9-1在图示系统中,均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ,OA 杆的长度为1l ,AB 杆的长度为2l ,轮的半径为R ,轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时,OA 杆的角速度为ω,求整个系统的动量。
ω12
5
ml ,方向水平向左
题9-1图 题9-2图
9-2 如图所示,均质圆盘半径为R ,质量为m ,不计质量的细杆长l ,绕轴O 转动,角速度为ω,求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩: (a )圆盘固结于杆;
(b )圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω-; (c )圆盘绕A 轴转动,相对于杆OA 的角速度为ω。
(a )ω)l R (m L O 222
+=;(b )ω2
ml L O =;(c )ω)l R (m L O 22+= 9-3水平圆盘可绕铅直轴z 转动,如图所示,其对z 轴的转动惯量为z J 。一质量为m 的质点,在圆盘上作匀速圆周运动,质点的速度为0v ,圆的半径为r ,圆心到盘中心的距离为l 。开始运动时,质点在位置0M ,圆盘角速度为零。求圆盘角速度ω与角?间的关系,轴承摩擦不计。
9-4如图所示,质量为m 的滑块A ,可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接,另一端固定。杆AB 长度为l ,质量忽略不计,A 端与滑块A 铰接,B 端装有质量1m ,在铅直平面可绕点A 旋转。设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。求滑块A 的运动微分方程。
t l m m m x m m k
x
ωωsin 21
11+=++
9-5质量为m,半径为R的均质圆盘,置于质量为M的平板上,沿平板加一常力F。设平板与地面间摩擦系数为f,平板与圆盘间的接触是足够粗糙的,求圆盘中心A点的加速度。
9-6均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ,半径都等于r ,两者用杆AB 铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为θ,如图所示。如杆的质量忽略不计,求杆AB 的加速度和杆的力。
θsin 7
4
g a =
; 9-7均质圆柱体A 和B 的质量均为m ,半径为r ,一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上,绳的另一端绕在圆柱B 上,如图所示。摩擦不计。求:(1)圆柱体B 下落时质心的加速度;(2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向,矩为M 的力偶,试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。
9-8平面机构由两匀质杆AB,BO组成,两杆的质量均为m,长度均为l,在铅垂平面运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M,从图示位置由静止开始运动。不计摩擦,试求当A即将碰到铰支座O时A端的速度。
9-9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定,并以等角速度ω绕铅直线转动,如图所示。如杆与铅直线的夹角为θ,求杆的动能。
题9-9图 题9-10图
9-10物质量为1m ,沿楔状物D 的斜面下降,同时借绕过滑车C 的绳使质量为2m 的物体B 上升,如图所示。斜面与水平成θ角,滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D 作用于地板凸出部分E 的水平压力。
θθcos g m m m m sin m F x 12
12
1+-=
9-11鼓轮I 重N 500=W ,对轮心O 点的回转半径为m 2.0=ρ,物块A 重N 300=Q ,均质圆轮II 半径为R ,重为N 400=P ,在倾角为α的斜面上只滚动不滑动,其中m 1.0=r ,m 2.0=R ,弹簧刚度系数为k ,绳索不可伸长,定滑轮D 质量不计。在系统
处于静止平衡时,给轮心B 以初速度0B v ,求轮沿斜面向上滚过距离s 时,轮心的速度v B 。
解:轮B O 、作平面运动,物块A 作平动
2211V T V T +=+ ①
2
020*********
1/21/21/21/21B B B A A J g Pv g W g Wv g Qv T ωωρ++++=
()()r R v r R rv v R v B B A B B +=+==/,
/,/000000ωω
g PR J B /2
1
2=
()[]
(){
}
()g r R Qr r W P v T B 4//232
2222
01++++=ρ
代入已知数据得:()g v T B 9/41002
01=
同理()g v T B 9/41002
2=
取平衡位置为各物体重力势能的零位置,有:212
1st k V δ=
()()()r R r s W Q sP s k V st +?+-++=
/sin 2
12
2αδ 为确定st δ,考虑静平衡时,A O 、及轮B ,由∑=0E
M
,
得:
()()r R r Q W T ++=/1
由
∑=0H
M
,有:st k F F P T δα==--001,0sin
()()k P rk Rk r Q W st /sin /αδ-++=
代入①,有
()()()
()()
r R sr W Q sP s k g v k g v st B st B ++-+++=+
/sin 2
19/4100219/41002222
0αδδ 解得:(
)
2
/12
2
08200/9gks v v B B -=
题9-11图
9-12 均质棒AB 的质量为kg 4=m ,其两端悬挂在两条平行绳上,棒处在水平位置,如图所示。设其中一绳突然断了,试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的力F 。
N 8.9=F
9-13图示机构中,物块A 、B 的质量均为m ,两均质圆轮C 、D 的质量均为m 2,半径均为R 。C 轮铰接于无重悬臂梁CK 上,D 为动滑轮,梁的长度为R 3,绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动,求:(1)A 物块上升的加速度;(2)HE 段绳的拉力;(3)固定端K 处的约束反力。
g a A 61=
;mg F 3
4
=;mgR M mg F F k ky kx 5.135.40===,,
C B
A
D K
E H
题9-13图 题9-14图
9-14匀质细杆AB,长为l,放在铅直面与水平面成0?角,杆的A端靠在光滑的铅直墙上,B端放在光滑的水平面上,杆由静止状态在重力作用下倒下。求:(1)杆在任意位置?时的角速度和角加速度;(2)当杆的A端脱离墙时,杆与水平面所成的角1?多大?
