培优十速度关联类问题求解1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细
绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人
以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．
A．橡皮的速度大小为2v
B ．橡皮的速度大小为3v
C．橡皮的速度与水平方向成60°角
D．橡皮的速度与水平方向成45°角
3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v
4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ)
5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？
6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？
7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小
8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2
连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求：
(1)m2在下滑过程中的最大速度
(2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离
9、如图所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？
10、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A 到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B．求在车由A 移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．
11、一带正电的小球，系于长为L的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P1等高的P2点时的速度的大小为多少？
12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向是？
13、质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．
14、如图所示，B是质量为m B、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为m A的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m B＝2m A．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A 杆的位置用表示，为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小(表示成的函数)．
难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解
一、分运动与合运动的关系
1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果(v分、s分)互不干扰，即：独立性
2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性
3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性
二、处理速度分解的思路
1、选取合适的连结点(该点必须能明显地体现出参与了某个分运动)
2、确定该点合速度方向(通常以物体的实际速度为合速度)且速度方向始终不变
3、确定该点合速度(实际速度)的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向
4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系
典型的“抽绳”问题：
所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度．要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题：
(1)分解谁的问题
哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动．
(2)如何分解的问题
由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算．
其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路．
1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
解法一：应用微元法
设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC =
θ
cos BD
① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=
t
BC
t s ?=
??1 ② 人拉绳子的速度v =t BD
t s ?=??2
③
由①②③解之：v 物=θ
cos v
解法二：应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物
是合速度，将v 物按如图所示进行分解
其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩
v ⊥=v 物sin θ，使绳子绕定滑轮上的A 点转动
所以v 物=θ
cos v
解法三：应用能量转化及守恒定律
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功
人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以
v 物=
θ
cos v
2．(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角
的斜面向右以速度v 匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．
A ．橡皮的速度大小为2v
B ．橡皮的速度大小为3v
C ．橡皮的速度与水平方向成60°角
D ．橡皮的速度与水平方向成45°角
解析 钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v ，同时具有沿斜面方向的分速度v ，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为3v ，速度与水平方向成60°角，选项B 、C 正确．
答案 BC
2、如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D ．BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v
解法一：应用微元法
设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB’，如图所示． 过B’点作B’E⊥BD．
当Δt →0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE =B’D ． 在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度．
由图可知：BE =θ
cos '
BB
①
由速度的定义：物体移动的速度为v 物=
t
BB t s ???'
=1 ②
人拉绳子的速度v 0=
t
BB t BE BB t s ????)
cos +1('=
+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θ
cos +10
v
解法二：应用合运动与分运动的关系
物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物．
根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动．
也就是说“物体”的方向(更直接点是滑轮的方向)是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a
因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θ
cos +10
v
解法三：应用能量转化及守恒定律
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功
设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv ．
绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为
P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0
由P 1=P 2+P 2’得到v 物=θ
cos +10
v
3、一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A (此时杆与水平方向夹角为θ)
解题方法与技巧：
选取物与棒接触点B 为连结点．(不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显)因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度(实际速度)也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2．因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ
设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ
令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2
θ/h 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2
θ/h
4、如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 解析：
右边的绳子的速度等于A 车沿着绳子方向的分速度，设绳子速度为v ． 将A 车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方向，则v =v A cos 同理，将B 车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向，则v =v B cos 由于定滑轮上绳子的速度都是相同的，得到A B v v α
β
cos cos =
5、如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 解析：
已知地面上的人是以恒定速度拉动小球的，则人做的功其实就等于平台上的物体动能的增加量． 关键是要求出如图状态下物体的速度v ．
根据定滑轮的特性，可以知道物体m 的速度和绳子的速度是相同的．
