计算方法测试第1章.预篇
测试2-1
计算填空 线性方程组
系数矩阵A= （ ） ，其行列式det(A)= ( ) 增广矩阵为（ ）， 进行LU 分解，L= （ ）， U=（ ） 方程组解为X=（ ）
?????=++-=-+-=+-6315318153312321321321x x x x x x x x x ??????????---=31113183312A ??????????----=5.2005.35.103312U ??
??????????--=165121015.1001L
第3章 线性方程组迭代解法
?
????
?
??????-=????????????------=1511256,8130
110123111102
110b A ??????
?
???????-
---=081
8301.001.02.0113111011
1
02.01.00J B
第4章.插值方法
f(x) = 2x2 -1
.
第4章.插值方法
已知数据表为函数y=f(x) 在5个节点上的函数值y= 2x3+3x2 -1
第5章 数值积分
∑-=--++=1
2
1
1
))
)12((2k i k k k k h i a f h T T )),()((2
0b f a f a
b T +-=
k
k a
b h 2-=
第5章数值积分
注f(x)=1/(x+1),F(x)=ln(x+1)，F(1)=0,F(2)= 0.69314718055994530941723212145818
第7章. 常微方程初值问题数值解法
第7章. 常微方程初值问题数值解法
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
10.4 《用科学计算器计算方差和标准差》导学案 一、教学内容：P105—P107 二、学习目标： 1、会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 2、养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。 三、重点、难点： 会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 四、教学过程： 1、课前预习：预习课本P105—P107页，完成下列填空。（要求必须熟悉计算器操作程序） （1）按键，打开计算器。 （2）按键，，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。（3）按键，，=，清除计算器中原有寄存的数据。（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据；第二数据为，……最后一个数据。 （5）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。 （6）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的标准差。 （7）按键=计算器显示出输入的所有统计数据的方差。 （8）若又准备保留数据，可按键，，结束求方差运算。 2、课堂探究： （1）小组合作完成例1 （2）已知：甲、乙两组数据分别为： 甲：1，2，3，4，5，6， 乙：2，3，4，5，6，7， 计算这两组数据的方差 3、达标检测： （1）一组数据2，3，2，3，5的方差是（） A、6 B、3 C、1.2 D、2 （2）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击成绩的平均数都是9.2环， 方差分别为S2 甲=0.56，S2 乙 =0.60，S2 丙 =0.50，S2 丁 =0.45，则成绩最稳定的是（） A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 （3）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（） A、10 B、√10 C、2 D、√2 四、课外延伸： 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，88，85 乙组：82，84，85，89，79，91，80，89，74，79
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
86x ( 1000－ 2) 15x ( 40－8) 乘法分配律练习题 乘法分配律特别要注意 “两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们与这个数分别相乘， 再相加”中的分别两个字。 选择。下面 4组式子中，哪道式子计算较简便？把算式前面的序号填在括号里。 (36+64)x 13 与 ② 36 x 13+64 x 13 135X 15+65X 15 与②(135+65)x 15 101 x 45 与② 100x 45+1 X 45 125X 842 与② 125X 800+125X 40+125X 2 7+8+9)x 10=7x 10+8x 10+9 12x 9+3x 9 = 12+3x 9 (25+50)x 200 = 25x 200+50 101x 63=100x 63+63 98 x 15= 100 x 15 + 2 x 15 类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加） 40＋ 8)x 25 125x ( 8+80) 36x ( 100+50) 24x ( 2＋10) 1、 2、 判断下面的 5 组等式，应用乘法分配律用对的打 ,应用错的打“x”
