第四章 半导体中载流子的输运现象 在前几章我们研究了热平衡状态下，半导体导带和价带中的电子浓度和空穴浓度。我们知道电子和空穴的净流动将会产生电流，载流子的运动过程称谓输运。半导体中的载流子存在两种基本的输运现象：一种是载流子的漂移，另一种是载流子的扩散。由电场引起的载流子运动称谓载流子的漂移运动；由载流子浓度梯度引起的运动称谓载流子扩散运动。其后我们会将会看到，漂移运动是由多数载流子（简称多子）参与的运动；扩散运动是有少数载流子（简称少子）参与的运动。载流子的漂移运动和扩散运动都会在半导体内形成电流。此外，温度梯度也会引起载流子的运动，但由于温度梯度小或半导体的特征尺寸变得越来越小，这一效应通常可以忽略。载流子运动形成电流的机制最终会决定半导体器件的电流－电压特性。因此，研究半导体中载流子的输运现象非常必要。 4.1漂移电流密度 如果导带和价带都有未被电子填满的能量状态，那么在外加电场的作用下，电子和空穴将产生净加速度和净移位。电场力的作用下使载流子产生的运动称为“漂移运动”。载流子电荷的净漂移会产生“漂移电流”。 如果电荷密度为ρ的正方体以速度d υ运动，则它形成的电流密度为 ()4.1drf d J ρυ=
其中ρ的单位为3C cm -，drf J 的单位是2Acm -或2/C cm s 。 若体电荷是带正电荷的空穴，则电荷密度ep ρ=，e 为电荷电量191.610(e C -=?库仑），p 为载流子空穴浓度，单位为3cm -。则空穴的漂移电流密度/p drf J 可以写成： ()()/ 4.2p drf dp J ep υ= dp υ表示空穴的漂移速度。空穴的漂移速度跟那些因素有关呢？ 在电场力的作用下，描述空穴的运动方程为 ()* 4.3p F m a eE == e 代表电荷电量，a 代表在电场力F 作用下空穴的加速度，*p m 代 表空穴的有效质量。如果电场恒定，则空穴的加速度恒定，其漂移速度会线性增加。但半导体中的载流子会与电离杂质原子和热振动的晶格原子发生碰撞或散射，这种碰撞或散射改变了带电粒子的速度特性。在电场的作用下，晶体中的空穴获得加速度，速度增加。当载流子同晶体中的原子相碰撞后，载流子会损失大部分或全部能量，使粒子的速度减慢。然后粒子又会获得能量并重新被加速，直到下一次受到碰撞或散射，这一过程不断重复。因此，在整个过程粒子将会有一个平均漂移速度。在弱电场的情况下，平均漂移速度与电场强度成正比（言外之意，在强电场的情况下，平均漂移速度与电场强度不会成正比）。 ()4.4dp p E υμ= 其中p μ是空穴迁移率，载流子迁移率是一个重要的参数，它描述了粒子在电场作用下的运动情况，迁移率的单位为2/cm V s 。将
随体倒数 ()D u D t t ααα?= +??? ()() u u i v j w k i j k u v w x y z x y z ??????????=++?++=++ ????????? 雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法 [()][ )]V V k V V k D dv u dv D t t D dv u dv D t t x φφφφφφ?=+????? = +?????? （ ij i j e e δ=? ()i j k i jkl l jkl il jki ijk e e e e e εεδεε??=?=== i j ijk k e e e ε?= ()()()() i j i j i j i j i i e e e e x x x x x x φ φφφ?????????=?=?=?????? ()i i i i e e x x φφφ???==?? ()i i j j i i a a e a e x x ??????=?= ????? ()()j j k i j j i j ijk k ijk i i i i j a a a a e a e e e e e x x x x εε??????=?=?==????
