第一章 随机事件与概率
1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：
(1)放回时的样本空间1Ω
(2)不放回时的样本空间2Ω 解：
(1)
100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2
01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω
(2)放回时的样本空间2Ω
解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝
(2)Ωn 个
２＝｛红，白红，，白白白红｝
5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B
(2) ()A
B
C 解：(1) {2,3,4,5}A B A
B A
B ===
(2)
()(){4,5}
{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}
{0,1,4,5,6,7,8,9}A
B
C A BC A ====
11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。
解：
214!12P ==
15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。
解：4105040n A ==，
3112
94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴=
==
14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲
与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r
个人的概率与r 无关，都是1
1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。
解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，
1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位
置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有
12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得
1
22(1)(1)C n r P n n --==
-（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为：
12(1)!2!C n P n n -==
另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件
数为2(n-r-1).故有
2(1)(1)n r P n n --=
-
另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.
21221
2(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==
-
(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取
2个人的排列，共有2
n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有
211n n P A n =
=-
甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排
列，故
2(2)!2(1)!1n P n n -==
--. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n =
-(只考虑乙)
16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
解: 基本事件数为5
10252n C ==,有利事件数为
1) 2个伍分,其他任意,有232856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C =
3) 1个伍分,3个贰分: 131
23510C C C =
故56601012522k P n ++===
17:箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1(1k αβ+≤+)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令{1()}A k =+第次最后取出的是白球,则
+1+1+(+1)!
(+1)!
(A)=
(+)!A +(+1)!k A k P k ααβαβ
αβα
ααβαβαβαβ----==
--1k C
另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为αβ+,有利于A 的基本事件数为α,故
()P A α
αβ=
+
18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率：
(1)某一层有两位乘客离开。
(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。 (3)恰有两位乘客在同一层离开。 (4)至少有两位乘客在同一层离开。 解：
(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有26C 种选法，其余4人在其余9层下有49
种，故共有：
24
66910C p =
(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而
610
6
10A P = (3) 恰好有2位乘客在同一层离开
基本事件数为6
10n =.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为12106C C ，
其余4人有以下几种情况
a) 其余9层，4个人单独在某层下，有4
9A 种。
b) 4人一起在其余9层中的某层下，有19C 种。
c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有131
948C C C
所以1241131
106999486[]10C C A C C C C P ++=
(4) 为(2)的逆事件，从而
610
6
110A P =- 19．一列火车共有n 节车厢，有k n ≥个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。
解：设{}A =每一节车厢至少有一个旅客，则{}A =存在空车厢
{}i A i =存在节空车厢，1,2,
,i n =，则
1
=1
=
n i
I A A -,以下计算()i P A
指定的i 节车厢空的概率为
1k
i n （－）
,(因为每个人进入其他n-i 节车厢的概率为1n i i n n -=-),所以()(1)(1,2,,1)
i
k i n i P A C i n n =-=-,利用多除少补原理，有
121
121()(1)(1)(1)(1),()1()k k n n k
n n n n P A C C C P A P A n n
n --=---+
+--
=-
注：错解：
k k n
n k A n P n -=
（有重复情形） 20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。试估计鱼池中共有多少条鱼？ 解：设鱼池中共有n 条鱼，则，由古典概率的定义有：
1200100
120001000k p n n n =
==?=
21．将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率 解：设0x y a <<<,如图
能够三角形，必须有y a y >-,即
12y >
.如图
22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是
2
0 x y a X
小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。
解： 设x,y 分别表示甲乙船到达码头的时刻，024x y <<≤不需等待码头空出，若甲先到，则1y x ->，若乙先到，则2x y ->，如图
2221
(2322)20.87934
24P +==
23. 在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，
将两点连成一条弦L,求圆心到弦L 的距离不大于1
2这一事件A 的概率。
解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，
有利于A 的事件对应为：（乙可取点）甲的左边13圆周和甲的右边13圆周,故
2
3
2223p ππ=
=.
24.解：三角形a,b,c 任一边与平行线相交的概率分别为
222,,a b c
d d d πππ, 而“三角形与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。故
1222()2a b c a b c
p d d d d ππππ++=++=
28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k 次取到黑球的概率。
2 244444
解：记{}{}A k A k ==第次摸到黑球，则第次摸到白球，因为袋中只有一只白球，故了在第k 次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故
11111(1)k k k N P A N N N --?=-?()＝，111
()1(1)k P A N N -=--?