类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次） 36 x 34+ 36 x 66 63X 43+ 57X 63 325x 113－325x 13 类型三：（提示：把78x102 75x 23+ 25x 23 93x 6+ 93x 4 28x 18－8x 28 102看作100+ 2；81看作80 + 1，再用乘法分配 律） 69x102 56x101 52x102 125x81 25x41
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
10.4 《用科学计算器计算方差和标准差》导学案2013.4.17 初二数学组 【学习目标】： 1、会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 2、养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。 【重点、难点】： 会用科学计算器求一组数据的平均数，方差和标准差。 【教学过程】： 一、情境导入： 1、课前预习：预习课本P105—P107页，完成下列填空。（要求必须熟悉计算器操作程序） （1）按键，打开计算器。 （2）按键，，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。（3）按键，，=，清除计算器中原有寄存的数据。（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据；第二数据为，……最后一个数据。 （5）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。 （6）按键，，=，计算器显示出输入的所有统计数据的标准差。 （7）按键=计算器显示出输入的所有统计数据的方差。 （8）若又准备保留数据，可按键，，结束求方差运算。二、新课探究： (一)自主学习： （1）小组合作完成例1 （2）已知：甲、乙两组数据分别为： 甲：1，2，3，4，5，6， 乙：2，3，4，5，6，7， 计算这两组数据的方差 （二）、达标测试：
（1）一组数据2，3，2，3，5的方差是（ ） A 、6 B 、3 C 、1.2 D 、2 （2）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为S 2甲=0.56，S 2乙=0.60，S 2丙=0.50，S 2丁=0.45，则成绩最稳定的是（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁 （3）有一组数据如下：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ） A 、10 B 、√10 C 、2 D 、√2 四、课外延伸： 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，88，85 乙组：82，84，85，89，79，91，80，89，74，79 回答： （1）甲组数据众数是 ，乙组数据中位数是 。 （2）若甲组数据的平均数为X ，乙组数据的平均数为 Y ，则X 与Y 的大小关系是 。 （3）经计算可知：S 2甲=14.45，S 2乙=26.36，S 2甲＜S 2乙，这表明 。 （用简要文字语言表达） 三、课堂小结： 这堂课你学会了什么？有什么疑惑？ 四、布置作业： 必做题：习题10.4 A 组1、2题 选做题： B 组1题 反思：
四年级运算定律与简便计算练习题 一、运算定律 加法交换律：。字母表示为： 加法结合律：。字母表示为： 一个数连续减两个数，可以先算两个减数的和，再相减。字母表示为： 如果小括号前面前面是减号，去掉小括号，要改变括号里的运算符号。字母表示为： 二、加法的简便计算 403+627+597355+260+140+24599+321+101（725+139）+261（245+138）+（62+155）999+322+99486+198546+695398+124549+301728+4052637+2989 三、减法的简便计算 635-99486-197782-4981000-696684-201752-403480-3011000-505 527-145-55496-172-228375-168-75402-192-18 469-128-169-721000-125-640-235 467+92-267654+138-157-43451-（ 251+130）865-（ 165+320）（678+249）－（ 158+149） 四、怎样简便就怎样计算 325-64+75-36345+197+658645-180-2451022－478－422987－（ 287＋135） 672－36＋6436＋64－ 36＋64564-298564+298382＋ 165＋35－ 82