)sin 3
2arcsin(01??=
9-15鼓轮重N 1200,置于水平面上,外半径cm 90=R ,轮轴半径cm 60=r ,对质心轴
C 的回转半径cm 60=ρ。缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A ,缠在外轮上的软绳
水平地跨过质量不计的定滑轮,吊一重物B ,B 重N 400=P 。鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4,求轮心C 的加速度。
解:分别取轮和重物为研究对象,轮作平面运动,设其角加速度为ε,轮心C 加速度C a , 由题知εr a C =,物B 加速度ε)(r R a B += 对轮列平面运动微分方程:
F T T a g W C +-=12)/( (1)
W N f F W N W N 4.00='==-=,,(2)
)
(
)
(
2
r
R
F
r
R
T
J
I
-
-
+
=
ε
即:)
(
)
(
)
)(
/
(
2
2
2r
R
F
r
R
T
r
g
W-
-
+
=
+ε
ρ(3)
对重物:
'
-
=
2
)
/
(T
P
a
g
P
B
,
即:
2
)
)(
/
(T
P
r
R
g
P-
=
+ε(4)
(2)代入(3)式,有:
)
(
4.0
)
(
)
)(
/
(
2
2
2r
R
W
r
R
T
r
g
W-
-
+
=
+ε
ρ(5)
)
(
)4(r
R+
?:)
(
)
(
)
)(
/
(
2
2r
R
T
r
R
P
r
R
g
P+
-
+
=
+ε(6)
(5)+(6):)
(
4.0
)
(
)
)(
/
(
)
)(
/
(2
2
2r
R
W
r
R
P
r
R
g
P
r
g
W-
-
+
=
+
+
+ε
ε
ρ
2
2
2
2
2
2
2
rad/s
53
.2
)6.0
9.0
)(
8.9/
400
(
)
6.0
6.0
)(
8.9
/(
1200
3.0
1200
4.0
)5.1(
400
)
)(
/
(
)
)(
/
(
)
(
4.0
)
(
=
+
+
+
?
?
-
=
+
+
+
-
-
+
=
r
R
g
P
r
g
W
r
R
W
r
R
P
ρ
ε
题9-15图题9-16图
9-16 三根匀质细杆CA
BC
AB,
,的长均为l,质量均为m,铰接成一等边三角形,在铅垂平面悬挂在固定铰接支座A上。在图示瞬时C处的铰链销钉突然脱落,系统由静止进入运动,试求销钉脱落的瞬时,(1)杆AC的角加速度AC
ε;(2)杆AB
BC、的角加速度AB
BC
ε
ε,。
解:(1)取AC为研究对象,杆长为l,质量为m,?
=30
?
依刚体转动微分方程:
mgl
l
mg
J
AC
A4
1
sin
2
1
=
?
=
??
