第21章 不定方程
§21.1 二元一次不定方程
21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解．
解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是
2,
,x n y n =+??
=?
其中n 可以取一切正整数．
21.1.2★求11157x y +=的整数解． 解析1 将方程变形得
71511
y
x -=
． 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解， 所以方程的解为
215,
111,x t y t =-??
=-+?
t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得
()()1141531?-+?=，
所以
()()114715377?-?+??=，
可取028x =-，0 21y =．从而 2815,
2111,x t y t =--??
=+?
t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程 ax by c += ①
有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为 00,
,x x bt y y at =-??
=+?
其中0t =，±1，±2，±3，…．
21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解． 解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 31145x y +=． ①
由观察知，14x =，11y =-是方程 3111x y += ②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
()00
454180,
45145,x y =?=???
=?-=-?? 所以方程①的一切整数解为 18011,
453.x t y t =-??
=-+?
因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 180110,4530.t t -??
-+?
≥③
≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．
当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是
15,0,
x y =??
=?4,
3.x y =??=?
21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解．
解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数
的方法使系数变小，最后再用观察法求解． 用方程
719213x y +=① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得
213193530277
y y
x y --=
=-+
．② 因为x 、y 是整数，故
357
y
u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255
u u
y u --=
=-+
．③ 令
325
u
v -= (整数)，由此得 253u v +=．④
由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于
是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为 2519,
27.x t y t =-??
=+?
0,1,2,t =±±
由于要求方程的正整数解，所以 25190,
270.t t ->??
+>?
解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为 25,2,
x y =??
=?6,
9.x y =??=?
21.1.5★求方程3710725x y +=的整数解．
解析 因为10723733=?+，371334=?+，33841=?+． 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×(37-33)=9×33-8×37
=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37 =37×(-26)+107×9,
由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是 ()02526650x =?-=-,0259225y =?=
是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为 650107,
22537,
x t y t =--??
=+?t 是整数． 21.1.6★求方程92451000x y z +-=的整数解．
解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为 38,351000.x y t t z +=??
-=?
①
② 用前面的方法可以求得①的解为 38,
3,x t u y t u =-??
=-+?
u 是整数． ②的解为
20005,
10003,t v z v =+??
=+?
v 是整数． 消去t ，得
6000815,200035,10003,x u v y u v z v =-+??
=-+-??=+?
,u v 是整数． 21.1.7★求方程23723x y z ++=的整数解． 解析 设23x y t +=，则 23,723.x y t t z +=??
+=?
①
② 对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为 3,
2,x t u y t u =--??
=+?
u 是整数． 又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为
3,
27,z v t v =-??
=+?
v 是整数． 所以，原方程的整数解为 273,272,3.x v u y v u z v =---??
=++??=-?
u 、v 是整数． 21.1.8★求方程组57952,
35736x y z x y z ++=??++=?
的正整数解．
解析 消去z ，得 210z y +=． ①．
易知04x =，02y =是它的一组特解，从而①的整数解为 4,
22,x t y t =-??
=+?
t 是整数． 代入原方程组，得所有整数解为 4,22,2.x t y t z t =-??
=+??=-?
t 是整数． 由0x >，0y >，0z >得
12t -<<，
所以t =0，1，故原方程组的正整数解为
4,2,2;x y z =??
=??=?
3,4,1.x y z =??
=??=?
21.1.9★求方程351306x y +=的正整数解的组数． 解析 因为130651
435233
y y x y -+==-+
，所以0x =437，01y =-是一组特解．于是方程的整数 解为
4375,
13.x t y t =-??
=-+?
t 是整数． 由43750,130.t t ->??-+>?
得1437
35
t <<. 所以t =1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．
21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是 75142x y +=．①
所以
142722
2855
x x y x --=
=--
． 由于7x ≤142，所以x ≤20，并且由上式知()5|21x -．因为(5，2)=1，所以5|1x -，从而 x =1，6，11，16．①的非负整数解为
1,6,11,16,
27;20;13; 6.x x x x y y y y ====????????
====????
所以，共有4种不同的支付方式．
评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?
解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买x 、y 、z 只，由题意列方程组 153100,3100.x y z x y z ?
++=??
?++=?