487－287－ 139－61500－257－34－143 2000－368－ 132 568－（ 68＋178） 155＋256＋ 45－98514+189－ 214369－256+156700－2011000-821 512+（373—212）228+（72+189）409－（ 230－91）897－ 72－28897－72+28 四、应用题。 1、雄城商场 1—4 季度分别售出冰箱269 台、 67 台、 331 台和 233 台。雄城商场平均每月售出冰箱多少台？ 2、第三小组六个队员的身高分别是128 厘米、 136 厘米、 140 厘米、 132 厘米、 124 厘米、 127 厘米。他们的平均身高是多少？ 3、一本书共有 326 页，小明第一天看了65 页，第二天看了 35 页，还剩多少页没有看？ 4、黄山旅游景区周末上午迎来1398 名中国游客， 457 名外国游客，中午离开了257 名中国游客、 198 名外国游客，景区里还剩下多少游客？ 五、列式计算 1、96 减去 35 的差，乘 63 与 25 的和，积是多少？ 2、 2727 除以 9 的商与 36 和 43 的积相差多少？ 3、3 与 9 的差除 336 与 474 的和，商是多少？ 4、最大的两位数与最小的三位数的和与差的积是多少？
工程水文水力学思考题和计算题 一、思考问答 1、水文现象是一种自然现象，它具有什么特性，各用什么方法研究？ 答：具有确定性（也可说周期性）与随机性，确定性决定了水文现象的相似性，决定了水文现象的随机性。确定性规律用成因分析发研究，随机性规律用数理统计法研究。 1）成因分析法： 如降雨径流预报法、河流洪水演算法等。 2）数理统计法： 情势预测、预报的方法。如设计年径流计算、设计洪水计算、地区经验公式等。 水文计算常常是二种方法综合使用，相辅相成，例如由暴雨资料推求设计洪水，就是先由数理统计法求设计暴雨，再按成因分析法将设计暴雨转化为设计洪水。 此外，当没有水文资料时，可以根据水文现象的变化在地区分布上呈现的一定规律（水文现象在各流域、各地区的分布规律）来研究短缺和无资料地区的水文特征值。 2、何谓水量平衡？试叙闭合流域水量平衡方程在实际工作中的应用和意义。 答：对任一地区、任一时段进入的水量与输出的水量之差，必等于其蓄水量的变化量，这就是水量平衡原理，是水文计算中始终要遵循的一项基本原理。 依此，可得任一地区、任一时段的水量平衡方程。对一闭合流域：设P 为某一特定时段的降雨量，E 为该时段内的蒸发量，R 为该时段该流域的径流量，则有：P=R+Ec+△U , △U为该时段流域内的蓄水量，△U=U1+U2。 对于多年平均情况，△U ＝0，则闭合流域多年平均水量平衡方程变为：P'=R'+E' 影响水资源的因素十分复杂，水资源的许多有关问题，难于由有关的成因因素直接计算求解，而运用水量平衡关系，往往可以使问题得到解决。因此，
水量平衡原理在水文分析计算和水资源规划的分析计算中有广泛的应用。如利用水量平衡式可以用已知的水文要素推求另外的未知要素。例如：某闭合流域的多年平均降雨量 P'=1020mm ，多年平均径流深R'=420mm，试求多年平均蒸发量E '。E'=P'-R'＝600mm。 3、何谓年径流？它的表示方法和度量单位是什么？径流深度、径流总量、平均流量、径流模数的概念及相互关系。 答：一个年度内在河槽里流动的水流叫做年径流。年径流可以用年径流总量W（m3）、年平均流量Q（m3/s）、年径流深R（mm）、年径流模数M（L/(s ﹒km2)）等表示。 将计算时段的径流总量，平铺在水文测站以上流域面积上所得的水层厚度，称为径流深度径流总量是指在指定时段Δt通过河流某一断面的总水量。 径流模数是单位流域面积上单位时间所产生的径流量。 4、流量的观测与水位流量关系曲线的延长。 答：测站测流时，由于施测条件限制或其他种种原因，致使最高水位或最低水位的流量缺测或漏测，在这种情况下，须将水位流量关系曲线作高、低水部分的外延，才能得到完整的流量过程。 1）根据水位面积、水位流速关系外延：河床稳定的测站，水位面积、水位流速关系点常较密集，曲线趋势较明确，可根据这两根线来延长水位流量关系曲线。 2）根据水力学公式外延：此法实质上与上法相同，只是在延长Z～V曲线时，利用水力学公式计算出需要延长部分的V值。最常见的是用曼宁公式计算出需要延长部分的V值，并用平均水深代替水力半径R。由于大断面资料已知，因此关键在于确定高水时的河床糙率n和水面比降I。 3）水位流量关系曲线的低水延长：低水延长常采用断流水位法。所谓断流水位是指流量为零时的水位，一般情况下断流水位的水深为零。此法关键在于如何确定断流水位，最好的办法是根据测点纵横断面资料确定。 5、流域平均降水量的计算方法。
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
四年级下册简便方法计算练习题126×6×8 600÷25÷4 55×36＋64×55 755－122－78 600÷25 （8＋80）×125 125×18 234×80×5 781－499 125×38＋125×30 25×32 4004×25 25×16－25×10 25×16×125 （125＋16）×8 79×99＋79 781×101－781 79×16＋79×78＋79×6 25×101
789×99 800÷125 1736＋403 2000÷125 65＋93×65＋6×65 9999＋999＋99＋9 158+262+138 375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286 3065－738－1065 899+344
2370+1995 3999+498 1883－398 12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 58×98 178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120 30100÷2100 32000÷400 49700÷700
