数学填空题解法攻略
北海七中 林秀雅
高考数学填空题是考生拉开距离的重要题型，处理得好不好直接影响到学生的前途，为此，我总结了数学填空题常见处理办法，供同仁参考。 （一）解题方法
1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0
)()(=-?+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-?-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向,0)4=∴2-=m 。
例2),2(+∞-上为增函数，则实数 。 解：)(x f ，由复合函数的增减性可知，上为增函数，∴1-例3、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为3
1
，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为
133
1。 例4、在三棱柱ABC —A ’B ’C ’中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB ’C ’F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2＝ 。
解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V ＝4，而V 1＝
13（1＋4＋4）=73，V 2＝V －V 1＝5
3
，则V 1:V 2＝7:5。 例5、已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。
解：令x ＝1，则有（－1）7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。
例6、方程log 2(x ＋1)2＋log 4(x ＋1)＝5的解是 。
解：由换底公式得4log 4(x ＋1)＋log 4(x ＋1)＝5，即log 4(x ＋1)＝1,解得x ＝3。
例7、已知sin θ＋cos θ＝
1
5
，θ∈(0,π)，则ctg θ的值是 。 解：已知等式两边平方得sin θcos θ＝－12
25
，解方程组得sin θ＝45，cos θ＝35，故答案为：－34。
【另解】设tg θ
2
＝t ，再利用万能公式求解。
例8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）.
解：三名主力排有33A 种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有2
7A 种排法，故共有排法数33A 2
7
A =252种. 例9、102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 .
解：19
281101010(24x x C x C ++
+???+系数为010C -4C +例10在区间),2(+∞-上为增函数，则实数 . 解：)(x f ，由复合函数的增减性可知，上为增函数，
∴021<-a ，∴2
1
>
a . 2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例11、已知（1－2ｘ）７＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７，那么ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝_____．
解：将已知与求解对照：
ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７=（1－2ｘ）７， ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝？
可见取ｘ＝0时，得ａ0＝1；再取ｘ＝1以求值．有 ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝（1－2）７－ａ0＝－2．
说明：通过对未知变量x 赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．
例12、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若a 、b 、c 成等差数列，则
=++C
A C
A cos cos 1cos cos 。
解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,5
3
cos ==C A ，从而所求值为
5
3。 例13、 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长
分别为p 、q ，则
=+q
p 1
1 。 解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。 设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,
0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得a
x 21±，∴a
FQ PF 21
||||=
=，从而a q p 411=+。
例14、 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为2
3
。已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。
解：令x ＝1，则有（－1）7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。
例15、在?ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则
=++C
A C
A cos cos 1cos cos
解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝
,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45
. 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600 cosA ＝cosC ＝21,
=++C A C A cos cos 1cos cos 4
5
. 例16、如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么(1),(2),(4)f f f 的大小关系是 .
解：由于(2)(2)f t f t +=-，故知()f x 的对称轴是2x =.可取特殊函数2()(2)f x x =-，即可求得(1)1,(2)0,(4)4f f f ===.∴(2)(1)(4)f f f <<.
例17、已知SA ，SB ，SC 两两所成角均为60°，则平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为 .
解：取SA=SB=SC ，则在正四面体S －ABC 中，易得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为1
arccos
3
. 例18、已知,m n 是直线，,,αβγ是平面，给出下列命题：①若,αγβγ⊥⊥，则α∥β；②若
,n n αβ⊥⊥，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若,n m αα??≠≠，且n ∥β，m ∥β，则α∥β；⑤若,m n 为异面直线，n ?≠α，
n ∥β，m ?≠β,m ∥α，则α∥β.
