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平行线分线段成比例专题训练
平行线分线段成比例定理及其推论
1. 平行线分线段成比例定理
如下图,如果1l ∥2l ∥3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB AC
DE DF
=
.
2. 平行线分线段成比例定理的推论:如图,在三角形中,如果DE BC ∥,则
AD AE DE
AB AC BC
==
3. 平行的判定定理:如上图,如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=,那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图,DE BC ∥,且DB AE =,若510AB AC ==,,求AE 的
长。
【例2】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证:
111c a b
=+.
l 3
l 2l 1F
E D C
B A A
B
C
D
E
E
D
C B
A
E
D C
B
A
F
E D
C
B
A
-2
【巩固】如图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分别为B 、D ,AC 和
BD 相交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证明:
111
AB CD EF
+=
.
【例3】 如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥, 129AB CD ==,,过对
角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ,于E F ,,求EF 的长。
O
F
E
D C
B
A
【巩固】(上海市数学竞赛题)如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,
AD a BC b E F ==,,,分别是AD BC ,的中点,AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长。
Q
P
F
E
D C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 (2007年北师大附中期末试题)
(1)如图(1),在ABC ?中,M 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且14
AE AB =,
连接EM 并延长,交BC 的延长线于D ,则
BC
CD
=_______. (2)如图(2),已知ABC ?中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 与CE 相
交于F ,则EF AF
FC FD
+ 的值为( ) F
E
D
C
B
A
(1)
M
E
D
C B
A
-3
A.52
B.1
C.32
(2001年河北省中考试题)如图,在ABC ?中,D 为BC 边的中点,E 为 AC 边上的任意一点,BE 交AD 于点O . (1)当1A 2AE C =时,求
AO
AD 的值;
(2)当
11A 34AE C =、时,求
AO
AD
的值; (3)试猜想1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值,并证明你的猜想.
【例5】 (2010年湖北恩施中考题)如图,AD 是ABC ?的中线,点E 在AD 上,F 是BE 延长线与AC 的交点.
(1)如果E 是AD 的中点,求证:
1
2
AF FC =; (2)由(1)知,当E 是AD 中点时,
12AF AE
FC ED
=?
成立,若E 是AD 上任意一点(E 与A 、D 不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.
F E D
C
B
A
【巩固】如图,已知ABC ?中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于F 。求证:AF EF =。
F
E
D
C
B
A
E
D C
B
A
O
(2)F
E
D C B A
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【例6】 (宁德市中考题)如图,ABC ?中,D 为BC 边
的中点,延长AD 至E ,
延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =,求证:3AP AB =。
【巩固】(济南市中考题;安徽省中考题)如图, ABC
?中,BC a =,若11D E ,分
别是AB AC ,的中点,则111
2
D E a =;
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点,则2213
224a D E a a ??=+= ???; 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点,则3313724
8
D E a a a ??=+= ???;
…………
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点,则n n D E =_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,直线l 平行于BD ,且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .
求证:PM PN PR PS ?=?
【巩固】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于E 、F ,对角线BD EF ∥, AC 的延长线交EF 于G .求证:EG GF =.
【例8】 已知:P 为ABC ?的中位线MN 上任意一点,BP 、CP 的延长
E n D n E 3D 3
E 2D 2E 1
D 1
C
B
A
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
G
F
E
C
D
B
A
P
N
M
E D
C
B
A P
E
D
C
B
A
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线分别交对
边AC 、AB 于D 、E ,求证:
1AD AE
DC EB
+=
【例9】 在ABC ?中,底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中 线,AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点,求证:::5:3:2BG GH HM =
【例10】 如图,M 、N 为ABC ?边BC 上的两点,且满足BM MN NC ==,一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证:3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例11】 已知:如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,M 是AB 的中点,分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ,且AC 与MD 交于点E ,DB 与MC 交于F . (1)求证://EF CD
(2)若AB a =,CD b =,求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
M
H G F E C
B A
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【例12】 已知等腰直角ABC ?中,E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点,且 CE CD =,过E 、D 分别作AE 的垂线,交斜边AB 于L ,K . 求证:BL LK =.
L K
E
D
C B
A
望子成龙学校家庭作业
科目 数学 课次 第 次 作业等级 校区 总校教学区 老师 刘老师
【习题1】 如已知DE AB ∥,2OA OC OE =?,求证:AD BC ∥.
D
O
E
C
B A
【习题2】 在ABC ?中,BD CE =,DE 的延长线交BC 的延长线于P ,
求证:AD BP AE CP ?=?.
【习题3】 如图,在ABC ?的边AB 上取一点D ,在AC 取一点E ,使AD AE =, 直线DE 和BC 的延长线相交于P ,求证:
BP BD
CP CE
=
P
E D
C
B A P
E
D
C
B
A
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