一种多项式矩阵列既约分析方法
一、目的与用途
在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。
二、数学原理
给定一个pXp 的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件
∑==
p
i ci
s M s M 1
)()(det deg δ
用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的
最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到
∑=p
i ci
s M 1
)(δ
。
其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 )(det s M ，npn p p p p i
a a a a a
s M ...)1()(det 4433221
1∑-=
，其中p1p2p3p4…pn 为从1到n 所有整数的某
种排列结果，i 为p1p2p3p4…pn 的逆序数。找出该多项式的最高指数 )(det deg
s M ，然
后与前面所得到的
∑=p
i ci
s M 1
)(δ
进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。
三、程序流程图
四、使用说明
1.运行程序project1.exe；
2.按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数；
3.点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示：
s^6+7s^5+3s^2-4s-125
其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列；4.进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；
5.关闭程序。
五、举例
例1：
例2：
附：软件清单（编程环境windows2000+delphi6）
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, Grids, ComCtrls, StdCtrls, Gauges;
type sss=array[0..100] of integer;
type
TForm1 = class(TForm)
PageControl1: TPageControl;
TabSheet1: TTabSheet;
TabSheet2: TTabSheet;
StringGrid1: TStringGrid;
Button4: TButton;
Edit1: TEdit;
Label1: TLabel;
StringGrid2: TStringGrid;
Label2: TLabel;
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure Button4Click(Sender: TObject);
procedure StringGrid1MouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;
Shift: TShiftState; X, Y: Integer);
procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
procedure Edit1Exit(Sender: TObject);
procedure FormResize(Sender: TObject);
procedure PageControl1Change(Sender: TObject);
procedure PageControl1Changing(Sender: TObject;
var AllowChange: Boolean);
private
{ Private declarations }
row,col:integer;
procedure jyjs;
function caldet:sss;
public
{ Public declarations }
procedure changewidth(col:integer;sender:tstringgrid);
end;
var
Form1: TForm1;
s:array[0..100,0..100] of sss;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
procedure Tform1.changewidth(col:integer;sender:tstringgrid); var
i,j,k:integer;
begin
k:=32;
i:=form1.Font.Size;
for j:=1 to sender.rowcount do
if length(sender.Cells[col,j])*(i-2)>k then
k:=length(sender.Cells[col,j])*(i-2);
sender.ColWidths[col]:=k;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
row:=1;
col:=1;
self.PageControl1.ActivePageIndex:=0;
end;
procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);
var
i,j,k:integer;
begin
if form2.ShowModal=mrok then
try
self.StringGrid1.Enabled:=true;
self.Edit1.Enabled:=true;
edit1.text:='0';
self.StringGrid1.ColCount:=strtoint(form2.colnumber.text)+1; self.StringGrid1.rowCount:=strtoint(form2.rownumber.text)+1; self.StringGrid1.FixedCols:=1;
self.StringGrid1.Fixedrows:=1;
for i:=1 to self.StringGrid1.rowCount-1 do
self.StringGrid1.Cells[0,i]:=inttostr(i);
for i:=1 to self.StringGrid1.colCount-1 do
