第一章复数与复变函数
(Complex number and function of the complex variable)
第一讲
授课题目：§1.1复数
§1.2 复数的三角表示
教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.
学时安排：2学时
教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义
2、切实理解掌握复数的辐角
3、掌握复数的表示
教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义
教学难点：复数的辐角
教学方式：多媒体与板书相结合.
P思考题：1、2、3.习题一：1-9
作业布置：
27
板书设计：一、复数的模和辐角
二、复数的表示
三、复数的乘方与开方
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版.
课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算
2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）
3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算
教学过程：
引言
复数的产生和复变函数理论的建立
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.
3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.
4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.
5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数
(Complex number)
一、 复数的概念（The concept of complex ）
1、称iy x +为复数，其中R y x ∈,，1-=i 是虚数单位；通常记为iy x z +=；
2、x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =；
3、纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；当0Im ≠z ，那么iy x z +=称为虚数；当0Im =z 时，那么x z =就是一个实数；
4、两个复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等.
5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z 的共轭复数为z .设复数iy x z +=，则称iy x -为复数z 的共轭复数（Conjugate ），记作iy x z -=
注1：两个虚数之间不能比较大小.
例如，设0>i ，则i i i ?>?0，即01<-，矛盾.
注2：000i +=
二、复数的四则运算（Complex number arithmetic ） 设111ib a z += 222ib a z += 则
)
()()()(2121221121b b i a a ib a ib a z z ±+±=+±+=±)()())((12212121221121b a b a i b b a a ib a ib a z z ++-=++= 22
22211222222121221121))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a z z +-+++=++=（02≠z ） 容易验证下列公式： (1) 2121z z z z ±=±， (2) 2121z z z z ?=?， (3) ()0)(22
121≠=z z z z z ， (4) )Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+，
2222)(Im )(Re z z y x z z +=+=， (5) 2Re z z z +=, i z z z Im 2-=，(6) ()
z z =. 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C .
三、复平面（Complex plane ）
作映射：),(:2y x iy x z R C α+=→，则在复数集与平面2R 之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane ）或Z 平面.
注3 复平面一般称为z -平面，w -平面等.
§1.2 复数的三角表示
(The representation of complex number)
一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument ） 如图: 复数iy x z +=用向量op 来表示.向量的长度称为复数iy x z +=的模，记作：22||y x z +=；
向量与正实轴之间的夹角称为复数iy x z +=的辐角（Argument ），记作：z Arg .
由于任意非零复数有无限多个辐角，用arg z 表示符合条件 arg z ππ-<≤的一个角，称为复数iy x z +=主辐角（Main Argument ）.即z Arg 的主值，于是
ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π 此时有Argz z Arg z z -==. z z z =2
注4 当0=z 时辐角无意义. 当0≠z 时，有如下关系（arg z ππ-<≤，
arctan 22y x π
π-<<）
??????????<<π-≥<π+>=π>>=≠;
,,arctan ;,,arctan ;,,;,,arctan arg 0000002000y x y y x x y y x y x x y z z 当当当当
x
例1 求)43-(Arg )2(Arg i i +-及
解
二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality ） 关于两个复数1z 与2z 的和与差的模，有下列不等式：
（1）||||||2121z z z z +≤+；（2）||||||||2121z z z z -≥+；
（3）||||||2121z z z z +≤-；（4）||||||||2121z z z z -≥-；
（5）|||Im ||,||Re |z z z z ≤≤；（6）z z z =2||.
例2 设1z ，2z 是两个复数，求证：
),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-
证明 ()()
2121221z z z z z z --=- 22π<<π-x y arctan 其中22222Arg()arg()i i k π-=-+πk 222arctan +-=),2,1,0(24Λ±±=+-=k k πππk i i 2)43arg()43Arg(++-=+-ππ++-=k 234arctan )
,2,1,0(34arctan )12(Λ±±=-+=k k π
()2122212
121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=
三、复数的三角表示（Representation of complex numbers ）
1、复数的点表示（Plural Point ）
复数iy x z +=对应有序实数对()y x ,，另一方面，在 平面直角坐标系中点()y x P ,也对应有序实数对()y x ,，因此复数iy x z +=可用点()y x P ,来表示.复数z 与点z 同义
2、复数的向量表示（Complex vector that ）
我们已经知道复数iy x z +=等同于平面中的向量，所以，复数iy x z +=可用向量来表示，
3、复数的三角表示（Complex triangle that ）
设0≠z 的复数，复数z 的模为r ，θ是复数z 的任意一个辐角，则
)sin (cos θθi r z +=,
上式右端称为复数z 的三角表示.
注5：一个复数的三角表示不是唯一的
例3 写出复数i +1的三角表示
解 因为()41arg 21π
=+=+i i ，所以
??? ?
?+=+4sin 4cos 21ππi i 也可以表示为
??