则其中正确的命题是
.（把你认为正确的命题序号都填上） 解：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．
例19、如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<
解：根据不等式解集的几何意义，作函数
函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数 值范围是[)+∞∈,2a 。 例20、 求值=+)2
1
arctan
3
sin(π
。 解：=+)21arctan
3
sin(
π
)2
1sin(arctan 21)21cos(arctan 23+，构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为2
1
a r c t a n ，从而.5
1
)21sin(arctan ,52
)2
1cos(arctan ==
所以可得结果为
10
15
25+。
例21、 已知实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，则1
-x y
的最大值是 。 解：
1
-x y
可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1
-x y
最大，最大值为3tan =θ。
例22、不等式25x +>x ＋1的解集是 。
解：如图，在同一坐标系中画出函数y ＝25x +与y ＝x ＋1的图像，由图中可以直观地得到：－52
≤x<2，所以所求解集是[－
5
2
,2)。 例23、已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b
|的最大值是
解：因|2|||2a b == ，故向量2a 和b
所对应的点A 、B 都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而
|2a －b |的几何意义即表示弦AB 的长，故|2a －b
|的最大值为4.
例24、设函数 f(x)＝13x3＋1
2ax2＋2bx ＋c ．若当 x ∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x ∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则 b-2
a -1 的取值范围 ．
解：f′
(x)＝ x2＋ax ＋2b ，令f′(x)＝0
一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，
∴???f′(1)<0f′(0)>0f′ ，得???a+2b+1<0b>0 ，在aob 所示，而 而P(a ，4例25、 解：=+)21
arctan
3
sin(
π
)2
1sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为2
1
arctan
，从而 .51
)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为10
1525+。
例26、 已知实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，则1
-x y
的最大值是 。 解：
1
-x y
可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y 最大，最大值为3tan =θ。36,8
1
==b a 。
例27、 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 。
A
B
D
A1
B1
C1
D1
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。 例28、函数x x y -+-=
3214单调递减区间为 。
解：易知.0],3,4
1[>∈y x ∵y 与y2有相同的单调区间，而313441122-+-+=x x y ，∴可得结果为]3,8
13
[
。 总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
例29、不等式2
3
+
>ax x 的解集为),4(b ，则=a _______，=b ________. 解：设t x =，则原不等式可转化为：,02
32
<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程
0232=+-t at 的两根，由此可得：36,8
1
==b a .
例30、不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 .
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a .
5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例31、如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，
PD ⊥ABCD ，PD=AD ，
则PA 与BD 所成角的度数为
. 解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA 与BD 所成角为60°.
例32、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种（用数字作答）.
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有2
3
44144C A =（种）.
例33、椭圆 x29 + y2
4 =1 的焦点F1、F2，点P 是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是
解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆 x29 + y24 =1 联立求得交点x02 ＝ 95?x0∈（－ 355，35
5）
6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例34、如右图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形满足条件
时，有1
11AC B D ⊥（填上你认为正确的一个条件 即可，不必考虑所有可能性的情形）.
解：因四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，故11AC 为1AC
在面1111A B C D 上的射影，从而要使111AC B D ⊥，只要11B D 与11AC 垂直，故底面四边形1111A B C D 只要满足条件11B D ⊥11AC 即可.
例35、以双曲线2
213
x y -=的左焦点F ，左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3y kx =+所
得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是 .
解：左焦点F 为（－2，0），左准线l ：x ＝－3
2，因椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线3y kx =+与x 轴的交点3(,0)k -，由3
2k
-<- ，得0 ＜ k ＜ 32.
（二）检验方法
1例36 错解： 合表示.故正确答案为}.3
2,32{- 2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知
识性错误.
例37、已知数列}{n a 的前n 项和为1232
++=n n S n ，则通项公式n a = .
错解：,16]1)1(2)1(3[1232
21-=+-+-?-++=-=-n n n n n S S a n n n .16-=∴n a n
检验：取n=1时，由条件得611==S a ，但由结论得a1=5.故正确答案为?
?
?≥-==).2(16),1(6n n n a n 3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的
允许值范围而产生增解致错.
例38、方程i z z 31||3-=+的解是 .
错解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i bi b a a 313)3(22-=+++，根据复数相等的定义得
?????-==++.33,
1322b b a a 解得??
??
?-==???-==.1,431,0b a b a 或.故.43i z i z -=-=或 检验：若i z -=，则原方程成立；若i z -=
4
3
，则原方程不成立.故原方程有且只有一解z=-i. 4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
例39、不等式x x lg 1lg 1->+的解是 .
