据题意，解决这个问题的关键有两点：1，是根据给出的条件计算出现在两组各有多少人；二是从现在两组各有的人数，倒过来推算出原来两组各有多少人？ 【完全解答】 40= ÷（个） 2 20 20+4=24（个） 第一组 20-4=16（个） 第二组 答：原来的第一组有24人，第二组有16人。 举一反三：
1：小红和小明共有16张邮票，如果小红给小明2张，那么两人的邮票同样多，原来两人各有多少张？ 2：甲乙丙三堆黄沙共72吨，如果甲堆，乙堆各给6吨给丙堆，三堆就同样重了，原来的甲乙丙各有黄沙多少吨？ 例2：车上原来有一些乘客，到和平桥站下去了12人，到十字街站又上来了17人，现在车上共有52人，车上原来有多少人？ 思路：现在车上共有52人--->十字街站没有上来17人—>和平桥站没有下去12人——>原来有多少人？ 【完全解答】 52-17+12=47人。 答：车上原有47人。 举一反三： 1.三（7）班图书角有一些书，先被同学们借出了8本，后来又被借出了26本，这时还剩24本，图书角原来多少本书？ 2.商场有一些电视机，上午售出总数的一半多10台，还剩200台，商场原有电视机多少台？ 二．用替换的策略解决问题 1,学会用替换的策略理解题意，分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步骤。 知识点1：两个量是倍数关系的替换 例1：买1张桌子和4把椅子共用去120元，已知一把椅子的价钱是1，求每把桌子和每把椅子各多少元？ 一张桌子的 2
《解决问题的策略—列表》教学设计 连云港市大庆路小学龚将 【教学内容】 苏教版四年级上册56页、57页和58页练一练第1题和第2题。 【教学目标】 1.学生在解决简单实际问题的过程中，初步体会用列表的方法整理相关信息的作用。 2.学生会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，会通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。 3.学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心。 【教学重点】 掌握用列表的方法整理题中的有关条件，分析条件与问题之间的数量的关系，找出数量关系式再进行计算。 【教学难点】 会用列表的方法收集、整理信息，寻找解决问题的有效方法。 【教学过程】 一、完成填空，感知策略 1.根据问题填空： （1）师：想求买5本笔记本花了多少元？需要知道什么？ 生：一本笔记多少元？ （2）师：第二个问题，想求大米和面粉一共多少元？需要哪些
条件呢？ 生：大米多少元，面粉多少元。 师：想解决刚才的两个问题，我们都需要找对应的条件。（板书：从问题入手→找条件）如果从条件入手解决问题呢?根据条件填空。 2.根据条件填空： （1）已知买了4块蛋糕，每块蛋糕10元，你能提出什么问题？怎么解答？ （2）已知每枝铅笔2元， 师：根据这个条件可以提出什么问题？ 生：不可以。（或者回到可以，自己添加条件提问题。） 师：为什么？ 生：一个条件不可以。 师：我们想解决一个问题时，需要两个条件。 师：老师现在再给一个条件（买了10枝），可以提出问题吗？ 生：可以。 生：一共花了多少元？ 师：你们会解答吗？ 生： 2×10=20(元) （3）已知买了4条裤子，每件衬衫60元，可以提出什么问题？ 生：不可以 师：为什么？ 生：这两个条件没有关系。