self.StringGrid1.ColWidths[i]:=32;
for i:=1 to self.StringGrid1.colCount-1 do
self.StringGrid1.Cells[i,0]:=inttostr(i);
for i:=1 to self.StringGrid1.ColCount-1 do
for j:=1 to self.StringGrid1.rowCount-1 do
self.StringGrid1.Cells[i,j]:='0';
for i:=1 to 100 do
for j:=1 to 100 do
for k:=0 to 100 do
s[i,j][k]:=0;
self.Edit1.SetFocus;
except
showmessage('无效的行数或列数！');
end;
end;
procedure TForm1.StringGrid1MouseDown(Sender: TObject;
Button: TMouseButton; Shift: TShiftState; X, Y: Integer);
begin
row:=self.StringGrid1.row;
col:=self.StringGrid1.col;
label1.Caption:='s('+
inttostr(row)+','+
inttostr(col)+')=';
edit1.Text:=self.StringGrid1.Cells[col,row];
edit1.Left:=label1.Left+label1.Width+5;
edit1.Width:=StringGrid1.Left+StringGrid1.Width-edit1.Left; edit1.SetFocus;
end;
procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char); begin
if key=#13 then
Edit1Exit(nil);
end;
procedure TForm1.Edit1Exit(Sender: TObject);
var
i,j,k,q:integer;
temp,s1,s2,s3:string;
flag:boolean;
begin
edit1.Text:=lowercase(edit1.text);
flag:=false;
try
for i:=100 downto 1 do
begin
if i<>1 then
j:=pos('s^'+inttostr(i),edit1.text)
else
j:=pos('s',edit1.text);
if (j<>0) then
begin
s[col,row][0]:=i;
flag:=true;
break;
end;
end;
k:=1;
q:=0;
temp:=edit1.text;
if flag then
begin
for i:=s[col,row][0] downto 1 do
begin
if i=1 then
q:=pos('s',temp)
else
q:=pos('s^'+inttostr(i),temp);
if q<>0 then
begin
if q=1 then
s[col,row][k]:=1
else
if (copy(temp,1,q-1)='+') or (copy(temp,1,q-1)='-') then
s[col,row][k]:=strtoint(copy(temp,1,q-1)+'1')
else
s[col,row][k]:=strtoint(copy(temp,1,q-1));
if i=1 then
temp:=copy(temp,q+length('s'),1000)
else
temp:=copy(temp,q+length('s^'+inttostr(i)),1000);
k:=k+1;
end
else
begin
s[col,row][k]:=0;
k:=k+1;
end;
end;
if temp='' then
s[col,row][k]:=0
else
s[col,row][k]:=strtoint(temp);
end
else
begin
s[col,row][0]:=0;
s[col,row][1]:=strtoint(edit1.text);
end;
except
showmessage('表达式格式错误！请按照如下各式输入：'+#13+'
s^3+2s^2-3s+1');
exit;
end;
temp:='';
for i:= s[col,row][0] downto 0 do
begin
s1:=inttostr(s[col,row][ abs(i-s[col,row][0])+1 ]); s2:='s^';
s3:=inttostr(i);
if strtoint(s3)=0 then
begin
s2:='';s3:='';
end
else if strtoint(s3)=1 then
begin
s2:='s';s3:='';
end;
if (strtoint(s1)=0) then
begin
if (s[col,row][0]<>0) then
s1:=''
else
s1:='0';
s2:='';
s3:='';
end
else
begin
if (strtoint(s1)>0) and (i<>s[col,row][0]) then s1:='+'+s1;
if i<>0 then
begin
if s1='-1' then s1:='-';
if s1='+1' then s1:='+';
if s1='1' then s1:='';
end;
end;
temp:=temp+s1+s2+s3;
end;
if temp='' then temp:='0';
if temp=edit1.Text then
begin
self.StringGrid1.Cells[col,row]:=temp;
changewidth(col,stringgrid1);
end
else
begin
showmessage('表达式格式错误！请按照如下各式输入：'+#13+' s^3+2s^2-3s+1');
exit;
end;
end;
procedure TForm1.FormResize(Sender: TObject);
begin
edit1.Text:=self.StringGrid1.Cells[col,row];
edit1.Left:=label1.Left+label1.Width+5;
edit1.Width:=StringGrid1.Left+StringGrid1.Width-edit1.Left;
end;
