信号与系统习题解
第二章
1.从本章所讲的各讲中挑出你认为比较新的概念。
2.若物理信号()x t 的频谱存在，记为()X f ，考虑截断信号
(),
||()20,T T
x t t x t ?
≤?=?
??
其它，1,
||()20,T T t R t ?≤
?=?
??
其它
在如下情况下的频谱
(1)将截断信号()T x t 视为非周期模拟信号求其频谱()T X f ; (2)将截断信号()T x t 视为周期为T 的模拟信号求其频谱()T X n ;
(3)将截断信号()T x t 视为)()()(t R t x t x T T =，求其频谱的解析表达式，并由此推出积分变换
sin ()()()()
()
f s T
KX f X s ds
f s ππ+∞-∞
-=
-?
的性质。
由此讨论各种观点下的频谱的表现形式以及内在规律。
解： (1)
22
22)(()()T
T T T j ft
j ft f X x t e
dt x t e dt ππ+∞
---∞
-
=
=
??
(2)
2222
()1()jn
t
T
T n n T
jn
t
T
T n T x t C e
C x t e
dt
T
ππ+∞
=-∞--==
∑
?
(3)
2()
2()
2
2
?()()*(
)
?()()()()()sin ()()
()
T T T j f s t T T
j f s t T X f X f
R f X s R f s ds X s R t e dtds X s e
dtds f s T
X s ds
f s ππππ+∞-∞∞+∞---∞-∞+∞---∞-+∞-∞
==
-==-=
-???
???
积分变换s i n ()()()()()
f s T KX f X s ds f s ππ+∞-∞
-=
-?
将信号()x t 的频谱化为截断信号
()T x t 的频谱。
当视信号为非周期的模拟信号时，其频谱是模拟的；当视信号为周期的模拟信号时，其频谱是离散的；并且二者有如下关系
1()n n C X T T
=
当视信号为两个信号的乘积时，其频谱为这两个信号频谱的卷积；利用这三种观点求出的频谱，在本质上是一致的。
3.给出帕色伐尔定理的不同表示形式(周期信号与非周期信号)。 解：
(1)非周期信号
记()[()],()[()]X f FT x t Y f FT x t ==
则
()()()()x t y t dt X f Y f df +∞
+∞
-∞
-∞
=
?
?
(2)周期信号指数表示
设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且
22(1)(2)(),()n n j
t
j
t
T
T
T n
T n
n n x t C
e
y t C
e
ππ+∞
+∞
=-∞
=-∞
=
=
∑
∑
则
22(1)(2)222
222(1)(2)22
2(1)(2)22
(1)(2)
()()11T T
n m j
t
j
t
T
T
T T T T n
m
n m T
n m j t
j t
T
T T n
m
n m T n m j
t
T
T n
m
n m n n
n x t y t dt C
e
C
e
dt
T
C e
C
e dt
T T
C
C
e
dt
T
T
C C πππππ+∞
+∞
--
=-∞
=-∞+∞
+∞
-=-∞=-∞-+∞
+∞
-=-∞=-∞+∞
=-∞
=
===∑
∑
?
?∑∑
?
∑∑
?
∑
(3)周期信号正余弦表示
设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且
(1)
(1)
(1)
1(2)
(2)
(2)
1
22()cos sin 222()cos
sin
2
T k k k T k k
k a kx kx x t a b T T a kx kx y t a b T
T
ππππ∞
=∞
==+
+=
+
+∑
∑
则
22(1)(2)
(1)
(1)(2)
(2)
021
1
2(1)(2)
(1)
(2)
(1)(2)
00
(1)(2)
(1)
(2)(1)
(2)
00()()2222cos
sin cos
sin
22
4
2
22
T
T T T T
T k
k
k k k k k k k k k k k
k k
k x t y t dt
a a kx kx kx kx a
b
a b dt T
T T
T a a T T
a a
b b a a T a a b b ππππ-∞
∞
-==+∞
=-∞=-????
=++++ ?
??
???
=+
+=++?
∑
∑
?∑
+∞
∞
??
???
∑
4.给出图解法的实施步骤、数学证明中的辅助函数及其任意阶广义导函数。 见讲义
5.证明以下普通函数的广义极限均为()t δ
设()f t 是任意实的连续可积函数，则
(1)
()1()()()21 ()2 () [,]0,()()()(0)()()()()
g t f t dt f t dt f dt
f g t f t dt f f t f t dt
g t t λ
λλ
λ
λ
λλλ
ξλ
ξξλλλξδδ+∞-∞
--+∞
+∞-∞
-∞
=
==∈-∴→=→=
∴→?
?
?
?
?
(2)
()1
||
()()(1)()1
||
()(1) () [,]0,()()()(0)()()()()
t g t f t dt f t dt t f dt
f g t f t dt f f t f t dt
g t t λ
λλ
λ
λ
λλλ
λ
ξλ
λ
ξξλλλξδδ+∞-∞
--+∞
+∞-∞
-∞
=
-
=-
=∈-∴→=→=
∴→?
?
?
?
?
(3)
()||
1
||
1
1()()()2(1)1
()2(1)
() [,]0,()()()(0)()()()()
t t g t f t dt e
f t dt
e
f e
dt
e
f g t f t dt f f t f t dt
g t t λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λλλξλξξλλλξδδ-
+∞--∞
----+∞
+∞-∞
-∞
=
-=-=∈-∴→=→=
∴→?
?
?
?
?
(4)
()2
2
(
)
(
)
()()() () () [,]0,()()()(0)()()()()
t
t g t f t dt f t dt
f dt
f g t f t dt f f t f t dt
g t t πλ
λ
λλ
πλ
λ
λ
λλξξξλλλξδδ-+∞-∞
---+∞
+∞-∞
-∞
=
==∈-∴→=→=
∴→?
?
?
?
?
6.利用傅立叶正反变换可以导出一种非常广义的导数，其定义为
()(){2()},()(())def
D x t IFT j fX f X f FT x t π==
因为傅立叶变换存在的条件相当低，所以很多不一定连续的函数也都存在如此定义的广义导数。请模仿经典导数，列出该广义导数的性质。 解： 1.
()()()()()()Dx y t Dx t Dy t +=+
证明：
()(){2(()())}
{2()}{2()}()()()()
D x y t IFT j f X f Y f IFT j fX f IFT j f Y f D x t D y t πππ+=+=++=+
2. ()()()()D x t D x t αα=
3.
()()()()()()()()D xy t x t D y t D x t y t =+
证明：
()(){2(()*())}D xy t IFT j f X f Y f π=
而
2(()*())2()()2()()2()()()2()()2()*(())2(())*()
j f X f Y f j f
X Y f d j X f Y f d j X f Y f d j X Y f d j X f fY f j fX f Y f ππτττ
πτττ
π
ττττπ
ττττ
ππ+∞-∞
+∞-∞+∞+∞-∞
-∞
=-=-=--+-=+?
??
?