小学四年级简便方法计算题 第一种(300+6)x12 25x(4+8) 125x(35+8) (13+24)x8 第二种84x101 504x25 78x102 25x204 第三种99x64 99x16 638x99 999x99 第四种99X13+13 25+199X25 32X16+14X32 78X4+78X3+78X3 第五种125X32X8 25X32X125 88X125 72X125 第六种 3600÷25÷4 8100÷4÷75 3000÷125÷8 1250÷25÷5 第七种1200-624-76 2100-728-772 273-73-27 847-527-273 第八种278+463+22+37 732+580+268 1034+780320+102 425+14+186 第九种 214-（86+14） 787-（87-29） 365-（65+118） 455-（155+230）第十种576-285+85 825-657+57 690-177+77 755-287+87 第十一种871-299 157-99 363-199 968-599
第十二种178X101-178 83X102-83X2 17X23-23X7 35X127-35X16-11X35 第十三种64÷（8X2） 1000÷（125X4） 第十四种375X（109-9） 456X（99+1） 容易出错类型（共五种类型） 600-60÷15 20X4÷20X4 736-35X20 25X4÷25X4 98-18X5+25 56X8÷56X8 280-80÷ 4 12X6÷12X6 175-75÷25 25X8÷25X8 80-20X2+60 36X9÷36X9 36-36÷6-6 25X8÷（25X8） 100+45-100+45 15X97+3 100+1-100+1 48X99+1 1000+8-1000+8 5+95X28 102+1-102+1 65+35X13 25+75-25+75 40+360÷20-10 13+24X8 672-36+64 324-68+32 100-36+64
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()
4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
四年级运算定律与简便计算练习题 姓名：评价： 一、运算定律。 加法交换律：。字母表示为： 加法结合律：。字母表示为： 一个数连续减两个数，可以先算两个减数的和，再相减。字母表示为： 如果小括号前面前面是减号，去掉小括号，要改变括号里的运算符号。字母表示为： 二、能简算就简算。 403＋627＋597 355＋260＋140＋245 99＋321＋101 （725＋139）＋261 （245＋138）＋（62＋155） 360＋360÷40 527－145－55 375－168－75 469－128－169－72 1000－125－640－235 487－287－139－61 525－525÷5 467＋92－267 36＋64－36＋64 325－64＋75－36
?我会自学简便计算 ? 姓名： 自学结果教师评价： 自学结果家长评价：1、分解法。 小试身手： 例1：998 ＋322 想：998只要加上2即可得 197 ＋203 ＝998＋2＋320 1000，所以将322分解＝（998＋2）＋320 成“322＝2＋320”，再＝1000＋320 用加法结合律。 ＝1320 例2：480－301 想：301是用300加上1得来的。690 －203 ＝480－300－1 所以将301分解为300和1。＝180－1 然后，先减去300，再减1，不就是＝179 总共减去301了吗。 2、借数还数法。 例1：486－198 想：通过观察，发现198个只差2个635－99 ＝486－200＋2 即可得200，所以将198先跟空气?＝286＋2 借来2个组成200，再用486减去200，＝288 这时，200里面多了个借来的2也被减去了，怎么办，还回来，所以得＋2，懂了吗。 3、大显身手。 564－298 700－201 637＋299 782－498 398＋122 549＋301 借得2个才满200哟， 记得还，再借不难。 借去的2个已经减掉了，所以还给你了哟还。 我得分开减 它要两个，送 2个给它呗。
数值计算方法思考题 第一章 预篇 1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。 4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确： （1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。 （5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。 （8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题 ax 2 + bx + c = 0. 下面的公式是熟知的 a ac b b x 242-±-=. 与之等价地有 ac b b c x 422--= . 对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1 应当如何选择算法？ 8．指数函数有著名的级数展开 ++++=!3!213 2x x x e x 如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？ 9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为 ∑==n i i x x x 1 1 它的标准差
