5.已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为（）
5B．
2
A．
25
55D．
25
A．1
2
玉溪一中第五次调研考试数学（文）试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.若集合A[1,2]，B{x|x23x20}，则A B（）
A．{1,2}B．[1,2]C．(1,2)D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足1i z2i，则z的虚部是（）
A．1B．i C．－1D．－i
3.函数f(x)log x的图象与函数g(x)sin x的图象的交点个数是()
4
A．2B．3C．4D．5
4.若向量a,b的夹角为
3
，且|a|2，|b|1，则向量a2b与向量a的夹角为（）
25
A．B． C.D．
6336
31m
a b a3b
A．9B．12C．18D．24
6.已知tan()1，且0，则sin22sin2
422
等于（）
2
C．
5
7.三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，
AB=BC=AA
一球面上，则该球的表面积为（）
A．48πB．32πC．12πD．8π1
=2，若该三棱柱的所有顶点都在同
8.设点P是椭圆x2y2
a2b2
1(a b0)上异于长轴端点上的任意一点，F,F分别是其左右焦点，O为中
12
心，|PF|P F||OP|3b2，则此椭圆的离心率为（）12
322
B． C.D．2224
1
8 3 ,cosC ,a 13 ，则 b （
）
为（
）
A ． 4 2
B ．
C ．
D ． 4
3 3
10.已知 f x 是定义域为
，
的奇函数，满足 f 1 x f 1
x ．若 f 1 2 ，则
f1
f 2 f 3 f 50
（ ）
A ．－50
B ． 0
C ．2
D ．50
11. ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ，若 cosA
4 5 5 13
A ．12
B ．42
C ．21
D ．63
12.设双曲线 x 2
y 2 3
1的左、右焦点分别为 F 、 F 。若点 P 在双曲线右支上，且 F PF 为锐角三角形， 1 2 1 2
则 |PF | |PF |的取值范围（
）
1 2
A ． (3,8)
B ． (3,8]
C ． (2 7,8]
D ． (2 7,8)
的前 n 项和为 S ，且 a
1 ，求数列 b 的前 n 项和T ．
n
n
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
x y 1 0,
13.若实数 x,y 满足
x y 0, 则 z x 2 y 的最大值是
．
x 0,
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1 个球，摸出红球的概率是
0．42，摸出白球的概率是 0．28，若红球有 21 个，则黑球有___
．
15.在平面直角坐标系 xOy 中， A(2,1)，求过点 A 与圆 C ： x 2 y 2 4 相切的直线方程
．
16.已知函数 f(x) |log |x 1||， f(x) 2 的四个根为 x ， x ， x ， x ，且 k
x
2
1
2
3
4
1
x
2
x
3
x ，则
4
f(k 1)
．
三、解答题（本题共 7 道题,第 1 题 12 分,第 2 题 12 分,第 3 题 12 分,第 4 题 12 分,第 5 题 12 分,第 6 题 10 分,第 7 题 10 分）
17.若数列 a
n
n 1
0 ， 2S
n
a n
2 a (n N )．
n
（1）求数列 a
n
的通项公式；
（2）若 a
n
0(n N )，令 b
n
a (a +2)
n n
18.如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面 ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB
⊥AD ， AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2 ．E 是 PB 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 EAC ⊥平面 PBC ；
（Ⅱ）若 PB=2 ，求三棱锥 P ACE 的体积．
19. 某医疗科研项目组对 5 只实验小白鼠体内的 A ，B 两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：
指标
A
B 1号 小白鼠
5
2 2号 小白鼠
7
2 3号 小白鼠
6
3 4号 小白鼠
9
4 5号 小白鼠
8
4
（1）若通过数据分析，得知 A 项指标数据与 B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求 B 项指标
数据 y 关于 A 项指标数据 x 的线性回归方程 y bx a ；
（2）现要从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，求其中至少有一只的 B 项指标数据高于 3 的概率
参考公式： b
n
i1
(x x)(y y)
i i
n
(x x)2
i
a=y bx.
i1
，
20.已知 O 为坐标原点，点 P 在抛物线 C :y 2
4x 上（ P 在第一象限），且 P 到 y 轴的距离是 P 到抛物线
焦点距离的
1
2
。
（1）求点 P 到 x 轴的距离；
（2）过点 (0,1)的直线与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B ，且直线 PA 交 y 轴于点 M ，直线 PB 交 y 轴
于点 N ，且 QM
QO , QN QO 。求证：
1 1
为定值。
21.（本小题满分 12 分）
设函数 f(x) e x
ax 2 .
（1）求 f(x)的单调区间;
（2）若 a 1 ， k 为整数，且当 x 0 时，(x －k) f(x)+x+1>0，求 k 的最大值.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3 2t, 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
y 4
2t
为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，曲线 C 的极坐标方程为
4sin ．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设曲线 C 与直线 l 交于 A 、B 两点，且 M 点的坐标为(3,4) 求 |MA | |MB |的值．
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f(x) |x 1| |x 2 |.