①
② ①化简得159300x y z ++=.③ ③-②得148200,x y += 即74100.x y +=
解741x y +=得1,
2.x y =-??=?于是74100x y +=的一个特解为00
100,200.x y =-??=?所以74100x y +=的所有整
数解为
1004,
2007,x t y t =-+??
=-?
t 是整数． 由题意知，0x <，y ，100z <，所以， 01004100,
02007100.t t <-+
<-
解得2550,241428.7
7t t <
故425287
t <<.
由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x 、y 、z 还应满足 100x y z ++=．
所以
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只
公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO 次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?
解析 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次，则根据题意得 95261,10.x y z x y z ++=??
++=?
①
② 我们要求这个方程组的正整数解．
消去z ：从①中减去②×2得7341x y +=，于是
4173
x
y -=
．③ 由③可以看出41
7
x <
．从而x 的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 21323
x
y x -=-+
， 由于y 是整数，所以2x -必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求． 但2x =时，9y =，1z =-不是正整数．在5x =时，2y =，3z =是本题的解． 因此小鸡被套中5次．
评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．
21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
解析 设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 100,
589700.x y z x y z ++=??
++=?
其中060x ≤≤，0≤y ≤60，0≤z ≤47． 解方程组可得 2004,
3100.y x z x =-??
=-?
由0200460,0310047.x x -??-?
≤≤≤≤
得3549x ≤≤．
又35x =，60y =，5z =和49x =，4y =，47z =均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．
§21.2 勾股数
21.2.1★★★满足方程222x y z +=的一切基本勾股数x 、y 、z （y 为偶数)，都可表示为以下形式：
22x p q =-，2y pq =，22z p q =+，①
其中p 、q 为正整数，(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．
解析 设正整数p 、q 满足(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶，则 ()()2
2
22222x y p q pq +=-+
42242224p p q q p q =-++
()2
222p q z =+=．
所以一切形如①的正整数x 、y 、z 都是方程222x y z +=的解．下面证明这样的x 、y 、z 是基本勾股 数．
设(),,x y z d =，由于p 、q 一奇一偶，所以22p q -是奇数，由22|d x p q =-，于是d 是奇数．又由22|d p q +，得()()
2222|d p q p q ++-，即2|2d p ，同理2|2d q ．因为d 是奇数，所以2|d p ，2|d q ，
于是()
22|,d p q ．由(),1p q =得()
22,1p q =，所以1d =．这就证明了由①确定的x 、y 、z 是一组基本 勾股数．
反过来，设x 、y 、z 是一组基本勾股数，且y 是偶数，x 和z 都是奇数，则2z x -和2
z x
+都是整数． 设,22z x z x d -+??= ???，则存在正整数a 和b ，使
2z x da -=，2
z x
db +=，(),1a b =， 于是()z d b a =+，()x d b a =-． 由于(),1z x =，所以1d =，即
,12
2z x z x -+??
= ???． 由222x y z +=得 2
222y z x z x +-??
=? ?
??
． 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设
22z x p +=，22
z x q -=， 这里0p q >>．(,)1p q =，于是可得
2222,2,x p q y pq z p q =-==+．
由于z 是奇数，所以p 、q 一奇一偶．这就证明了方程222x y z +=的任意一组解x 、y 、z (y 为偶数) 都可由①表示．
评注 如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．
在勾股数x 、y 、z 中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 （x ，y ，z ）=1d >，那么设
x dx =′，y dy =′，z dz =′，
则有（x ′，y ′，z ′）=1，并且由222x y z +=得 222222d x d y d z '+'='，
两边除以2d ，得222x y z '+'='．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数x 、y 、z 中，x 和y 必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定x 和y 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①x 和y 同奇，②x 和y 同偶．如果x 和y 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以22x y +是4的倍数加2，于是2z 是偶数，z 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以x 和y 不能都是奇数．如果x 和y 都是偶数，那么z 也是偶数，这与x 、y 、z 是基本勾股数矛盾，所以x 和y 中一奇一偶．由此也可推出z 是奇数．
21.2.2★设x 、y 、z 是勾股数，x 是质数，求证：21z -和()21x y ++都是完全平方数．
解析 ()()222x z y z y z y =-=+-．因为x 是质数，所以2x 只有1、x 、2x 三个正约数．由于0z y z y +>->，所以有 2,
1.z y x z y ?+=?
-=?
