新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ?中，90C ∠=?．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理
222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=
题型二：利用勾股定理测量长度
例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米
解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.
已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
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根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.
例题2 如图（8），水池中离岸边D 点米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC
的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度A C.
解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如
图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=，这是典型的利用勾股
定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：
解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2
设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x+
x 2+=（ x+）2
解之得x=2. 故水深为2米.
题型三：勾股定理和逆定理并用——
例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1=
那么△DEF 是直角三角形吗为什么 C
B D A
\ 解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没
有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 4
1 可以设AB=4a ，那么BE=CE=
2 a,AF=
3 a,BF= a,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，
反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。
详细解题步骤如下：
解：设正方形ABCD 的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a
在Rt △CDE 中，DE 2=CD 2+CE 2=(4a)2+(2 a)2=20 a 2
同理EF 2=5a 2, DF 2=25a 2 在△DEF 中，EF 2+ DE 2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF 2
∴△DEF 是直角三角形，且∠DEF=90°. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度——
例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边C
D 上取一点
E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点
F ，求C
E 的长.
》
解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得A
D=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD 边与AB 边垂直吗怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直
解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来
验证。如图4，矩形ABCD 表示桌面形状，在AB 上截取AM=12cm,在AD 上截取AN=9cm(想
想为什么要设为这两个长度)，连结MN ，测量MN 的长度。
①如果MN=15,则AM 2+AN 2=MN 2,所以AD 边与AB 边垂直；
②如果MN=a ≠15,则92+122=81+144=225, a 2≠225,即92+122≠ a 2，所
以∠A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题——
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开
解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该
是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A 点表示控制灯，BM 表示人的高度，
BC ∥MN,BC ⊥AN 当头（B 点）距离A 有5米时，求BC 的长度。已知AN=米,所以AC=3米，
由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打
开。
题型六：旋转问题：
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例1、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆
时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△
ABC 的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，
根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.
变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，
试探究222
BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折
叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
;
变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’
的位置，BC=4,求BC ’的长.
题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，
AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周
围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向
行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖
拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少
题型九：关于最短性问题
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例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己
的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫
的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行
突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行
多少路程才能捕到害虫（π取，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：
如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，
假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟
三、课后训练：
一、填空题
1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米． 图(1)
2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做 ㎝。
? 3．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点
D 、
E 、
F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高
_____________________米。 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、
2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B
点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________. 二、选择题
1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
2．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）
A 、121
B 、120
C 、132
D 、不能确定
?
3．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A 、60∶13
B 、5∶12
C 、12∶13
D 、60∶169
4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
C O
A B
D E
& 第3题图 D
B C A 第4题图 2032A B
150° 20m 30m 第6题图 A B E " D C 第7题图
7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为（）
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为
A．42B．32C．42或32 D．37或33
9. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）
（A）直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对A B
C