第15讲 等腰三角形
考纲要求
命题趋势
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．
4．掌握角平分线的性质及判定.
等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.
知识梳理
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定 1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________． 2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直
平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
自主测试
1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________． 2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AD ＝5，AC ＝4，则D 点到AB 的距离是__________．
3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为() A．8 B．10
C．8或10 D．不能确定
考点一、等腰三角形的性质与判定
【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.
(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.
又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
(3)不一定成立．
当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图．
方法总结1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．
2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．
触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
考点二、等边三角形的性质与判定
【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．
(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．
分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质．全等是解决这类问题最常见的方法．
解：(1)如图甲．
图甲
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，
∠1＝∠2＝60°，
∴∠4＝∠5.
又∵∠4＋∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝30°.同理，∠6＝30°.
∵∠AEB＝∠4＋∠6，∴∠AEB＝60°.
(2)如图乙．
图乙
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，
∠1＝∠2＝60°.
又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.
∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3，
∴∠DOB＝∠AOC.
∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°，
∴2∠5＝2∠6，∴∠5＝∠6.
又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6，
∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，
∴∠AEB＝60°.
方法总结1．等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等．
2．等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心．(四心合一)
触类旁通2 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．
求证：(1)△AEF≌△CDE；
(2)△ABC为等边三角形．
考点三、线段的垂直平分线
【例3】如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是()
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC 的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.
答案：A
方法总结1．线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段．
2．线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题．
触类旁通3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
考点四、角的平分线
【例4】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OE＝OD.
∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴△OEC≌△ODB.
∴OB＝OC.
(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∴△OEC≌△ODB.
∴OE＝OD.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OA平分∠CAB.
∴∠1＝∠2.
方法总结在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线．
触类旁通4 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()
A．P A＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
1．(2012贵州铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是()
A．20°B．50°C．60°D．80°
3．(2012浙江宁波)如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．
4．(2012广东广州)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为________．
求证：(1)△ABD≌△ACD；
(2)BE＝CE.
1．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
3．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为()
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝()
A．125°B．130°C．90°D．120°
5．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．
6．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝__________度．
7．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．
8．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．4或6如果腰长为4，则底边长为14－2×4＝6；如果底边长为4，则两腰分别为5,5.
2．3∵在Rt△ADC中，CD＝AD2－AC2＝3，∴D点到AB的距离＝CD＝3.
3．8或10或310
4．B解方程x－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4，当腰为2时，2＋2＝4(舍去)，当腰为4时，周长为4＋4＋2＝10.
探究考点方法
触类旁通1．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD，
∴△ACB≌△BDA(HL)．
∴BC＝AD.
(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA.
∴△OAB是等腰三角形．
触类旁通2．证明：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴F A＝EC.
∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.
又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.
(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.
∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°.
同理可得∠BAC＝60°.
∴△ABC中，AB＝BC.
∴△ABC是等边三角形．
触类旁通3．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD.
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°.
∴∠B＝30°.
触类旁通4．D
品鉴经典考题
1．D ∵∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点E ， ∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB .
∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB ，
∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ，∴BM ＝ME ，EN ＝CN . ∴MN ＝ME ＋EN ，即MN ＝BM ＋CN . ∵BM ＋CN ＝9，∴MN ＝9，故选D. 2．B 因为等腰三角形的顶角为80°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°. 3．40 ∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC . ∵∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝∠BAC ＝70°，∴∠B ＝∠40°. ∵AE ∥BD ，∴∠EAB ＝∠B ＝40°.
4．2 在等边三角形ABC 中，AB ＝6，∴BC ＝AB ＝6.
∵BC ＝3BD ，∴BD ＝1
3
BC ＝2.
∵△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴CE ＝BD ＝2. 5．证明：∵AE 平分∠DAC ，∴∠1＝∠2.
∵AE ∥BC ，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC .
6．证明：(1)在△ABD 和△ACD 中， ∵D 是BC 的中点，
?
????
∴BD ＝CD ∵AB ＝AC AD ＝AD
?△ABC ≌△ACD (SSS)． (2)由(1)知△ABD ≌△ACD ，
∴∠BAD ＝∠CAD ， 即∠BAE ＝∠CAE .
在△ABE 和△ACE 中，
?
???
?AB ＝AC
∠BAE ＝∠CAD AE ＝AE ?△ABE ≌△ACE (SAS)．
∴BE ＝CE .
研习预测试题
1．C 因为x 轴负半轴有一个点，x 轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点P 的个数为4.
2．A
3．A ∵BF 平分∠ABC ，如图，
∴∠ABF ＝∠CBF . ∵CF 平分∠ACB ， ∴∠ACF ＝∠BCF . ∵DF ∥BC ，
∴∠DFB ＝∠CBF ，∠EFC ＝∠BCF . ∴∠ABF ＝∠DFB ，∠ACF ＝∠EFC .
∴BD ＝DF ，EF ＝CE .
∴DE ＝DF ＋EF ＝BD ＋CE ＝9. 4．D
5．8 因为△ADE 的周长＝AD ＋DE ＋AE ＝BD ＋DE ＋EC ＝8. 6．15
7．5
2＜x ＜5 由三角形的三边关系得?
????
10－2x <2x ，10－2x >0， 解得5
2
＜x ＜5.
8．解：(1)①③；②③. (2)①③.
证明：∵∠EBO ＝∠DCO ，∠EOB ＝∠DOC ，BE ＝CD ， ∴△BEO ≌△CDO .∴OB ＝OC .
∴∠OBC ＝∠OCB .∴∠EBO ＋∠OBC ＝∠DCO ＋∠OCB ， 即∠ABC ＝∠ACB .∴AB ＝AC . ∴△ABC 为等腰三角形．