对小球进行分析，小球水平方向做v 0的匀速运动是合运动，v 0是合速度，是沿着绳子方向的速度与垂直于绳子方向的速度的合
．
因此v 0cos45°=v ，得到0
22=
v v 202024
1
=21?21=21=
=mv v m mv E W k ? 6、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小 解析：
分别对小球A 和B 的速度进行分解，设杆上的速度为v
则对A 球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度．
v =v A cos
对B 球进行速度分解，得到v =v B sin 联立得到v A =v B tan
加速度也是同样的思路，得到a A =a B tan
7、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m ．物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示．试求：
(1)m 2在下滑过程中的最大速度 (2)m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 解析：
(1)由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即
21m 1v 12+2
1
m 22v 2+m 1g (A C -A B )sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有：
T cos∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°
又由速度分解知识知v 1=v 2cos∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,
(2)m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′
即：m 1g (AB AB H -+22)sin30°=m 2gH
利用(1)中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =
3
43m=2.31 m
8、如图所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：
由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°，
OS ′=L /cos60°
选取光点S ′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度(合速度)就是在光屏上移动速度v ；光点S′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度
v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分
解，由速度矢量分解图可得：
v 1=v sin60°,v 2=v cos60°
又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω 则：v 2=2ωL /cos60°
vc os60°=2ωL /cos60°，v =8ωL
9、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B ．求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功． 解析：
以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0．
随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加．
当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图，即
v Q =v B 1=v B c os45°=
2
2
v B 于是重物的动能增为 E k2 =
21mv Q 2=4
1mv B 2
在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为
h =2H-H=(2-1)H W G =-mgh =-mg (2-1)H
于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg (2-1)H =
4
1mv B 2
-0 所以绳子拉力对物体做功W T =
4
1mv B 2
+mg (2-1)H 10、一带正电的小球，系于长为L 的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O 点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E 的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P 1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P 1等高的P 2点时的速度的大小为多少？ 解析：
已知qE=mg ，则小球从释放到经过最低点的过程中，做速度为零的匀加速直线运动． 根据动能定理
0-2
1
=
+2Q mv qEL mgL gL v Q 2=
又已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零．
将小球过最低点时的速度沿竖直向下与水平向右分解，则突变后的速度为
gL v Q 2='
再列动能定理
2'2t 2
1
-21=
+-Q mv mv qEL mgL 得到gL v t 2=
12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向
是？
解析：
因为人的速度小于水的速度，那么合速度就不可能垂直于河岸了． 设v 合与河岸夹角为β 那么过河的位移s =v 合t t =v /v sin β
整理下得到s =d /sin β
则要得到s 最短，必须β最大．
同样，以v 人为半径，v 水的端点为圆心画圆．
只有当v 人垂直于v 合的时候，β最大． sin β=v 人/v 水=1/2 得到s =d /sin β=2d
13．质点绕半径为R=1m 的圆轨道运动，其速率v 和时间t 满足v =πt 的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．
解：质点绕圆周一周所走过的路程为L=2πR ①
由v =πt 可知其切向加速度大小为a τ=π(m/s 2
)
∴ 2
1
=
L a τ·t 2 ② 联立①、②可得 t =2(s)
此时 v =a τt =2π(m/s 2
)
向心加速度 )/(4222
s m R
v a n π== )/(161162422
2s m a a a n ππππτ+=+=+=总
设与速度方向夹角为φ，tan φ=4π φ=85.5°
如图所示，B 是质量为m B 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A 是质为m A 的细长直杆，被固定的光滑套管C 约束在竖直方向，A 可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m B ＝2m A ．初始时，A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A ，A 、B 便开始运动．设A 杆的位置用 表示， 为碗面的球心O 至A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A 与B 速度的大小(表示成 的函数)．
、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A 沿竖直方向运动，设其速度为v A ，B 沿水平方向运动，设其速度为v B ．若以B 为参考系，从B 观测，则A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R 的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为V A ．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得
A V v =θsin A (1)
B A cos v =θV
(2)
因而
θcot A B v v =
(3)
由能量守恒
2
B
B 2A A A 2
121cos v v m m gR m +=
θ (4)
由(3)、(4) 两式及A B 2m m =得
θ
θ
θ
2A cos 1cos 2sin +=gR v
(5)
θ
θ
θ
2B cos 1cos 2cos +=gR v
(6)
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
第五讲关联速度 所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有： 1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 3， 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同· 类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度． 图5-1 图5-２ 类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。 类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ 2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题） 图5-３图5-４
以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循． 首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论． 结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方
速度关联类问题求解·速度的合成与分解 编辑 杨国兴 运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点 ●难点 1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ ●案例探究 ［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求. 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ. 解题方法与技巧：解法一:应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC = θ cos BD ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物= t BC t s ?=??1 ② 人拉绳子的速度v = t BD t s ?=??2 ③ 由①②③解之：v 物= θ cos v 解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解. 其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩. v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物= θ cos v 解法三：应用能量转化及守恒定律 由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功. 人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物= θ cos v 图5-7 ［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）. 命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求. 错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方 向. 解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的 v 图 5-1 图 5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6