错解：两边平行得21lg (1lg )x x +>-，即lg (lg 3)0,0lg 3x x x -<<<，解得3110x <<. 检验：先求定义域得1lg 1,1lg 11.10
1
<->+>≥
x x x x 则若，原不等式成立；若x x x lg 1lg 1,110
1
-≤+≤≤时，原不等式不成立，故正确答案为x>1. 5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
例40、函数||1|log |2-=x y 的递增区间是 . 错解：).,1(∞+
检验：由??
?<->-=),
1(|)1(log |),
1(|)1(log |22x x x x y 作图可知正确答案为).,2[)1,0[∞+和
6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.
例41、若),(19
1+∈=+R y x y
x ，则y x +的最小值是 .
错解：,6,692911≥=≥+=
xy xy
xy y x .122=≥+∴xy y x 检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.
换一种解法
为
：
,169210910)91)((=?+≥++=++=+y
x x y y x x y y x y x y x .16的最小值为y x +∴
7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的
错误.
例42、已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围 . 错解：由0)4(4)2(22<-++=?a a ，解得.5
6
2<
<-a
检验：若a=-2，则原不等式为01≥-，解集是空集，满足题意；若5
6
=
a ，则原不等式为02580642≤+-x x ，即0)58(2
≤-x ，解得85=x ，不满足题意.故正确答案为.5
62<≤-a
切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”
..5
6
2<≤-a （三）例题剖析
例43、不等式
01
21>+-x x
的解集是______。 解：不等式
0121>+-x x
等价于()()1210x x -+>，也就是()1102x x ??-+< ??
?，所以112x -<<，从
而应填112x x ??-<<
????． 答案：112x x ??
-<
? 点评：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：00a
ab b
>?> 例44、
________. 解：由s i cos 1θ>，所以知道3
cos 5
θ=-，
sin 2θ=“当… 时”，看看上面的＂读出＂，“取
舍”，例45、 已知0 解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数 x y a log =的简图，再根据图形的特征，容易发现a 点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质：a 和b 是两个异号的实数，当且仅 当b a +与a 同号时b a >。)1(log )1(log )1(log 2 t t t a a a -=-++ ，不论a 的值如何， )1(log 2t a -与)1(log t a -同号，所以.n m <答案：.n m < 用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。这两种作法的最大的优点是不用对底数是否比1大讨论。 例46、底面边长为2的正三棱锥ABC P -中，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 中点，则四边形EFGH 的面积取值范围是_________。 解：用特例法，当P 点无限远离平面ABC 时显然所求四边形的面积为无穷； 而当P 点无限接近平面ABC 时（如图所示） ，容易求得面积为> > 点评：当有些动点决定问题的结果时，可以让这些动点的位置特殊化。 例47、实数x 、y 满足01233222=+--+-y x y xy x 则xy 的最小值为__________ 解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当y x =时xy 最小。答案：12 点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料的。 例48、 已知函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。 解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，2 21)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。答案：2 1 >a 点评：熟悉 )(d b c a d cx b ax ≠++型函数的一些性质和结论对解决一些填空题或选择题很有帮助。 例49、不等式2 3 +>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= 。 解：设 )4是方程 2-t at 点评：例50数a 的取值范围是 。 解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x 的圆心的距离不超过半径，∴31≤≤-a 。答案：31≤≤-a 点评：注意数与形的结合，提高解题的效率。 （四）强化练习 例51、已知函数()1+=x x f ，则()._______31=-f 讲解 由13+= x ，得 ()431==-x f ，应填4. 请思考为什么不必求()x f 1 -呢？ 例52、集合?? ????? ? ??∈-<≤-=N x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 讲解 {}{} N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,100 10N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，其真 子集的个数是1290-，应填1290-. 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122- 例53、若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 讲解 由已知抛物线的对称轴为22+- =a x ,得 4-=a ，而 12 =+b a ，有6= b ，故应填6. 例54、如果函数()2 2 1x x x f +=，那么 ()()()()._____4143132121=?? ? ??++??? ??++??? ??++f f f f f f f 讲解 容易发现()11=?? ? ??+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式＝()2 7 31=+f ，应填.27 类似题： 设()= x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 ()()().