2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性
训练理科数学
第Ⅰ部分（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}{}
2
4|0log 1,|40A x x B x x A B =<<=-≤= ，则（ ）
A.()01，
B.(]02，
C.()1,2
D.(]12， 2．抛物线24y x =的焦点到双曲线2
213
y x -=的渐近线的距离是（ ）
A ．1
B ．
C ．1
D 由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到4．执行右面的程序框图，随机输入一个x （01x ≤≤）与y （01y ≤≤），则能输出数对（x ，y ）的概率为（ ）
A ．14
B ．13
C ．2
3 D ．3
4 5．下列说法中正确的是（ ）
A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件
B ．若
2
000:,10
p x x x ?∈-->R ，则
2:,10p x x x ??∈-- C ．若p q ∧为假命题，则p 与q 均为假命题 D ．命题“若6πα=，则12 sin α= ”的否命题是“若6πα≠，则12sin α≠” 6．在ABC ?中，若bc b a 32 2=-且32sin )sin(=+B B A ，则角=A （ ） A ． 6π B ． 3π C ．23π D ．56 π 7．已知实数x ，y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥?? +-≥??--≤? ，若目标函数z y ax =-取得最大值时的 唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(1,1)- D ．（0,1） 8．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x =的图像是（ ） 9．用红、黄、蓝、绿4种颜色为一个五棱锥的六个顶点着色，要求每一条棱的两个端点着不同的颜色，则不同的着色方案共有（ ）种？ A ．120 B ．140 C ．180 D ．240 10．在平行四边形ABCD 中，22 10,22 AB BD AB BD ?=+= ，若将其沿BD 折成直二面 角C BD A --，则三棱锥BDC A -的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π8 C ．π4 D ．π2 11．设等差数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为n S 错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。，对任意正整数错误！未找到引用源。，都有错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。的值为 ( ) A ．1006 B ．1007 C ．1008 D ．1009 12．已知函数2|1|(0) ()|log |(0) x x f x x x +≤?=? >?，若方程()f x a =有4个不同的根1234,,,x x x x 且 1234x x x x <<<，则312234 1 ()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1.1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 第Ⅱ部分（非选择题 共90分） 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上． 13．记cot(80)a -= ，那么sin 20= ； 14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 15． 在3)n -()n N *∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则 1 x 的系数等于 ． 16．如图所示，点F 是抛物线x y 82 =的焦点，点A ，B 分别在抛 物线x y 82 =及圆()2 2216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总 是平行于x 轴，则FAB ?的周长的取值范围是 ． 三．解答题（本大题共6小题，满分70分． 写出必要的文字说明和 演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，211n n n a a na +=-+（n N + ∈）． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜出通项n a ，并用数学归纳法证明你的结论； （Ⅱ）令1 1 += n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）根据国家最新人口发展战略，一对夫妇可生育两个孩子，为了解人们对放开生育二胎政策的意向，某机构在A 城市随机调查了100位30到40岁已婚人群，得到情况如下表： （Ⅰ）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”， 并说明理由（请参考所附的公式及相关数据）； （Ⅱ）把以上频率当概率，若从A 城市随机抽取3位30 到40岁的已婚男性，记其中愿意生二胎的人数为X ，求随 机变量X 的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB = ，AD =，M 为DC 的中点．将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． (Ⅰ)求证：AD BM ⊥； (Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D -- 的余弦值为 ． 20．（本小题满分12，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆 （Ⅰ）是否存在直线l ，使得，若存在请求出直线l 的方程，若不存在请 说明理由； （Ⅱ）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，求证： 21．已知()ln 1 m f x n x x = ++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求()f x 的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e ???∈????，使得对1,22t ???∈???? 上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()()()2 1 g x f x bx b R x =-- ∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e >． 