关联”速度问题模型归类例析 绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点 的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。 关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小 相等。 绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特 点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。 关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运 动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。 、绳相关联问题 1.一绳一物模型 1）所拉的物体做匀速运动
例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m， 水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时 小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解 法则，将人拉绳行走的速度。即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项. 平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会 2)匀速拉动物体 例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸， 拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？ 解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮 右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。 做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方 2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同 对称地系住 个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。时，物体 A 上升的速度多大？
“关联速度”模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构： 【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度 【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。 这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。 “绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。 模型典案： 【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图 示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小 为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法 物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。与车相连的端点的 实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮 边缘顺时针转动。 将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如 图2所示。根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。 所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。 【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。物理意义很明显。这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运 动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。 解法二：位移微元法 如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1， 显然，△s 1＝△s·cos θ θcos 1t s t s ??=?? 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义t s v ??=可得v 1＝v cos θ。 所以，物体M 上升速度的大小为v /=v cos θ。 这种方法从理论上揭示了运动效果分解法的本质。 图2 1图3 图1
关联速度问题 考点规律分析 ①对“关联速度”的理解 用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。 ②“关联速度”问题的解题步骤 a．确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。 b．分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示： c．沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(甲图)；v∥′(乙图、丙图)。 ＝v ∥ 例题讲解 (多选)如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为v B、v A，则()
A．v A＝v B B．v A＜v B C．v A＞v B D．重物B的速度逐渐增大 [规范解答]如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度v A可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长，二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速度v A应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝v A cosα；又由于v B＝v0，所以v A＞v B，故C正确。因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以v B逐渐增大，故D正确。 [完美答案]CD 绳(杆)联问题，关键点是把合速度沿杆垂直杆，沿绳垂直绳分解。沿杆或者沿绳分速度相等。另外，实际运动方向就是合速度方向。 举一反三作业 1.如图所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为v A，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则： (1)车B运动的速度v B为多大？ (2)车B是否做匀速运动？ 答案(1)v A cosθ(2)不做匀速运动
关联速度问题(高一) 河南省信阳高级中学陈庆威 2015.02.02 绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。希望能通过下面几个例题，帮助同学们消除解题中的困惑。 例1：如图1的A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度是多少？ 解析： 方法一： 图1 1、找关联点（A点） 2、判断合速度（水平向左） 3、速度的合成与分解（沿绳子与垂直绳子） 4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上） 船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以从图B中的A 点为例说明：A是绳子和船的公共点，一是A点沿绳的收缩方向的运
动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 方法二：微元法：如图C 1、关联点在很短时间内经过一小位移S 2、绳子缩短了S′=OA-OB=PA=Scosθ高中物理-10.微元法处理速度关联问题
微元法处理关联速度类问题 因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得难以想象。 其实，所有这类问题，全部可以用微元法——用几何图示的方法——直观的展现和计算，这对绝大部分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。 【例1】如图1所示，当小车A 以恒定的速度v 向左运动时，对于B 物体，下列说法正确的是( ) A ．匀加速上升 B ．B 物体受到的拉力大于B 物体受到的重力 C ．匀速上升 D ．B 物体受到的拉力等于B 物体受到的重力 [解析]本题是很常规的绳连接问题，将A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿绳方向分速度相等即可轻松解决。下面以微元法来解本题。 设A 车在极短时间Δt 内向左运动一小段距离x A ，则B 的位移与A 的位移关系如图所示，由几何关系，有： cos B A x x θ= 两边除以Δt ，得 cos B A v v θ= 在此基础上，易得B 答案正确。 【例2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ） A ．v sin θ B ．v cos θ C ．v tan θ D ．v cot θ [解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 设光盘在极短时间Δt 内向右运动一小段位移x ，由几何关系易知，小球水平位移也为x ，竖直位移为 sin y x θ= 两边除以时间Δt ，得小球上升的速度（竖直速度）为 sin y v v θ= 小球的位移为 2221sin x x y x θ'=+=+ 两边除以Δt ，得小球的速度为 21sin v v θ'=+ 【例3】如图3所示，顶角θ＝60°、光滑V 字形轨道AOB 固定在竖直平面内，且AO 竖直．一水平杆与轨道交于M 、N 两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s 增大到14 m/s(杆未触地)，则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m/s B ．17 m/s C ．20 m/s D ．28 m/s x A x B x θ θ y θ θ y x ’ x