所以
()(){()*(2())(2())*()}
(){2()}{2()}()()()()()()()
D xy t IFT X f j fY f j fX f Y f x t IFT j fY f IFT j fX f y t x t D y t D x t y t ππππ=+=+=+
…… 第三章
1. 在一般情况下，按L ∞-范数收敛强于按2L -范数收敛，但在特殊情况下，按2L -范数收敛
也能推出按L ∞-范数收敛。比如令2
L σ为所有能量有限且其频谱()X f 满足 ()
||()0
X f f X f σ
?其它
的信号(),(,)x t t ∈-∞+∞组成的线性空间(按照通常的加法和数乘)，按内积(,)()()x y x t y t d t +∞-∞
=
?
诱导的范数1
2||||(,)x x x =成为一个Hilbert 空间。它与有限区间
(,)σσ-+上的一切平方可积函数构成的Hilbert 空间2
(,)L σσ-+等距同构。 证明
2()x t L σ
?∈，当
2
|()()|0,()n x t x t dt n +∞-∞
-→→∞?
时，必有
(,)sup |()()|0,()t n x t x t n ∈-∞+∞-→→∞。
证明： 由于
221
22
2
|()()||(()())||(()())||()()||()()||()()||()()|j ft
n n j ft
n n n Schw arts inequality
n Paserval equality
n x t x t X f X f e
df X f X f e df
X f X f df X f X f df
X f X f df x t x t dt ππσ
σ
σ
σ+∞-∞
+∞-∞+∞-∞+-
+-+∞
-∞-=-≤-=-=
-?
≤
-??
?
=-?
??
??
?1
22
()()||n x t x t ??
=
-
从而
(,)2sup |()()|()()||t n n x t x t x t x t ∈-∞+∞-≤
-
因此当2
|()()|0n x t x t dt +∞-∞
-→?
时，必有(,)sup |()()|0t n x t x t ∈-∞+∞-→。
2. 设
()X f 为信号()x t 的频谱，
{}
()x n ?为信号()x t 的采样序列，记
0()()n n X f X f +∞
=-∞
=
+
?
∑
，2()()j fn n X f x n e
π+∞
?
?=-∞
=
??∑
，证明0()()X f X f ?=。
证明： 由于
∑
+∞
-∞
=?
+
=
n n f X f X )()(0
是以
?
1为周期的函数，即)()1(00f X f X =?
+
，设
20()j fm m m X f C e
π+∞
-?
=-∞
=
∑
为)(0f X Fourier 级数展开式， 其中
1
22102122121221212()212122122()()()()()()(j fm m j fm n j fm n n
n j m n n n
j m n n j fm C X f e
df
n X f e df n X f e
df
X e
d X e
d X f
e df
x m ππππθπθπθθθθ
?
?-?+∞
??-=-∞?
+∞
?
?-=-∞?+∞
+
-
?
???
-+=-∞
??+∞
+?
??-+=-∞
??
+∞?
-∞
=???=?+ ????
=?
+
?
=?
=?
=?=??∑?∑?∑?
∑?
?
)
?
从而得到
220()()()()j fm j fn m n X f x m e
x n e
X f ππ+∞
+∞
-?
-?
?=-∞
=-∞
=
??=?
?=∑
∑
3. 设{}()x n ?为信号()x t 的采样序列，如果再以1μ?=?
(2μ≥为正整数)抽出子列
1{()}x m ?，证明
11
1111
sin
()
()()
()
m t m x
t x m t m ππ+∞
=-∞
-??=?-??∑
与sin ()
()()
()
n t n x
t x n t n ππ+∞
=-∞
-??
=?-??
∑
满足 1
2111
|2()()2|()|f x
t x t X
f df >
?-≤?
，其中()X f 是()x t 的频谱。 证明：
因为
1111sin ()
()()
()
sin
()
()
()
()()
n n m n x
m x n m n m n x n m n x m x m π
π
π
μπ
μμ+∞
=-∞+∞
=-∞
?-??
?=??-???-??
=
??-??
=?=?∑
∑
所以子列1{()}x m ?可以认为是对()x
t 的采样，于是由定理3.3可得 1
2111
|2()()2|()|f x
t x t X
f df >
?-≤?
4. 当取(,)()M k x t J xt =
时，其中()M J ?是M 阶的第一类Bessel 函数， 相应的采样定理如
何表述？ 解：
假设M R ∈且1,0M L >->，1234,,,t t t t 是方程()0M J Lx =的正根，则 ()()12,M M J t x J t x 在区间()0,L 上构成一个完备正交系。
即当 i j t t ≠时，
()()0
0L
M i M j xJ t x J t x dx =?
设()x t 是 上的一个信号，且存在区间()0,L 的一个函数()x ?，使得 ()()()0
L
M x t xJ tx x dx ?=
?
则()x t 可以按如下方式重构:
()()()1
n
n
n x t x t S t ∞
==
∑
()()()()0
20
L M M n n L M n xJ tx J t x dx
S t xJ
t x dx
=
?
?
5. 当取(,)()t k x t P x =时，其中()t P x 是Legendre 函数，相应的采样定理又如何表述？
解：
当0,1,2,3t = 时，012(),(),()P x P x P x 在区间[1,1]-上构成一个完备正交系。即当
m n ≠时，
()()11
0m n P x P x d x -=?
。
设()x t 是 上的一个信号，且存在区间[1,1]-上的一个函数()x ?，使得 ()()()11
t x t P x x dx ?-=
?
则()x t 可以按如下方式重构：
()()()
()()()()0
11
12
1
n
n t n n n
x t x n S t P x P x dx
S t P x dx
+∞
=--=
=
∑?
?
第四章
1. 用一条主线将本章介绍的所有变换的物理背景和数学生长点串在一起。
2.
利用复变函数的知识给出几种求反Z-变换的方法。
解：设()()n
n X z x n z
+∞
-=-∞
=∑
收敛域为 r z R <<
(1)留数法
把()X z 在r z R <<内展为洛朗级数()n
n n X z c z +∞
=-∞
=
∑
其中1
1()
0, 1...2n n X z c dz n j
z
π
+Γ
=
=±? :()z r R ρρΓ=<<
对照两式有1
1
1()()Re (())2k
n n n z a k
x n c X z z
dz s X z z
j
π
---Γ
====
∑?