procedure TForm1.PageControl1Change(Sender: TObject);
var
i:integer;
begin
if self.PageControl1.ActivePageIndex=1 then
begin
self.StringGrid2.ColCount:=self.StringGrid1.ColCount;
self.StringGrid2.rowCount:=self.StringGrid1.rowCount+1;
for i:=1 to self.StringGrid2.rowCount-2 do
self.StringGrid2.Cells[0,i]:=inttostr(i);
self.StringGrid2.cells[0,self.StringGrid2.rowCount-1]:='列最高次数';
for i:=1 to self.StringGrid2.colCount-1 do
self.StringGrid2.ColWidths[i]:=32;
for i:=1 to self.StringGrid2.colCount-1 do
self.StringGrid2.Cells[i,0]:=inttostr(i);
self.StringGrid2.ColWidths[0]:=70;
self.StringGrid2.ColWidths[self.StringGrid2.colCount-1]:=70;
jyjs;
end;
end;
procedure tform1.jyjs;
var
mc,mr,max,colsum,rowsum,deg,aa:integer;
det:sss;
detstr,str1,str2,s1,s2,s3:string;
begin
//复制原矩阵
label2.caption:='';
for mc:=1 to self.StringGrid1.ColCount-1 do
for mr:=1 to self.StringGrid1.rowCount-1 do
begin
self.StringGrid2.Cells[mc,mr]:=self.StringGrid1.Cells[mc,mr];
changewidth(mc,self.StringGrid2);
end;
//计算kc
colsum:=0;
for mc:=1 to self.StringGrid2.colCount-1 do
begin
max:=0;
for mr:=1 to self.StringGrid2.rowCount-2 do
begin
if s[mc,mr][0]>max then
max:=s[mc,mr][0];
end;
self.StringGrid2.cells[mc,self.StringGrid2.rowCount-1]:=inttostr(max); colsum:=colsum+max;
end;
//计算det M(s)
det:=caldet;
deg:=det[0];
detstr:='';
for aa:= det[0] downto 0 do
begin
s1:=inttostr(det[abs(aa-det[0])+1]);
s2:='s^';
s3:=inttostr(aa);
if strtoint(s3)=0 then
begin
s2:='';s3:='';
end
else if strtoint(s3)=1 then
begin
s2:='s';s3:='';
end;
if (strtoint(s1)=0) then
begin
if (det[0]<>0) then
s1:=''
else
s1:='0';
s2:='';
s3:='';
end
else
begin
if (strtoint(s1)>0) and (aa<>det[0]) then s1:='+'+s1;
if aa<>0 then
begin
if s1='-1' then s1:='-';
if s1='+1' then s1:='+';
if s1='1' then s1:='';
end;
end;
detstr:=detstr+s1+s2+s3;
end;
//显示结果
str2:='';
if (det[0]=0) and (det[1]=0) then
begin
str1:='M(s)是奇异的';
str2:='M(s)不是列既约';
end
else
begin
str1:='M(s)是非奇异的';
if deg=colsum then
str2:=str2+'M(s)是列既约的'
else
str2:=str2+'M(s)不是列既约的';
end;
label2.caption:=str1+' '+
'∑kc='+inttostr(colsum)+' '+#13+ 'det M(s)='+detstr+' '+
'deg det M(s)='+inttostr(deg)+#13+
str2;
end;
function tform1.caldet:sss;
var
n,aa:integer;
a:array[1..100] of integer;
str:string;
he,ji,ji_temp:sss;
procedure kkk(y:integer);
var
m,q,k,j:integer; //k第几层 m,j循环变量
a1,a2,a3,a4,flag:integer;
begin
k:=y+1;
if k=n+1 then //求det
begin
//求乘积
for a1:=0 to 100 do
ji[a1]:=0;
ji[1]:=1;
for a1:=1 to n do //s[a1,a[a1]]*ji
begin
ji_temp:=ji;
ji[0]:=ji[0]+s[a1,a[a1]][0];
for a4:=1 to 100 do
ji[a4]:=0;
for a2:=1 to s[a1,a[a1]][0]+1 do
for a3:=1 to ji_temp[0]+1 do
begin
ji[a2+a3-1]:=ji[a2+a3-1]+ji_temp[a3]*s[a1,a[a1]][a2]; end;
end;
//求和
//统一次数