1、i j u x ?? ?? ?????? ：速度梯度张量 应变率张量：表示微团的变形运动 1122112211 22ij u u v u w x y x z x v u v v w s x y y z y w u w v w x z y z z ?? ?? ???????++ ? ? ?????????? ? ? ?? ?? ????? ?=++ ? ?????? ? ???? ? ?? ??????? ? ++ ? ? ???????? ?? ? ? 旋转张量：表示旋转 3231 210 0 0ij a ωωωωωω-?? ?= ? ?-?? － 质量守恒： ()0k k u t x ρρ??+=?? 0k k u D D t x ρρ ?+=? 第二那诺雷诺输运定律： V V D D dv dv D t D t αραρ= ? ? 动量守恒定律：() u u u f t ρ ρρ?+??=??+?σ ij i i j D u f D t x σρ ρ?= +? ij i i j i j j u u u f t x x σρ ρρ???+= +??? D u f D t ρ ρ=??+σ 能量守恒定律：()1 2i i i j ij i i i i q D e u u u u f D t x x ρ σρ???? +=+- ????? 231a ω=-312 a ω=-123a ω=-ij ijk k a εω=-
第三章电荷输运现象 输运现象也称为迁移现象。输运现象讨论的是在电场、磁场、温度场等作用下电荷和能量的输运问题。研究输运现象具有广泛的实际意义。通过输运现象的研究可以了解载流子与晶格和晶格缺陷相互作用的性质。理论上，这是一个涉及内容相当广泛的非平衡统计问题。在这一章我们的讨论将仅限于在电场和磁场的作用下半导体中电子和空穴的运动所引起的电荷输运现象，例如电导和霍尔效应。 理想的完整晶体中的电子，处在严格的周期性势场中。如果没有其它因素（晶格振动、缺陷和杂质等），电子将保持其状态k 不变，因而电子的速 度() k v 也将是不变的。就是说，理想晶格并不散射载流子。这是量子力学的 结果，是经典理论所不能理解的。但在实际晶体中存在着各种晶格缺陷，晶体原子本身也在不断地振动，这些都会使晶体中的势场偏离理想的周期性势场，相当于在严格的周期性势场上迭加了附加的势场。这种附加的势场可以使处在状态k 的电子有一定的几率跃迁到其它状态k '。也可以说是使原来的 以速度()k v 运动的电子改变为以速度() k v ' 运动。这种由附加的势场引起载流 子状态的改变就叫做载流子的散射。散射使载流子做无规则的运动，它导致热平衡状态的确立。在热平衡状态下，由于向各个方向运动的载流子都存在，它们对电流的贡献彼此抵消，所以半导体中没有电流流动。 不难想象，在有电场、磁场等外力场作用时，外场将和散射共同决定电荷输运的规律。 载流子散射的机构有很多，其中晶格振动散射比其它各种散射更为基本。这是因为晶格振动是晶体本身所固有的。尤其是在高温下，晶格散射会占支配地位。因此，在介绍晶格振动散射之前，有必要先介绍晶格振动的有关知识。 3.1格波与声子 一．格波 晶体中的原子并不是固定不动的，而是相对于自己的平衡位置进行热振动。由于原子之间的相互作用，每个原子的振动不是彼此无关的，而是一个原子的振动要依次传给其它原子。晶体中这种原子振动的传播称为格波。 理论分析给出，晶体中每个格波可以用一个简正振动来表示。
对气体内的运输过程的研究 姓名 (XX学院XX系) 摘要：热力学讨论宏观物系的共性，非平衡态热力学研究开放系统相互干扰现象间的内在联系，它利用熵产概念，选择广义的热力学“流”和“力”，讨论各种不可逆过程中相互干扰现象间的关系，并阐明体系中“流”和“力”的函数及唯象系数的联系。本文从气体近平衡态的三个运输过程的宏观规律出发，通过建立无引力弹性刚球模型，用统计物理方法揭示运输规律的微观本质，并探究其线性不可逆过程和远离平衡态的非平衡过程的运动规律，阐明了气体内的运输过程，有助于读者对宏观过程不可逆性的本质及其作用的认识。 关键词：气体内运输过程；分子模型；微观本质；线性不可逆过程；非平衡过程Abstract：Discuss the macroscopic properties of thermodynamics Department of commonality nonequilibrium thermodynamics of open systems interfere with each other intrinsic link between the phenomenon, which uses the concept of entropy production, to choose generalized thermodynamics "flow" and "force" to discuss a variety of mutual interference phenomenon irreversible processthe relationship between, and clarify the system in the "flow" and "force" function and phenomenological coefficients contact. During transport from the gas near equilibrium three macro law, through the establishment of non-gravitational elastic rigid sphere model, reveal the microscopic transport laws essentially statistical physics methods, and explore its linear irreversible process and far from equilibrium non-the law of motion of the balancing process, clarify the gas transport process helps the reader's understanding of the nature of its role in the irreversibility of the macroscopic process. Key Words：Gas during transport；Molecular model；Microscopic nature；Linear irreversible process；Non-equilibrium processes 1 绪论 经典热力学讨论了平衡态和可逆过程。本论文研究气体内运输过程的规律也是从近平
第一章流体力学基础——流体运动的微分方程 西安建筑科技大学 粉体工程研究所
质量传递——连续性方程动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程 流体运 动微分方程组 所有流体运动传递过程的通解 质量守恒定律 动量定理能量守恒定律
1.3流体运动的微分方程 ?质量守恒定律——连续性方程?动量定理——纳维-斯托克斯方程?能量守恒定律——能量方程 ?定解条件