由此得221z x -=， ()21222x y x y ++=++
()2
22121x x x =+-+=+，
所以21z -和2(1)x y ++都是完全平方数．
21.2.3★求证：222n n +、21n +、2221n n ++(n 是正整数)是一组勾股数． 解析 因为n 是正整数，2222122n n n n ++>+，222121n n n ++>+．由
()()2
2
2
2221n
n n +++
()2
2222441n n n n =++++ ()()2
22222221n n n n =++++
()2
2221n n =++,
所以222n n +、21n +、2221n n ++是一组勾股数．
21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为21n +、222n n +、2221n n ++，其中n
为正整数．
解析 设弦长为c ，股长为1c -，勾为x ．
因为（c ，1c -）=1，所以x 、1c -、c 为一组基本勾股数．又c 为奇数，1c -为偶数，则x 为奇数． 设21x n =+，则()()2
2
2211n c c ++-=，得2221c n n =++，2122c n n -=+．
所以，勾股数组具有形式21n +、222n n +、2221n n ++．
21.2.5★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．
解析 当n 是大于1的奇数时，212n -和21
2
n +都是正整数，并且
22
222
1122n n n ????
-++= ? ?????
．
当n 是大于2的偶数时，214n -和2
14
n +都是正整数，并且
22
222
1144n n n ????+-=+ ? ?????
．
由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n 可取大于2的任何正整数． 21.2.6★★求证：在勾股三角形中， (1)必有一条直角边的长是3的倍数； (2)必有一条直角边的长是4的倍数； (3)必有一条边的长是5的倍数．
解析 设该勾股三角形的三边的长分别为a 、b 、c （c 是斜边)，则222a b c +=．只要证明a 、b 、c 是基本勾股数时的情况．不失一般性，设b 为偶数，则 22a p q =-，2b pq =，22c p q =+，
其中p 、q 满足上述定理中的条件．
(1)若p 、q 中至少有一个是3的倍数，则b 是3的倍数；若p 、q 都不是3的倍数，设 31p k =±，31q l =±， 则
()()2
2
223131a p q k l =-=±-±
()22996k l k l =+±±
是3的倍数．
(2)由于p 、q 一奇一偶，所以2b pq =是4的倍数．
(3)若a 、b 都不是5的倍数，则2a 的末位数是1或9；2b 的末位数字是4或6．
1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以 222c a b =+的末位数只可能是5．于是c 的末位数是5．
评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数． 21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16． 解析 设勾股数组x 、y 、z ，其中x =16．
x =16=2×4×2=2×8×1，
若4m =，2n =，有(,m n )-2≠1，从而只有8m =，1n =，(,)1m n =，且m 和n 为一奇一偶．于是
22228163y m n =-=-=，
22228165z m n =+=+=．
从而，只有一组基本勾股数16、63、65．
评注 若不要求基本勾股数，则x =16=2×4×2，设4m =，2n =，得 2212y m n =-=，2220z m n =+=．
即16、12、20为一组勾股数．
又22164322x ==??，设232m =，22n =，得 2230y m n =-=，2234z m n =+=．
即16、30、34为一组勾股数．
21.2.8★★设p 、m 、n 为一组勾股数，其中p 为奇质数，且n >p ，n >m ．求证：21n -必为完全平方数．
解析 因为p 、m 、n 为一组勾股数，n p >，n m >，则有222n m p =+． ()()222m n p n p n p =-=+-，m n p >-．
设()1m n r r p =-<≤，则有
()()2
22222p n m n n r r n r =-=--=-．
因为1r p <≤，p 为奇质数，则1r =(否则，若1r p <<，则|r 2p ，矛盾)． 由1r =，得221p n =-，从而21n -是完全平方数．
21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?
解析 设直角三角形的三边长分别是35，b ，c ，则 22235b c +=，
即()()1225c b c b +-=．
1225的大于35的正约数可作为c b +，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是
35+1225=1260， 最小值是 35+49=84．
21.2.10★★设n 为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为n ．
解析 只需证明不定方程222x n z +=，有正整数解．
利用()()2z x z x n -+=，结合z x -与z x +具有相同的奇偶性，故当n 为奇数时，由（z x -，z x +）=（1，2n ），可得不定方程的一组正整数解 （x ，z ）=2211,22n n ??
-+ ???
