函数单调性教学设计
《函数的单调性》教学设计
麟游县职业教育中心张敏鸽
【教材依据】《函数的单调性》是高等教育出版社（修订版）基础模块上册。是第三章《函数》中第二节《函数性质》里面的第一部分内容。它是学生在了解了函数概念后学习的函数的第一个性质，也是第一个用符号语言刻画的概念。一﹑设计思路
函数的单调性为进一步学习其他性质提供了方法和依据。它既是对学过的函数概念的延续和拓展，也为将来研究指数，对数函数打下了基础。
对于本节内容，学生的认知困难主要有以下方面⑴用准确的数学语言刻画图像的上升和下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对中职一年级学生比较困难。⑵单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，其中要综合运用一些知识（比如不等式，因式分解等）来判断符号，在此方面学生能力比较薄弱。教学上采取了以下的措施：
（1）在课题的引入上，通过学生熟悉的问题创设情境，激发学生的兴趣，引发进一步探求的好奇心。
（2）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不
断深入。
（3）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。
二﹑教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
三、教学准备
本节课运用了教学电子白板及课件，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
四、教学过程的设计
【教学目标】
1.知识与能力理解增函数，减函数的概念，特别重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识，掌握判断单调性的方法。
2.方法与途径从实际出发，引导学生自主探索函数单调性概念。让学生领会
数形结合的思想方法。培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
3.情感与评价培养学生主动探索，勇于发现科学的精神。启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯，培养学生对数学美的艺术体验。
4.现代教学手段预先做好课件运用电子白板，为学生提供直观感性的材
料，有助于学生对问题的理解和认识．利用几何画板做函数图像。
【教学重点】①函数单调性的概念。
②利用定义判断函数单调性。
【教学难点】①函数单调性定义如何由图形语言﹑文字语言向符号语言的转变。
②利用定义证明单调性。
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学准备】课件、电子白板。
【教学过程】
（一）创设问题情境，引入课题
观察某市气温一天的天气情况，数学兴趣小组研究近五年来这一天的天气情况，下图是某市今年一天24小时内气温随时间变化的曲线图。
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考
【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣，让学生有进一步探索的好奇心。（二）知识探究，建构概念
问题1：气温在哪一时段是逐渐升高或下降的？
问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升”时，时间t与温度T是如何相互影响的吗？
问题1 学生很容易给出答案
【设计意图】：函数图象的上升或下”降的规律就是函数单调性的表现形式，它是函数单调性的一种图形语言。从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。
问题2 同学们积极思考，进行交流讨论，让学生暴露出各种想法。
最终在教师的引导下同学们可得出：函数图象在指定区间上升可用文字语言描述为：t增大，T增大——单调增函数。
【设计意图】本环节完成了图形语言向文字语言的过渡，为抽象的符号语言奠定基础。同时，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识。
问题3：你能否用相应的数学的符号语言来描述函数在指定区间上的单调增吗？
预案：（让同学们充分讨论，拿出自己的思路）
1、在给〔4，14〕内取两个值，比如取7和9，f(7) ＜f(9), 所以此函数在〔4，14〕是增函数。
2、仿（1）取多组值验证，均满足，所以此函数在〔4，14〕是增函数。
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，孔子主张：不愤不启，此时，
教师可作适时引导学生在给定区间内任取两个自变量
1
t，2t。
引导学生得出关键词“区间内”“任意”“当
1
x＜2x，都有f(1x)＜f(2x)”由学生出给出单调增函数的概念的数学表述。
问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？
最后完成单调性和单调区间概念的整体表述。
【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．
通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
（三）自我尝试，运用概念
问题5 （1）你能说出气温图中的单调区间吗？
（2）你能举出几个学过的在某区间具有单调性的函数的例子，并说出它的单调区间吗？