.
34．袋中有编号为1,2,…,n 的n 个球，从中有放回地随机选取m 个，求取出的m 个球的最大号码为k 有概率。并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。
解：基本事件的可能数为m
n ,记k A ＝｛取到这最大号码为k ｝,k B ={取到的最大号
码不超过k 这一事件}，则有1,k k k A B B -=-又1,k k B B -?()m
k m
k p B n =,故有 1(1)()()(),1,2,
,m m
k k k m k k P A P B P B k n
n ---=-==
(1)0.00463p =,(2)0.421296p =
36.n 个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。 解：先求事件A={没有人取到自己的礼物}的概率。令
{}1,2,
,i A i i n ==第个人取到自己的礼物，，由P46例1.4.4（配对问题）的结论，
有
01(1)()1()!k
n
n
i k i P A P A k ==-=-=∑
，1
(1)11
1
()1()11(1)!2!3!!k n
n k P A P A k n -=-=-=-=-++
+-∑
,(2)0.05,(1000)0.73p p ==
42 已知()0.3,(|)0.4,()0.5,P A P B A P A B ===求 P(B ｜A B ）。 43．试证：如果(|)(),(|)()P A B P A P B A P B >>则 证：
()
(|)()()()()()
()()()
(|)()
()()P AB P A B P A P AB P A P B P B P AB P A P B P B A P B P A P A =
>?>∴=>= 44.一批产品共100件，对其进行抽象检查，整批产品看作不合格的规定如下：
在被检查的5件产品中只要有一件是废品。如果在该批产品中有5%是不合格品，试问该批产品被认为不合格的概率是多少？
解：共100件产品，其中的5件废品，95件合格品。
5
95
5100
10.23
C P C =-=
45.全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级品的概率。
解：记A={任选一个产品为合格品}B ＝｛任选一个产品为一级品｝，则
()()()(|)(10.04)*0.750.72P B P AB P A P B A ===-=
47.进行摩托车竞赛，在地段甲乙间布设了三个故障，在第一故障前停车的概率为0.1,从乙地到丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲丙间竞赛者不停车的概率。
解：
3
(10.1)*0.70.5103P =-= 49.解：A 个球中有a 个红球，每次抽取一个球后不放回，考虑最终取到红球的概率。令{}1,2,
, 1.i A i i A a ==-+直到第次抽到红球，
1()a P A A =，2312
(),(),112A a a A a a a P A P A A A A A A ----=?=??--- 412(),123
A a A a A a a
P A A A A A -----=
???--
-
112(2)()12(2)(1)
1221221
1221()1221A a A a A a A a A a A a A a a P A A A A A A a A A a A a A a A a a A A A a a A a A a A a a
P A A A A a a a --+----
-----=
-------------=
--++-----=
--++ ()(1)
()11(1)(2)()(1)211(1)(2)(2)(1)i i
a a A a a A a A a P A A A A A A A A a A a A A A a a a
----=?
+++------?+=--++∑，?
()(1)
()32111(1)(2)
(1)(1)A a A a A a A a A
A A A A a a a -----??+
++=
----+
50.解：设10{}A =从第一批中抽到废品，A ＝｛从第一批中抽到正品｝，
B ＝｛从第二批产品中抽出废品｝
则
101011121
12121111P P P P （A ）＝，（A ）＝，（B ｜A ）＝，（B ｜A ）＝
1100)(|))(|)12111130.09848512111211132
P P B A P B A ∴+=
?+?==（B ）＝P(A P(A
51.解：设A 0={第一次比赛取出的是2个旧球}， A 1={第一次比赛取出的是1个新球，2个旧球}， A 2={第一次比赛取出的是2个新球，1个旧球} A 3={第一次比赛取出的是3个新球}， B ＝｛第二次取出3个新球｝，则
33
69
0033
1515213
6981133
1515123697
2233
15153396
3333
1515
()0.043956,(|)()0.296703,(|)()0.474725,(|)()0.184615,(|)C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C P A P B A C C ============
由全概率公式得
2
0()()(|)0.089265
i i i P B P A P B A ==?=∑
53.解：A 1＝{发出点}，B 1＝{接收点}
A 2＝{发出划}，
B 2＝{接收划}
1211125331
(),(),(|),(|)8853P A P A P B A P B A ====
,以下求1122(|),(|)P A B P A B
1111111111121253
855331
85
83
()()(|)
(|)()()(|)()(|)
34P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =
=+?==?+?
