第十讲：数论之余数问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0?r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
(2)当0
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要
求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，
那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可
以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、弃九法原理：
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
++++=
例如：检验算式1234189818922678967178902889923
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理：
1.中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1
人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法：
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下先由5735
?=是否可以，很显然70除以3余1
一个”倍数35270
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
k k
?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。
270321245[3,5,7]233[3,5,7]
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
?+?+?-?=得到所求
那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
例题精讲：
【模块一：带余除法的定义和性质】
【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．
【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643 (14)
r=．
a=，14
÷=，得1992464314
=?+，所以43
【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．
【解析】(法1)因为甲=乙1132
?+=；
?++乙=乙12321088
?+，所以甲+乙=乙1132
则乙(108832)1288
=-÷=，甲1088
=．
=-乙1000
(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数
的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．
【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转
化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与
余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37
大，符合条件的有39，91.
【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、
商与余数之和为2113，则被除数是多少？
【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的
17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．
【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2
个自然数各是多少？
【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到
40164016933x y x y =+??+++=?,解方程组得85621x y =??=?
，即这两个自然数分别是856，21.
【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31
所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【解析】 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求
得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。
【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，
除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．
【解析】 设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=?+，即37a b =，只
有7a =，3b =，所以这个自然数为84712=?。
【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如
果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么
每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、
14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．
【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．
【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678?=，并且小于13(61)91?+=；又
因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．
【模块二：三大余数定理的应用】
【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定
理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约
数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，
这个数是4,6,12；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两
数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．
【例 6】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ?．
【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=?-（（）
能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ?=?=
【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么
这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=
的公约数，所求答案为17．
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
_________．
【解析】 因为3921351113903=-, 6861390314589=-，
由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整
除．98)686,392(=，所以所求的最大整数是98．
【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．
【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个
数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3
的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的
余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与
22003的和除以7的余数是415+=．
【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被
9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．
【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．
因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，
所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000，()2003,2000,1998 ，
()1995,2001,2003,2000 ，()1995,2001,2003,2000,1998．
【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是
50，那么这个整数是______．
【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29
和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．
7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为
25，那么n=________
【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不
能大于63．符合条件的只有43．
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被
3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那
么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最
多的。
【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、
37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、
乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》
的定价是________元．
【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五
人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大
词典》的定价是(1417182126)332++++÷= (元) ．
【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个
顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．
(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20 千克．
【例 10】 求2461135604711??÷的余数．
【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)，
2461135604711??÷的余数等于83811??÷的余数，而838192??=，
1921117...5÷=，所以2461135604711??÷的余数为5．
【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数．
【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除
以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1??÷=．
【巩固】 求19973的最后两位数．
【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=?，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，
103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于
1997209917=?+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=?，所以173除以100的余数等于292943??除以100的余数，而29294336163??=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．
【巩固】
"
2"20002222个除以13所得余数是_____. 【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
【巩固】 求89143除以7的余数．
【解析】 法一：
由于()1433mod 7≡ (143被7除余3)，
所以()89891433mod7≡ (89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)
而63729=，()7291mod 7≡（729除以7的余数为1），
所以()8966655143333335mod7≡????≡≡
个
． 故89143除以7的余数为5.
法二：
计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 13 23 33 43 53 63 73 mod7 3 2 6 4 5 1 3
于是余数以6为周期变化．所以()895335mod 7≡≡．
【巩固】 （2007年实验中学考题）222212320012002+++++ 除以7的余数是多少？
【解析】 由于22222200220034005123200120021001200313356
??+++++==?? ，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++++ 除以7的余数是0；
【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？
【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3， 时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，
1 以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；
30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3， 时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10， 以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；
所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=．
【巩固】 (2008年奥数网杯)已知20082008
200820082008a = 个，问：a 除以13所得的余数是多少？
【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=?+；
20082008200820082008100002008=?+；
2008200820082008200820082008100002008=?+；
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6361311?+-=，200820082008除以13余1136390?+-=，即200820082008是13的倍数．
而2008除以3余1，所以20082008
200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.
【巩固】 19967
77777???
个除以41的余数是多少？ 【解析】 找规律：7417÷=???□，774136÷=???□，7774139÷=???□，77774128÷=???□，
77777410÷=???□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷= ，所以19967
77777???