其中k a 为1
()n X z z -在区域：()z r R ρρ<<<内的孤立奇点
(2)长除法
设()()()
P z X z Q z =
为有理分式，收敛域为 r z R <<
a.将()()()()()
()
P z M z X z N z Q z Q z =
=+
化为带分式
b.将
()()M z Q z 化为
()()()()
()
()M z A z C z Q z B z D z =
+
，则()()()()()
()
A z C z X z N z
B z D z =+
+
其中()()
A z
B z 的收敛域为z r > ，()()
C z
D z 的收敛域为z R <
将(),()A z B z 降幂排列，用()B z 去除()A z ，将
()()
A z
B z 以z 的降幂排列
0120
()()(0)(1)(2)()
n
n A z x
n z x
z x z x z B z ∞
---==
=+++∑ 将(),()C z D z 升幂排列，用()D z 去除()C z ，将
()()
C z
D z 以z 的升幂排列
1
123 ()()(1)(2)(3)()
n n C z x
n z x z x z x z D z --=-∞
=
=-+-+-+∑
c .从而得1()(())()x n Z N z x
n -=+ (3)部分分式展开法 设()()()
P z X z Q z =
为有理分式
a.将()()()()()
()
P z M z X z N z Q z Q z =
=+
化为带分式
b.将()Q z 有理分解：
若12()()()()n Q z z z z z z z =--- 无重根，将
121
2
()()
n n
A A A M z Q z z z z z z z =
+
++
---
中的系数12,,,n A A A 按如下公式求出 ()(
())|()
k k k z z M z A z z Q z ==-， 1,2,,k n =
若1212()()()()l
n n n l Q z z z z z z z =--- 12l n n n n +++= 将
1
1
n 11111
1()()
()
()
l
l
l n l n n l
l A A A A M z Q z z z z z z z z z =
++
++
++
----
中的系数按如下公式求出 ()()
1
()(
())|()!()
j j k j n k n
jk j z z n k j d
M z A z z n k Q z dz
-=-=
--，1,2,,,1,2,,.j k n j l ==
c.求出所有的1
1
1(
)()()
()
jk jk k
k
j j A Z
A Z
z z z z --=--，进而得出
1
1
11
1()(())(
)()
j
n l
jk k
j k j x n Z N z A Z
z z --===+
-∑∑
3.
写出拉普拉斯变换的正反变换公式，并用Laplace 变换替代Fourier 变换，改写第二章中图解法求频谱的方法。
解：设)(t x 为),(+∞-∞上的有限分段函数，每一段上是一个多项式。
1）.找出)(t x 的所有不连续的分段点1
11121,,,s t t t ，在间断点j t 11(1,2,,)j s = 处，根据
)0()0(11--+j j t x t x 的取值画箭头:
当 11(0)(0)0j j x t x t +--> 时，箭头冲上; 当 0)0()0(11<--+j j t x t x 时，箭头冲下。
2）.对)(t x 逐段求导(忽略分段点)得)('t x ，求出)('t x 的新的不连续的分段点2
21222,,,s t t t ，
在间断点j t 22(1,2,,)j s = 处，根据)0(')0('22--+j j t x t x 的取值画箭头:
当 0)0(')0('22>--+j j t x t x 时，箭头冲上; 当 0)0(')0('22<--+j j t x t x 时，箭头冲下。 ……
n ）.如果首次在各个分支上出现0)()
(≡t x n ，停止求导，)(t x 的n 阶广义导数按照如下公式
给出:
1
2
(1)
(0)
(0)
1111(2)(1)(1)
2221(0)
(1)
(1)
1
()()[(0)(0)]()[(0)(0)]
()[(0)(0)]
n
s n
n j j j n
j s n j j j j s n n nj nj nj j d x t t t x t x t dt
t t x
t x
t t t x
t x
t δ
δ
δ
-=-=--==
-+--+
-+--++
-+--∑∑∑
仿照Fourier 变换的证明，易证得 ()()()()n n n n d x t L s L x t s X s dt ??== ???
又
()()()st
sa
L t a t a e
dt e
δδ+∞---∞
-=
-=?
所以()()()
()()m s m
m
a
s L L t a s t a e
δδ--=-=
所以
()1
12
2
1
(0)
(0)
111
2
(1)
(1)
221(1)
(1)
1
1
()[(0)(0)]
[(0)(0)]
[(0)(0)])
j
j
n
nj
n n n
s t j j j s t j j j s t n n nj s s s nj j n
d x t e
e
X s L s dt s
x
t x
t s x
t t s
e
x t x
x
t -----=-=--=??= ???
=
+--+
+--++
+--∑∑
∑
4. 从讲义中找出Hilbert 变换的定义，并对瞬时频率与频率进行区分。
5. 给出含参变量积分220sin(())T
j fv v t e dv ππ-+?的数值解的程序。
6. 在窗口Fourier 变换和小波变换中，对基底进行局部修正起到了关键作用，分别对两种变换中的修正方法进行描述。
7.
证明Walsh 函数列{(,),0,1,2,...}Wal k t k =是2([0,1])L 的完备正交基。
证明：
正交性易证，见讲义，略。
下面证完备性。将区间[0,1]等分为2n 份：012
1
,,,n
-??? ，记在每一小段i ?上取常值的
所有函数所组成的空间为n M ，显然n M 是一个2n 维的线性空间且
{(,),0,1,2,,21}n
n W al k t k M =-? 。由Walsh 函数列的正交性知，
{(,),0,1,2,,21}n
W al k t k =- 是n M 空间中的线性无关函数，又恰好数目为2n 个，所以
{(,),0,1,2,,21}n
W al k t k =- 是n M 上的完备正交基。又区间[0,1]上的所有阶梯函数组
成的线性空间D 稠于2([0,1])L ，而1
n n M ∞
= 稠于D ，所以由{(,),0,1,2,...}Wal k t k =张成的
线性子空间稠于2([0,1])L ，所以{(,),0,1,2,...}Wal k t k =是2([0,1])L 的完备正交基。
第五章 1． 编译一种FFT 程序，并与Matlab 中附带的FFT 比较速度，调整你的程序，使之达到与Matlab 中的程序一致的速度。如果在GPU 环境中，你能提高多少?
2．
编译随机产生素数的程序，并求出对应素数p 的倒序重排q 。是否存在正整数N ，使得所有不超过N 的素数的倒序重排也不超过N ?如果不唯一，给出这样的N 的集合。
3．
写出快速相关的程序。
4． 将圆周卷积替代线性卷积的来龙去脉以及实现的技巧写出来。
5． 从网上获取知识，写出矩阵的Kronecker 乘积的综述，特别指出已知的应用和潜在的应用。
6．
将本章中“求上(下)确界的问题转化为求矩阵的最大特征根问题”的技巧整理出来，并搜索当前研究论文中使用该技巧的其他例子(越多越好)。
第六章
1. 因果线性时不变连续系统的微分方程为
2
2()()6
8()2()d y t dy t y t x t dt
dt
++=，
试用傅里叶分析法求系统对2()()t
x t te u t -=的响应。
解：
对方程两边做拉普拉斯变换2
()6()8()2()s Y s sY s Y s X s ++= 又2
1()(2)
X s s =+
于是
2
2
3
2
3
2
21/41/211/4()(2)(68)
(2)(4)
2
(2)
(2)
4
Y s s s s s s s s s s --=
=
=
+
+
+
+++++++++
上式两边做拉普拉斯逆变换得
222242
24111
1()()()()()
42
24
1[(122)]()
4
t
t
t
t
t
t
y t e
u t te
u t t e
u t e
u t t t e
e
u t ------=-
+ -
=
-+ -
2. 试计算AR 、MA 、ARMA 模型的传递函数，并写出高斯白噪声信号通过AR 、MA 、ARMA
模型的功率谱。 解：
设高斯白噪声()t ε的均值为零，方差为2σ 1)
()AR p -过程：
1
()()()p
k k X t a X t k t ε==--+∑
运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为
1
11
()1...p
p H z a z
a z
--=
+++
进而可求得()X t 的功率谱密度为
2
2
()(),j S H e
ω
ωσπωπ=-≤≤
2) ()M A q -过程：
1
()()()q
k
k X t b
X t k t ε==
-+∑
运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为
1
1()1...q
q H z b z
b z
--=+++
进而可求得()X t 的功率谱密度为
2
2
()()j S H e
ω
ωσ=
3) (,)ARMA p q -过程：
1
1
()()()()p
q
k l
k l X t a X t k b t l t εε===--+
-+∑∑
运用第十二讲Z-变换提到的后移算子的方法，可知其传递函数为
111
11...()1...q q p
p b z b z H z a z
a z
----+++=
+++
进而可求得()X t 的功率谱密度为
2
2
()()j S H e
ω
ωσ= 第七章
1. 用代价函数统一认识各种判决准则。 见讲义第三十讲第二部分
2. 匹配滤波器从数学角度看就是一个满足如下积分方程
00
()()(),02
T h z R t z dz s T t t T λ
-=
-≤≤?