请考生从22、23、24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ． （Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED； （Ⅱ）若AC=AP ，求PC PA 的值． 23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：2 1sin ρθ= -，直线l ：cos sin x t y t αα=??=? （t 为参数，0απ≤<）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限），当30OA OB += 时，求α的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲 已知0c >，关于x 的不等式：22x x c +-≥的解集为R ． （I ）求实数c 的取值范围； （Ⅱ）若c 的最小值为m ，又p q r 、、是正实数，且满足3p q r m ++=，求证： 2223p q r ++≥． 2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性训练 理科数学（答案） 一、DBABD ABDAC CB 二、13. 2 21a a - + 14. 7 2 π 15. 270- 16. (8,12) 17. （Ⅰ）2343,4,5a a a ===1n a n =+证明略. （Ⅱ）1111 12 n n n b a a n n +==- ++，数列{}n b 的前n 项和1122n S n =-+． 18. （Ⅰ）2 25 3.8419 K = <，没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”。 （Ⅱ）由已知得，男性愿意“生二胎”的概率为23，且23,3X B ?? ??? ，分布列为 2EX = 19. （Ⅰ）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ?平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD ?平面ADM ∴AD⊥BM； （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ= ，则平面AMD 的 一个法向量(0,1,0)n = ，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=-- (2,0,0)AM =- ，设平面AME 的一个法向量为(,,),m x y z = 202(1)0x y z λλ=??+-=? 取y=1，得20,1,,1x y z λλ===- 所以 2(0,1,)1m λλ =- ， 因为cos ,||||m n m n m n ?<>==? ，求得1 2λ=， 所以E 为BD 的中点． 21.解：（Ⅰ）()()'2 1m n f x x x =- ++，由条件可得()'11f =-及在1x =处的切线方程为20x y +-=，得12,2m n ==-，所以()21 ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ????上单调递减，∴f（x ）在1 ,1e ????上的最小值为f （1）=1， 故只需t 3﹣t 2﹣2at+2≤1，即212a t t t ≥-+对[]12 ,2t ?∈恒成立，令()2 1m t t t t =-+，易得m （t ）在[]12,1单调递减，[1，2]上单调递增，而()()75 1242,2, m m == ∴()5222,a m ≥=∴54,a ≥，即a 的取值范围为)54,+∞??。 （Ⅲ）∵()1 ln 2 g x x bx =- -，不妨设x 1＞x 2＞0，∴g（x 1）=g （x 2）=0，∴112211ln ,ln 22x bx x bx -=-=，两式相加相减后作商得：121 12122 ln ln ln x x x x x x x x ++=-， 要证212x x e >，即证明lnx 1+lnx 2＞2，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112 212ln 2x x x x x x ->+成立，令12 1x t x =>，于是要证明：1ln 21t t t ->+，构造函数()1ln 21t t t t φ-=-+， ()()() 2 '2 101t t t t φ-=>+，故()t φ在（1，+∞）上是增函数，∴()()10t φφ>=，∴1 ln 2 1 t t t ->+，故原不等式成立． 22.解：（Ⅰ）∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE ，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED （Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA,PC PA =AC AB ,∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,∵BC 是圆O 的直 径,∴∠BAC=90o∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,在Rt ?ABC 中, AC AB PC PA 23.（Ⅰ）由2 1s i n ρθ = -，得s i n 2ρρθ=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+; （Ⅱ）【方法一】：将直线l 的参数方程代入244x y =+，得22 cos 4sin 4t t αα=+，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理及123t t =-得tan α=，故6πα=． 【方法二】：设1(,)A ρα，则2(,)B ρπα+，0,2πα??∈ ??? ，12303OA OB ρρ+=?= ， 2231sin 1sin αα?? ?= ?-+?? 1sin 2α?=，∴6πα= 24. 解（I ）不等式|2|2 x x c R +-≥? 的解集为 |2|y x x c =+-函数在 R 上恒大于或等于2，22,2, |2|2,2,x c x c x x c c x c -≥?+-=? ，|2|y x x c ∴=+-函数， 2R c 在上的最小值为，22 1.c c ∴≥?≥ 所以，实数c 的取值范围为[)1+∞，. （Ⅱ）由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2 ＋q 2 ＋r 2 )(12 ＋12 ＋12 )≥(p ×1 ＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2 ≥3.当且仅当1p q r ===等号成立。
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