? ??+=+49sin 49cos 21ππi i 例4 设()θθsin cos i r z +=求复数
z 1的三角表示 解 因为()θθsin cos ,,12i r z r z z z z -===，所以
()()()[]θθθθ-+-=-=sin cos 1sin cos 11i r
i r z 4、复数的指数表示（Said plural index ）
由欧拉公式θθθ
sin cos i e i +=，可得复数 )sin (cos θθi r z +=的指数表示θ
i re z =
例5 将复数 化为指数式 解
四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division ）
利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设1z ，2z 是两个非零复数，则有
()
10cos sin i ??
?π-+<≤222122222222222222222cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e π??????????π?π??
??- ???
-+=+??=+??????????=-+- ? ?????????=
)sin (cos ||1111θθi z z += )sin (cos ||2222θθi z z += 则有
)]sin()[cos(||||21212121θθθθ+++=i z z z z
有||||||2121z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg +=，后一个式子应理解为集合相等.
同理，对除法有
)]sin()[cos(21212
121θθθθ-+-=i z z z z 即2
121||z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg -=，后一个式子也应理解为集合相等.
五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers ）
1、复数的乘方（A power complex ）
设复数()θθsin cos i r z +=，则对正整数n
()θθn i n r z n n sin cos += （1） 当1=r 时，即
()θθθθn i n i n sin cos sin cos +=+ （2）
（2）式称为棣莫弗（De Moivre ）公式
2、复数的开方（Evolution of complex numbers ） 开方是乘方的逆运算，设z w n =，则称复数w 为复数z 的z n 次方根.记作
n n
z z w ==1 （0≠z ）
令()θθsin cos i r z += ()??ρsin cos i w +=
于是就有 ()=+n n i ??ρsin cos ()θθsin cos i r +
由此推出 ()ΛΛ,2,1,021,1±±=+=
=k k n r n πθ?ρ
故得 ()())]21sin()21[cos(||1πθπθk n
i k n z z w n n
+++== ΛΛ,2,1,0±±=k （3） 当1.,2,1,0-=n k Λ时，w 有n 个互不相同的值.（3）可写成
()())]21sin()21[cos(||1πθπθk n
i k n z z w n n +++== 1,,2,1,0-=n k Λ （4） 例6 求4)1(i +的所有值 解：由于)4
sin 4(cos 21ππi i +=+，所以有 )]24
(41sin )24(41[cos 2)1(84ππππk i k i +++=+ )]2
16sin()216[cos(2)1(84ππππk i k i +++=+3,2,1,0=k .
例7 解方程0)3(32=---i iz z
i i z i i z i i i i z i iz z 21)42(21,1)22(212
)2(32)3(4930
)3(3212+-=+-=+=+=-±=-+-±=
=---解 内容小结
1、复数的概念（iy x z +=）
2、复数的四则运算
3、复平面
4、复数的模和辐角
5、复数的三角不等式
6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示）
7、复数的乘方与开方
22||y x z +=Λ
Λ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π()cos sin n n n n n z z z r n i n Argz nArgz θθ?=?=+??=??()())]sin()[cos(||πθπθk n i k n z z w n n 21211+++==Λ
Λ,2,1,0±±=k
2 1
§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大
§1.5 复变函数
开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.
1、了解复平面上点集的一般概念
2、理解复球面与复平面的关系
3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念
4、理解复变函数的极限与连续性的概念
复变函数的概念、极限与连续
无穷大与复球面
讲授法多媒体与板书相结合
P习题一：10-16
28
一、复球面与无穷大
二、复变函数的概念、极限与连续
三、有界闭区域E上连续函数的性质
[1] 《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
[2] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.
1、基本掌握复变函数的极限运算
2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念
3、基本理解复球面与复平面的关系
第二讲
授课题目：§1.3 平面点集的一般概念
§1.4复球面与无穷大
§1.5 复变函数
教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连
续函数的性质.
学时安排：2学时
教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念
2、理解复球面与复平面的关系
3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念
4、理解复变函数的极限与连续性的概念
教学重点：复变函数的概念、极限与连续
教学难点：无穷大与复球面
教学方式：多媒体与板书相结合
P习题一：10-16
作业布置：
28
板书设计：一、复球面与无穷大
二、复变函数的概念、极限与连续
三、有界闭区域E上连续函数的性质
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育
出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版.
课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算
2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念
3、基本理解复球面与复平面的关系
教学过程：
§1.3 复平面上点集的一般概念
(Elementary conception of point set in complex plane)
一、开集与闭集（Open set and closed set ）
设0, 0>∈δC z ，点集
},,|| |{0C z z z z ∈<-δ
称为点0z 的δ邻域，记作),(0δz U
注1：),(r a U },,|| |{0C z z z z ∈≤-=δ设C z C G ∈?0,，
(1)若0>?δ，使得G z U ?),(0δ，则称0z 为G 的内点（Interior point ）；
(2)若G z U ?>?),(,00δδ中既有属于G 的点，又有不属于
G 的点，则称0z 为G 的边界点（Boundary points ）
； 集G 的全部边界点所组成的集合称为G 的边界（Border ），记为G ?；
(3)若0>?δ，使得}{),(00z G z U =?δ，则称0z 为G 的孤立点（Outlier ）；
注2：G 的孤立点（Outlier ）一定是G 的边界点（Boundary points ）
如果G 的所有点都是它的内点，那么称G 为开集；
如果0>?δ，使得),0(δU G ?, 则称G 是有界集（Bounded set ），否则称G 是无界集；
例1 圆盘),(0δz U 是有界开集；
例2 集合}|||{0r z z z G =-=是以0z 为心，半径为r 的圆周，
G 是圆盘),(0r z U 和闭圆盘),(0r z U 的边界.