2212122212122252
855322
85
83
()()(|)
(|)()()(|)()(|)
12P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =
=
+?==?+?
54.解：记D ＝{取出的是废品}，A ＝{机器A 生产}，B ＝{机器B 生产}，C ＝{机器C 生产}，则
()0.25,(|)0.05,()0.35,(|)0.04,()0.4,(|)0.02P A P D A P B P D B P C P D A ======
由Bayes 公式得
()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.25*0.05
0.3623190.25*0.050.35*0.040.4*0.02P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++ ()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.35*0.04
0.4057970.25*0.050.35*0.040.4*0.02P BD P B P D B P B D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++ ()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.4*0.02
0.2318840.25*0.050.35*0.040.4*0.02P CD P C P C B P C D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++ 56.记A ＝{男}，B ＝{女}，D ＝{色盲}，则
57
()0.537736,()0.462264,(|)0.02,(|)0.0025
5749P A P B P D A P D B =
====+
()(|)
(|)()(|)()(|)0.537736*0.02
0.902970.537736*0.020.462264*0.0025P A P D A P A D P A P D A P B P D B =
+==+ 57.证明：
()()()()
(|)(|)()1()()
()()()()()()()()()(),.
P BA P B A P B P AB P B A P B A P A P A P A P BA P A P BA P A P B P A P AB P AB P A P B A B -=?
==-?-=-?=?相互独立
58 解：设A ＝{甲获胜}，B ＝{乙获胜},(),()P A p P B q ==. A 1＝{第一次比赛甲获胜}，B 1＝{第一次比赛乙获胜} A 2＝{第二次比赛甲获胜}，B 2＝{第二次比赛乙获胜}
(),(),1,2i i P A P B i αβ===，
12121212121212121212121222
2
()()(|)()(|)()(|)()()()()()
2,,
1212A A B A B A A A A A p P A P A B P A A B P B A P A B A P A A P A A A P A B P A P B A P A P A A p p q αβαβααβαβ
=++?
==++=++=+?==--同理
59.(小概率事件)：
()(1)1(0)1(1)1()r r
n r n n P r C p P n ξεεξε-==-?
=-==--→→∞ 60.解：
4444132223344444412
,1,433
()(1)0.6(2)(3)(4)0.30.70.6(0.30.70.30.70.3)
0.59526p q p n P B P P P P ==-==?
=++???+?+?+=＋（）1
=C C C C
61.解：
4
4441
4(1)0.59(0)10.590.41
(1)0.410.2r
r r r C
p p P p p -=-=?=-=-=?=∑即
62:解：
4
4
4
4
044
224433
13222
32
1212244444333333313
440
812121444433333312
,,4
33
(0)()()(1)(),(2)()()(3)()(),(4)()()p q n P C P C P C P C P C =======
====
==
可知，负值误差次数为1时概率取到最大值32
810.395062= 63．解：
(1)由k 1或者k 2发生故障而断电的概率为P(A)
121212
()0.60.