（1）求不等式 f(x) 3 的解集；
（2）若存在实数 x 满足 f(x)
a 2 a 7 ，求实数 a 的最大值.
5.已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为（B）
55D．
25
A．
25
5
B．
2
玉溪一中第五次调研考试数学（文）试卷答案
第I卷（选择题）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.若集合A[1,2]，B{x|x23x20}，则A B（A）
A．{1,2}B．[1,2]C．(1,2)D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足1i z2i，则z的虚部是（A）
A．1B．i C．－1D．－i
3.函数f(x)log x的图象与函数g(x)sin x的图象的交点个数是(B)
4
A．2B．3C．4D．5
4.若向量a,b的夹角为
3
，且|a|2，|b|1，则向量a2b与向量a的夹角为（A）
25
A．B． C.D．
6336
31m
a b a3b
A．9B．12C．18D．24
6.已知tan()1，且0，则sin22sin2等于（B）
422
2
C．
5
7.三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，
AB=BC=AA
一球面上，则该球的表面积为（C）A．48πB．32πC．12πD．8π1
=2，若该三棱柱的所有顶点都在同
8.设点P是椭圆x2y21(a b0)
上异于长轴端点上的任意一点，F,F分别是其左右焦点，O为中
5
A．
1
2
8
3
,cosC,a13，则b（C）
心，|PF||P F||OP|3b2，则此椭圆的离心率为（C）
12
322
B． C.D．
2224
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积
为（C）
A．
42
B．C．D．4
33
10.已知f x是定义域为，的奇函数，满足f1x f1x．若f12，则
f1f2f3f50（C）
A.－50
B.0
C.2
D.50
11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA
45
513
A．12B．42C．21D．63
12.设双曲线x2
y2
3
1的左、右焦点分别为F、F。若点P在双曲线右支上，且F PF为锐角三角形，
1212
则|PF||PF|的取值范围（D）
12
A．(3,8)B．(3,8]C．(27,8]D．(27,8)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
x y10,
13.若实数x,y满足x y0,则z x2y的最大值是2．
x0,
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率
是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有15．
15.在平面直角坐标系xOy中，A(2,1)，求过点A与圆C：x2y24相切的直线方程
3x4y100或x2．
，
10且
2S
17.若数列a的前n项和为S，首项a
，求数列b的前n项和．
n n
n
22
，
n
n，b
n n(n2)2n n2
)
T 11
n n2
)][1
2n+1n2
] 2
[(1
16.已知函数f(x)|log|x1||f(x)2的四个根为x，x，x，x，且k x
212341x
2
x
3
x，则
4
f(k1)2．
三、解答题（本题共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分）
n n n a n2a n(n N)
．
（1）求数列a
n
的通项公式；
（2）若a
n 0(n N)，令
b
n
1
a(a+2)
n n
T
解：（1）a
n (1)1或a
n
n；（2）T
n
3
4
2n3
2(n1)(n2)
．
解析：（1）当n1时，2S
1a2
1
a，则a
11
1
当n2时，a
n S
n
S
n1
a
n
2a
a
2
a
n n1n1
即(a
n a)(a
n1n
a
n1
1)0a
n
a
n1
或a
n
a
n1
1
a n (1)1或a
n
n
（2）由a
n 0，a
n
111
1( 11
n3)(
24
)(
111111
2
32n3
42(n+1)(2)
18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PB=2，求三棱锥P ACE的体积．
解：（1）
7
2 P 2
3 2 6
(x
x)
2 (x x)(y y) xy nxy (x x)
2 x
2 x
2
PC 平面ABCD ,AC 平面ABCD ，
AC PC ，
AB=2 ，AD=CD=1 ， AC= BC 2,
A C
2 BC 2 AB 2 ,
AC BC ,
又BC PC C,
AC 平面PBC ,
AC 平面EAC
平面EAC 平面PBC
（2）
V
P ACE
1 1 1 1
2 V 2 2 2= ACB
19. 某医疗科研项目组对 5 只实验小白鼠体内的 A ，B 两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：
指标
A
B
1号
小白鼠
5
2 2号
小白鼠
7
2 3号
小白鼠
6
3 4号
小白鼠
9
4 5号
小白鼠
8
4
（1）若通过数据分析，得知 A 项指标数据与 B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求 B 项指标
数据 y 关于 A 项指标数据 x 的线性回归方程 y bx a ；
（2）现要从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，求其中至少有一只的 B 项指标数据高于 3 的概率
参考公式： b n i1
(x x)(y y)
i i n
i
a=y bx.