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 ?质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。 ?质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体的质量速率 流出控制体的质量速率 控制体内的质量累计速率 = A B
τ时刻A 点流体密度为，速度沿x ，y ，z 三坐标轴的分量为1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 连续性方程的推导边长为dx ，dy ，dz 的控制体微元 )ρ(x,y,z, τ)(x,y,z,u τ z y x ,u ,u u 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量） x 方向 dydz ρu x 通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 dydz dx x )(ρρu x x ?? ???? ??+u dxdydz x ) (ρx ??-u
A ：流入与流出微元控制体的质量速率之差x 方向dxdydz x )(ρx ??-u y 方向z 方向 dxdydz y )(ρ??-y u dxdydz z )(ρ??-z u dxdydz z )(ρy )(ρx )(ρ????????+??+??-z y x u u u B ：微元控制体内的质量累计速率 τ时刻 ρdxdydz ρ 密度 质量 τ＋d τ时刻dxdydz d ρρ?? ? ?? ??+τττ τ d ρ ρ??+dxdydz ρd ρdxdydz dxdydz d ρρτ τ ττ??=-?? ? ?? ??+
第四节 系统 控制体 输运公式 一、系统 系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。 系统的特点： 1、从流体中取出的一定质量的流体； 2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） 0d d t m ； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。 二、控制体 控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。 控制体的特点： 1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。 2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。 3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、输运方程（雷诺输运定理） 引言：为什么需要雷诺输运定理？ 看下图 如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？ 根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。 系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。 为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。 绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，
第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 3－1 氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。 解：由＝得： ＝代入数据得：（m） 3－2 氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。 解：＝代入数据得：－（m） ＝代入数据得： ＝（s） 3－3 氧分子的有效直径为3.6×m，求其碰撞频率， 已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm； （2）氧气的温度为300K，压强为1.0×atm 解：由＝得＝＝代入数据得： ＝6.3×（） （） 3－4 某种气体分子在时的平均自由程为。 （1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。
（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。 解：（1）由得： 代入数据得： （2）分子走路程碰撞次数 （次） 3－5 若在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平 均自由程为？设温度保持不变。 解：由得 3－6 电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为 ，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。 解： （2） （3）若电子管中是空气，则
3－7 今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程分 别为和，问： （1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？ （2）时，为多大？ （3）时，为多大？ 解：（1）由得： （2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得： （3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得： 3－8 在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。设电子的“有效直径”比 起气体分子的有效直径来可以忽略不计。 （1）电子与气体分子的碰撞截面为多大？ （2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为：，n为气体分子的数密度。 解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距 离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：