的函数)(0t h ，所以匹配滤波器的设计就是给出该积分方程求解的一种算法。请设计一种好的算法。(读者可以仅就功率谱()22
2()n t S αβ
ωωβ
=
+的情形给出解)
提示: 上述积分方程求解问题虽然是数学中的问题，但数学系一般不专门开设积分方程求解的课程，而只有微分方程数值解的相关课程，原因是积分方程往往可以转化为微分方程来求解。本章的积分方程也不例外。在匹配滤波器一讲我们遇到的积分方程为
()0
()()(),
0T
n t R t z h z dz s T t t T -=-≤≤?
或写为
()0
()()(),
0T
n t R t z h z dz s t t T -=≤≤?
(1)
称为第一类Fredhlom 积分方程。 今后我们还会遇到积分核为
0()()()()()2
n t c t N R t z t z R t z δ-=
-+-
的情形(白噪声与非白噪声两部分的自相关函数的叠加)，此时对应的积分方程称为第二类Fredhlom 积分方程。还有一类特殊的积分方程
()0
()()(),
0T
j n t j j f s R t s ds f t t T λ-=≤≤?
(2)
称为齐次积分方程。
对于第一类Fredhlom 积分方程(1)，它的解可以用具有同一核的齐次积分方程(2)的待征函数和特征值来表示，称为形式解或解析解。假设积分核是正定的，此假设保证所有规范化的特征函数构成),0(2
T L 中的规范完备正交基底。如果)(t h 和)(t s 能量有限即平方可积，那么就有Karhunen-Loeve 展开式
)()(1
t f s t s k k k ∑
∞
==
和 )()(1
t f h t h k k k ∑
∞
==
代入积分方程(1)，于是
()0
1
1
1
()()()()T k k k
n t k k
k k k k k s f t h R t z f z dz h
f t λ∞∞
∞
====
-=
∑
∑∑?
由此得k
k
k s h λ=
，于是得到积分方程(1)的解析解1
()()k
k k k
s h t f t λ
∞
==
∑。用泛函分析的知识容
易证明)(t h 能量有限等价于∞<∑∞
=2
1
)|
|(
k
k k s λ。
上面的求解虽很简洁，但却不是一个实际可用的解法，因为它虽回避了求解原积分方程(1)，但却需要求解一个同核的齐次积分方程(2)。下面我们讨论积分核为有理核的第一类Fredhlom 积分方程的一种特殊解法，基本思路是把积分方程化成相应的微分方程。假设噪声功率谱为形如2
()2()()()
n t N S D ωωω=
的有理分式，那么其相应的自相关函数()()n t R τ称为有理
核。假设多项式()N x 的阶数为n ，则)(2ωN 为关于ω的n 2阶多项式。同理，假设多项式D 的阶数为d ，则)(2
ωD 为关于ω的d 2阶多项式。由于噪声具有有限的功率，所以n d >。由维纳-辛钦定理可得
2
()()2
11()()()22()
j t
j t
n t n t N R t S e
d e
d D ωωωωωωπ
π
ω+∞+∞-∞
-∞
=
=
?
?
又由傅立叶变换的性质可得
2
()2
()1()2()
n t j t
dR t N j e
d dt
D ωωω
ωπ
ω+∞-∞
=
?
2
2
()2
2
2
()1()()
2()
n t j t
d R t N e
d dt
D ωωωωπ
ω+∞-∞
=
-?
在复数域中)(2
ωD 可以分解为)()(2
1
2
ωωk d
k k
b a
D +=
∏=，简单起见，不妨设
2
2)(ωωb a D +=，于是有
2
2
()2
2()2
2
()1()1()()
()2()
2n t j t
j t
n t d R t N aR t b
a b e
d N e
d dt
D ωωωωωωωπ
ωπ
+∞+∞-∞
-∞
-=
+=
?
?
写成算子形式即
2
2()2
1()()()2j t
n t d D R t N e
d dt
ωωωπ
+∞-∞
-
=?
同理，对于任意有理分式2
()2()()()
n t N S D ωωω=
，可以得到
2
2()2
1()()()2j t
n t d D R t N e
d dt
ωωωπ
+∞-∞
-
=?
对于等式右边，注意到
1()1(),
()22n
j t
n j t
n
d t t e
d j e
d dt
ωωδδωωωπ
π
+∞+∞-∞
-∞
=
=
?
?
从而可化为
22()2
2
()()()()n t d d D R t N t dt
dt
δ-
=-
所以
22()2
2
()()()()n t d d D R t z N t z dt
dt
δ-
-=-
-
将算子22
()d D dt
-
作用于有理核第一类Fredholm 积分方程(1)两边，得
22()2
2
()()()()(),0T n t d d D R t z h z dz D s t t T dt
dt
-
-=-
≤≤?
将22()2
2
()()()()n t d d D R t z N t z dt
dt
δ-
-=-
-代入上式，得
222
2
()()()()(),0T d d N t z h z dz D s t t T dt
dt
δ-
-=-
≤≤?
222
2
()()()(),0d d N h t D s t t T dt
dt
-
=-
≤≤
上面的微分方程的解由两部分组成，方程本身的特解()g t ∞和齐次微分方程
22
()()0,0d N h t t T dt
-=≤≤
的通解()h g t 。而特解()g t ∞其实就是积分区间无限的非齐次积分方程(1)的解，即()g t ∞满足方程
()()()()n t R t z g z dz s t +∞∞-∞
-=?
至于齐次解()h g t ，若设2
221
()()n
i i N C h ωω==+∏，则
222
()
()
1
()()(()())i i n d n h t h t
k k h i
i k k
i k g t a e
b e a
t b t T δδ---===
++
+-∑∑
其中i a ，i b ，k a ，k
b 为待定系数，222
()
()
(()())d n k k k k
k a
t b t T δδ--=+-∑
是为了满足边界约束
条件而加上的修正项。至此我们解决了有理核第一类Fredholm 积分方程的求解问题。 解：
2
()22
22()()()
n t N S D αβ
ωωωβ
ω=
=+
由维纳-辛钦定理可得
2
()()2
11()()()22()
j t
j t
n t n t N R t S e
d e
d D ωωωωωωπ
π
ω+∞+∞-∞
-∞
=
=
?
?
又由傅立叶变换的性质可得
2
()2
()1()2()
n t j t
dR t N j e
d dt
D ωωω
ωπ
ω+∞-∞
=
?