i1
解：（1）根据题意，计算 x
1
5
(5 7 6 9 8) 7
1
y
(2 2 3 4 4) 3， 5
b
n n
i i i i
i1 i1 n n
i i
5 1
10 2
i1
a= y bx
i1 1 1 1
，所以线性回归方程为
y x
8
， 2 ，x x
k k
1 x 1
r x 1 x 1
（2）从这 5 只小白鼠中随机抽取三只，基本事件数为 223,224,225,234,235,245……，345
共 10 种不同的取法，其中至少有一只 B 项指标数据高于 3 的基本事件共 9 种取法， 所以所求概率为 p
9
10
20.已知 O 为坐标原点，点 P 在抛物线 C :y 2 4x 上（ P 在第一象限），且 P 到 y 轴的距离是 P 到抛物线
焦点距离的
1
2
。
（1）求点 P 到 x 轴的距离；
（2）过点 (0,1)的直线与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B ，且直线 PA 交 y 轴于点 M ，直线 PB 交 y 轴
于点 N ，且 QM
QO , QN QO 。求证：
1
1
为定值。
解：（Ⅰ）因为抛物线 y 2=2px 经过点 P （1，2），
所以 4=2p ，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y 2=4x ．
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）．
y 2 4x
由
得 k 2 x 2 (2k 4)x 1 0 ．
y kx 1
依题意
(2k 4) 4 k 2 1 0 ，解得 k<0 或 0 又 PA ，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2）．从而 k≠-3． 所以直线 l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知 x 1 x 2 2k 4 1 2 1 2 2 ． 直线 PA 的方程为 y –2= y 2 y 2 1 x 1 1 (x 1)． 令 x=0，得点 M 的纵坐标为 y M y 1 x 1 2 kx 1 2 2． 1 x 1 1 kx 1 同理得点 N 的纵坐标为 y 2 2． N 2 uuur uuur uuu uuur 由 QM = QO ， QN = QO 得 =1 y ， 1 y ． M N 2 2k 4 1 1 1 1 1 2x x (x 1 2 1 2 1 1 y 1 y (k 1)x (k 1)x k 1 x x M N 1 2 1 2 x ) 1 2 k 1 k 2 k 2 1 k 2 =2 ． 所 以 分 分 x 2 分 ， 1 1 为定值． 21.（本小题满分 12 分） 设函数 f(x) e x ax 2 . （1）求 f(x)的单调区间; （2）若 a 1 ， k 为整数，且当 x 0 时，(x －k) f(x)+x+1>0，求 k 的最大值. 解： （Ⅰ） f(x)的定义域为 ( , ) ， f '(x) e x a 。若 a 0 ，则 f '(x) 0 ，所以 f(x)在 ( , ) 内单调递增； 若 a 0 ，则当 x ( ,lna) 时， f '(x) 0 ，当 x (lna, ) 时， f '(x) 0 ，所以， f(x)在 ( ,lna)内单 调递减，在 (lna, ) 内单调递增。 (5) （Ⅱ）由 a 1 ，有，当 x 0 时，(x －k) f(x)+x+1>0 等价于 k x 1 e x 1 x ，（ x 0 ） (7) 令 g (x) x 1 e x (e x x 2) x ，则 g '(x) e 1 (e x 1) 。由（Ⅰ）知， h(x) e x x 2 在 (0, )内单调递增，而 h(1) 0 ，h(2) 0 ，所以 h(x) 在 (0, )内存在唯一的零点，故 g '(x)在 (0, )内存在唯一的零点，设此零点为 ， 则 (1,2) 。.....10分 当 x (0, ) 时， g '(x) 0 ；当 x ( , )时， g '(x) 0 ，所以 g (x)在 (0, )内的最小值为 g ( )，又有 g '( ) 0 ，可得 e 2 ，所以 g ( ) 1 (2,3)。 所以。整数 k 的最大取值为 2。 (12) 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 x 3 2t, 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 y 4 2t 为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，曲线 C 的极坐标方程为 4sin ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于 A 、B 两点，且 M 点的坐标为(3,4) 求 |MA | |MB |的值． （1）解：l ： x y 1 0 ，C ： 2 4 sin ，即 x 2 y 2 4y 所以 C 的普通方程是 x 2 (y 2)2 4 2 t 带入C的普通方程得：t 129， （2）解：将直线方程化为参数方程l： 2 x3t 2 2 y4 (t为参数) 252t90，设A，B对应的参数分别是t，t，则t t 12 所以MA MB9 23.已知函数f(x)|x1||x2|. （1）求不等式f(x)3的解集； （2）若存在实数x满足f(x)a2a7，求实数a的最大值. 2x3解：（1）f x x1+x21 2x3x1 1x2 x2 当x1时，由2x33，得x0 当1x2时，由13，得x 当x2时，由2x33，得x3 所以不等式f x3的解集为x x0或x3（2）x1+x2x1x21 X.K]依题意有a2a71，即a2a60 解得2a3 故a的最大值为3
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