if he[0] begin for a1:=he[0]+1 downto 1 do he[a1+ji[0]-he[0]]:=he[a1]; for a1:=ji[0]-he[0] downto 1 do he[a1]:=0; he[0]:=ji[0]; end; if ji[0] begin for a1:=ji[0]+1 downto 1 do ji[a1+he[0]-ji[0]]:=ji[a1]; for a1:=he[0]-ji[0] downto 1 do ji[a1]:=0; ji[0]:=he[0]; end; //累加 flag:=0; for a1:=1 to n do for a2:=a1 to n do if a[a1]>a[a2] then flag:=flag+1; if ( flag mod 2) =0 then flag:=1 else flag:=-1; for a1:=1 to he[0]+1 do he[a1]:=he[a1]+flag*ji[a1]; for a1:=1 to 100 do if (he[1]=0) and (he[0]<>0) then begin for a2:=1 to he[0]+1 do he[a2]:=he[a2+1]; he[0]:=he[0]-1; end; exit; end; for j:=1 to n do //产生数据 begin a[k]:=j; q:=0; //检查有无重复数据 for m:=1 to k-1 do if a[m]=j then q:=q+1; if q=0 then kkk(k); end; end; begin for aa:=0 to 100 do he[aa]:=0; n:=self.StringGrid1.ColCount-1; kkk(0); caldet:=he; end; procedure TForm1.PageControl1Changing(Sender: TObject; var AllowChange: Boolean); begin allowchange:=edit1.Enabled end; end. 波士顿矩阵(BCG Matrix)与经典案例分析 波士顿矩阵又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品 系列结构管理法等。 模型介绍 制定公司层战略最流行的方法之一就是BCG矩阵。该方法是由波士顿咨询集团（Boston Consulting Group, BCG）在上世纪70年代初开发的。BCG矩阵将组织的每一个战略事业单位（SBUs）标在一种2维的矩阵图上，从而显示出哪个SBUs提供高额的潜在收益，以及哪个SBUs是组织资源的漏斗。BCG矩阵的发明者、波士顿公司的创立者布鲁斯认为“公司若要取得 成功，就必须拥有增长率和市场分额各不相同的产品组合。组合的构成取决于现金流量的平衡。”如此看来，BCG的实质是为了通过业务的优化组合实现企业的现金流量平衡。 BCG矩阵区分出4种业务组合。 （1）问题型业务（Question Marks，指高增长、低市场份额） 处在这个领域中的是一些投机性产品，带有较大的风险。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。这往往是一个公司的新业务。为发展问题业务，公司必须建立工厂，增加设备 和人员，以便跟上迅速发展的市场，并超过竞争对手，这些意味着大量的资金投入。“问题”非常贴切地描述了公司对待这类业务的态度，因为这时公司必须慎重回答“是否继续投资，发展该业务？”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争 力的业务才得到肯定的回答。得到肯定回答的问题型业务适合于采用战略框架中提到的增长战略，目的是扩大SBUs的市场份额，甚至不惜放弃近期收入来达到这一目标，因为要问题型要 发展成为明星型业务，其市场份额必须有较大的增长。得到否定回答的问题型业务则适合采用收缩战略。 如何选择问题型业务是用BCG矩阵制定战略的重中之重，也是难点，这关乎企业未来的发 展。对于增长战略中各种业务增长方案来确定优先次序，BCG也提供了一种简单的方法。通过 下图权衡选择ROI相对高然后需要投入的资源占的宽度不太多的方案。 波士顿矩阵分析法 波士顿矩阵是由波士顿咨询集团(Boston Consulting Group, BCG)在上世纪70年代初开发的。BCG矩阵将组织的每一个战略事业单位（SBUs）标在一种2维的矩阵图上，从而显示出哪个战略事业单位提供高额的潜在收益，以及哪个战略事业单位是组织资源的漏斗。BCG矩阵的发明者、波士顿公司的创立者布鲁斯认为“公司若要取得成功，就必须拥有增长率和市场分额各不相同的产品组合。组合的构成取决于现金流量的平衡。” 波士顿矩阵通过市场增长率和市场占有率两个维度对业务单位进行分析 ? 横坐标表示相对市场份额，表示各项业务或产品的市场占有率和该市场最大竞争者的市场占有率之比。比值为1就表示此项业务是该市场的领先者。 ? 纵坐标为市场成长率，表明各项业务的年销售增长率。具体坐标值可以根据行业的整体增长而定； ? 图中圆圈表示企业现有的各项不同的业务或产品，圆圈的大小表示它们销售额的大小，圆圈的位置表示它们的成长率和相对市场份额所处的地位。 通过分析不同的业务单位在矩阵中的不同位置可以将业务单位分解为出4 种业务组合。 （1）问题型业务（Question Marks，指高增长、低市场份额） 处在这个位置中的是一些投机性产品，带有较大的风险。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。这通常是一个公司的新业务，为发展问题业务，公司必须建立工厂，增加设备和人员，以便跟上迅速发展的市场，并超过竞争对手，这些意味着大量的资金投入。“问题”非常贴切地描述了公司对待这类业务的态度，因为这时公司必须慎重回答“是否继续投资，发展该业务？”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。得到肯定回答的问题型业务适合于采用战略框架中提到的增长战略，目的是扩大SBUs的市场份额，甚至不惜放弃近期收入来达到这一目标，因为要问题型要发展成为明星型业务，其市场份额必须有较大的增长。得到否定回答的问题型业务则适合采用收缩战略。 （2）明星型业务（stars，指高增长、高市场份额） 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位的市场份额，但也许会或也许不会产生正现金流量，这取决于新工厂、设备和产品开发对投资的需要量。明星型业务是由问题型业务继续投资发展起来的，可以视为高速成长市场中的领导者，它将成为公司未来的现金牛业务。但这并不意味着明星业务一定可以给企业带来源源不断的现金流，因为市场还在高速成长，企业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。企业如果没有明星业务，就失去了希望，但群星闪烁也可能会闪花企业高层管理者的眼睛，导致做出错误的 矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零． 