个可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．
【巩固】 1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？
【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一
个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．
首先计算123420123420+++++ 的个位数字，
为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，
由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400?=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．
【模块三：余数综合应用】
【例 11】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所
得的余数为多少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将
裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个
数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个
数是5的倍数．由于200954014÷= ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
【例 12】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知
这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．
【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过15852=++，
既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数）
，所以它除以18的余数只能为17． 【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数
之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k +型的数，又是质数．只有7，
13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．
课后练习
练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等
于415，则被除数是_______．
练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，
甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
练习4. 求12
644319÷的余数
练习5. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1a -，2a ，31a -，求该自然数的值．
练习6. (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多
10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．
考题备选
【备选1】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．
【备选2】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【备选3】 (2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数
相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
【备选4】200822
2008 除以7的余数是多少？
【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．
九年级语文教学培优补差计划 银屏中学程红远 一、指导思想 以教师特别的爱奉献给特别的学生。“帮学生一把，带他们一同上路”。对学困生高看一眼，厚爱三分，以最大限度的耐心和恒心补出成效，对优秀生给予特别的爱，让他们更有信心迎接人生的第一次考验——中考。 二、学困生原因分析 寻找根源，发现造成学习困难的原因有生理因素，也有心理因素，但更多的是学生自身原因。 1、志向性障碍：学习无目的性、无积极性和主动性，对自己的日常学习抱自暴自弃的态度，把接受在校教育的活动看作是套在自己身上的精神枷锁。 2、情感性障碍：缺乏积极的学习动机，成天无精打采，做一天和尚撞一天钟。随着时间的推移，知识欠帐日益增加，成绩每况愈下。上课有自卑心理，不敢举手发言，课上不敢正视教师的目光，班集体生活中存有恐慌感。久而久之成为学习困难学生。 3、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 4.环境因素：其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三、优秀生心理分析： 1、骄傲心理：认为自己在班上属佼佼者，小尾巴翘上了天。 2、浮躁心理：认为自己应还有潜力可挖，可怎么都没有提高。 三、采取的措施 由于各种不同的原因造成了学困生的学习困难，从而使这些学生自卑，自暴自弃，而优秀生又停步不前，怎么办？针对以上情况，我准备采取如下措施： １、引导学习困难生正确认识自我 学习困难学生不善于自我评价、自我判断和自我反应，因而容易降低学习目标，放弃坚持不懈的学习努力。教师帮助他们寻找学习困难的真正原因，以利于取长补短，摆脱学习困难的困境。
人教版?必
01课前语法感 知 ①教材语法感知 ①“I don't want to set down a series of facts in a diary, ” said Anne. f Anne said that she didn!t want to set down a series of facts
in a diary. ②“Does a friend always have to be a person? ” the writer asks us. —The writer asks us if a friend always has to be a person. ③“ What do you call your diary? Anne's sister asked her. f Anne's sister asked her what she called her diary. ④“Why did you go to bed so late last night? ” Father asked Anne. -^Father asked Anne why she had gone to bed so late the