； 而当n 为偶数时，由条件，知n ≥4．利用 （z x -，z x +）=22,2n ??
???
，
可得不定方程的一组正整数解
（x ，z ）=2244,44n n ??
-+ ???
． 综上，可知命题成立。
21.2.11★★如果正整数a 、b 、c 满足222c a b =+．
证明：数2c ab +和2c ab -都可以表示为两个正整数的平方和．
解析 先证下述命题：如果正整数x 可表示为两个正整数的平方和，则2x 也可表示为两个整数的平 方和．
设22x u v =+，这里x 、u 、v 都是正整数，且u v ≠．则()()2
2
22222x u v u v u v =+=++-．于是，2x 可表为两个整数u v +和u v -的平方和，命题获证． 注意到，由条件有
()()2
2222222c ab c a ab b c a b ±=+±+=+±．
利用已证命题，可知
()()()2
2
24c ab c a b c a b ±=+±+-．
记c a b x +±=，c a b y -=，由222c a b =+可知x 、y 都是正整数，并且()
2224c ab x y ±=+． 若x 、y 不同为偶数，则由平方数0≡或()1mod 4，可知221x y +≡或()2mod 4，这是一个矛盾．所以，x 、y 都是偶数，从而2
2
2
22x y c ab ????
±=+ ? ?????
，这就是要证的结论．
评注 这里本质上只是恒等式()
()()22
222u v u v u v +=++-的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能 力显得十分重要．
21.2.12★★★矩形ABCD 中，AB x =，AD y =，且m x p =，n y q =，其中p 、q 都是质数，m 和n 是正整数，x y >，AC 为奇数，求AB 和AD 的长．
解析 由勾股定理，得222AB AD AC +=．设AC z =，则222x y z +=． 因为z 为奇数，所以x 和y 必一奇一偶．
若x 为偶数，设2x ab =，22y a b =-，22z a b =+．
又m x p =为偶数，p 为质数，则2p =，于是22m x ab ==．从而 1222m ab αβ-==．
设2a α=，2b β=，1m αβ+=-．则 ()()22y a b a b a b =-=+-
()()2222αβαβ=+-．
因为y 是奇数，则必有21β=，从而0β=，此时
()()2121n y q αα=+-=．
又2121αα+≠-，则21t q α+=，21q α-=，t s >．于是
()221t s s t s q q q q α-?=+=+．
因为q 为奇数，则1s q =，0.211s s q α=-==，得1α=．从而 22a α==，21b β==，
24x ab ==，223y a b =-=．
若y 为偶数，同样解得4y =，3x =，不符合x y >，所以舍去． 从而 4AB =，3AD =．
21.2.13★★★求方程2222x y z +=的满足条件x y >，（x ，y ，z ）=1的一切正整数解．
解析 显然x 和y 同奇同偶．假定x 和y 都是偶数，那么22z 上是4的倍数，2z 是偶数，z 是偶数，这与(x ，y ，z )=1矛盾，所以x 和y 都是奇数，x y +和x y -都是偶数．设 2,
2,x y u x y v +=??
-=?
其中u 、v 为正整数，则 ,
.x u v y u v =+??
=-?
由x 和y 都是奇数可知，u 、v 一奇一偶．下面证明（u ，v ）=1．设（x ，y ）=d ，则d 为奇数，且存在整数x ′和y ′，使
x dx =′，y dy =′，（x ′，y ′）=1， 于是
222x y d +=()
2222x y z '+'=．
由于（2d ，2）=1，所以22|d z ，|d z ，由于（x ，y ，z ）=1，所以1d =．由此得（u v +，u v -）=1．于是
（u v +，2u ）=1．
由于x u v =+是奇数，所以
（u ，v ）=（u v +，u ）=（u v +，2u ）=1． 把x u v =+，y u v =-代入原方程得
()
()2
2
22u v u v z ++-=，
即222u v z +=．由于（u ，v ）=1，所以u 、v 、z 是一组基本勾股数． 所以，当u 为奇数时，
2222,2,
,u p q v pq z p q ?=-?
