第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合得含义:
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。
2、集合得中元素得三个特性:
(1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。
(2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。
3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。
(1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作:
(2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作:
4、集合得表示:
*用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5}
*常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。
(2) 图示法:Venn图
(3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。
5、集合得分类:
(1)有限集含有有限个元素得集合
(2)无限集含有无限个元素得集合
(3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝
二、集合间得基本关系
1、包含关系
(1)子集:真子集或相等
(2)真子集
2、相等关系:元素相同
两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A
对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C
3、空集
结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集
*集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个
三、集合得基本运算
1、并集
2、交集
*性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B
AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B
3、全集与补集
*性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。
选择补充:集合中元素得个数:
四、函数有关概念
1、函数得概念:
设A、B就是非空得数集,如果按照某个确定得对应关系f,使对于集合A中得任意一个数x,在集合B中都有唯一确定得数f(x)与它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B得一个函数.记作: y=f(x),x∈A. kKSel3E。eF85hoe。
(1)其中,x叫做自变量,x得取值范围A叫做函数得定义域;
(2)与x得值相对应得y值叫做函数值,函数值得集合{f(x)| x∈A }叫做函数得值域.
2、函数得三要素:定义域、值域、对应法则
3、函数得表示方法:
(1)解析法:明确函数得定义域
(2)图像法:确定函数图像就是否连续,函数得图像可以就是连续得曲线、直线、折线、离散得点等等。
(3)列表法:选取得自变量要有代表性,可以反应定义域得特征
4、函数图象知识归纳:
(1) 定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中得x为横坐标, 函数值y 为纵坐标得点P(x,y)得集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)得图象.C上每一点得坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)得每一组有序实数对x、y为坐标得点(x,y),均在C上、bPJaKBE。QH81yPn。
(2) 画法: A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换得特点:
1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
五、求函数解析式、定义域、值域
1、函数解析式子得求法:
(1)函数得解析式就是函数得一种表示方法,要求两个变量之间得函数关系时,一就是要求出它们之间得对应法则,二就是要求出函数得定义域、ZZULlwI。9xlNnJw。
(2)求函数得解析式得主要方法有:
1)待定系数法:用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数得某些特征求其解析式得题目。NHhH3Jn。V3FXkes。
2)换元法:用来处理不知道所求函数得类型,且函数得变量易于用另一个变量表示得问题。它主要适用于已知复合函数得解析式,但使用换元法时要注意新元定义域得变化,最后结果要注明所求函数得定义域。NfR4qwf。S4pkFWC。
3)配凑法:已知复合函数得表达式,要求解析式时,若表达式右边易配成得运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域得变化。bqV1vzQ。Bjbll5t。
配凑法也缊含换元得思想,只就是不就是首先换元,而就是先把函数表达式配凑成用此复合函数得内函数来表示出来,在通过整体换元。所以求函数解析式时,可以用配凑法来解决得,有些也可直接用换元法来求解。abjjEF9。h4dq0Bc。
4) 消元法:题给条件中,有若干复合函数与原函数混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。TzUeESq。irkQwVj。