1、建立递阶层次结构； 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） 例：购物层次分析模型 对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵A。 其中 为判别矩阵， 要素 与要素 重要性比较结果，并且有如下关系： 有9种取值，分别为1/9, 1/7, 1/5, 1/3, 1/1, 3/1, 5/1, 7/1, 9/1,分别表示 要素对于 要素的重要程度由轻到重。 3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。 （1）几何平均法（根法） 计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B； 计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C； 对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D； 该矩阵D即为所求权重向量。 （2）规范列平均法（和法） 矩阵A每一列归一化得到矩阵B； 将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C； 矩阵C即为所求权重向量。 AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。常被运用于多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的复杂决策问题，特别是战略决策问题，具有十分广泛的实用性。用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： 波士顿矩阵 波士顿矩阵(BCG Matrix) 波士顿矩阵又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等。 目录 [隐藏] ? 1 模型介绍 ? 2 模型的重要假设 ? 3 如何用模型来分析 ? 4 波士顿矩阵的优点 ? 5 BCG矩阵的局限性 ? 6 波士顿咨询集团法的应用法则 ?7 波士顿矩阵分析在实际案例中的运用 [1] ?8 波士顿矩阵在酒类营销中的运用[2] ?9 参考文献 ?10 相关链接 [编辑] 模型介绍 制定公司层战略最流行的方法之一就是BCG矩阵。该方法是由波士顿咨询集团（Boston Consulting Group, BCG）在上世纪70年代初开发的。BCG矩阵将组织的每一个战略事业单位（SBUs）标在一种2维的矩阵图上，从而显示出哪个SBUs提供高额的潜在收益，以及哪个SBUs是组织资源的漏斗。BCG矩阵的发明者、波士顿公司的创立者布鲁斯认为“公司若要取得成功，就必须拥有增长率和市场分额各不相同的产品组合。组合的构成取决于现金流量的平衡。”如此看来，BCG的实质是为了通过业务的优化组合实现企业的现金流量平衡。 BCG矩阵区分出4种业务组合。 （1）问题型业务（Question Marks，指高增长、低市场份额） 处在这个领域中的是一些投机性产品，带有较大的风险。这些产品可能利润率很高，但占有的市场份额很小。这往往是一个公司的新业务。为发展问题业务，公司必须建立工厂，增加设备和人员，以便跟上迅速发展的市场，并超过竞争对手，这些意味着大量的资金投入。“问题”非常 贴切地描述了公司对待这类业务的态度，因为这时公司必须慎重回答“是否继续投资，发展该业务？”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。得到肯定回答的问题型业务适合于采用战略框架中提到的增长战略，目的是扩大SBUs的市场份额，甚至不惜放弃近期收入来达到这一目标，因为要问题型要发展成为明星型业务，其市场份额必须有较大的增长。得到否定回答的问题型业务则适合采用收缩战略。 如何选择问题型业务是用BCG矩阵制定战略的重中之重，也是难点，这关乎企业未来的发展。对于增长战略中各种业务增长方案来确定优先次序，BCG也提供了一种简单的方法。通过下图权衡选择ROI相对高然后需要投入的资源占的宽度不太多的方案。 （2）明星型业务（Stars，指高增长、高市场份额） 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位的市场份额，但也许会或也许不会产生正现金流量，这取决于新工厂、设备和产品开发对投资的需要量。明星型业务是由问题型业务继续投资发展起来的，可以视为高速成长市场中的领导者，它将成为公司未来的现金牛业务。但这并不意味着明星业务一定可以给企业带来源源不断的现金流，因为市场还在高速成长，企业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。企业如果没有明星业务，就失去了希望，但群星闪烁也可能会闪花企业高层管理者的眼睛，导致做出错误的决策。这时必须具备识别行星和恒星的能力，将企业有限的资源投入在能够发展成为现金牛的恒星上。同样的，明星型业务要发展成为现金牛业务适合于采用增长战略。 （3）现金牛业务（Cash cows，指低增长、高市场份额） 处在这个领域中的产品产生大量的现金，但未来的增长前景是有限的。这是成熟市场中的领导者，它是企业现金的来源。由于市场已经成熟，企业不必大量投资来扩展市场规模，同时作为市场中的领导者，该业务享有规模经济和高边际利润的优势，因而给企业带来大量现金流。企业 。数 学 建 模 作 业 班级：高分子材料与工程 姓名：林志许、朱金波、任宇龙 。 学号：1211020115、1211020126、1211020134 层次分析法 某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A 表示系统的总目标，判断层中1B 表示功能，2B 表示价格，3B 表示可维护性。1C ，2C ，3C 表示备选的3种品牌的设备。 解题步骤： 1、标度及描述 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。 