培优十速度关联类问题求解 1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖 直，下列说法正确的是( )． A．橡皮的速度大小为2v B．橡皮的速度大小为3v C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角 3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v 4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地 面摩擦不计，试求当物 块以速度v向右运动 时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ) 5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？ 6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？
7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一 切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速 度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度 大小 8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面 上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静 止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受 力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求： (1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 9、如图所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平 面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知 SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转 过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？
关联速度问题 1. 在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处 的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不 变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进 的瞬时速度是多大？ 2. A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光 滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水 平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 3.均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置 时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时 A 球速度和加速度大小. 4. 一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）. 5. S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是 垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆 时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速 度v 为多大？
Solutions to the Exercises 1、绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运 速度v物是合速度，将v物按如图5-6所示进行分解. 其中：v=v物cosθ，使绳子收缩. v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动. v 所以v物= cos 2、v B cosα=v A cosβ 3、v A=v B tanα；a A=a B tanα 4、选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ. 设此时OB长度为a，则a=h/sinθ. 令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h. 故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h. 5、由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°， OS′=L/cos60°. 选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得： v1=v sin60°,v2=v cos60° 又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω. 则：v2=2ωL/cos60° vc os60°=2ωL/cos60°,v=8ωL.
培优十速度关联类问题求解1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细 绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人 以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )． A．橡皮的速度大小为2v B ．橡皮的速度大小为3v C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角 3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v 4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ) 5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？ 6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小 8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2 连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求： (1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离
难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解 ●难点磁场 1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧， 并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平 面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系 在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右 匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45° 处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ ●案例探究 例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳 跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运 动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分 解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ. 解题方法与技巧：解法一:应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ， 当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳 子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC =θcos BD ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=t BC t s ?=??1 ② 人拉绳子的速度v = t BD t s ?=??2 ③ 由①②③解之：v 物=θcos v 解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩. v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.所以v 物= θ cos v 图5-1 图5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6
所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有： 1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同· 类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题） 图5-1 图5-２ 类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题） 类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）
图5-３图5-４ 以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循． 首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论． 结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．