40.40.50.60.5
0.8
A k k k k k k P A =++?=?+?++= (2)123,,A A A 同时发生故障而断电的概率为
123123()()()()0.40.70.90.252P A A A P A P A P A ==??=
(3)
121231
2
12312123121123212312123,,)))))))0.60.50.2520.60.50.60.2520.50.2520.60.50.2520.8504k k A A A k k A A A k k A A A k k k A A A k A A A k k A A A ++---+=++-?-?-?+??=或或同时发生故障而断电的概率为P()
=P(P(P(P(P(P(P(
64解：4，5，6中有两个是备用件，当正在工作的一个失效时，其中一个立即补上去。设
(1,2,3),{4}{5}{6}i P i i P P P p ==｛正常工作｝＝p 正常工作＝正常工作＝正常工作
并联下部系统B 正常工作的概率
3()1(1)(4,5,6)P B p =--不同时出现故障的概率
并联上部系统C 正常正常工作的概率：23()P C P P =
1133123233123(A)P (B C)=P ((B)+(C)-(BC))=P [1-(1-P))+P P -P P (1-(1-P)]=P [1-(1-P P )(1-P)]
P P P P P ∴＝
65解：记{},n p P n A =在次试验中，事件出现偶数次则有
111(1)(1)(12)n n n n P p P p p p p p ---=-+-=+-,其中11,1n p p ≥=-
2132
1(12)(12)(12)n n p p p p p p p p p p p p -=+-=+-=+
-依次乘以23(12),(12),
,(12)n n p p p -----相加得
221(1(12)(12)(12))(12)(1)
1(12)2
n n n n p p p p p p p p --=+-+-++-+--+-=
另解：
0{}
() (1)
()() (2)
(1)+(2)2()1()1(12)22n
n
k k n k
n k n
n
k k n k n k n n p p A p q C p q p q C p q p p q p p -=-==+=-+=-?+-++-∴==
∑∑记事件出现偶数次奇数次的项相加为零
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑
球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y
第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==， 3112 94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲
第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件
8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网
00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网
精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 《概率论基础》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求 《概率论基础》课程是数学与应用数学本科专业的基础课程，是系统地培养数学与应用数学人才的重要基础课程之一，是进一步学习诸如《数理统计》和《随机过程》等随机数学理论的前提和基础。概率论是一门从数量角度研究随机现象内在规律性的学科；而无论是自然科学还是人文科学都需要对客观世界中无时不有、无处不在的随机现象加以研究。因此，概率论在自然科学、经济学、管理科学等等许多领域有举足轻重的应用。通过对本课程的学习，使学生正确掌握概率论的基本思想和方法，培养他们运用概率与数理统计的方法去分析和解决有关实际问题的能力，并为今处理的后学习后续课程打下必要的基础。。 教学时间应安排在第五学期。 第二部分：教材与学习参考书 本课程拟采用由庄兴无、林火南等编写的《概率论基础》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下两本重要的参考书： 1、王梓坤，概率论基础及其应用, 科学出版社，1976 2、李贤平，概率论基础，人民教育出版社，1979 3、苏淳，概率论，科学出版社，2004 第三部分：教学内容纲要和课时安排 第一章随机事件与概率 从研究随机现象入手，引入样本空间和随机事件。探讨随机事件的频率稳定性，通过研究两类最简单的等可能模型：古典概型、几何概型引入概率的公理化定义，并进一步讨论概率的基本性质。 理解随机事件、基本事件和样本空间的概念。熟悉事件之间的关系及运算规律；理解随机事件的频率概念。知道概率的统计定义以及公理化定义；能正确掌握运用古典概型、几何概型知识解决实际问题。掌握概率的基本性质以及运用它们进行概率的运算； 本章的主要教学内容（教学时数安排：18学时）： §1.1 随机现象、样本空间与随机事件 §1.2随机现象统计规律性 §1.3 古典概型 §1.4 几何概型 §1.5 概率的公理化定义 第二章条件概率与独立性 第一章 概率论的基本概念 一、选择题 1．答案：（B ） 2. 答案：（B ） 3．答案：（C ） 4. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容. 5. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=. 6. 答案：（D ） 注:由C 得出A+B=Ω. 7. 答案：（C ） 8. 答案：（D ） 注：选项B 由于 1 1 1 1 1 ()1()1()1()1(1())n n n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=- -∑∑∏∏ 9.答案：（C ） 注：古典概型中事件A 发生的概率为() ()() N A P A N = Ω. 10.答案：（A ） 解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知 365365!()365365r r r r C r P P A ?==，故365 ()1365r r P P A =-. 11.答案：（C ） 12.答案：（B ） 解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?， 故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤. 13.答案：（D ） 解：由(|)()1P A B P A B +=可知 2()()()1() ()()1()() ()(1())()(1()()()) 1 ()(1()) ()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+= =-?-+--+=-?-+--+=2(())()()() P B P AB P A P B -?= 故A 与B 独立. 14.答案：（A ） 解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此 P(A|B)= ()0 0()() P AB P B P B ==. 15.答案：（D ） 解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故 111112 ()(1)(1)(1)(1)()543633 P A P A =----=?=. 16.答案：（B ） 解：所求的概率为 ()1() 1()()()()()()() 11111100444161638 P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）《概率论基础》课程教学标准
东华理工大学概率论与数理统计练习册答案_
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