=??=+? 2222
22,2,.
n x p q pq y p q pq z p q ?=-+?=--??=+? 当u 为偶数时， 2222
222,2,.
x p q pq y pq p q z p q ?=-+?=-+??=+? 由于u v >，所以 2222
222,2,,
x p pq q y p pq q z p q ?=+-??=--??=+?? 这里(p ,q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．
21.2.14★★★★求证方程424x y z +=没有正整数解．
解析 假定方程424x y z +=有正整数解，设在所有正整数解中z 最小的解是(0x ，0y ，0z )． 假定0z 是偶数，则0x 和0y 皆奇或皆偶．
若0x ，0y 皆奇，则42
00x y +是4的倍数+2，不是完全平方数，更不是完全四次方数，这与424000x y z +=矛
盾．
若0x ，0y 皆偶，设
012x x =，012y y =，012z z =，
则
()
()()4
24
111222x y z -=，
于是
42411144x y z +=，
可见1y 是偶数，设112y y ='，则
42
4111x y z +'=，
所以（1x ，1y '，1z ）也是方程424x y z +=的一组解，且10z z <，这与0z 最小矛盾． 由上述讨论可知，0z 是奇数，此时0x 和0y 一奇一偶．
若0x 为奇数，由题21.2.1得
222002220,2,
,
x p q y pq z p q ?=-?
=??=+? 这里(p ,q )=1，0p q >>，p 、q 一奇一偶，于是
224400x z p q =-，
()2
4400q x z p +=．
所以（q ，00x z ，p ）是方程424x y z +=的一组正整数解，但是0p z <，这与0z 最小矛盾． 若0y 为奇数，由题21.2.1得，
2022
022202,,,
x pq y p q z p q ?=?=-??=+? 这里（p ，q ）=1，0p q >>，p 、q 一奇一偶．
若p 为奇数，因(p ，q )=1，由2
0x 2pq =，可设
2p r =，22q s =，（r ，s ）=1，
由于2
220
z p q =+，由21.2.1得 22p a b =-，2q ab =，220z a b =+，
这里(a ，b )=1，0a b >>，a 、b 一奇一偶，且
222
2
,
.r a b s ab ?=-??=??
由于(a ,b )=1，所以可设2a u =，2b v =，于是244r u v =-，即424v r u +=．显然，(v ，r ，u )是方程
424x y z +=的一组正整数解，但是u z <，这与z 最小矛盾．
若p 为偶数，同样可推出类似的结果． 综上所述，方程424x y z +=没有正整数解．
§21.3 其他不定方程
21.3.1★求方程323652x x x y y ++=-+的整数解(x ，y )的个数． 解析 原方程可化为
()()()2123x x x x x ++++
()()112y y y =-++，
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，于是，上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．
21.3.2★将150写成至少2个连续正整数的和，共有多少种不同的方式? 解析 设()()1501a a a k =+++
++，其中a 、k 都是正整数，于是
()()2221300235a k k ++==??．
因为()()21221a k k a k +++=++是奇数，所以2a k +与1k +为一奇一偶，且21a k k +>+>1，所以2213,225
,k a k +=??+=??215,2235,
k a k +=??
+=???2
135,225,
k a k +=???+=??2212,235
,k a k ?+=??+=???22
123,25,k a k ?+=??
?+=??
解得(a ，k )=(49，2)，(28，4)，(3，14)，(36，3)，(7，11)．
所以，共有5种不同的方式．
21.3.3★★求满足0x y <<
的不同整数对（x ，y ）的对数． 解析 因为22000205=?
= 即
由此可知，x 必具有25t ，y 必具有25k 形式，并且20t k +=(t ，k 均为正整数)． 又0x y <<，所以t k <．
当1t =，19k =时，得(5，1805)； 当2t =，18k =时，得(20，1620)； 当9t =，11k =时，得(405，605)． 因此，不同整数对的个数为9． 21.3.4★★不定方程
()22223x y z w x y z w +++=+++
的正整数解(x ，y ，z ，w )有多少组? 解析 原方程可以化为
()()()()2
2
2
2323232336x y z w 2
-+-+-+-=，
而36表示成四个奇数的平方和只有如下两种方式： 36=1+1+9+25，36=9+9+9+9，
所以，方程的正整数解(x ，y ，z ，w )为
(1，1，3，4)、(2，2，3，4)、(1，2，3，4)、(3，3，3，3) 以及它们的排列，故共有12+12+24+1=49组．
21.3.5★★求关于x 、y 的方程()22208x y x y +=-的所有正整数解．
解析 因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x 、y 都是偶数．
设2x a =，2y b =，则()2104a b a b 2+=-，同上可知，a 、b 都是偶数．设2a c =，2b d =，则()2252c d c d +=-，所以，c 、d 都是偶数．设2c s =，2d t =，则()226s t s t 2+=-，于是
()
()2
21313213s t 2
-++=?，
其中s 、t 都是偶数．所以
()
()2
21321313s t 2
-=?-+2222131511?-<≤．
所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而()2
13t +为337，329，313，289，257，故只能是()2
13t +=289，从而137s -=．于是6,
4,s t =??