小学数学解决问题的教学策略与建议 在《新课程标准》中指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。培养学生用数学解决问题的能力是《新课程标准》的严重目标。 何为解决问题呢？是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决联系实际的问题。解决问题的教学能够培养学生解决问题的意识和能力，培养学生的创新精神，巩固学生数学知识技能，并掌握解决问题的思想和方法。 如何进行小学数学解决问题的教学已成为值得探讨的一个问题。随着社会的信息化发展，数学的应用也在不断地深化和扩展。我们就要更加注重在真实的情景中研究数学和解决问题。我结合自己的教学实践和相关的教育理论将解决问题的教学策略设计如下： 1、创设情境，收集信息 教师开始上课时，可以借助主题图或教学课件来创设生动有趣的教学情境，把抽象的数学知识与生活实际联系起来。主题图或教学课件上的信息在一定意义上是为学生思维提供线索的。当学生汇报后，教师引导学生将收集的信息进行整理，找出要解决的问题。通过观察汇报也能为解决问题提供认知的基础，激发了学生的求知欲望，焕发学生的主体意识，为学生自主探索、解决问题营造氛围。 2、小组协作，探究问题 当学生明确要解决的问题后，给学生留出充塞的空间和时间，让每个学生运用已有的知识和经验，自主寻找解决问题的途径、方法和策略，还可以通过小组内的共同探究和交流，并形成初步的方案。在这个过程中，教师要参与到小组中去及时获取信息，合适加以引导和调控。 3、交流评价，解决问题
概述小学数学中解决问题的策略 分析小学数学解决问题中策略的类型，通常有这样一些解决问题策略的类型，现简要分述如下： (1)尝试。是指遇到一个从未见过的问题，从经验系统里没有现成的模式可直接利用，可以通过猜一猜、估一估、试一试的办法寻找解决问题的突破口。猜、估、试把新问题与已有的解题图式联系起来，并核对尝试的结果与问题的情况是否符合，从而获得问题解决的思维策略。 (2)综合。是指由已知条件出发向问题思考，把数学问题的各部分和各种因素联结起来考虑，从而使问题获得解决的思维策略。 (3)分析。是指与综合相反的，由问题出发向已知条件靠拢，把复杂的数学问题分解为若干简单的问题，逐个解决后最终使数学问题获得解决的思维策略。 (4)整理。是指通过列表、摘录条件等信息加工形式对数学问题中的有用条件得以保留、凸显、重组，以帮助学生顺利地理解题意，从而获得问题解决的思维策略。 (5)画图。是指通过根据数学问题画出实物简图、示意图、线条图、线段图等直观图形表达题意，以帮助学生加工信息，正确地审题、分析和检验，从而使数学问题得以顺利解决的策略。它是一种具体化的思维策略。 小学生年龄小，生活经验和知识都是十分有限的，因此在思考解决问题时难免会遇到困难。小学生在纸上涂涂画画可以拓展思路，使用这
种解题策略，比较符合小学生的思维形象性的特点。一般画图的方法有：画情景图、示意图、线段图、集合图等。比如： 今年小明、小芳两人的年龄之和为14，年龄之差为2，请问今年小明、小芳各多少岁？ 这个题如果列一个二元一次方程，是很容易解决的：X+Y=14；X-Y=2。解此方程可知X=8，Y=6。但如果是小学三年级学生尝试做此题，在没有学习方程的基础上，一般不考虑选用方程来解答。这样的题如果用画线段图分析就会简单明了： 从图中可以看出：要求其中较小的那个数，可以用两数之和减去两数之差再除以2，即（14-2）÷2=6。要求较大的数，也可以用两数之和加上两数之差再除以2，即（14+2）÷2=8。运用图形把抽象问题具体化、直观化，从而学生能迅速地搜寻到解题的途径。怪不得前苏联心理学家克鲁切茨对天才儿童研究发现，许多天才儿童是借助画图
《解决问题的策略-- 列表》
《解决问题的策略—列表》说课稿 我说课的内容是苏教版小学数学四年级上册第五单元《解决问题的策略+列表》。下面我从教材与目标、教法与学法、教学流程、设计理念四个方面将本课的设计进行说明。 一、教材与目标 （一）教材分析 《解决问题的策略+列表》主要是在学生掌握了简单实际问题、两步计算实际问题的结构和数量关系，学会了从条件出发、从问题出发分析数量关系的策略。教学两积之和、两积差等实际问题，帮助学生初步学会用列表的策略整理条件和问题感悟从条件和问题出发分析分析数量关系的策略，总结和归纳解决问题的一般不骤。 （二）学情分析：四年级的学生,他们在日常生活和学习中经常看到表格，认识表格，但这种认识还停留在表面，他们有一定的整理信息、分析与解决问题的方法与经验。但思维还不够稳定，因此要通过本节课的学习，使学生的无序思维有序化、数学化、规范化。 根据对本节课教材的分析，结合我班学生的实际情况，依据新课标的具体要求我将本节课教学目标拟定为： （三）教学目标 1．知识与技能：经历在现实情境中收集信息的过程，初步体会用列表的方法整理相关信息的作用。感受列表是解决问题的一种策略。