第二章 半导体中的载流子及其输运性质 1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E －E C ）的状态数Z 由式（2-20）给出。 证明：设导带底能量为C E ，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球 面，即 ???? ??++=-l t C m k m k k E k E 232 2 2122)( 与椭球标准方程 222 112 2221k k k a b c ++= 相比较，可知其电子等能面的三个半轴a 、b 、c 分别为 2 1 2])(2[ c t E E m b a -== 2 1 2]) (2[ c l E E m c -= 于是，K 空间能量为E 的等能面所包围的体积即可表示为 2 3 212 2)()8(3434C t l E E m m abc V -==ππ 因为k 空间的量子态密度是V/(4π3)，所以动能小于（E －E C ）的状态数（球体内的状 态数）就是 2 /33 2 /122)()8(31 C t l E E m m V Z -= π 2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给 出。 证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量m p 轻和m p 重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即： 2 /132 /321)() 2(2)(E E m V E g V p V -= 轻π 2 /132/322)()2(2)(E E m V E g V p V -= 重π
价带顶附近的状态密度 =)(E g V 1)(E g V 2 )(E g V +即： =)(E g V 2/132/32)()2(2E E m V V p - 轻π+2 /132 /32)()2(2E E m V V p - 重π ]2)2[()(22 3232 212）（重轻p P V m m E E V +-= π 只不过要将其中的有效质量m p *理解为 3 /22/32/3*) (重轻p p p m m m +=则可得： ])2)2[() 2(2/3232 3*重轻（p p p m m m +=带入上面式子可得： 2 /132 /3*2)() 2(2)(E E m V E g V p V -= π 3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43） 决定。 解：非简并半导体的价带中空穴浓度p 0为 dE E g E f p V B E E V V )())(1('0-=? 带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得 dE E E T K E E m p V E E F p V V 1'03 3*20)()exp( )2(21--= ? π 令 , )()(0T K E E x V -=则 2 121021)()(x T K E E V =- Tdx k E E d V 0)(=- 将积分下限的E'V （价带底）改为-∞，计算可得 )exp( )2( 20232 0*0T K E E T k m p F V p -= π 令 3 30*32 0*) 2(2 )2( 2h T k m T k m N p p V ππ== 则得
Blotzmann 方程及其应用 1. Blotzmann 方程 （1） 即 0f f f f F f v r k t τ-????+?+=- ??? （2） 2. 静态电阻率 在均匀静电场E 下，对于均匀材料，分布函数f 只与k 有关，（2）式变为： 0f E f f e k τ?=+?? （3） 在低场下，F eE k τ<< ，作为近似，0f f k k ??≈ ?? 则001f f E f e e v E k ττε ??=?=??? （4） 电流密度：03 1()()4f J e e v E vdk τπ ε ?= -??? （5） 设样品各项同性：0J E σ= 所以， （6） 其中，n 为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下2 2()3 v v n ?= ，并且，样 品温度远小于费米温度，0()F f δεεε ?- ≈-?,在这种情况下： 222 2 03 3 23 ()() 121212F F k Ferm i Surface e e dS v dk v d e vdS στδεετδεεε π π ε τπ= -= -?= ??? （7） 所以：2 2203 * 412F F F F ne e v k m τστππ= = （8）
（（8）式利用：*F F m v k = ，并且32 3F k n π=） 3. 电导率随频率和波矢的变化 外加电场为交变场：()0e i q r t E E ω?-= ，并设01f f f =+ 从Boltzmann 方程出发，经过适当近似后： 0111 ()f f f f eE v r k t τ ???-?+?+ =- ??? （9） 设()1()e i q r t f k ωφ?-= ，并代入上式解得： 00()()1() f v E e k i q v τεφτω???=--? （10） 同前面的方法类似： 203()41() f e v v E J dk i q v τπετω???? =- ??--???? （11） 设样品各向同性： 22 03 ()41()f e v n dk i q v στπ ετω???? = - ??--??? ? （12） 从上式不难看出，当0q → （长波近似）和0ω→（静态）时，0σσ→ 由于电磁波为横波，设?q qz = ，00?E E x = ，代入（12）： 2203(,)41()x z f v e q dk i qv σωτπετω??? =- ??--??? （13） 利用0()F f δεεε ?- ≈-?，在球坐标下： 222 2 2 3 sin cos 1 (,)sin 41(cos )F F F F F F Ferm i Surface v e q k d d i qv v θφ σωτθθφπ τωθ=--? （14） 令cos θη=； 1F F F i qv s i ττω =- 2 2 2 13 1 1(,)4(1)1F F F F v k e q d i s πτη σωηπτωη --=-+? （15）
随体倒数 雷诺输运定理：对系统的随体倒数求法 1、：速度梯度张量
应变率张量：表示微团的变形运动 旋转张量：表示旋转 质量守恒： 第二那诺雷诺输运定律： 动量守恒定律： 能量守恒定律：
内能守恒： N－S方程： <时为欧拉方程） 内能方程：为耗损函数，表示流体变形 时粘性应力对单位体积流体的作功功率 内能方程其他形式： 注意这里： 基本方程组： 液液分界面条件： 自由面的运动学边界条件： 定律对任何流体都成立 正压流体即密度仅仅是压力的函数：
开尔文定律：对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.b5E2RGbCAP 不努力方程 沿同一根流线或者涡线：而且为定常 势流:同一个瞬时全场为常数 当流动为等熵，定常且外力有势时，总能量沿流线不变。 涡量方程 在压强场未知情况下求解速度场和涡量场。 已知速度场可利用以下方程求解压强二维势流W 二维势流 与方向无关，是点的函数： 笛卡儿：圆柱坐标： 均匀流：1） 2） 3） <度角） 源：：：
取 <强度为m，中心点为z0） 涡： 取 <逆时针为正） 绕角流动 偶极子：得 速度：流线方程： 圆柱无环量绕流<均匀来流和偶极子叠加） 有环量圆柱绕流<均匀来流和偶极子叠加）
速度： 升力和阻力 留数的求法： 1）在的留数： 中的 2）在曲线c中的积分等于区域中奇点留数和乘以 例如：有环量圆柱绕流的升力和阻力 只有奇点0，留数为，所有 镜像法：实轴为界 虚轴为界 圆 保角变换：1） 3）点涡、点源经保角变换后强度保持不变 茹柯夫斯基变换： <无穷远处恒等变换）