2
2
()2
2
2
()1()()
2()
n t j t
d R t N e
d dt
D ωωωωπ
ω+∞-∞
=
-?
所以
2
2
()2
22
2()2
2
()1()1()()
()2()
2n t j t
j t
n t d R t N R t e
d N e
d dt
D ωωωββωωωωπ
ωπ
+∞+∞-∞
-∞
-
=
+=
?
?
写成算子形式即
2
()2
1()()22j t
n t d D R t e
d dt
ωαβωπ
+∞-∞
-
=?
对于等式右边，注意到
1()2j t
t e
d ωδωπ
+∞-∞
=
?
从而可化为
2()2
()()2()n t d D R t t dt
αβδ-
=
所以
2()2
()()2()n t d D R t z t z dt
αβδ-
-=-
将算子22
()d D dt
-
作用于方程
00
()()(),02
T h z R t z dz s T t t T λ
-=
-≤≤?
两边，得
220()2
2
()()()()(),02
T n t d d h z D R t z dz D s T t t T dt
dt
λ-
-=
-
-≤≤?
将2()2
()()2()n t d D R t z t z dt
αβδ-
-=-代入上式，得
202
2()()()(),02
T d h z t z dz D s T t t T dt
λαβδ-=
-
-≤≤?
2
2
02
()2()(),02d s T t h t s T t t T dt λαββ?
?
-=--≤≤ ???
所以
2202
()()(),04d s T t h t s T t t T dt λ
βαβ??
-=--≤≤ ???
3. 检验准则
当2000
2(
)exp 2Aq A T I N N λ??
???
时，选择0H ，否则选择1H 。 其中θπ
αθπ
d e x I x )
cos(20
021)(-?
=
是零阶修正Bessel 函数，使用起来比较麻烦，可以换成寻
找关于q 的阈值η，当q η<时，选择0H ， 否则选择1H 。这样的η正好是方程
???
??
?=0200
02ex p )2(
N T A N Aq I λ的解。试给出求阈值η的数值解的算法和程序。
4. 叙述并证明Karhunen －Loeve 展开定理。
解：
Karhunen-Loeve 展开定理 存在(0,)H T 的规范完备正交基底1{()}n n f t +∞
=，使得对任何随机信号),0()(T H t r ∈，在均方收敛意义下可以唯一地展开为()()k
k k
r t r
f t =
∑，其中系数
1{}k k r +∞
=是互不相关的随机序列。
证明：
假设所接收到的信号为()()()r t s t n t =+，其中噪声是均值为零，自相关函数为)(τR 的高斯平稳过程，由Mercer 定理知，在),0(2
T L 上存在规范正交基1{()}n n f t +∞
=，使得
()()()T
j j j f s R t s ds f t λ-=?
令)()(t f r t r k k k
∑
=，由1{()}n n f t +∞
=的正交性，知0
()()T k k r r t f t dt =
?
而
?{}{()()}{()}()()()T
T
T
k k k k k r
E r E r t f t dt E r t f t dt s t f t dt ====
??
?
?[()()]()}()()T
T
k k k k r r
r t s t f t dt n t f t dt -=-=
?
?
所以
{}()
00
??{()()}()()()()()()()()()()()()
()()T T k k j j k j T T k j T T k j T T k j E r r
r r E n t f t dt n t f t dt E f t f s n t n s dtds
f t f s R t s dtds
f t f s R t s ds dt
??
--=????
==-=
-???
?
??
?
?
而由Mercer 定理知 0
()()()T
j j j
f s R t
s d s f t
λ
-=?
所以有
,??{()()}()()0,
T j k k j j k j j k j E r r
r r f t f t dt k j λλ=?--==?≠??
即系数1{}k k r +∞
=是互不相关。
并且可以证明正交基1{()}n n f t +∞
=在均方收敛意义下
2
1lim ()()0N
k k N k E r t r f t →∞
=???
?
-=?????
?
∑ 所以又是完备的。
信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s
精品文档 为 O 信号与系统试题库 一、填空题： 1? 计算 e (t 2) u(t) (t 3) 。 2. 已知X(s) — 士的收敛域为Re{s} 3, X(s) s 3 s 1 的逆变换为 。 3. 信号x(t) (t) u(t) u(t to)的拉普拉斯变换 为 。 4. 单位阶跃响应 g(t )是指系统对输入为 的零状态响应。 5. 系统函数为H (S ) ( 2) ； 3)的LTI 系统是稳 (s 2)(s 3) 定的，贝g H(s)的收敛域 为 。 6. 理想滤波器的频率响应为 H (j ) 2' 100 , 如果输入信号为 0, 100 7 x(t) 10cos(80 t) 5cos(120 t) , 则输出响应y(t) 则描述系统的输入输出关系的微分方程7. 因果LTI 系统的系统函数为 H(s) s 2 s 2 4s 3
精品文档8. 一因果LTI连续时间系统满足： 弟5畔6y(t) d^ 3畔2x(t)，则系统的单dt d t dt dt 7 位冲激响应h(t) 为 。 9.对连续时间信号X a(t) 2sin(400 t) 5cos(600 t)进行抽 样，则其奈奎斯特频率为。 10.给定两个连续时间信号X(t)和h(t), 而x(t)与h(t)的卷积表示为y(t)，则x(t 1) 与h(t 1)的卷积为 。 11.卷积积分X(t t1)* (t t2) 。 12.单位冲激响应h(t)是指系统对输入为的零状态响应。 13. e 2t u(t)的拉普拉斯变换 为。 14.已知X(s)七七的收敛域为 3 Re{s} 2 , s 2 s 3 X (S)的逆变换为 _____________________ 15.连续LTI系统的单位冲激响应h(t)满足____________________ ，贝g系统稳定。为。 17.设调制信号X(t)的傅立叶变换X(j )已知， 16.已知信号X(t) cos( 0t),则其傅里叶变换
《信号与系统》复习题 1． 已知f(t)如图所示，求f(-3t-2)。 2． 已知f(t)，为求f(t0-at)，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0和a 都为正值） 3．已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形。 解题思路：f(5-2t)?????→?=倍 展宽乘22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5 右移 f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （1） dt t t u t t )2(0 0--?+∞ ∞-） （δ （2） dt t t u t t )2(0 --?+∞ ∞-） （δ （3） dt t t e t ?+∞ ∞ --++）（2)(δ
5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左○ ∑:x(k)=f(k)-a 0*x(k-2)- a 1*x(k-1)→ x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) 右○ ∑: y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2* a 1*x(k-1)+ b 0* a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2* a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a 0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a 0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程 6．绘出下列系统的仿真框图。 )()()()()(10012 2t e dt d b t e b t r a t r dt d a t r dt d +=++ 7．判断下列系统是否为线性系统。 （2） 8．求下列微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应。 )(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+
第五、六章自测题标准答案 1. 判断题 (1) 当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。 （ × ） (2) 若h (t )是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是非稳定的。 （ √ ） (3) 对于一个因果稳定的系统，可以利用ωωj s s H j H ==|)()( 求系统的频率响应。 （ √ ） (4) 一个稳定的连续时间系统，其系统函数的零极点都必定在s 平面的左半平面。 （ × ） 2．填空题 （1）某二阶系统起始状态为2_)0(',1_)0(=-=r r ；初始条件为,1)0(',3)0(==++r r 则确定零输入响应待定系数的初始条件为)0(+zi r = -1 ，)0('+zi r = 2 ；而确定零状态响应待定系数的初始条件为 )0(+zs r = 4 ，)0('+zs r = -1 。 （2）2 3)(2++=-s s e s F s 的逆变换为 )(][ )1(2)1(t e e t t ε-----。 （3）)()sin( )(t t t f εφα+=的拉普拉斯变换为2 22 2sin cos )(αφαα φ+? ++?=s s s s F 。 3．求图5-1中所示单边周期信号的拉氏变换。 图5-1 解： +---+- -=)2 3()()2()()(T t T t T t t t f εεεε 4．一个单位冲激响应为h (t )的因果LTI 系统有下列性质： （1）当系统的输入为t e t x 2)(=时，对所有t 值，输出t e t y 26 1)(= 。 （2）单位冲激响应h(t)满足微分方程 )()()(2) (4t b t e t h dt t dh t εε+=+-。这里b 为一个未知常数。 确定该系统的系统函数。 解：本题中用到了特征函数的概念。一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号为系统的特征函数。（请注意：上面所指的系统必须是线性时不变系统。） 因为t e t x 2)(=是因果LTI 系统的特征函数，所以t t s e e s H t y 2226 1|)()(= ?==。即