为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 目标层 判断层 方案层 图 设备采购层次结构图 注：a ij 表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： a ij =1/a ji ； a ii =1； i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 2、构建判断矩阵A 判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵： ●判断矩阵B A-(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示； ●判断矩阵C B- 1(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵C B- 2(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵C B- 3(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所示。 B A- C B- 1 C B- 3 3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标 一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需 矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ= ? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ 一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp 的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 ∑== p i ci s M s M 1 )()(det deg δ 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑=p i ci s M 1 )(δ 。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 )(det s M ，npn p p p p i a a a a a s M ...)1()(det 4433221 1∑-= ，其中p1p2p3p4…pn 为从1到n 所有整数的某 种排列结果，i 为p1p2p3p4…pn 的逆序数。找出该多项式的最高指数 )(det deg s M ，然 后与前面所得到的 ∑=p i ci s M 1 )(δ 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。 三、程序流程图 四、使用说明 1.运行程序project1.exe； 2.按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3.点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列；4.进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上； 波士顿矩阵分析在实际案例中的运用[1] 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合的生产汽车零部件的企业。公司于1996年正式投产．配套厂海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类(密封嵌条、车顶饰条等)；二是滚压折弯类(车门导槽、滑轨、车架管；三是普通金属焊接类(汽车仪表板横梁模块)；四是激光焊接镁合金横梁模块)；五是排档杆类(手动排档总成系列)。 和达公司产品波士顿矩阵分析 A 问题型业务(Question Marks．指高增长、低市场份额) 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“是否继续投资．业务?”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。 从和达公司的情况来看。滚压折弯类产品由于技术含量不高．褴低，未来市场竞争程度必然加剧。所以对于这类产品．最好就是舍弃。由于目前还能带来利润，不必迅速退出，只要目前持必要的市场份额，公司不必再增加投入。当竞争对手大举,可以舍弃。 B 明星型业务(8tsx8，指高增长、高市场份额) 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位份额。但也许不会产生正现金流量。但因为市场还在高速成业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。 对于和达公司来说，铝横梁的真空电子束焊接系统是国内第一家。具有技术上的领先优势。因此企业应该加大对这一产品的投入．以继续保持技术上的领先地位。对于排档杆类产品．由于国内在这个领域的竞争程度还不太激烈，因此可以考虑进入。和达公司应该把这类产品作为公司 特征多项式 特征多项式是多项式的左手边特征方程 (1) 在哪里是一个方阵和是单位矩阵相同的维度。萨缪尔森的公式允许特征多项式计算递归没有分歧。一个矩阵的特征多项式可以计算的吗Wolfram语言作为CharacteristicPolynomial[m x]。 a的特征多项式矩阵 (2)在特别好的形式可以改写 (3)在哪里是矩阵的迹的和是它的行列式. 同样,a的特征多项式矩阵是 (4)在哪里爱因斯坦总结已经使用,也可以书面明确的痕迹 (5)一般来说,特征多项式的形式 (6)在哪里是矩阵的迹矩阵的和和的总和吗划船对角矩阵的未成年人雅各布森(1974,p . 109)。 勒威耶计算图的特征多项式的算法(Balasubramanian Trinajsti?1984;1988;Ivanciuc Balaban 2000,p . 89)可以作为线性系统的解决方案制定 (7)在哪里 (8) , . 由于Balasubramanian计算算法使用方程 (9)在哪里 (10) Balasubramanian(1985、1985、1991;Ivanciuc Balaban 2000 p。90;错误纠正)和 . a的特征多项式图的特征多项式的定义是邻接矩阵并且可以计算的Wolfram语言使用CharacteristicPolynomial[AdjacencyMatrix[g],x]。一个命名图的预先计算的特征多项式的一个变量还可以获得使用吗GraphData[图,“CharacteristicPolynomial”][x]。 特征多项式不诊断图的同构,即,两个nonisomorphic图表可能共享相同的特征多项式。这样的例子发生上述两图5节点上,这两个特征多项式。不同的简单无向图的特征多项式的数量,2,…节点1、2、4,11日,33岁,151年,988年,11453年……(OEIS A082104),给复制的数量特征多项式为0,0,0,0,1,5,56岁,893年,27311年,.... 