1 12)(11??????--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于 1 12211???????????? ??--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？ 第二章 非线性方程求根 1．判断如下命题是否正确： (a) 非线性方程的解通常不是唯一的； (b) Newton 法的收敛阶高于割线法； (c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法； (d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间； (e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法； (f) Newton 法是有可能不收敛； (g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。如果| g '(x *) | <1，则对任意的初 始值，上述迭代都收敛。 2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton 法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶 的？ 3．求解单变量非线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？ (a) 二分法 (b) Newton 方法 (c) 割线方法 4．求解单变量非线性方程的解，Newton 法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几 次函数值和导数值？ 5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton 法和割线方法它的优劣应如何评价？ 第三章 解线性方程组的直接法 1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？ 2．高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？ 3．乔列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？ 4．哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。 7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (a i j )的三种范数|| A ||1，|| A ||2，|| A ||∞，|| A ||1与|| A ||2哪个更容易计算？为什么？ 8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1）矩阵行列式的值很小。 （2）矩阵的范数小。
人教版四年级下册数学简便计算题 第一类：加 65+73+135 357+288+143 272+68+28 129+235+171+165 17+145+23+35 999+99+9+3 6+7+8+102+103+104 9998+3+99+998+3+9 第二类：减 400-256-44 517-53-47 284-159-41 258-42-16 545-167-145 478-47-178 344-（144+37）236-（177+36）
45×4×5 23 ×5×2 25×9×4 8×（125×13）（250×125）×（4×8）88×125 72×125 125×64×25 42×125×8×5 25×4×88×125 第四类：乘 （12+50）×40 125×（40-4）76×103 18×125 25×44 42×25 99×9 99×78
45×37+37×55 28×21+28×79 17×23-23×7 38×46+64×38 99×32+32 46+46×59 167×2+167×3+167×5 39×8+6×39-39×4 28×225-2×225-6×225 （42+25）×125+（18+15）×125 23×2×4+25×4×2+27×1×8+25×8×1 99×22+33×34 第六类：除 360÷4÷9 250÷5÷2 600÷12÷5
800÷5÷8 480÷5÷48 240÷5÷12 420÷35 2400÷25 7800÷12 第七类：加减 92+99 197+102 354-108 405-99 127-98 323+189-123 248+86-48 672-36+64 （6467-832）+（1832-1467） 1530+（592-530）-192 （2+4+6+……+98+100）-（1+3+5+……+97+99） 第八类：乘除 960×46÷48 99000÷121×11 3702×38÷1234
换热器思考题 1. 什么叫顺流？什么叫逆流（P3）？ 2.热交换器设计计算的主要内容有那些（P6）？ 换热器设计计算包括以下四个方面的内容：热负荷计算、结构计算、流动阻力计算、强度计算。 热负荷计算：根据具体条件，如换热器类型、流体出口温度、流体压力降、流体物性、流体相变情况，计算出传热系数及所需换热面积 结构计算：根据换热器传热面积，计算热交换器主要部件的尺寸，如对管壳式换热器，确定其直径、长度、传热管的根数、壳体直径，隔板数及位置等。 流动阻力计算：确定流体压降是否在限定的范围内，如果超出允许的数值，必须更改换热器的某些尺寸或流体流速，目的为选择泵或风机提供依据。 强度计算：确定换热器各部件，尤其是受压部件(如壳体)的压力大小，检查其强度是否在允许的范围内。对高温高压换热器更应重视。尽量采用标准件和标准材料。 3. 传热基本公式中各量的物理意义是什么（P7）？ 4. 流体在热交换器内流动，以平行流为例分析其温度变化特征（P9）？