信号与系统 题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分) [1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。 A 、231()(3)()5t t h t e e t ε-= +- B 、32()()()t t h t e e t ε--=+ C 、3232()()55t t e t e t εε--+ D 、3232()()5 5 t t e t e t εε-- + - [2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad s π，通带内传输值为1，相移为零的理想低通 滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+
[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞ =-∞ = -∑ 的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2T πΩ= ；又 知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ? ? ==++ ?? ? ；则()f t 的傅里叶变换为________。 A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ [5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()k k h k k k εε-=--+，则该系统是________系统。 A 、因果稳定 B 、因果不稳定 C 、非因果稳定 D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（2 3 k k --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统 的阶数 A 、肯定是二阶 B 、肯定是三阶 C 、至少是二阶 D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。 A 、(1 2.72)()t e t ε-- B 、(1 2.72)()t e t ε-+ C 、(1)()t e t ε-- D 、(1)()t e t ε-- 二、填空题(6小题,共0.0分) [1]书籍离散系统的差分方程为1()(1)(2)(1)2 y k y k y k f k --+-=-，则系统的单位序列 响应()h k =__________。
信号系统(第3版)习题解答
《信号与系统》（第3版）习题解析 高等教育出版社
目录 第1章习题解析 (2) 第2章习题解析 (6) 第3章习题解析 (16) 第4章习题解析 (23) 第5章习题解析 (31) 第6章习题解析 (41) 第7章习题解析 (49) 第8章习题解析 (55)
第1章习题解析 1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ (c) (d) 题1-1图 解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。 1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形 压缩，f (2 t )表示将f ( t )波形展宽。] (a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t ) (c) f ( 2t ) (d) f ( -t +1 ) 题1-2图 解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-2 1-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。 题1-3图 解 各系统响应与输入的关系可分别表示为 )()(t i R t u R R ?= t t i L t u L L d ) (d )(= ?∞-= t C C i C t u ττd )(1)( 1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。 S R S L S C
综合测试(三) 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1、若想使连续时间信号在通过线性非时变系统传输时，波形不会产生失真，而仅仅是延时一段时间输出，则要求系统的单位冲激响应必须满足（） A. B. C. D. 2、序列和等于（） A. 1 B. C. D. 3、连续时间信号的单边拉普拉斯变换为（） A. B. C. D. 4、下列各式中正确的是（） A． B. C.D． 5、单边Z变换对应的原时间序列为（） A．B． C．D． 6．请指出是下面哪一种运算的结果？（）
A ． 左移6 B. 右移6 C ． 左移2 D. 右移2 三、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 4y ’(t) + 3y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e -2t ，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。齐次解为 y h (t) = C 1e -t + C 2e -3t 当f(t) = 2e –2 t 时，其特解可设为 y p (t) = Pe -2t 将其代入微分方程得 P*4*e -2t + 4(–2 Pe -2t ) + 3Pe -t = 2e -2t 解得 P=2 于是特解为 y p (t) =2e -t 全解为： y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1e -t + C 2e -3t + 2e -2t 其中 待定常数C 1,C 2由初始条件确定。 y(0) = C 1+C 2+ 2 = 2， y ’(0) = –2C 1 –3C 2 –1= –1 解得 C 1 = 1.5 ，C 2 = –1.5 最后得全解 y(t) = 1.5e – t – 1.5e – 3t +2 e –2 t , t ≥0 三、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e -t ，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。齐次解为 y h (t) = C 1e -2t + C 2e -3t 当f(t) = 2e – t 时，其特解可设为 y p (t) = Pe -t 将其代入微分方程得 Pe -t + 5(– Pe -t ) + 6Pe -t = 2e -t 解得 P=1 于是特解为 y p (t) = e -t 全解为： y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1e -2t + C 2e -3t + e -t 其中 待定常数C 1,C 2由初始条件确定。 y(0) = C 1+C 2+ 1 = 2， y ’(0) = –2C 1 –3C 2 –1= –1 解得 C 1 = 3 ，C 2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t ≥0 四、如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = ，试观 )e e 1(e 2s s s s s -----)e e 1(e 2 s s s s s -----
信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：
14、已知连续时间信号,) 2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s
f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1)
18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号
信号系统习题解答3版-3
第3章习题答案 3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率 5 kHz f =，脉宽20 s τ=μ，幅度10V E =，如图题 3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz 频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。 图 题3-1 解：5kHz f =，20μs τ=，10V E =，1 1 200T s f μ= =，41210f ππΩ== 频谱图为 从频谱图看出，可选出5、20、80kHz 的频率分量。 3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。 图 题3-3 解： ()f t 在一个周期（0，T 1）内的表达式为： 11 ()()E f t t T T =- - 111110011111()()(1,2,3)2T T jn t jn t n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π -Ω-Ω==--=- =±±±??L 11010011111()()2 T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=?? 傅氏级数为： n c 1 2(kHz) f 5205010015080
111122()22244j t j t j t j t E jE jE jE jE f t e e e e ππππ Ω-ΩΩ-Ω=-+-+-L (1,2,3)2n E F n n π = =±±±L (0)2 (0)2 n n n π?π?->??=? ??? 其中：112T πΩ= 111124 01112411()cos T T T T E a f t dt E tdt T T π --==Ω=?? n F 2E π 6E π 10E π1 Ω13Ω1 5Ω1-Ω13-Ω15-ΩL L 4E π 12Ω14Ω8E π 2E 12-Ω14-Ω2 π- 2 πn ?15-Ω13-Ω1 -Ω1 Ω1 3Ω1 5ΩL L 1 2Ω12-Ω14-Ω14Ω