night before? ⑤“When will we come back home? ” Anne asked her father. —Arnie asked her father when they would go back home.
(1)在直接引语变间接引语时，从句的主语有一定的变化，从句中的时态也应作相应变化，如①。; I (2)直接引语是一般疑问句或反意疑问句，变为间接引语时，常将它变成由i威whether引导的宾语从句,其主句谓语动词常用°sk ,如②。
九年级语文培优资料（九） 一、基础题 1.请写出下列加点字的拼音。（16分） 牟．取（）叱咤．（）匀称．（）忍俊不禁．（） 禁锢．（）瓦砾．（）追溯．（）义愤填膺．（） 恻．隐（）狼藉．（）蓦．然（）惟妙惟肖．（） 阔绰．（）琐屑．（）殷．红（）鳞次栉．比（） 2.请改正以下词语当中的错别字。（7分） 璀灿（璨）梦寐以逑（求）气充斗牛（冲） 斓语（谰）肿涨（胀）尽态极研（妍） 3.请修改以下几个句子中的语病。（6分） （1）看了这篇文章以后，对我教育很大。 修改：“对我影响很大”或者“我很受教育” （2）我们要为把我国建设得更加繁荣富强。 修改：去掉“为”或者加上“而努力” （3）学校的操场上有各种各样的体育运动器械，单杠、双杠、爬杆、沙坑和篮球场等都有。修改：去掉“沙坑和篮球场” 4.请给以下句子排序。（4分） 南极是一个冰雪有2000米厚的大陆，④，②，①，③。 ①1983年，测得最低气温为零下℃②在南极点，年平均温度达零下50℃ ③世界上环境最恶劣的大陆在等待着我们去征服④它是世界上最寒冷，风最大的地方二、现代文阅读 锄（李锐） 拄着锄把出村的时候又有人问：“六安爷，又去百亩园呀” 倒拿着锄头的六安爷平静地笑笑：“是哩。” “咳呀,六安爷，后晌天气这么热，眼睛又不方便，快回家歇歇吧六安爷！” 六安爷还是平静地笑笑：“我不是锄地，我是过瘾。”
“咳呀，锄了地，受了累，又没有收成，你是图啥呀六安爷” 六安爷已经记不清这样的回答重复过多少次了，他还是不紧不慢地笑笑：“我不是锄地，我是过瘾。” 斜射的阳光晃晃地照在六安爷的脸上，渐渐失明的眼睛，给他带来一种说不出的静穆，六安爷看不清人们的脸色，可他听得清人们的腔调，但是六安爷不想改变自己的主意，照样拄着锄把当拐棍，从从容容地走过。 百亩园就在河对面，一抬眼就能看见。一座三孔石桥跨过乱流河，把百亩园和村子连在一起。这整整一百二十亩平坦肥沃的河滩地，是乱流河一百多里河谷当中最大最肥的一块地。西湾村人不知道在这块地上耕种了几千年几百代了。西湾村人不知把几千斤几万斤的汗水撒在百亩园，也不知从百亩园的土地上收获了几百万几千万斤的粮食，更不知这几百万几千万斤的粮食养活了世世代代多少人。但是，从今年起百亩园再也不会收获庄稼了，煤炭公司看中了百亩园，要在这块地上建一个焦炭厂。两年里反复地谈判，煤炭公司一直把土地收购价压在每亩五千元，为了表示绝不接受的决心，今年下种的季节，西湾村人坚决地把庄稼照样种了下去。煤炭公司终于妥协了，每亩地一万五千块。这场惊心动魄的谈判像传奇一样在乱流河两岸到处被人传颂。一万五千块，简直就是一个让人头晕的天价。按照最好的年景，现在一亩地一年也就能收入一百多块钱。想一想就让人头晕，你得受一百多年的辛苦，留一百多年的汗，才能在一亩地里刨出来一万五千块钱呐！胜利的喜悦中，没有人再去百亩园了，因为合同一签，钱一拿，推土机马上就要开进来了。 可是，不知不觉中，那些被人遗忘了的种子，还是和千百年来一样破土而出了。每天早上嫩绿的叶子上都会有珍珠一样的露水，在晨风中把阳光变幻得五彩缤纷。这些种子们不知道，永远不会再有人来伺候它们，收获它们了。从此往后，百亩园里将是炉火熊熊、浓烟滚滚的另一番景象。 六安爷舍不得那些种子。他掐着指头计算着出苗的时间，到了该间苗锄头遍的日子，六安爷就拄着锄头来到百亩园。一天三晌，一晌不落。 现在，劳累了一天的六安爷已经感觉到腰背的酸痛，满是老茧的手也有些僵硬，他蹲下身子摸索着探出一块空地，然后，坐在黄土上很享受地慢慢吸一支烟，等着僵硬了的筋骨舒缓下来。等到歇够了，就再拄着锄把站起来，青筋暴突的臂膀，把锄头一次又一次稳稳地
六年级上册圆培优题 圆 ?易错题 1、两个圆的半径比是2:3，他们的直径比是（ ），周长比是（ ）。 2、一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的半径就扩大到原来（ ）倍，它的周长扩大到原来的（ ）倍。 3、一座石英钟的时针长6cm ，经过6小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm ，经过12小时，这时针的尖端所走的路程是（ ）cm 4、周长相等的正方形，长方形和圆，面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 5、将一个圆，沿半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长是圆的（ ），宽是圆的（ ）。如果这个长方形的宽是3cm ，那么这个长方形的长是（ ）cm,周长是（ ）cm ，面积是（ ）平方厘米。如果拼成的长方形的长为12.56dm ，那么原来圆的面积是（ ）cm 2 6、小圆的半径是大圆半径的3 1，小圆的面积是大圆面积的（ ）。 7、一张正方形的周长是16分米，把它剪成一个最大的圆，剪去部分的面积是（ ）平方分米。 8、有一半圆的周长是25.7cm ，它的面积是（ ）平方厘米。 9、在一块直径是1.2米的圆形桌布周围缝在一条花边，接头处长6厘米，这条花边长（ ）米。 10、用一根12.56dm 长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是（ ）dm ，面积是（ ）dm 2 求阴影部分的面积与周长
例1、求下面图形中阴影部分的面积与周长。 练2、.如图，四个扇形的半径相等， 3、如图所示，正方形的面积是18dm2，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 求圆的面积。
4、.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米求阴影部分的面积。 5、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 半圆的周长 例1、有一个半圆形的零件如图所示，周长是25.7厘米，求这个半圆形零件的面积。 练1、如图所示，这个四分之一园的周长是17.85厘米，求它的面积。
高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321 ,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =， ； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-????