例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集. 例4 点集}||0|{0δ<-<=z z z G 是去掉圆心的圆盘.圆心0z 是点集G 的边界点.它是G ?的孤立点，
二、区域（Region ）
复平面C 上的点集D 是一个区域，如果满足：
（1）D 是开集；
（2）D 是连通的，即D 中任意两点可以用完全属于D 的折线连起来.
换句话说：区域就是连通的开集
区域D 内及其边界上全部点所组成的点集称为闭区域（Closed area ）.记作G
例5 点集=G }3Re 2|{< 例6 点集=G }3)arg(2|{<- 2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z . 三、平面曲线（Plane curve ） 设()())(,)(b t a t iy t x t z z ≤≤+==如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，则称点集]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线（Continuous curve ）. 如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是],[b a 的端 点，我们有)()(21t z t z ≠，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simple continuous closed curve ），或约当曲线（Jordan curve ）.若还有)()(b z a z =，则称为一条简单连续闭曲线（Simple continuous closed curve ），或约当闭曲线（Jordan closed curve ）. 约当定理（Jordan Theorem ）：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部.他们都是以该闭曲线为边界. 光滑曲线（Smooth curve ）：如果())(Re t z t x =和 ())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，且有连续的导函数，在 ],[b a 上，()()0)('≠'+'=t y i t x t z ，则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线（Smooth curve ）；类似地，可以定义分段光滑曲线. 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线. 设D 为复平面上的区域，若在D 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D ，则称D 为单连通区域（Simply connected region ）.否则，称为多连通区域（Multi-connected region ） 例7 集合}3||2|{<- §1.4复球面与无穷大 1、复球面 （Complex sphere ） 在点坐标是),,(u y x 的三维空间中，把XOY 面看作就是z 平面.考虑单位球面S ：1222=++u y x 取定球面在原点O （南极）与z 平面相切，过原点O 作一垂直于z 平面的直线与球面交于一点)1,0,0(N 称为北极.作连接 )1,0,0(N 与z 平面上的点()0,,y x A 的直线, 即复平面上的点()0,,y x A 都对应球面上的点.反过来也成立.那么)1,0,0(N 与复平面上的哪一点对应？ 约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其投影为)1,0,0(N . （下图形是错的） 2、无穷大（Infinity ） 我们称上面的映射为球极投影.对应于球极投影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞?C 为扩充复平面（Extended complex plane ），记为∞C ，与它对应的球面称为复球面（Complex sphere ）；. 关于新“数” 无穷大（Infinity ）∞，作如下几点规定 (x A 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向 量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 复变函数第二章答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零 引言 复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为 5+525(15)40--=． 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的． 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 第一章 §1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时. 1． 复数域 形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的 实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位． 两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记 第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零 第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞． 习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+ 54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+- 第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y). 证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2 复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班 引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac 第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算 教学过程： 引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较. 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = （1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i （2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61- 因为 -1=（cos π+sin π） 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。 解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2 其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型：闭卷 试卷类型：D 卷 考试时量： 120 分钟 一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数） （ ） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 （ ） 3．函数在可去奇点处的留数为0。 （ ） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。 （ ） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 （ ） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 （ ） 二 、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。 （其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R = 5．0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ， 使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10< 第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg 3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。 复变函数论 第一章 练习题 2014-03 一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。 1. 设(1)(2)(3)(3)(2) i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数2 3(cos5sin 5)(cos3sin 3) i i θθθθ+-和复数tan ()2z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式. 3. 设0,2x π <<试求复数1tan 1tan i x z i x -=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角. 5. 设3||),4z z i π=-= 求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值. 7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤ 8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥?≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a +=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+. 10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值. 11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值. 12. 一个向量顺时针旋转 3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程 二、复数在几何上的应用 1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 第一讲 复数及复变函数 1.复数的基本概念 R ∈+=y x y i x z , , ． 其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为： Im , Re z y z x ==． 设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定 212121 , y y x x z z ==?=． 当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示． a ．复数的运算 设222111 , y i x z y i x z +=+=，则 b ．复数的模与幅角 复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用． 容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合． 复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴． 设y i x z +=，称 为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为 π2 Arg k z +=θ， 其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ． 由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示 设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则 θθsin ,cos r y r x ==． 若记θθθsin cos e i i +=，则 θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3) 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1--； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3 k k +=±±； 主辐角为 4π3 ；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为 4π i 3 2e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+==+==+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()1 3π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3)i n e ππ+ 1.4 已知x 为实数，求复数的实部和虚部． 【解】 令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得 到 22 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且 ()()k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端 取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明：2222 12 1212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-复变函数试题与答案
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