=?20,
4.s t =??
=?
因此，48,
32,
x y =??
=?160,
32.x y =??
=?
21.3.6★★已知p 、q 均为正整数，且p q >，
()()240p
p q p q p q q
++?+-+
=， 求pq 的最大值．
解析 原式化为2240p
p pq q
++=，因为p 、q 均为正整数，且p q >，所以p q 是正整数．
设
p k q
=(k 是正整数)，则p qk =，有22240qk q k k ++=，所以()2
1240k q +=．而 22240602154=?=?， 所以
60,1;k q =??
=?或15,
3.k q =??=?
于是
60,1;p q =??
=?或45,
3.p q =??=?
所以pq 的最大值是45×3=135．
21.3.7★★设x 、y 、z 为整数，且3x y z ++=，3333x y z ++=，求222x y z ++的值． 解析 不妨设x y z ≥≥，将3z x y =--代入3333x y z ++=得到 ()8
39xy x y x y
=+-+
+． 因为x 、y 都是整数，所以 1,2,
x y xy +=??
=?4,5,
x y xy +=??
=?2,1,
x y xy +=??
=?8,
16,x y xy +=??
=?
前两个方程组无解，后两个方程组解得1x y z ===；4x y ==，5z =-．所以2223x y z ++=或57． 21.3.8★★已知正整数m 、n 满足
n +=，
求n 的最大值．
解析 设70a m =-n , 所以
22a n +=,
于是22104a -是完全平方数，令222104a b -=(b 是正整数)，则
()()2104a b a b -+=,
由于a b -和a b +同奇偶，即为偶数，所以a b +的最大值为52×104．故2n 的最大值为()22104a b +=， n 的最大值为104，此时2775m =．
21.3.9★★已知三个两两互质的正整数x 、y 、z 满足方程组
333222
3,7,x y xyz z x y z ?++=?
?+=??
求222x y z ++的值．
解析 由3333x y xyz z ++=，得 ()()3
3330x y z xy z ++---=,
所以
()()2220x y z x y z xy yz zx +-++-++=．
因为
()()()222
222102x y z xy yz zx x y y z z x ??++-++=-++++>?
?,所以
0x y z +-=,即z x y =+．
所以
()()()22272y z x z x z x y x y =-=-+=+，
故72y x y =+，于是3x y =，4z y =．
由于1=（x ，y ）=（3y ，y ）=y ，所以，3x =，1y =，4z =，于是22226x y z ++=．
21.3.10★★设a 、b 、c 、d 都是质数，且a >3b >6c >12d ，22221749a b c d -+-=．求2222a b c d +++ 的所有可能值．
解析 由22221749a b c d -+-=为奇数，可知a 、b 、c 、d 不全为奇数，只能是d 为偶数，即2d =．于是，2221753a b c -+=．再由条件，31a b +≥，知
222861a b b b -++≥，
又21b c +≥，故
()()2
222228216211334415a b c c c c c c -++++++=++≥，
即有233441738c c +≤．结合215c d +=≥，可知21738220
33
c -≤
，故246c ≤，进而7c <，综合5c ≥， 得5c =．进而()()2263175325172823a b a b a b -+=-=-==?，利用a b +与a b -具有相同的奇偶性及()(),,2a b a b a b a +-=+=2 (因为a ，b 为质数)，可知只能是()(),32,54a b a b -+=，故（a ，b ） (43，11)．所以
222217492a b c d +++=+()
221999b d +=．
21.3.11★★设n 是正整数，记1×2×…×n 为n !(例如1!=1，2!=1×2，5!=1×2×3×4×5)，若存在整数2a 、3a 、4a 、5a 、6a 满足 356
2431362!3!4!5!6!