2．过程和方法：能理解表格的结构和内容，会用“列表”的方法来整理条件与问题；能根据列表分析问题，寻找解决两步计算问题的有效方法。 3．情感与态度：使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验。提高学好数学的自信心。 （四）教学重、难点 教学重点：学会列表并能主动运用表格分析数量关系解决问题。 教学难点：会主动运用列表的方法整理相关信息，寻找解决问题的有效方法。 二、教法与学法 《新课标》强调“教学要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。在教学中我将综合运用（1）启发式教学法、（2）情境教学法（3）尝试教学法（4）活动教学法等。并借助多媒体直观演示辅助教学，学习的主要内容不是由教师传授给学生的，而是以问题的形式间接呈现出来，由学生自己去发现，然后内化为自己知识结构的一部分，这样不仅可以调动学生学习的积极性和主动性，而且能促进学生对知识的内化和建构，为学生的自主探究创造空间。在选择教法的同时我还注重对学生学法的指导，使学生不仅学会还要会学，本节课我融观察、操作、合作、交流等学习方法为一体，组织学生进行探究式学习。 三、教学流程（结合四年级学生的认知水平和年龄特征，我将本节课设计为以下四个环节：） （一）创设情境，激发兴趣 （二）组织活动、探索新知
学数学“情景·过程·表述·反思”教学过程是把问题作为教学出发点,让学生在处理信息、探究方法、理清思路、形成策略中有效解决问题。其基本教学模式与环节如下。这个教学基本模式相对稳定,但并非一成不变,它具有灵活性。在课堂教学中可以根据不同年段的学生进行不同的组合,灵活调整,使之适应教学的动态性。一、情景呈现——信息处理新课程下“解决问题”的问题情境呈现信息的方式是多样的,有以主题情境图方式呈现的,也有以文字形式呈现的,更多的是图文结合的;有的是数学信息全部明示的,也有部分信息直接呈现、部分信息隐含在情境图里面的;问题的呈现方式有直接提出问题的,有用对话出示的,还有请学生自己提出数学问题的。由于呈现方式的变化,与传统应用题相比,学生思维活动的起点明显提前,需要学生有较强的信息解读能力和从“事理”中抽出“算理”的能力。因此,教师要善于引导学生主动阅读信息、选择信息、处理信息,读懂问题情境,明确数学问题。比如在教学五年级上册“小数四则混合运算”解决问题的例1:(如左图)“选择哪种手机收费标准更合算些”这个问题,在获取信息时,分成了以下几步:①课前收集手机收费标准,了解熟悉这些信息;②汇报收集的信 数学应用在小学数学教学中是极为重要的一部分,其涉及的知识面广,在生活中的应用性强,推理也复杂,学生往往难以理解、掌握。在此,浅谈几点有关数学应用教学的看法:一、化难为易,引进思路美国的心理学家奥苏贝尔说过:“影响学生学习最主要的原因是学生已经知道了什么,我们应据现有的学生的知识进行教学。”如题:一座钢铁厂,在一星期的前3天平均每天炼钢0.16万吨,后4天平均每天炼钢0.195万吨,这星期平均每天炼钢多少万吨?做这题时,可以请学生进行实物演示,加以理解。如:请4个学生每人拿3本练习本,再请6人每人拿出8本练习本,然后将10个学生的练习本放在一起平均分给每个人,每个学生可得几本?通过演示让学生说说得到几本,并说说解题思路及联系到的数量关系,使学生理解并熟悉求平均数的基本数量关系式:总数量÷总份数=平均数,将较复杂的题目进行简单化,分成几道简单应用题:①如果平均每天炼钢0.16万吨,3天炼多少?