九年级语文培优补差计划新的一个学年又已开始了，九年级是初中三年的关键时刻，面临着毕业的升学压力，对学生来说，取得好成绩就是最重要的事情。结合上期语文教学工作的得失，特对本期工作尤其是培优补差方面的工作做有的放矢的安排： 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成语文基本能力。培优计划要落到实处，发掘并培养一批语文尖子，挖掘他们的潜能，从培养语文能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和阅读写话能力，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的语文素养和语文成绩。 二、制定目标： 在这个学期的培优辅差活动中，培优对象能按照计划提高读、说、写的综合语文能力，成绩稳定在96分左右，并协助老师实施辅差工作，帮助差生取得进步。辅差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是语文考试这一基本的能力。 三、定内容： 培优主要是继续提高学生的阅读能力和写话能力。介绍或推荐适量课外阅读，让优生扩大阅读面，摄取更多课外知识，尤其是散文化倾向方面，多给他们一定的指导，以期在写作中能灵活运用，提高写话水平，定时安排一定难度的练习任务要求他们完成，全面提高语文能力。 辅差的内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他们掌握，写话至少能写得出，可先布置他们摘抄。仿写，后独立完成，保证每个差生有话可说，有文可写。训练差生的口头表达能力，堂上创造情境，让差生尝试说、敢于说、进而争取善于说。 四、主要措施： l．课外辅导，利用课余时间。 2．采用一优生带一差生的一帮一行动。 3．请优生介绍学习经验，差生加以学习。
人教版九年级数学上册《弧长与扇形面积》同步培优 一、选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是( ) A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2 3.如图,AB为⊙O的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（） A.EF∥CD B.△COB是等边三角形 C.CG=DG D.的长为π 4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（） A.6﹣π B.6﹣π C.12﹣π D.12﹣π 5.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则 的长度为（）
A.π B.2π C.2π D.4π 6.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为（） A.π﹣4 B. C.π﹣2 D. 7.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB 上，点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分面积为（） A.2π-4 B.4π-8 C.2π-8 D.4π-4 8.如图,从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B,C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（） A.12cm B.6cm C.3cm D.2cm 9.如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（） A.5π B.6π C.20π D.24π 10.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（） A.π B.π C.2π D.3π
10届语文培优补差练习之二:课外文言文阅读训练 班级: 姓名: （一）《左传》选段 赵将廉颇之后嗣廉范①，任云中郡守。一日，会匈奴大入塞，故事②虏人③过五千，移文④旁郡。吏欲传檄⑤求救，范不听，自率士卒拒之。虏众盛而范兵不敌。会日暮，令军士各交缚⑥两炬三头热火⑦，营中星列⑧。虏遥望火多，谓汉兵救至，大惊。待旦⑨将退，范乃令军中褥食⑩，晨往赴之。俄而，斩首数百级，虏自相践踏，死者千余人。虏由此不敢复向云中。 『注释』：①廉范：廉颇的后代。②故事：按旧例。③虏：敌人。④移文：发文书。⑤传檄：发出紧急公文。⑥交缚：交叉缚扎。⑦热火：点火。⑧星列：象星一样布满。⑨待旦：等到天亮。⑩褥食：在睡垫上把早饭吃了。 1、解释下面句中加点的词 会．匈奴大入塞俄而 ．．，斩首数百级 待旦．将退范乃．令军中褥食 2、用现代汉语写出下列句子的意思。 吏欲传檄（xi）求救，范不听，自率士卒拒之。 3、廉范在众寡不敌的情况下，表现出高超的指挥才能，他在作战中采用的妙抬是什么？ （二）《北史.击皮得实》 【原文】：人有负盐负薪者，同释①重担息树阴。二人将行，争一羊皮，各言藉背②之物。惠③遣争者出，顾州纲纪④曰：“以此羊皮可拷知主乎?”群下⑤咸无答者。惠令人置羊皮席上，以杖击之，见少盐屑，曰：“得其实⑥矣。”使争者视之，负薪者乃伏而就罪。 【注释】①释：放下。②藉背：藉是坐卧之用；背是披背之用。意思是经常使用之物。③惠：李惠，中山(今河北定县满城一带)人，北魏太武帝时任雍州刺史。本篇选自《北史·李惠传》。④纲纪：随从人员。州纲纪指州府的主簿。⑤群下：部下，属员。⑥实：事实，真相。 1、解释下列加点字 （1）顾州纲纪曰（2）群下咸无答者