a a a a a =++++, 这里0i a i <≤，i = 2，3，4，5，6．求2222223456a a a a a ++++的值．
解析 在题设等式的两边乘以6！，得
31×20=3×4×5×26a +4×5×36a +5×46a +56a +6a ，
因为31×20除以6余2，所以6a 除以6余2，而0≤6a <6，故6a =2． 2345103345455a a a a =??+?++，
所以5a 除以5余3，于是53a =． 23420344a a a =?++，
所以4a 是4的倍数，于是40a =． 2353a a =+，
所以3a 除以3余2，于是32a =，从而21a =． 所以
22222
23456a a a a a ++++
2222212032=++++ 18=．
21.3.122007
=的正整数解(x ，y )的组数．
解析 2006=，所以
2220072006
220062007
y xy
+-??
是有理数，所以y n ，
所以x m ，于是
2006
2007m n
+
=， 而2006=2×17×59，即2006共有(1+1)(1+1)(1+1)=8个不同的正因数，所以，(m ，n )共有8 组正整数解，(x ，y )也有8组正整数解． 21.3.13★★求满足方程()222x y x y xy +=++的所有正整数x 、y ． 解析1 原方程可以变形为 ()22220x y x y y -++-=．
这个关于x 的整系数一元二次方程有整数根，所以它的判别式是完全平方数，即
()()2
222423124y y y y y ?=+--=-++
()2
1632y =--
是完全平方数．
由于20163(2)16y --≤≤，所以 ()2
16320y --=，1，4，9，16．
解得2y =，4．于是可得2,4,x y =??=?4,2,x y =??=?4,
4.
x y =??
=? 解析2 原方程可以变形为 ()22220x y x y y -++-=．
因为
()()2
222423124y y y y y ?=+--=-++
()2
16320y =--≥，
所以
()
2
16
293
y -<≤
， 323y -<-<，15y -<<．
所以y =1，2，3，4．代入原方程可得2,
4,x y =??
=?4,2,x y =??
=?4,
4.x y =??=?
21.3.14★★★求所有的整数数组(a ，b ，c ，x ，y ，z )，使得
1,1,,
.a b c x y z a b c xyz x y z abc ??
++=??++=?
≥≥≥≥≥≥ 解析 如果yz ≥3，并且bc ≥3，那么
33a a b c xyz x ++=≥≥3x y z abc a ++=≥≥．
所以，式中的所有不等号均为等号，这要求a b c ==，x y z ==，3bc =，3yz =，这是不可能的． 从而，2yz ≤或者2bc ≤．不妨设2yz ≤，则()(),1,1y z =或()2,1．
情形1()(),1,1y z =，此时a b c x ++=，2x abc +=，故2abc a b c =+++，可知2a ≥，从而
24a abc a b c a <=+++≤，故14bc <≤，于是()()(),2,1,3,1b c =或()2,2．分别代人可求得
()(),,,,,5,2,1,8,1,1a b c x y z =，()3,3,1,7,1,1或()2,2,2,6,1,1．
情形2：()(),2,1y z =，2a b c x ++=，3x abc +=，即有26abc a b c =+++，同上可知126bc <≤即
3bc ≤，因此，()()(),1,1,2,1b c =或()3,1，对应地，可求得
()(),,,,,8,1,1,5,2,1a b c x y z =或()3,2,1,3,2,1(当()(),3,1b c =)时无解)．
综上，结合对称性，可知()(),,,,,5,2,1,8,1,1a b c x y z =，()8,1,1,5,2,1，
()3,3,1,7,1,1，()7,1,1,3,3,1，()2,2,2,6,1,1，()6,1,1,2,2,2或()
3,2,1,3,2,1共7组解．
21.3.15★★★ 求证：方程，x y z u x y z u +=+没有各不相同的正整数解． 解析 不失一般性，设x y <，z u <，x z <，则y u >，即有x z u y <<<．于是 1x ≥，2z ≥，3u ≥，4y ≥． ()1
1u x y y x y y u ++>+≥
()()11u
u u =+?+
2u u u z u u u u z u >=+>+．
所以原方程无各不相同的正整数解．
21.3.16★★★ 求方程354x t -=的正整数解(),s t ； (2)求方程325x t -=的正整数解(),s t ．
解析 (1)由354x t -=知，()()110mod 4s
--≡，故s 为偶数，设2s u =(u 为正整数)．故
()()25343232t u u u =-=-+，
由于32u -与32u +不能都被5整除，故有321u -=，故1u =，2s =，1t =．
初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组
123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1 ，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式：
分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分 母分解因式，然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法， 它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求 分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解． 解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w ，则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0． 由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0，从而有 说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算 过程简化． 例7 化简分式： 适当变形，化简分式后再计算求值． (x -4)2 =3，即x 2 -8x+13＝0． 原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10
初中数学竞赛专题[配方法] 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2 ±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2 +b 2 配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2 +b 2 ， ③由a 2 ±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4 +4＋4x 2 －4x 2 =(x 2 +2)2 －4x 2 ＝…… 这是由a 2 +b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数 写成完全平方式. 例如：化简6 25-. 我们把5－2 6写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（ 2－3） 2 . 这是由2 ab 配上a 2 +b 2 .