5. 热交换器中流体在有横向混合、无横向混合、一次错流时的简化表示（P20）？ 一次交叉流，两种流体各自不混合 一次交叉流，一种流体混合、另一种流体不混合 一次交叉流，两种流体均不混合 6. 在换热器热计算中, 平均温差法和传热单元法各有什么特点（P25、26）? 什么是温度交叉，它有什么危害，如何避免（P38、76）？ 7．管壳式换热器的主要部件分类与代号（P42）？ 8．管壳式换热器中的折流板的作用是什么，折流板的间距过大或过小有什么不利之处（P49～50）？ 换热器安装折流挡板是为了提高壳程对流传热系数，为了获得良好的效果，折流挡板的尺寸和间距必须适当。对常用的圆缺形挡板，弓形切口过大或过小，都会产生流动“死区”，均不利于传热。一般弓形缺口高度与壳体内径之比为0.15～0.45，常采用0.20和0.25两种。 挡板的间距过大，就不能保证流体垂直流过管束，使流速减小，管外对流传热系数下降；间距过小不便于检修，流动阻力也大。一般取挡板间距为壳体内径的0.2～1.0倍，我国系列标准中采用的挡板间距为：固定管板式有150，300和600mm三种；浮头式有150，200， 300，480和600mm五种。 a.切除过少 b.切除适当 c.切除过多 9管壳式换热器中管程与壳程中流体的速度有什么差异（P292）？ 管壳式换热器中管程流体的速度大于壳程中流体的速度。 10．板式换热器与管壳式换热器的比较，板式换热器有什么优点（P125～127）？ ? 1）传热系数高：由于平板式换热器中板面有波纹或沟槽，可在低雷诺数（Re=200
第10课时计算器的应用 教材第25～26页的内容。 1．会正确地运用计算器进行四则运算，解决简单的实际问题；会借助计算器探索简单的数与运算的规律。 2．在利用计算工具探究规律的过程中，培养学生观察推理的能力，体验转化的思想方法。 3．在探索知识的过程中，激发探索数学奥妙的兴趣，培养学生乐于思考，实事求是，勇于质疑的能力。 重点：正确运用计算器进行四则运算。 难点：借助计算器探索简单的数与运算的规律。 课件、计算器。 师：我们认识了古今中外这么多的计算工具，遇到下面这样的问题，你会选择什么计算工具呢？ 课件出示：计算器图片。 师：如果你和爸爸妈妈去公园游玩的时候在小卖部买了一些食物和一些纪念品，想知道这些东西多少钱，怎么办？(用计算器) 师：为什么选择计算器？(用计算器可以算得又对又快) 师：大家介绍的这些键都是我们常用的，还有一些键随着我们的数学学习，今后会用到。我们认识了计算器，怎么用计算器计算呢？如果按错了怎么办？我们这节课一起学习计算器的使用。 1．计算器常用键的功能。 师：看来大家都愿意用计算器，你了解计算器吗？把你了解的向大家介绍介绍。(显示器，开关及清除键、数字键、运算符号键等等。) 小组活动。两人一组，互相出一道计算题，并用计算器计算，了解各键的功能。 2．用计算器进行四则计算。 (1)用计算器的方法。
课件出示： 386＋179＝825－138＝26×39＝312÷8＝ 师：这道题你会用计算器计算吗？自己试一试。 师：说说你是怎么用计算器计算这道题的。(学生边说边到前面演示。) 课件出示： 师：依次按数字键3、8、6，然后按“＋”，再依次按数字键1、7、9，最后按“＝”，屏幕上就显示出结果了。 师：自己用计算器算出这几道题的结果。 学生自主练习，老师统一订正答案。 师：在使用计算器计算时按错了怎么办？(学生可能会想出两种解决方法。) 生1：按退格键“←”，清除输错的数字，然后输入正确的。 生2：按“CE”键，清除然后再重新输入。 3．用“M＋”“MR”进行四则计算。 课件出示：2034－1368÷9。 师：你会用计算器进行四则计算了吗？那试试这道题。 师：这道题等于多少？(1882、74) 师：哪个结果是对的？怎么做的？(先算1368÷9＝152，再用2034－152＝1882。) 师：实际上是这样的。(课件出示：2034－1368÷9＝2034－152＝1882。)这道两步计算的题目，用一般的计算器计算，就必须先记住这个除法的结果，有没有好办法？ 师：一般的计算器上都有“M＋”和“MR”这两个键，有的计算器上“MR”和“MC”合用一个键“MRC”。有了“M＋”和“MR”这两个键我们就不用记住中间的结果了。怎么用呢？ 师：先按“1368÷9＝”，屏幕上会显示出计算结果152，然后按下“M＋”，计算器就会把“152”这个结果存储下来，然后输入“2034－”，再按“MR”或“MRC”，就把刚才存在计算器中的结果提取出来了，最后按“＝”，就能显示出最终结果。 师：自己试一下。(学生用这种方法尝试。) 练习：672÷(139－115) 37×12＋46×9 师：计算新题前，先按“MC”清除存储的结果。 4．借助计算器探索简单的数与运算的规律。 课件出示：111111111×111111111。 师：算算这道题等于几？ 学生用计算器计算。发现计算器没有显示出完整的结果。 师：结果是多少？(1.234567898765432e＋16，不同的计算器显示出的会不同。)怎么会有这么多的答案？(屏幕显示不下了) 师：计算器帮不了我们了，只能靠我们自己了，怎么办？ (化繁为简) 师：这道题中，两个因数位数太多了，数太大，怎么办？(把数变小) 师：真好，我们可以把数变小，算一算，找出规律，解决问题。可以从几开始？ 课件出示： 1×1＝ 11×11＝ 111×111＝ 1111×1111＝