下表总结了特征多项式的一些简单的图形。 完全图 完全图 完全图 循环图 循环图 循环图 轮图 轮图 参见: 先确定判断矩阵； 然后用以下程序就好了： %层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyi clc,clear disp('输入判断矩阵');% 在屏幕显示这句话 A=input('A=');% 从屏幕接收判断矩阵 [n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好 x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵 y=ones(n,100);% y同x m=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量 m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量 y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y的第一列 x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1) m(2)=max(x(:,2));% x第二列中最大的值赋给m的第二个分量 y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列 p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值 while k>p% 当k>p是执行循环体 i=i+1;% i自加1 x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列 m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值 y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量 k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值 end a=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予a w=y(:,i)/a;% y的第i列除以a t=m(i);% m的第i个分量赋给t disp('权向量:');disp(w);% 显示权向量w disp('最大特征值:');disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验 CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CI RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准 CR=CI/RI(n);% 计算一致性 S W O T 1.波士顿矩阵、企业战略分析方法 SWOT是一种分析方法，用来确定企业本身的竞争优势，竞争劣势， 机会和威胁，从而将公司的战略与公司内部资源、外部环境有机结合。因此，清楚的确定公司的资源优势和缺陷，了解公司所面临的机会和挑战，对于制定公司未来的发展战略有着至关重要的意义。 目录 简介 基本规则 主要步骤 SWOT矩阵分析包括组合分析和综合分析两步 分析要点 缺陷 常见错误 其他应用 ?SWOT模型的局限性 ?SWOT分析四种不同类型的组合 展开 简介 SWOT是一种战略分析方法，通过对被分析对象的优势、劣势、机会和 威胁的加以综合评估与分析得出结论，通过内部资源、外部环境有机结合 来清晰地确定被分析对象的资源优势和缺陷，了解所面临的机会和挑战， 从而在战略与战术两个层面加以调整方法、资源以保障被分析对象的实行 以达到所要实现的目标。 SWOT分析法又称为态势分析法，也称波士顿矩阵，它是由旧金山大学 的管理学教授于20世纪80年代初提出来的，是一种能够较客观而准确地 分析和研究一个单位现实情况的方法。 SWOT分别代表：strengths（优势）、weaknesses（劣势）、opportunities(机会)、threats（威胁）。 SWOT分析通过对优势、劣势、机会和威胁的加以综合评估与分析得出结论，然后再调整企业资源及企业策略，来达成企业的目标。 SWOT分析已逐渐被许多企业运用到包括：企业管理、人力资源、产品研发等各个方面。 SWOT分析方法从某种意义上来说隶属于企业内部分析方法，即根据企业自身的既定内在条件进行分析。SWOT分析有其形成的基础。按照企业竞争战略的完整概念，战略应是一个企业“能够做的”（即组织的强项和弱项）和“可能做的”（即环境的机会和威胁）之间的有机组合。著名的竞争战略专家迈克尔.波特提出的竞争理论从产业结构入手对一个企业“可 能做的”方面进行了透彻的分析和说明，而能力学派管理学家则运用价值链解构企业的价值创造过程，注重对公司的资源和能力的分析。SWOT分析，就是在综合了前面两者的基础上，以资源学派学者为代表，将公司的内部分析（即20世纪80年代中期管理学界权威们所关注的研究取向，以能力学派为代表）与产业竞争环境的外部分析（即更早期战略研究所关注的中心主题，以安德鲁斯与迈克尔.波特为代表）结合起来，形成了自己结构化的平衡系统分析体系。与其他的分析方法相比较，SWOT分析从一开始就具有显著的结构化和系统性的特征。就结构化而言，首先在形式上，SWOT分析法表现为构造SWOT结构矩阵，并对矩阵的不同区域赋予了不同分析意义；其次内容上，SWOT分析法的主要理论基础也强调从结构分析入手对企业的外部环境和内部资源进行分析。另外，早在SWOT诞生之前的20世纪60年代，就已经有人提出过SWOT分析中涉及到的内部优势、弱点，外部机会、威胁这些变化因素，但只是孤立地对它们加以分析。SWOT方法的重要贡献就在于用系统的思想将这些似乎独立的因素相互匹配起来进行综合分析，使得企业战略计划的制定更加科学全面。 SWOT方法自形成以来，广泛应用于战略研究与竞争分析，成为战略管理和竞争情报的重要分析工具。分析直观、使用简单是它的重要优点。即使没有精确的数据支持和更专业化的分析工具，也可以得出有说服力的结论。但是，正是这种直观和简单，使得SWOT不可避免地带有精度不够的缺陷。例如SWOT分析采用定性方法，通过罗列S、W、O、T的各种表现，形成一种模糊的企业竞争地位描述。以此为依据作出的判断，不免带有一定程度的主观臆断。所以，在使用SWOT方法时要注意方法的局限性，在罗列作为判断依据的事实时，要尽量真实、客观、精确，并提供一定的定量数据弥补SWOT定性分析的不足，构造高层定性分析的基础。 