九年级语文提能培优试题卷 一、积累与运用： 1、看拼音依次写汉字： “工作着是美丽的。”敬业又乐业的王师傅从招工启sh ì（ ）尤其是生活中获得启 sh ì( ),面对纷繁的现实，决不趋之若w ù（ ），而是心无旁w ù（ ），热爱着他 那份驾驶员工作；他也不愿如有的人那样辛苦z ì（ ）睢而生活，而是以劳动者的z ī （ ）态，积极地工作着。想当初他被一家旅游公司录用时，就兴奋地在p ìn( )用合同上签了字。如今，他驾着车子载着梦想驰ch ěng( )在通向春天的大道上。 2、古诗填空默写： （1）王安石的咏杏诗有“纵被东风吹伏雪，绝胜南陌碾成尘”的诗句，《卜算子·咏梅》 中比其用意更为深沉的词句是 ， 。 （2）《卜算子.咏梅》中借梅花盛开来写个人品格的高尚的词是 ， 。 （3）"赏不可不平，罚不可不均"。这与《出师表》中的两句 ， 是一致的。 （4）上级任命郑兴为厂长，以拯救濒临倒闭的工厂，人们说郑兴 是： ， 。 3、、阅读名著，陶冶情操： （1）前天已将《野草》编订了；这回便轮到陆续载在《莽原》上的《旧事重提》，我还替它 改了一个名称：《 》。带露折花，色香自然要好得多，但是我不能够。便是现在心目 中的离奇和芜杂，我也还不能使他即刻幻化，转成离奇和芜杂的文章。 上面这段文字的画线处应该填上的作品名称是 。 （2）下面是《黄永玉大画水浒》中的三幅画，任选两幅，根据图意和图上的文字写出人物 姓名或绰号。（2分） （图1） （图2） （图3） 我选图（ ）和图（ ），人物分别是 和 。 （3）根据阅读印象，写出选段中加点的“他”。 ①我们俩更亲近了。我随时都可以到他． 那里去，坐在盛满破烂的箱子上，毫不受阻挡地观察他熔铅，烧铜，把铁片烧红，用小锤子在砧子上捶打……他老是把东西拿到天平上称， 往杯子里倒各种液体。（选自《童年》） ②他． 后来便到一个熟人的家里去寄食，也时时给我信，景况愈困穷，言辞也愈凄苦。不这一球 踢出个 小乾坤 要没撞着牛二，宝刀早卖成了 不是山 神庙前 撞见小鬼，梁山就无 缘了
九（2）语文培优辅差工作计划 李店初级中学李军 指导思想：为了提高优生的自主和自觉学习能力，帮助差生取得进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养他们较好的学习习惯，形成一定的能力。特制定培优补差计划,以高度的责任心投入到紧张的教学及培优补差工作中。 培优对象：卢怡冰张紫阳李逍熊思琪李璐瑶 辅差对象：吴汉余英豪徐安安王阳张文杰 制定目标：中考中语文成绩力争优生率25%以上，全班及格率达80%。 制定内容： 一、做好初三学生的思想工作，狠抓尖子生、扶持学困生。 1. 经常和学生谈心,关心学生,让尖子生找到继续提高学习成绩的方法，让学困生觉得老师是重视他们的,激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。让学生认识到语文的短期提升效果。 2. 不定期与学生家长、班主任联系,进一步了解“关键学生”的家庭、生活、思想情绪、课堂反应等各方面的情况，以获得第一手资料。灵活调整教学方案。
二、制定有效的培优补差措施。 利用课余时间和晚自习,对各种情况的学生进行辅导,“因材施教、对症下药”,根据学生的具体情况采取相应的辅导方法。具体方法如下: 1. 每节课要留空出10-15的时间当堂对学生进行检测，检测试题题量要适中，有针对性，分开层次，不同的学生完成不同的问题。 2. 座位安置要坚持“好差同桌”“优中前后”，让好学生带动差生学习，优等生与中等学生结为对子。实现真正意义上的“兵教兵”。 3. 课堂练习设置要分成三个层次:第一层“必做题”（基础题）；第二层:“选做题”（中等题）,第三层“思考题”（拓广题）。满足不同层次学生的需要。让不同层次的学生都有不同层次的提高。 4. 备好学生、备好教材、备好练习,才能上好课,才能保证培优补差的效果。要精编习题、习题教学要有四度。习题设计(或选编习题)要有梯度,紧扣重点、难点、疑点和热点,面向大多数学生,有利于巩固“双基”,有利于启发学生思维。 三、值得注意的几个问题: 1. 不歧视学习有困难的学生,不纵容优秀的学生,一视同仁。做到言出必行。 2. 根据优差生的实际情况制定学习方案,优秀生可以给他们一