对于（1）学生由图象很容易看出气温图中有两个单调减区间和一个单调增区间。
对于（2）学生根据已有的知识不难举出，例如：f(x)=3x+2 f(x)=x2 f(x)= 1 x
并画出函数的图像，根据图像说出单调区间。
【设计意图】：（1）让学生从图象上观察函数单调性是一种常用而又简捷直观的方法，在此渗透数形结合思想。
（2）在学生已有的认知基础上，提出新的问题，反思学过的函数的特征，从而按单调性分类，建构起新的知识体系。
例1、小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学。小明骑了30min自行车，到王伟家送还自行车后，又步行了10min到学校取书，最后坐公交车经过20min回到家。这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如
图示，请指出这个函数的单调性。
问题6 通过图象，我们可以看出函数的单调性，能找出单调区间。那么对于你举出的以上函数，你能否利用函数单调性的定义来证明呢？
例2、证明函数在f(x)= 1
x
在(0,+ ∞)上是减函数。
证明：设任意x
1,x
2
∈（0，+∞）且x
1
＜x
2
取值
则f ﹙x
1﹚-f﹙x
2
﹚=
1
1
x－2
1
x= 21
12
x x
x x
-
作差变形
由x
1,x
2
∈（0，+∞）得x
1
x
2
＞0 判号
又x
1＜x
2
得x
2
﹣x
1
＞0
∴f(x
1)-f(x
2
)＞0即 f(x
1
)＞f(x
2
)
∴f(x)= 1
x
在（0，+∞）是减函数。定论
本例对于中职一年级学生来说，难点主要在：可能出现不知如何比较f(x
1
)
与f(x
2
)的大小，不会正确表述，变形不到位，或根本不会变形等困难。
教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考的进展过程，投影学生的证明过程，组织学生讨论，引导学生回顾单调性定义的形成过程，明确通过作差来比较﹑变形的的思路，规范书写的格式。
引导学生抽象、概括出利用定义证明函数单调性的方法及步骤：取值-----作差变形-----判号----定论。，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。使学生突破本节的难点，掌握重点。
【设计意图】：
回归定义，从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路，而定义是最终解决问题的基础．规范解题过程，引导学生总结解题步骤是对知识和方法的提炼，也是对学生学习的指导. （四）针对练习，深化概念
1.（1）判断：定义在R上的函数y=f(x),若f(1) ＞f(3),则f(x)在R上是减函数。
（2） f(x)=x2-2x+2比较f(2005)与f(2006)的大小
（3）判断：函数f(x)=1
x
在（- ∞，0)和(0,+ ∞)上都是减函数，所以f(x)=
1
x
在（- ∞，0) ∪(0,+ ∞)上是减函数。
2. .判断并证明在y=﹣x2+2x（- ∞，0）上的单调性。学生独立思考，互相讨论，探求问题的解答和解决过程。
【设计意图】：练习设置了一定梯度，通过练习加深学生对概念的理解，达到巩固，消化新知的目的,最终形成能力。
（五）回顾反思，归纳总结
学生交流本节课的体会，收获，学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。
1. 小结
①函数单调性的定义形成：图形语言----文字语言-----符号语言。
②函数单调性的证明方法：取值，作差，变形，判号，定论。
③数学思想方法：数形结合。
2. 作业
①阅读：课本P50—P52
②书面作业：习题3.2.1第1、2题，
③课外探究：是否存在实数 a ,使函数f(x)= x2-ax+3 在 (-∞ , 1)上是减函数，若存在求出 a 的范围，若不存在说明理由.
【设计意图】：通过三个方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．课后尝试是对课堂知识的深化理解．对学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生创新意识和探索精神.
四、教学反思
本节课围绕教学重点，针对教学目标，以多媒体技术为依托，展现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣，并注重数学科学研究方法的学习，是研究性教学的一次有益尝试。
教学经验：在课堂上重点训练了学生从函数图象上来判断函数单调区间，以及在每个单调区间上的单调性的能力，从学生的的课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图象来判断函数的单调性，然后用定义证明一个函数是增函数（减函数）,整堂课下来，使学生会通过函数图象来判断函数单调性这一目标基本上达到，学生课堂反应积极、热情。
教学不足与失误：最大的问题就是学生探究时间太少，教师讲多了。在以后的教学中多注意从学生的已有知识和生活经验出发,围绕知识目标展开新知识出现的情境,丰富学生的情感体验,在知识目标得到有效落实的同时,达成能力目标.突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,培养学生学习数学的情感,在知识应用方面,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.