第5章 参数估计
●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。
（1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少？
（2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？
解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差
x σ=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
于是，允许误差是E =
α/2
Z 6×0.7906=1.5496。
●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
（3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （4） 在95%的置信水平下，求允许误差；
（5） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为
x σ15=2.1429 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
于是，允许误差是E =
α/2
Z 6×2.1429=4.2000。 （3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 这时总体均值的置信区间为
α/2
x Z 0±4.2=124.2115.8
可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。
●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：
3.3 3.1 6.2 5.8 2.3
4.1
5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6
6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7
1.4
1.2
2.9
3.5
2.4
0.5
3.6
2.5
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。 解：⑴计算样本均值x ：将上表数据复制到Excel 表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x =3.316667，
⑵计算样本方差s ：删除Excel 表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV →选定计算数据列→确定→确定，得到s=1.6093
也可以利用Excel 进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝(a7-3.316667)^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：
∑
2i
（x -x ）=90.65 再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值
。 ⑶计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量 n =36，为大样本， 得样本均值的抽样标准误差为 x σ
s
1.6093=0.2682
⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：
① 置信水平为90%时：
由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=0.9换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 α/2Z =1.64， 计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2
x Z 7±1.64×0.2682= 3.75652.8769
可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.76）
小时；
② 置信水平为95%时：
由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2
s
x Z 7±1.96×0.2682= 3.84232.7910
可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）
小时；
③ 置信水平为99%时：
若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=0.99换算为单侧正态
分布的置信水平β=0.995，查单侧正态分布表得 α/2Z =2.58， 计算得此时总体均值的置信区间为
±α/2
s
x Z 7±2.58×0.2682= 4.00872.6247
可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）
小时。
4. 从一个正态总体中随机抽取容量为8 的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。
解：（7.1,12.9）。
5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（公里）分别是：
10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。 解：（7.18,11.57）。
●6. 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为90%和95%。
解：已知样本容量n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p =23%，
拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为
p σ⑴双侧置信水平为90%时，通过2β－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 α/2Z =1.64，
此时的置信区间为 p ±αZ %±1.64×2.98%=27.89%18.11%
可知，当置信水平为90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为
（18.11%，27.89%）。
⑵双侧置信水平为95%时，得 α/2Z =1.96，
此时的置信区间为 p ±αZ %±1.96×2.98%=28.8408%17.1592%
可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为
；（17.16%，28.84%）。
●7.某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。 （1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%； （2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查？ 解： 已知总体单位数N =500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，
样本中，赞成的人数为n 1=32，得到赞成的比率为 p =
n 1n =3250
=64%
（1）赞成比率的抽样标准误差为
=6.788% 由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，
计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
p ±αZ 64%±1.96×6.788%=77.304%50.696%
可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
（50.70%,77.30%）。
（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p =80%，
由
得样本容量为 n =
2
0.80.2
(6.788%)?= 34.72 取整为35，
即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。
8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：
来自总体1的样本
来自总体2的样本
141=n 72=n 2.531=x
4.432=x
8.9621=s
0.10222=s
（1） 求21μμ-90%的置信区间； （2） 求21μμ-95%的置信区间。
解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。
9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：
来自总体1的样本
来自总体2的样本
251=x 232=x
1621=s
2022=s
（1）设10021==n n ，求21μμ-95%的置信区间；
（2）设1021==n n ，2
22
1σσ=，求21μμ-95%的置信区间；
（3）设1021==n n ，2
221σσ≠，求21μμ-95%的置信区间； （4）设20,1021==n n ，2
221σσ=，求21μμ-95%的置信区间； （5）设20,1021==n n ，2221σσ≠，求21μμ-95%的置信区间。
解：（1）2±1.176；（2）2±3.986；（3）2±3.986；（4）2±3.587；（5）2±3.364。
10.下表是由4对观察值组成的随机样本：
配对号 来自总体A 的样本
来自总体B 的样本
1 2 0 2 5 7 3 10 6 4
8
5
（1）计算A 与B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d 和d s ；
（2）设1μ和2μ分别为总体A 和总体B 的均值，构造)(21μμμ-d 95%的置信区间。 解：（1）75.1=d ，63.2=d s ；（2）1.75±4.27。
11.从两个总体中各抽取一个25021==n n 的独立随机样本，来自总体1的样本比率为
%401=p ，来自总体2的样本比率为%302=p 。
（1）构造21ππ-90%的置信区间； （2）构造21ππ-95%的置信区间。
解：（1）10%±6.98%；（2）10%±8.32%。
12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减
构造两个总体方差比2
22
1σσ95%的置信区间。
解：（4.06,14.35）。
●13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求允许误差不超过4%，应抽取多大的样本？
解：已知总体比率π=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z =1.96，允许误差E ≤ 4%
即由允许误差公式 E=
/2
Z ασ整理得到样本容量n 的计算公式：
n=2()E
α/2P Z σ=2=2E 2α/2Z π(1-π)≥2
0.020.98
0.04??21.96=47.0596 由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取48个单位的样本。
●14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？
解：已知总体标准差x σ=120，由置信水平1-α=95%，得置信度α/2Z =1.96，允许误差E ≤ 20
即由允许误差公式 E=/2
Z x ασ整理得到样本容量n 的计算公式：
n=2(
)E
α/2x
Z σ≥2
(
)20
?1.96120=138.2976 由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取139个顾客作为样本。
15.假定两个总体的标准差分别为：121=σ，152=σ，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定21n n =，估计两个总体均值之差21μμ-时所需的样本容量为多大？
解： 57。
16.假定21n n =，允许误差05.0=E ，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差
21ππ-时所需的样本容量为多大？
解： 769。