信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2 t x h t -+ 图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：
(a) (b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a) (b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示： ()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2 t x -(a) (b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 6 2 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示：
《信号与系统》练习题 1、线性性质包含两个内容： 和 。（可加性、齐次性） 2、线性时不变（LTI ）连续系统的数学模型是线性常系数 方程。（微分） 线性时不变（LTI ）离散系统的数学模型是线性常系数 方程。（差分） 3、线性时不变系统具有 、 和 。（微分特性、积分特性、频率保持性。） 4、连续系统的基本分析方法有： 分析法， 分析法和 分析法。（时域、频域、复频域或s 域） 系统依处理的信号形式，可以分为三大类：连续系统、离散系统和混合系统。 5、周期信号频谱的特点是 、 、 。（离散性、谐波性、收敛性） 6、（1）LTI 连续系统稳定的充要条件是 。（ ∞
信号与系统试题库 一、选择题 共50题 1.下列信号的分类方法不正确的是（ A ）： A 、数字信号和离散信号 B 、确定信号和随机信号 C 、周期信号和非周期信号 D 、因果信号与反因果信号 2.下列说法正确的是（ D ）： A 、两个周期信号x (t )，y (t )的和x (t )+y(t )一定是周期信号。 B 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和2，则其和信号x (t )+y(t ) 是周期信号。 C 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和π，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 D 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和3，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 3.下列说法不正确的是（ D ）。 A 、一般周期信号为功率信号。 B 、时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。 C 、ε(t )是功率信号； D 、e t 为能量信号; 4.将信号f (t )变换为（ A ）称为对信号f (t )的平移或移位。 A 、f (t –t 0) B 、f (ｋ–k 0) C 、f (at ) D 、f (-t ) 5.将信号f (t )变换为（A ）称为对信号f (t )的尺度变换。 A 、f (at ) B 、f (t –k 0) C 、f (t –t 0) D 、f (-t ) 6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。 A 、)()0()()(t f t t f δδ= B 、()t a at δδ1)(= C 、)(d )(t t εττδ=?∞- D 、)()-(t t δδ=
2-7 试计算下列结果。 (1) t δ( t - 1 ) (2) ?∞ ∞--t t t d )1(δ (3) ?∞ --0 d )()3 π cos(t t t δω (4) ?+ - --003d )(e t t t δ 解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2) 1d )1(d )1(=-=-??∞ ∞-∞∞-t t t t t δδ (3) 21 d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-??∞∞ - -t t t t t δδω (4) 1d )(d )(e d )(e 0000300 3===-???+ - +- + - --t t t t t t t t δδδ 2-5 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t ) 的表达式，并分别画出它们的波形。 题2-6图 解 (a) 20,2 1 ≤≤t f ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2 -2δ( t - 4 )， t = 4 (b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )
图p2-6 3-11 试求下列卷积。 (a) δ( t ) * 2 (b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ?ε( t ) * δ' ( t ) 解 (a) 由δ( t )的特点，故 δ( t ) * 2 = 2 (b) 按定义 ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ?∞ ∞---+ττετεd )5()3(t 考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故 ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 5 3>-=?--t t t τ 也可以利用迟延性质计算该卷积。因为 ε( t ) * ε( t ) = t ε( t ) f 1( t - t 1 ) * f 2( t - t 2 ) = f ( t -t 1 -t 2 ) 故对本题，有 ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t - 2 )ε( t - 2 ) 两种方法结果一致。 (c) t e -t ?ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e -t - t e -t )ε( t ) 3-13 试求下列卷积。 (a) )()()()e 1(2t t t t εδε*'*-- (b) )](e [d d )(e 3t t t t t δε--* 解 (a)因为)()()()(t t t t δεεδ='=*'，故 )()e 1()()()e 1()()()()e 1(222t t t t t t t t t εδεεδε----=*-=*'*- (b)因为)()(e t t t δδ=-，故 t t t t t t t t t t 333e 3)() ()(e )](e [d d )(e -----='*=* δδεδε 4-3 试求下列信号的频谱函数。 (1) t t f 2e )(-= (2) )(sin e )(0t t t f at εω?=- 原题（a>0） 解 (1) ??? ∞ --∞ --∞∞ --+==0 j 20j 2j d e e d e e d e )()(t t t t f F t t t t t ωωωω
《信号与系统》复习题 1．已知 f(t) 如图所示，求f(-3t-2) 。 2．已知 f(t) ，为求 f(t0-at) ，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0 和 a 都为正值）
3．已知 f(5-2t) 的波形如图，试画出f(t) 的波形。 解题思路：f(5-2t)乘a 1 / 2展宽 2倍f(5-2 × 2t)= f(5-t)
反转 右移 5 f(5+t) f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （ 1） （ 2） （ t ） t 0 )dt t 0 u(t 2 （t t 0）u(t 2t 0 )dt （ 3） (e t t ) （t 2）dt 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解： 2 个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为 x(k) ∑ 0 1 1) → 左○ :x(k)=f(k)-a *x(k-2)- a*x(k- x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) ∑ y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 右○ : 为消去 x(k) ，将 y(k) 按（ 1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2 * a 1*x(k-1)+ b * a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2 * a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2) 、（ 3）、（ 4）三式相加： y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b *[x(k)+ a 1 *x(k-1)+a *x(k-2)]- b *[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a *x(k-4)] 2 0 0 0 ∴ y(k)+ a 1 *y(k-1)+ a *y(k-2)= b 2 *f(k)- b *f(k-2) ═ >差分方程
第8章习题答案 8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。 图 题8-2 解： 1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶 8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。 （1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3 解：1 [][1][]3 y n y n x n --= （1） 1[][]3n y n u n ?? = ??? （2）311[](())[]223n y n u n =- 8-7 求解下列差分方程的完全解。 （1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -= 解：（1）方程齐次解为：h [](2)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 121212142(1)2 2 , 39 D n D D n D n D D ++-+=-→==- 完全响应为：()14[]239n y n C n =-+-，代入1]0[=y 得：9 13=C ()1314[]2939 n y n n ∴=-+- （2）方程齐次解为：h [](5)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 0234