安徽省广德市桃州中学 2020届九年级下学期语文培优试题（20200417） 姓名班级成绩 注意你拿到的试卷满分为150分（其中卷面书写占5分），考试时间为150分钟。 一、语文积累与与综合运用 1.默写（10分） ①，江春入旧年。（王湾《次北固山下》） ②河流大野犹嫌束，。（谭嗣同《潼关》） ③竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？。（苏轼《定风波》） ④鹏之背，不知其几千里也；怒而飞，。（《〈庄子〉二则》 ⑤欧阳修的《醉翁亭记》既写了四时之景又写了朝暮之景，其写朝暮之景的句子是，。 ⑥刘禹锡的《酬乐天扬州初逢席上见赠》用比喻抒发个人的身世之感、尽显慷慨激昂之气、包含新陈代谢哲理的诗句是 ，。 ⑦唐代著名诗人杜甫忧国忧民，其诗作大都表现这一主题。在《茅屋为秋风所破歌》中，即使自己的住所（茅屋）被暴风雨袭击、毁坏，他也仍然发出了“，”的强烈呼喊，表现了一种饱览民生疾苦、体察人间冷暖的济世情怀。 2.请运用所积累的知识，完成⑴～⑷题。（13分） 因为东关离城远，大清早大家就起来。昨夜预定好的三道明瓦窗的大船，已经泊在河埠头，船椅，饭菜、茶炊，点心盒子，都在陆续搬下去了。我笑着跳着，催他们要搬得快。忽然，工人的脸色很谨肃了，我知道有些蹊跷，四面一看，A就站在我背后。 “去拿你的书来。”他慢慢地说。 这所谓“书”，是指我开蒙时候所读的《鉴略》。因为我再没有第二本了。我们那里上学的岁数是多拣单数的，所以这使我记住我其时是七岁。 我忐忑 ．．着，拿了书来了。他使我同坐在堂中央的桌子前，教我一句一句地读下去。我担着心，一句一句地读下去。
两句一行，大约读了二三十行罢，他说： “给我读熟。背不出，就不准去看会。” 他说完，便站起来，走进房里去了。 我似乎从头上浇了一盆冷水。但是，有什么法子呢？自然是读着，读着，强记着，——而且要背出来。 ⑴以上文段选自鲁迅先生的性散文集《朝花夕拾》里的《》，第一段中的A和“我”是关系。（3分） ⑵给下列加点的字注音、解释。（2分） ①注音：忐忑（）（） ②解释：蹊跷。 ⑶文中划横线的句子运用了的修辞手法，表达了“我” 的心情。（2分） ⑷请结合《朝花夕拾》原著回答：（6分，①题2分，②题4分） ①以上文段出自《朝花夕拾》里的一篇散文，这篇散文表现了什么思想？ ②读经典作品，会丰富我们的人生感受和经验。读了《朝花夕拾》，你有什么感受？ 3、学校举行“敬畏自然”的主题学习活动，请你参与。（12分） ⑴黎明同学的父母均参与了我省援鄂医疗队，前几天刚返回，现集中隔离，黎明要在家代替父母照顾年迈的爷爷奶奶，不能参加这次将于4月9日举行的活动，他为此向 团委张老师写了一张请假条，请你修改一下： 请假条 张老师： 因为我的父母刚从湖北抗疫归来，正安照要求集中隔离，而且我要在家照顾年迈 的爷爷奶奶，不能参加这次活动，特此请假一天。 二〇二〇年四月八日 请假人黎明 ①请假条中有错别字的一个词语是“”，正确的写法是“”。（2分） ②请假条中使用不当的一个词语是“”，替换的词语是“”。（2分） ③请假条有一处格式上的错误，你的修改意见是。（2分） ⑵小明说，我们班主任经常要求我们要亲近自然，拥抱大自然，现在开展这个活动又要求我们“敬
圆培优竞赛 1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（） A 5 13 12 ． 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B． 【解析】 试题分析：如答图，连接PO，AO，取AO中点G，连接AG，过点A作AH⊥PO于点H，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r，∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B．
考点：1.切线的性质；2.切线长定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.直角三角形斜边上中线的性质；7.转换思想的应用. 2．如图，以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R、r的值可能是( ). =5，r=2 =4，r=3/2 =4，r=2 =5，r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用，在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中，看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H，连接OH并延长，交大圆于点J
2019版九年级语文上学期培优讲义第2周小练 一、《有它的地方叫故乡》 ①单位的院子里种了不少花，有玉兰、海棠、碧桃、榆叶梅……每当春天到来，花开之时，树下、花边总少不了赏花者。人们常说，最美人间四月天。想来，春天里那些盛大的花事，无疑是最美的四月天里最绚丽的一道风景。 ②不过，于我而言，眼前的此般花景再美，却不及记忆里的“那一朵”亲切。因为，有它的地方，叫故乡。 ③说起来，这种花对于很多人来说并不陌生。它们广泛地种植于祖国大地上，每到春天，花开之处，仿佛一片金黄色的海洋。那满世界的金黄，浓得化不开的金黄，让人震撼，难以忘记。天南海北的人们，不远千里赶赴一处处花海，只为陶醉于那一望无际的灿烂的金黄。这种花，就是油菜花。 ④我对油菜花再熟悉不过了。我的故乡坐落在苏中平原上，属于里下河水乡，水网密集，油菜花随处可见，田间、路边、河坡上……经常能看见这种极其普通的花儿。