②如果平均每天炼0.195万吨,4天可炼多少?③前3天共炼0.48万吨,后4天共炼0.78万吨,平均每天炼多少?最后要求学生说说解题思路:(前3天的总数+后4天的总数)÷总天数=平均数,即7天的总数 应用题教学一直是小学数学教学中的重点和难点,在《数学课程标准》(以下简称《标准》)指导下的新教材,应用题教学一改原来“门户独立”的传统格局,作为各领域解决其相应实际问题的有机组成部分,完全融合于其他学习领域之中。它以丰富的呈现方式、新颖的题目素材、强烈的问题意识、多样的解题策略、全面的目标定位,构成了一道亮丽而独特的风景线。但与此同时,也给许多教师带来了不问题”真是难“解决”!我认为,在教学实践中,我们应走出老教材编排体系的惯性思维,主动适应新教材的编排方式,充分理解教材意图,正确定位教学目标,科学对待传统方法,在继承中发展,在借鉴中创新,在尝试中突破。一、关注问题情境理解——培养收集信息、处理信息的能力新教材“解决问题”的呈现方式比较丰富,情境性强,有图文结合式、息量也很大,有些主题图或创设的情境中,往往包含有许多信息,有数学的,也有非数学的,对解决问题有用的,也有没用的,这就要看学生会不会正确识别,会不会合理取舍。在教学中,我们必须置问题解决于丰富的情境之中,积极做好引导工作,让学生在经历把“问题情境”转化成“数学问题”的过程中,得到认读和识别有用信息、分析和处理信息能力的培养。[( “用连乘解决问题”是人教版义务教育课程标准实验教科书三年级下册第99页例1的内容。
小学数学教学中解决问题 的策略和方法 Newly compiled on November 23, 2020
小学数学教学中解决问题的策略和方法 解决问题是传统教学中的的应用题教学，源于学生的生活实际，又回到学生的生活中；是学生在学习中遇到困难，找到一条绕过障碍的出路，达到可以解决问题的答案。解决问题有利于发展学生的创新精神和解决问题的实践能力，能让小学生用原有的知识，技能和方法迁移到课程情景中解决新的问题，从而培养学生解决问题的能力。 策略一：实际操作。儿童的智力活动是与他对周围物体的作用密切联系在一起的，也就是说，儿童的理解来自他们作用于物体的活动。小学数学的学习是一项重要智力活动。特别是数学具有高度的抽象性，而小学生往往缺乏感性经验，只有通过亲自操作，获得直接的经验，才便于在此基础上进行正确的抽象和概括，形成数学的概念和法则。这在教学实践中的例子很多。例如，一年级教学元、角、分的认识，由于学生缺乏实践经验，长期以来是个难点。由于加强了实际操作，学生对元、角、分的进率就很清楚。中年级教学周长和面积时往往容易混淆，加强实际操作以后，学生对两个概念获得明确的表象，弄清两者的区别，计算错误也大大减少。高年级教学约数和倍数这一单元时，概念多术语也多，学生容易弄混。有些教师使用奎逊耐木条或计数板，引导学生进行操作，大大减少学习的难度，弄清概念的正确含义和求最大公约数、最小公倍数的方法。因此，无论从理论上或从实践上看，加强实际操作都是十分必要的。可以说，加强实际操作是现代的数学教学和传统的数学教学重要区别之一。正如皮亚杰所指出的，传统教学的缺点，就在于往往是用口头讲解，而不是从实际操
数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段 理解问题是解题思维活动的开始 第二阶段 转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段 计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段 反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。（三）恰当构造辅助元素： 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命