ε
∵231ml J A =
∴l g ml mgl J mgl A AC 4/33
1
/41/412===ε (顺时针) (2)分别取AB ,BC 为研究对象:
AB :l Y l X mgl J B B AB A 2
1
32141?+??+=
?ε (1)
BC :B AB X l m -=+?)030cos (ε (2) B BC AB Y mg l l m -=+?)21
30sin (εε (3)
B B
C
D Y l J ?=?2
1
ε (4)
由(2)得:AB B l m X ε32
1
?-= (5)
由(4)得:BC B ml Y ε)6/1(= (6) 将(5),(6)式代入(1)式,化简后得:
BC AB ml mgl ml εε22313+= (7)
将(6)式代入(3)式,化简得:
BC AB ml mg ml εε463-= (8)
解(7)与(8)式得:
l g AB 55/18=ε(逆时针)
将AB ε值代入(7)解得:
l g BC 55/69=ε(顺时针)
9-17图示匀质细长杆AB ,质量为m ,长度为l ,在铅垂位置由静止释放,借A 端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量,试求刚释放时点A 的加速度。
g a θ
θ
2
sin 31sin 4+=
解:图(a ),初瞬时0=AB ω,以A 为基点,则
τCA a a a a a +=+=A Cy Cx C
即θαθcos 2
cos τl
a a a a A CA A Cx -=-=
(1)
θαθsin 2
sin τl
a a CA Cy == (2)
由平面运动微分方程:
习题9-17图
α
C
τ
CA
a
Cy
a
g
m
A
a
A
A
a
θ
N
F
Cx
a
B
(a)
1
α
Cy
a
D
a
α
D
A
N
F
B
Cx
a
g
m
(a)
θ
sin
mg
ma Cx=
∴θ
sin
g
a
Cx
=(3)
N
cos F
mg
ma Cy-
=θ(4)
θ
αsin
2
N
l
F
J
C
?
=
即θ
αsin
2
12
1
N
2
l
F
ml?
=(5)
解(2)、(4)、(5)联立,得
)
sin
3
1(
2
sin
3
2θ
θ
α
+
=
l
g
(6)
由(1)、(3),得θ
α
θsin
cos
2
g
l
a
A
=
?
-
(6)代入,得g
a
Aθ
θ
2
sin
3
1
sin
4
+
=
题9-17图题9-18图
9-18匀质细长杆AB,质量为m,长为l,CD = d,与铅垂墙间的夹角为α,D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放,试求刚释放时,质心C的加速度和D处的约束力。
解:初始静止,杆开始运动瞬时,
D
v必沿支承处
切向,即沿AB方向,所以
D
a此时沿AB方向,如图(a),
以D为基点:
由t
n
CD
CD
D
Cy
Cx
a
a
a
a
a+
+
=
+
1
tα?
=
=d
a
a
CD
Cx
(1)
由AB作平面运动:
N
sin F
mg
ma Cx-
=α(2)
α
cos
mg
ma Cy=(3)
d
F
ml
N
1
2
12
1
=
?α(4)
由(3),α
cos
g
a
Cy
=
解(1)、(2)、(4)联立
2
2
2
12
sin
12
d
l
gd
a Cx
+
=
α
2
2
2
N12
sin
d
l
mgl
F
+
=
α
习题9-18图
9-19匀质杆AB ,质量为m 、长为L ,两端均以速度v 0下落,且这时杆与铅垂线的夹角为θ。假设碰撞以后杆将绕A 点作定轴转动。试求:(1)碰撞前后的能量损失;(2)B 点与水平面即将接触时的速度。
解:动量矩守恒:θωsin 2
1
0L mv J A =
()L v 2/sin 30θω=∴
8/sin 321,2122021200θωmv J T mv T A ===
??
? ??
-=
θ?220sin 341121mv T 倒下着地时:
θωωcos 2
1212122
1mgL J J A A =- ()[]
θθωcos 2
16/4/sin 9222
0212mgL L v mL =-
得:2
/122011
cos 3sin 941?
?
?
??+==θθωgL v L u B
题9-19图 题9-20图
9-20匀质圆柱体的质量m =10kg 、半径r =30cm ,沿水平轨道以匀速v 0 =2m/s 作纯滚动时,碰到高h = 6cm 的障碍。设恢复系数e = 0,A 处有足够的摩擦力,试求:(1)碰撞结束时圆柱体的角速度;(2)使圆柱能超过障碍的v 0的大小;(3)碰撞时动能的损失;(4)碰撞冲量的水平及竖直分量。
解:由对A 点冲量矩守恒:
()r
v h r mv J J A A /0000=-+=ωωω
得:
()m/s
02.12
1
s N 4.10sin s
N 13.6cos rad/s
78.5//231102min 000≥=?==?=-==??
? ??-=v mgh
J v mr S r v m S r v r h A Y X 得:应满足:ωαωαωω
9-21两根相同的均质直杆在B 处铰接并铅垂静止地悬挂在铰链C 处,如图所示。设每杆长l=1.2m ,质量m=4kg 。现在下端A 处作用一个冲量为I=14N ?s 的水平碰撞力,求碰撞后BC 杆的角速度。
rad/s 50.2=BC ω(顺时针)
题9-21图 题9-22图
9-22 质量为0.2kg 的垒球以水平方向的速度48=v km/h 打在一质量为2.4kg 的匀质木棒上,木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。若恢复系数为0.5,求碰撞后棒两端A 、B 的速度。
m /s 30==B A v v ,