消元法适用于自变量得对称规律。互为倒数,如f(x)、f(1/x);互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)得解析式。VLrHfGC。8LD1wL1。
5)赋值法:依据题条件得结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律得方法。
①所给函数方程含有2个变量时,可对这2个变量交替用特殊值代入,或使这2个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知得函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定。HULfvOE。vTVxUXI。
②通过取某些特殊值代入题设中等式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数得解析式。
2、定义域:能使函数式有意义得实数x得集合称为函数得定义域。
*求函数得定义域时列不等式组得主要依据就是:
(1)分式得分母不等于零;
(2)偶次方根得被开方数不小于零;
(3)对数式得真数必须大于零;
(4)指数、对数式得底必须大于零且不等于1、
(5)如果函数就是由一些基本函数通过四则运算结合而成得、那么,它得定义域就是使各部分都有意义得x得值组成得集合、PKCBva6。3vsewcK。
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中得函数得定义域还要保证实际问题有意义、
3、相同函数得判断方法:
①表达式相同(与表示自变量与函数值得字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间得概念:
(1)区间得分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间得数轴表示
5、求值域:
*先考虑其定义域
（1）观察法:直接观察函数得图像或函数得解析式来求函数得值域。
（2）配方法:针对二次函数得类型,根据二次函数图像得性质来确定函数得值域。注意定义域得范围。
（3）分离常数法:适合于分数函数,用分母表示分子,分离出常数,使分子不含变量, 再借助基本函数得值域求解。
）判别式法:把函数转化为关于x得二次方程,通过方程有实根,求原函数得值域。前提就是二次项系数不为零,分子分母没有公因式,函数定义域为R。3VftBeT。j2i6P0K。
(5)反表示法:针对分式得类型,把Y关于X得函数关系式化成X关于Y 得函数关系式,由X得范围类似求Y得范围。KmnRqDR。BBNBsKw。
(6)换元法:作变量代换,针对根式得题型,转化成二次函数得类型。
(7)单调性法:通过确定函数在定义域得单调性来求函数值域。
六、分段函数、绝对值函数、映射、复合函数
1、分段函数:
(1)在定义域得不同部分上有不同得解析表达式得函数;
(2)各部分得自变量得取值情况;
(3)分段函数得定义域就是各段定义域得交集,值域就是各段值域得并集.
2、绝对值函数:
3、映射:
一般地,设A、B就是两个非空得集合,如果按某一个确定得对应法则f,使对于集合A 中得任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定得元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B得一个映射。记作:f(对应关系),A(原象),B(象),对于映射f:A→B来说,则应满足: 7Il5HWJ。HozRZfv。
(1)集合A中得每一个元素,在集合B中都有象,并且象就是唯一得;
(2)集合A中不同得元素,在集合B中对应得象可以就是同一个;
(3)不要求集合B中得每一个元素在集合A中都有原象。
* 注意:映射就是针对自然界中得所有事物而言得,而函数仅仅就是针对数字来说得。所以函数就是映射,而映射不一定得函数。wVJF28d。61TXJG0。
*集合A含n个元素,集合B含m个元素,则从A到B得映射有m?个
、复合函数:如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称为f、g 得复合函数。sqIpCIv。ohKytFq。
七、函数得单调性(局部性质)
1、增减函数:
一般地,设函数y=f(x)得定义域为I:
(1)如果对于定义域I内某个区间D上得任意两个自变量得值x1,x2,当x1 (2)如果对于定义域I内某个区间D上得任意两个自变量得值x1,x2,当x1 *注意:函数得单调性就是函数得局部性质;函数得单调性还有单调递增,与单调递减两种 2、图象得特点: 如果函数y=f(x)在某个区间就是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格得)单调性,在单调区间上增函数得图象从左到右就是上升得,减函数得图象从左到右就是下降得、H5QVV9i。STtkiKM。 3、函数单调区间与单调性得判定方法: (1)定义法: ①任取x1,x2∈D,且x1 ②作差f(x1)－f(x2); ③变形(通常就是因式分解与配方); ④定号(即判断差f(x1)－f(x2)得正负); ⑤下结论(指出函数f(x)在给定得区间D上得单调性). (2)图象法(从图象上瞧升降) (3)判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法就是与0作比较,作商法就是与1作比较Gt7iZlm。CqHmqDM。 (4)复合函数得单调性: 复合函数f[g(x)]得单调性与构成它得函数u=g(x),y=f(u)得单调性密切相关,其规律:同增异减Vy5okV1。VMT7HhP。 * 注意:函数得单调区间只能就是其定义域得子区间 ,不能把单调性相同得区间与在一起写成其并集、 八、函数得奇偶性(整体性质) 1、奇偶函数: ）偶函数:一般地,对于函数f(x)得定义域内得任意一个x,都有f(－x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.IxHwnHy。