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2 ≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2 +2a －2= a 2 +2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2 ±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x 2 +y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2 +y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2 +(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+0201y x . 解得 ???=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：
初中数学竞赛辅导练习题 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012 >=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数 对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 6、计算 的值是（ ）。（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－ 2。 7、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）。 （A ）12；（B ）16；（C ）24；（D ）30。 8、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标 系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。 9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线 段AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点P 的个数为（ ）。 （A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）不小于3的整数。 （A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3。 二、填空题： 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 9、已知方程( ) 015132832 2 2 2 =+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 1.设15+=m ,那么m m 1 + 的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角
初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？ 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！ 在平面几何中，我们已经知道以下定理． 定理1 相似形周长的比等于相似比． 定理2 相似形面积的比等于相似比的平方． 例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)． 证△ABC的周长是 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)， △A′B′C′的周长是 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)， 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3． 例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42． 证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42． 从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子． 例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比． 解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc， 长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc， 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc＝33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比． 解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是 (3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33． 定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程．
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 全国初中数学知识竞赛辅导方案 王选民 为了在全国数学知识竞赛中取得优异成绩，将对学生辅导方案总结如下： 一、了解掌握优生的特点 一般我们选择参加竞赛的学生都是学优生，当我们与“优生”进行面谈时，应该清醒地认识到，他们能成为“优生”，是学生家长和老师共同教育的结果。尤其要看到这些“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来，“优生”一般具有以下特点： 1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。 3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。 5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的
不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 以上几点，只是就一般“优生”的共性而，当然不一定每一个“优生”都是如此。 辅导优生的具体措施 1、创设能引导学优生主动参与的教育环境。 2、了解学生在兴趣、学习偏好、学习速度、学习准备以及动机等方面的情况。这些资料为教师制定活动和计划时的依据，也是“促进学生主动地、富有个性地学习的需要”。 3、为尖子设计学习方案。学优生学习新知识时，比其他学生花的时间少，他不需要很多的练习就已经理解新知识，因此，做的练习也少。让他们做那些已经理解的题目就很多难让学生体会到智力活动的乐趣。长此以往，反而可能在一定程度上降低学生对于智力生活的敏感性。教师应该备有不同层次介绍同一主题的资料，采用向学生布置分组作业的方法，从众多的方案和活动中选取与他们的知识、技能水平相当的项目，指定他们完成。 4、解决学优生心理问题：学优生在心理状态上，易产生骄气，居高临下，听不进半点批评，心理脆弱。在价值取向上，易产生唯我独尊，以自我为中心的个性倾向和价值取向，不把其他同学的感觉、好恶、需要放在一定的位置；在行为方式上，由于始终把自己当学优生，与一般同学不一样，束缚了自己，娱乐活动不愿参加，集体劳动怕吃苦。 针对这种状况，教学中应注意： 学优生学习成绩优异，但不能“一俊遮百丑”。在鼓励保持学习上的竞争姿态和上进好胜的同时，要创造条件和环境，磨练他们的意志，培养他们的创造能力，规范他们的行为意识。
初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 甲内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 乙例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8
4能被4整除时，X＝0，4，8 当末两位X ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 丙练习 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时，5 9610能被7整除 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152， ⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）
第一讲：因式分解(一) (1) 第二讲：因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲：因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具．因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w
初中数学竞赛专题选讲 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
全国初中数学竞赛辅导（初三分册）全套
第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．