小时候，每天放学后，爸爸骑着自行车接我回家，路边的一侧是一条小河，河坡上开满了油菜花。爸爸每次骑到这里时，就会停下来，沿着河坡往下走，采上一朵油菜花，然后递给我。回到家中，我们将采来的这朵油菜花插在装了水的瓶子里，屋子立刻就靓丽了不少。记忆里，童年的每个春天，眼前都少不了油菜花的灿烂盛开，家中都少不了油菜花的美丽装扮。 ⑤一直以来，我总认为油菜花是一种很特别的花。因为在我心中，大概没有一种花比油菜花更具有故乡的意味了。这不仅是因为我出生并成长的地方盛产油菜花，油菜花承载着我对于苏中水乡和童年的美好记忆，更是因为油菜花的特殊气质，与“故乡”这个字眼最为贴切，让人不由自主地想到故乡景，故乡事，乃至故乡人。 ⑥即便你从来没有亲眼见过油菜花，亲身置身过油菜花海中，光从那些图片里，你也可以发现，油菜花的遍野之处，从来不是一方阳台、一处庭院、一所公园，而是连绵起伏的大山脚下，阡陌交错的田埂之上，河网密布的水乡岸边，白墙黛瓦的房前屋后……这些，不正是我们最常见的家园的模样，不正是最典型的乡土中国的图景吗？ ⑦这也难怪，油菜花本来就是长在乡间田头的。油菜花说到底并不是观赏性的花，而只是有着很强实用价值的农作物油菜的花。那些大面积种植的油菜，不仅可以用来食用，长出的菜籽更是极好的榨油原料。清代乾隆皇帝就有诗赞油菜花：“黄萼裳裳绿叶稠，千村欣卜榨新油。爱他生计资民用，不是闲花野草流。”所以，油菜花在本质上便是属于故乡、属于乡土的。
九年级数学期末总复习卷（一） 一、填空题 1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（） ①∠1=∠A，②CD DB AD CD =,③∠B+∠2=90°, ④BC∶AC∶AB=3∶4∶5，⑤AC BD AC CD ?=?． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（） A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是（） A．∠HGF = ∠GHE B．∠GHE = ∠HEF C．∠HEF = ∠EFG D．∠HGF = ∠HEF 4．五边形的外角和等于（） A．180°B．360°C．540°D．720° 5．正八边形的内角和是 A．720°B．900°C．1 080°D．1 440° 6．若点A的坐标为(6，3)，O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA＇，则点A＇的坐标为（） A．(3，-6) B．(-3，6) C．(-3，-6) D．(3，6) 7．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2,4)，B(4，2)，直线y=kx-2与直线AB有交点，则k的值不可能是（） A．-5 B．-1 3 C．3 D．5
8．如图，表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10．若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（） A．22-B．16π ＋C．18 D．19 9．已知 1 8 x x -=，则2 2 1 6 x x +-的值是 A．60 B．64 C．66 D．72 10．若二次函数y＝x2-6x＋c的图象过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(3y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系是 A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 二、填空题 11．已知∠1=33°，则∠1的余角是度． 12．把抛物线2x y=向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作DE∥BC且分别交AB、AC于点D、E，AB=8，AC=6，则△ADE的周长是． 14．如图，货轮在海上以20海里/时的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东70°，测得C处的方位角为南偏东35°，航行3小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东10°，则C到A的距离是海里． 15．如图，点A在双曲线 1 y x =上，点B在双曲线 3 y x =上，且AB∥x轴，C、D在x轴上， 若四边形ABCD为矩形，则它的面积为. 16．如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为___________．17．如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC＝7cm，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为.