ad7fseY。 ）奇函数:一般地,对于函数f(x)得定义域内得任意一个x,都有f(－x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.4k2TxKY。aV0H1T6。 2、图像得特点: 偶函数得图象关于y轴对称;奇函数得图象关于原点对称. *函数得奇偶性与单调性:奇函数在关于原点对称得区间上有相同得单调性;偶函数在关于原点对称得区间上有相反得单调性。RZthrWN。fTXUyZa。 3、函数奇偶性得判定方法: （1）定义法: ①首先确定函数得定义域,并判断其就是否关于原点对称;若就是不对称,则就是非奇非偶 得函数;若对称,则进行下面判断; emb3WgX。UHQU0dm。 ②确定f(－x)与f(x)得关系; ③作出相应结论: 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0,则f(x)就是偶函数; 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0,则f(x)就是奇函数. （2）利用奇偶函数得四则运算判定: 在公共定义域内, 偶函数得加减乘除仍为偶函数; 奇函数得加减仍为奇函数; 奇数个奇函数得乘除认为奇函数; 偶数个奇函数得乘除为偶函数; 一奇一偶得乘积就是奇函数。 （3）复合函数得奇偶性: 一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。 * 注意:函数定义域关于原点对称就是函数具有奇偶性得必要条件.首先瞧函数得定义域就是否关于原点对称,若不对称则函数就是非奇非偶函数、若对称,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数得图象判定。sMgapjB。AhwRvGm。 4、函数奇偶性得性质: 偶函数:关于y轴对称;有f(－x) = f(x) 引申:若f(a+x)=f(a-x),则函数关于x=a对称 奇函数:f(0)=0,关于原点对称,有f(－x) =－f(x) 5、函数得周期性: ）周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内得任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数得周期。HZhJ2NL。zCCTUeg。 ）最小正周期:如果在周期函数f(x)得所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做f(x)得最小正周期。5MTSOwy。SBO0wqh。 6、周期性三个常用结论: （1）若f(x+1)=-f(x),则T=2; （2）若f(x+1)=1/f(x),则T=2; （3）若f(x+2)=若f(x+1),则T=1、 九、函数得最值 1、最值: (1)最大值:一般地,设函数y=f(x)得定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意实数x∈I,都有f(x)≤M, ②存在x0∈I,使得f (x0)=M、 那么,我们称函数M就是函数y=f(x)得最大值。 (2)最小值:一般地,设函数y=f(x)得定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意实数x∈I,都有f(x)≥M, ②存在x0∈I,使得f (x0)=M、 那么,我们称函数M就是函数y=f(x)得最小值。 2、函数最值得求法: （1）利用二次函数得性质(配方法)求函数得最大(小)值 （2）利用图象求函数得最大(小)值 （3）利用函数单调性得判断函数得最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);LC2hfgq。4GoDDf7。 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)、acoxHmX。XjwaQr4。 第二章基本初等函数(Ⅰ) 一、指数与指数幂得运算 *复习初中整数指数幂得运算: am*an=am+n (am)n=amn (a*b)n=anbn 1、根式得概念: 一般地,若x?=a,那么x叫做a得n次方根,其中n>1,且n∈N*. 当n就是奇数时,正数得n次方根就是一个正数,负数得n次方根就是一个负数。此时,a 得n次方根用符号表示。ZmllMRa。QJ5nkQ1。 当n为偶数时,正数得n次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a得正得n次方根用符号表示,负得n得次方根用符号表示。正得n次方根与负得n次方根可以合并成 (a>0)。HsP3Rnk。JurYVy5。 * 注意:负数没有偶次方根;0得任何次方根都就是0,记作: 当n就是奇数时, 当n就是偶数时, 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。 2、分数指数幂: 正数得分数指数幂得意义: *注意:0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂没有意义 3、有理数指数幂得运算性质: 4、无理数指数幂: 一般得,无理数指数幂 (a>0,a就是无理数)就是一个确定得实数。有理数指数幂得运算性质同样使用于无理数指数幂。PUAZ0kq。Ejd1IU7。 二、指数函数及其性质 1、指数函数得定义: 一般地,函数y=ax(a﹥0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量, 函数得定义域为R。 2、指数函数得图像及性质:图像,定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性,过定点,开口大小 3、比较指数大小: （1）化成同指或同底,利用单调性与图像 （2）借助中间量
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