基本规则 进行SWOT分析的时候必须对公司的优势与劣势有客观的认识； 中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日 学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字） 滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日 目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18) 1、建立递阶层次结构模型 自上而下通常包括目标层、准则层和方案层，其中目标层是指层次结构中的最高层次，是管理者所追求的最高目标。准则层是指评判方案优劣的准则，可再细分为子准则层、亚准则层。方案层是指可实行的方案等。 2、就用两两比较法构造比较判断矩阵 比较判断矩阵是层次分析的核心，是以上一层某个要素Hs 作为判断标准，对下一层次要素进行两两比较确定的元素值。例如，在Hs 判断标准下有n 个要素，是对于Hs 准则可得到阶的比较判断矩阵A=（aij ）nXn 。 ()()() 。 ，，，，，，，，。须进行一致性检验进行决策前利用估计的判断矩阵因此第四条性质不一定满足也就是比较判断矩阵的而存在估计误差一致性不可能做到判断的完全制评价者知识和经验的限由于采用两两比较时因素然而人们对复杂事物各性则该矩阵具有完全一致具有如下性质比较判断矩阵因此的重要性的权重目标一准则个要素对于上一层次某表示某层第即要性的相对重对要素的角度考虑要素表示从判断准则比较判断矩阵中元素jk ik ij ij ji ij ii s j i j i ij j i s ij a a ；a ；a a ；a a ： A ，。H j i w ，w w w a ，A A H a = ≥= == 01 1(（1）确定判断准则（九级标度两两比较评分标准） （2）构造判断矩阵 3、确定项目风险要素的相对重要性，并进行一致性检验 专家对各风险因素进行两两比较评分后，需要知道A 关于HS 的相对重要度，即A 关于HS 的权重、排序和一致性检验，计算如下： ? ? ? ? ? ???? ???=......................)1(2 1 22221 1nn n n n n 12 11 a a a a a a a a a A ，A 设比较判断矩阵重这也是各因素的相对权的特征向量首先确定判断矩阵 () ()[ ]() []()()[]。 i AW AW nW AW ：D 、W W W W ，，，，n ，i W W W W W W W C 、，，，，n ，i ，b B 、，，，，n ，i ，a a b ：A A 、i n i i i T n n i i i i T n n j ij i n i ij ij ij 分量的第为向量矩阵征值计算判断矩阵的最大特即为所求的特征向量 则归一化将向量判断矩阵按行相加每一列经过归一化后的的每一列归一化将判断矩阵和积法 ∑ ∑∑∑======== ===== 1 max 2 1 1 211 1 ...21:,...2121*λW ： 项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵??? ? ? ??=654543432A 的特征值与特征向量. 输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包< 层次分析法正反矩阵文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 1、建立递阶层次结构； 所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造，求出其最大。及其所对应的W，后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 2、构造两两比较判断矩阵；（） 例：购物层次分析模型 对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵A。 其中 为判别矩阵， 要素 与要素 重要性比较结果，并且有如下关系： 有9种取值，分别为1/9, 1/7, 1/5, 1/3, 1/1, 3/1, 5/1, 7/1, 9/1,分别表示 要素对于 要素的重要程度由轻到重。 3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重； §8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-= 波士顿矩阵案例及习题 1波士顿矩阵 波士顿矩阵（BCG Matrix），又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等，是由美国著名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法。这种方法以发展率和相对市场份额为坐标，将企业业务分为：明星业务、奶牛业务、瘦狗业务和问题业务四种。这种方法的核心在于，要解决如何使企业的产品品种及其结构适合市场需求的变化，只有这样，企业的生产才有意义。同时，如何将企业有限的资源有效地分配到合理的产品结构中去，以保证企业收益，是企业在激烈竞争中能否取胜的关键. 它用来帮助管理层实现他们对多种产品的组合进行分析，以提高企业整体的财务业绩。两个指标的计算： 市场增长率＝（本期的销售额－上期的销售额）÷上期的销售额（高低分界点无绝对的标准） 市场份额是指一个企业的产品或者服务在特定市场中的销售收入占所有在这个市场中销售收入总额的百分比。相对市场份额能够通过比率来评估，同最大竞争者的市场份额进行比较。 相对市场占有率＝本企业某产品的市场占有率÷该产品最大竞争对手的市场占有率（以1为高低分界点） 产品1：20%÷40%=0.5 产品2：20%÷10%=2 波士顿矩阵的纵坐标表示产品的市场增长率，横坐标表示本企业的相对市场份额。根据市场增长率和市场份额的不同组合，可以将企业的产品分成四种类型：明星产品、金牛产品、问号产品和瘦狗产品。一个企业的所有产品，都可以归入这四种类型，依据其所处的地位采取不同的战略。 明星产品。（双高产品） 明星产品代表在高增长的市场中占有高份额。市场占有率高使得产品可以获得较多利润和营业现金流入；市场增长率高使得产品具有投资价值，短期需要资本投入超过产生的现金，以便保持它们的市场地位，但是未来会带来高额的回报。市场份额有足够大的开发机会，但高增长率将吸引新来者或竞争者。因此，必须再次大量投入现金以维持企业现有的地位并加波士顿矩阵与经典案例分析
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