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ. 发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________； 思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长； （2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积； 探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离． 【答案】发现： 90°，102；思考：（1） 10 3 π =；（2）25π?1002+100；（3）点O 到折痕PQ的距离为30. 【解析】 分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论； 思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论； （2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论． 探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩 形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=1 2 OO′=30． 详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=22 OA OB +=102； 思考：（1）如图，连接OQ， ∵点P是OB的中点，
∴OP= 12OB=1 2OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=1 2 OP OQ =， ∴∠QOP=60°， ∴l BQ = 601010 1803 ππ?=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102， 在Rt △B'OP 中，OP 2+(102?10)2=（10-OP ）2 解得OP=102?10， S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101 210(10210)3602 π?-???- ＝25π?1002+100； 探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ， 则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心， ∴O′C=OB=10， ∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O′C ⊥AO ， ∴O′C ∥OB ， ∴四边形OCO′B 是矩形， 在Rt △O′BP 中，226425-= 在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-， ∴OM= 12OO′=1 2 ×23030 即O 到折痕PQ 30 点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l= 180 n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =，； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-????
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B . (1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 1 2 ，求AB 和FC 的长． 【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403 CF = 【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可； （2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解. 详解：⑴证明：连结OC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90° ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠B=∠FCA ∴∠FCA+∠OCA=90° 即∠OCF=90° ∵C 在⊙O 上 ∴CF 是⊙O 的切线 ⑵∵AE=4，tan ∠ACD 1 2 AE EC = ∴CE=8
∵直径AB ⊥弦CD 于点E ∴AD AC = ∵∠FCA ＝∠B ∴∠B=∠ACD=∠FCA ∴∠EOC=∠ECA ∴tan ∠B=tan ∠ACD=1 =2 CE BE ∴BE=16 ∴AB=20 ∴OE=AB÷2-AE=6 ∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90° ∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE = 即 106=8 CF ∴40CF 3 = 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目. 2．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动． （1）当t =0时，点F 的坐标为 ； （2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离； （3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离； （4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．
《必修一：1～6单元学科培优》教、学案 编制：军长 2014.09.16 【例】甲、乙两图为一昼夜中某作物植株对CO2的吸收和释放状况示意图。甲图是在春季的某一晴天测得的，乙图是在盛夏的某一晴天测得的，请据图回答问题： (1)甲图曲线中C点和E点(外界环境中CO2浓度变化为零)处生理状态是__________________________________________________。 (2)根据甲图推测该植株接受光照的时间是曲线中的________段，其中光合作用强度最高的是________点，植株积累有机物最多的是________点。 (3)乙图中FG段CO2吸收量逐渐减少是因为________________________________________________________________________，导致光反应产生的________和________逐渐减少，从而影响了暗反应强度，使化合物含量减少，影响了CO2的固定。 (4)乙图曲线中E点处光合作用强度暂时降低，可能是因为________________________________________________________________________。 1．下列A、B、C三图依次表示酶浓度一定时，反应速率和反应物浓度、温度、pH的关系。请据图回答下列问题：
(1)图A中，反应物达到某一浓度时，反应速率不再上升，其原因是____________________________________________________。 (2)图B中，a点所对应的温度称__________________________。 (3)图B中，a点到b点的曲线急剧下降，其原因是____________________________________。 (4)将装有酶与反应物的甲、乙两试管分别放入12 ℃和75 ℃水浴锅中，20 min后取出转入37 ℃的水浴锅中保温，两试管内的反应分别为：甲______________，乙____________________________。 (5)图C表示了________催化反应速率变化曲线。 A．唾液淀粉酶B．胃蛋白酶 C．胰蛋白酶 D．植物淀粉酶2．科研人员以某种小球藻(单细胞绿藻)为实验材料，进行了下面的实验甲和实验乙，请据图回答： 实验甲：以相同培养液和同样密封的环境，用图甲中的装置Ⅰ和Ⅱ分别培养小球藻，将两个装置都放在适宜光照下，一段时间后，观察装置Ⅰ和Ⅱ发生的变化。 (1)A中的浓糖水为酵母菌生长提供的营养物质是________，酵母菌的代谢又为小球藻的光合作用提供了________，在培养过程中，酵母菌细胞内产生该物质的场所是________。(2)C试管中小球藻的繁殖速度比B试管的________(填“快”或“慢”)，原因是____________________________________。 实验乙：敞开试管E和F培养小球藻，E试管加入完全培养液，F试管加入缺镁的“完全”培养液，测定不同光照强度下E试管中小球藻O2的产生量，结果如图乙所示。 (3)P点的坐标值表示________________________________。 (4)造成E、F试管净氧量差异的主要原因是____________。 3．将8株各有20个叶片、大小和长势相似的盆栽天竺葵植株，分别放在密闭的玻璃容器中，在不同实验条件下，利用传感器定时测定密闭容器中CO2含量的变化。实验结果统计如下表：