话题18：关联速度问题 一、刚体的力学性质: 讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的． 如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速 度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身 转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方 向的分速度． 再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触 面切向的分速度在无相对滑动时相同． 相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移 C A '
关联速度的问题 【专题概述】 1、什么就是关联速度: 用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。 2、解此类题的思路: 思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度 (2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在: ①沿绳方向的伸长或收缩运动; ②垂直于绳方向的旋转运动。 解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则 3、解题方法: 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示 【典例精讲】 1、绳关联物体速度的分解 典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( ) A.小车运动的速度为v0 B.小车运动的速度为2v0 C.小车在水平面上做加速运动 D.小车在水平面上做减速运动 2、杆关联物体的速度的分解 典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( ) A. 水平向左,大小为v B. 竖直向上,大小为vtanθ C. 沿A杆向上,大小为v/cosθ D. 沿A杆向上,大小为vcosθ 3、关联物体的动力学问题
典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( ) A. 物体A做加速运动 B. 物体A做匀速运动 C. F T可能小于mgsinθ D. F T一定大于mgsinθ 【总结提升】 有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。 情况一图情况二图 情况二:从运动上来瞧,A与B的运动方向都不沿绳,所以在处理速度的时候需要把A与B的速度都分解了,然后根据两者沿杆方向上的速度相等来找两者之间的关系。 【专练提升】 1、如图所示,人在岸上拉船,已知船的质量为m,水的阻力恒为F f,当轻绳与水平面的夹角为θ时,船的速度为v,此时人的拉力大小为F,则此时( ) A. 人拉绳行走的速度为vcosθ B. 人拉绳行走的速度为v/cosθ C. 船的加速度为 D. 船的加速度为 2、 (多选)如图所示,在不计滑轮摩擦与绳子质量的条件下,小车匀速地从B点运动到M点,再运动到N 点的过程中,关于物体A的运动与受力情况,下列说法正确的就是( ) A. 物体A也做匀速直线运动 B. 物体A的速度可能为零
速度关联类问题求解·速度的合成与分解 一、分运动与合运动的关系 1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性 2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性 3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性 二、处理速度分解的思路 1、选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） 2、确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变 3、确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向 4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系 典型的“抽绳”问题： 所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度。要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题： （1）分解谁的问题 哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动。 （2）如何分解的问题 由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算。 其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路。 运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 合速度方向：物体实际运动方向 分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩） 垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动 速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。 这类问题也叫做：斜拉船的问题——有转动分速度的问题 v拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ【例题1】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 角时，求物体A的速度。
《关联速度》 一、计算题 1.如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的各部分均光滑，水平部分套有质量为的小球A，竖直部分 套有质量为的小球B，A、B之间用不可伸长的轻绳相连。在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，且，，重力加速度． 求水平拉力F的大小和水平杆对小球A弹力的大小； 若改变水平力F大小，使小球A由静止开始，向右做加速度大小为的匀加速直线运动，求经过拉力F所做的功。 2.如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，绳某时刻与水平方向夹角为求： 若人匀速拉绳的速度为，则此时刻小船的水平速度为多少？ 若使小船匀速靠岸，则通过运算分析拉绳的速度变化情况？
3.如图，足够长光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为，斜面上的物体M和 穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知，，． 求m下降时两物体的速度大小各是多大？ 若m下降时恰绳子断了，从此时算起M最多还可以上升的高度是多大？ 4.如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物 块A，另一端悬挂质量为的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离开始时小物块 A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为． 求小物块A受到的水平拉力大小；
撤去水平拉力，求： 当PO与水平方向的夹角为时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？ 物块A在运动过程中的最大速度． 5.如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及 碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球和，且。开始时恰在右端碗口水平直径A处，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。 求小球沿斜面上升的最大距离s； 若已知细绳断开后小球沿碗的内侧上升的最大高度为，求？ 6.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的各部分均光滑。杆的水平部分OM和竖直部分ON各套有质量 均为2kg的小球A和B，A、B球间用不可伸长的轻绳相连。在水平力F的作用下A、B均处于静止状态，且
4.关联速度问题 两个运动的物体通过定滑轮、绳子、轻杆连接，两物体的运动有一定关联，这类问题称为关联速度问题。关联速度问题是运动合成与分解的较高程度的应用。 一、基础知识 1．问题特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等． 2．思路与原则 (1)思路 ①明确合速度→物体的实际运动速度v； (2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则． 3．解题方法 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 二、典型例题 例题1．在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么( ) A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s后小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为4 m/s
D．5 s时小船到岸边的距离为15 m 解析：选D.设开始时小船距岸边为L，则L＝ h tan 30° ＝20 3 m，5 s后 绳端沿岸位移为x＝vt＝3×5 m＝15 m，设5 s后小船前进了x′，绳与水平面 的夹角为θ，由几何关系得sin θ＝ h 2h－x ＝ 20 2×20－15 ＝0.8，解得θ＝53°， 选项A错误；由tan θ＝ h L－x′ ，解得x′＝19.64 m，选项B错误；由v船cos θ＝v可得此时小船的速率为v 船 ＝5 m/s，选项C错误；5 s时小船到岸边的距离为L－x′＝20 3 m－19.64 m＝15 m，选项D正确． 例题2. 如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知( ) A．物体A做匀速运动 B．物体A做加速运动 C．物体A所受摩擦力逐渐增大 D．物体A所受摩擦力不变 解析：选B.设系在A上的细线与水平方向夹角为θ，物体B的速度为v B， 大小不变，细线的拉力为F T，则物体A的速度v A＝ v B cos θ ，F f A＝μ(mg－F T sin θ)， 因物体下降，θ增大，故v A增大，物体A做加速运动，A错误，B正确；物体B 匀速下降，F T不变，故随θ增大，F f A减小，C、D均错误． 例题3．如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( ) A.v sin α L B． v L sin α