12121215 5(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→== 完全响应为：()1 5 []5636 n y n C n =-++ ，代入0]1[=-y 得：36 5-=C ()1 1[][565]36 n y n n += -++ 8-12 用单边z 变换解下列差分方程。 （1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换： 1 1 211 ()0.9[()[1]]0.05 1 (){10.9}0.050.9[1] 1 0.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9) (1)(10.9)(10.9)()0.50.45 10.910.9 0.50.45[][]0.10.9 z Y z z Y z y z z z Y z z y z z z z Y z z z z z z z Y z A B z z z z z z z y n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[] n u n u n +（3）由差分方程得： 2(0)3(0)2(1)2(1)22 y y y y --+-=-∴-==- 差分方程两边同时进行z 变换： 1 2 211 1222 2 ()2[()(1)]21(1) 22(1) ()(1)(12)(1)(12)(12) ()33(1)2(1)(2)(1) 3949139(1)2(1)z z Y z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++ -+-
信号与系统 习题 1 一、填空题 1.离散信号()2()k f k k ε=，则该信号的单边Z 变换为 ① 。 2.信号()f t 的傅里叶变换为()F j ω，则(23)f t -的傅里叶变换为 ① 。 3.已知周期信号()cos(230)sin(4+60)f t t t =++，则其周期为 ① s ，基波频率为 ② rad/s 。 4、已知)(1t f 和)(2t f 的波形如下图所示，设)()()(21t f t f t f *=，则=-)1(f ① ， =)0(f ② 。 5、单边拉氏变换()) 4(2 2 += s s s F ，其反变换()=t f ① 。 6、一离散系统的传输算子为2 3)(22+++=E E E E E H ，则系统对应的差分方程为 ① ， 单位脉冲响应为 ② 。 二、单项选择题 1. 下列说法不正确的是______。 A. 每个物理系统的数学模型都不相同。 B. 同一物理系统在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。 C. 不同的物理系统经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。 D. 对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。 2. 周期信号f (t )的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。 A. 余弦项的奇次谐波，无直流 B. 正弦项的奇次谐波，无直流 C. 余弦项的偶次谐波，直流 D. 正弦项的偶次谐波，直流 3. 当周期矩形信号的脉冲宽度缩小一半时，以下说确的是_____。
A. 谱线间隔增加一倍 B. 第一个过零点增加一倍 C. 幅值不变 D. 谱线变成连续的 4. 图3所示的变化过程，依据的是傅立叶变换的_____。 图3A. 时移性 B. 频移性 C. 尺度变换 D. 对称性 5. 对抽样信号进行恢复，需将信号通过_____。 A. 理想带通滤波器 B. 理想电源滤波器 C. 理想高通滤波器 D. 理想低通滤波器 6. 连续周期信号的频谱有_____。 A. 连续性、周期性 B. 连续性、收敛性 C. 离散性、周期性 D. 离散性、收敛性 7. 若对)(t f 进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为s f ，对)231 (-t f 进行取样，其奈奎斯 特取样频率为_____。 A. 3s f B. s f 31 C. 3(s f －2) D. )2(3 1 -s f 8. 信号f (t )变成)12 1 (+t f 的过程为_____。 A. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 B. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 C. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 D. 先将f (t )的图形向左移一个单位，再时间上展宽1/2倍 9. 下列傅里叶变换性质中错误的是_____。 A. 时间与频率标度)(1 )(ω? F a at f F B. 时移特性)()(00ω-ω-?F e t t f t j F C. 频移特性)()(00ω-ω?ωF t f e F t j (b ) ω (ω)ω π 2πτ4πτ (d )2π τ － 4πτ － o －π ?(b ) (a ) －1
第一章 绪论 一、单项选择 1、右图所示波形可用单位阶跃函数表示为（ D ）。 (A) f(t)=U(t)-U(t-1)+U(t-2)-U(t-3) (B) f(t)=δ(t)+δ(t-1)+2δ(t-2)-3δ(t-3) (C) f(t)=U(t)+U(t-1)+2U(t-2)-3U(t-3) (D) f(t)=U(t)+U(t-1)+U(t-2)-3U(t-3) 2、右图所示信号波形的时域表达式是（ D ）。 （A ） )1()1()()(---=t u t t u t f （B ） )1()()(-+=t u t tu t f （C ） )1()()(--=t u t tu t f （D ） )1()1()()(---=t u t t tu t f 3、信号)(t f 波形如右图所示，则其表达式为（ B ）。 （A ） )]1()1([+--t u t u t （B ） )]1()1([--+t u t u t （C ） )]1()1([++-t u t u t （D ） )]1()1([/1+--t u t u t 4、图示波形的表达式为（ B ）。 5、下图i(t)的表达式（ B ）。 6、已知()f t 的波形如下图所示，则(3)f t 波形为（ A ）。 7、已知)(t f 的波形如题 (a)图所示，则)22(--t f 为图3(b)图中的的波形为( A )。 8、已知f(t)的波形如题 (a)图所示，则f (5-2t)的波形为( C )。 9、已知信号f (t )的波形如题图所示，则f (t )的表达式为（ D ）。 （A ） (t ＋1)u(t) （B ） δ(t －1)＋(t －1)u(t) （C ） (t －1)u (t) （D ） δ(t ＋1)＋(t ＋1)u(t) 10、信号()f t 波形如下图a 所示，则图b 的表达式是（ C ）。 图a 图b （A ）(4)f t - （B ）(3)f t -+ （C ）(4)f t -+ （D ）(4)f t - 11、已知()f t 的波形如图所示，则' ()f t 的波形为（ B ）。 12、函数)(t f 的波形如下图所示，则)(t f 的一次积分的波形为（ A ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 13、信号f(t)的波形如题（a ）图所示，则f(－2t ＋1)的波形是（ B ）。 14、下列各表达式中正确的是（ B ）。 （A ）)()2t (t δδ= （B ）)(21)2t (t δδ= （C ）)(2)2t (t δδ= （D ）)2(2 1 )t (2t δδ= 15、已知t t f sin )(=，则dt t t f )()4 (δπ ? ∞ ∞ -- ＝（ B ） 。 （A ）22 （B ）22- （C ）42 （D ）4 2 - 16、 ? -2 2)10(dt t t δ＝（ C ）。 （A ） 100 （B ） 10 （C ） 0 （D ） 4 17、积分 2 [1sin()](2)84t t t dt ππ δ∞ -∞ +++-?的值为（ C ）。 （A ）8 （B ）16 （C ）6 （D ）4 18、 (2)(3)t t dt δε∞ -∞ --? 的值为（ B ）。 （A ）1 （B ）0 （C ）2 （D ）不确定 19、积分 (2)sin t tdt δ∞ -∞ -? 等于（ A ）。 （A ）sin 2 （B ）0 （C ）sin 4 （D ）2 20、积分 ? ∞ ∞ --+dt t t )2()1(2δ的值为( D )。
第5章习题答案 5-1 图题5-1所示RC 电路中，当t = 0时，开关S 闭合，求输出信号R ()v t 。输入信号分别为以下几种情况。 （1）()()x t Eu t = （3） 0≤≤()0 < 0, > E t x t t t τ τ ?=?? （4）()sin ()x t t u t Ω=? 图 题5-1 解： ()()()11R R s V s X s X s R s sC RC = = + + （1） ()E X s s = ()11R s E E V s s s s RC RC = ? =++ 1 ()()t RC R v t Ee u t -= （3） ()(1)s E X s e s τ -=- ()(1)(1)11s s R s E E V s e e s s s RC RC ττ --=?-=-++ 11 ()()()()t t RC RC R v t E e u t e u t ττ---??=--???? （4） 22()X s s Ω= +Ω
22()1R s V s s s RC Ω= ? + Ω + 2 222 111()RC s RC RC s s RC ?? ??Ω+Ω=-??+Ω+Ω??+ ? ? 12 ()cos sin ()1() t RC R RC v t t RC t e u t RC -??Ω =Ω+ΩΩ-??+Ω?? 5-3 电路如图题5-3所示，当t < 0时，电路元件无储能，当t = 0时，开关闭合。求电压2()v t 的表达式，并画出2()v t 的波形。 图 题5-3 解： 电流源电流为：s s 11/1= )12(11.09.01111.09.01 1)(2++=++ +++?=s s s s s s s s s s I