______655=++-f f 例55在第三象限，则角α的终边在第____ 象限. 讲解 由已知得 ? ??<>??? ?<<,0cos ,0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二. 例56、不等式() 120lg cos 2≥x （()π,0∈x ）的解集为 __________ . 讲解 注意到120lg >，于是原不等式可变形为.0cos 0cos 2≥?≥x x 而π< ≤ ?????∈≤ 例57、如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8 π -=x 对称，那么._____=a 讲解 ()?++=2sin 12a y ，其中a =?tan . 8 π - =x 是已知函数的对称轴， 282ππ?π+=+?? ? ??-∴k ， 即 Z k k ∈+ =，4 3π π?， 于是 .143tan tan -=?? ? ? ?+==ππ?k a 故应填 1-. 在解题的过程中，我们用到如下小结论： 函数()?ω+=x A y sin 和()?ω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形. 例58、设复数??? ??<<+=24 cos sin 21πθπ θθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向 旋转 4 3π 后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()??sin cos 2i r z +=，则.____tan =? 讲解 ??33ππ 于是 例59、设非零复数满足 x ，则代数式 ?? ?+?? ? + y x y x 的值是 ____________. 讲解 将已知方程变形为 112 =+??? ? ??+???? ??y x y x ， 解这个一元二次方程，得 .2 321ω=±-=i y x 显然有231,1ωωω-=+=, 而166832005+?=,于是 原式＝()() 2005 20052005111ωωω+++ ＝ () () 2005 22005 21 ωωω -+ - ＝ .112 =-+ωω 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重 视. 例60、已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么 ._____lim =∞ →n n n S na 讲解 特别取n a n =，有() 2 1+= n n S n ，于是有 (). 21 1212lim lim lim 2 =+=+=∞ →∞→∞ →n n n n S na n n n n n 故应填2. 例61、列{}n a 中，()? ?? ?-=是偶数），（是奇数， n n a n n n 2 51 n n a a a S 221 2+???++=, 则 2lim ∞ →n n S 讲解 n S 2 ∴5 1512 2--∞ →n 例62、以下四个命题： ①()； 〉31 22≥+n n n ②()；1226422≥++=+???+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()； 31≥-=n n n f π ④凸n 边形对角线的条数是()() ().42 2≥-= n n n n f 其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 . 讲解 ①当n=3时，13223+?>，不等式成立； ②当n=1时，21122++≠，但假设n=k 时等式成立，则 ()()()()211122126422 2++++=++++=++???+++k k k k k k ； ③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则 ()()()[] ；ππ111-+=+=+k k f k f ④ ()()22444-≠ f ，假设()() 2 2-=k k k f 成立，则 ()()()()()[].2 21131-++≠ -+=+k k k k f k f 故应填②③. 例63、某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 . 讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有3 5P 种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3 355?P 种，于是中奖面为 故应填%.75.0 例64、 .__________ 讲解 由(所求系数应为()7 2-x 的x 项的系数与3x 项的 系数的和，即有 ()()， 1008224 476 6 7=-+-C C 故应填1008. 例65、过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________. 讲解 长方体的对角线就是外接球的直径R 2, 即有 (),505434222222 =++==R R 从而 ππ50 42 ==R S 球，故应填.50π 例65、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一 个可能的值）． 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： 611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、12 14 中的一个即可. 例66、直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是___________. 讲解 由?? ?=-=x y x y 4, 12 消去y ，化简得 ,0162=+-x x 设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为()00y x ，，则 . 2132 002 10=-==+= x y x x x ， 故 应填 ()2,3. 例67、椭圆125 92 2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标 是_________________. 讲解 记椭圆的二焦点为21F F ，，有,10 221==+a PF PF 则知 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. 例68、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()2002 2 ≤≤=y x y ，在杯内放一 个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________. 讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可 设大圆的方程为 ().22 2r r y x =-+ 由 ()?? ? ??==-+，，22 222x y r r y x 消去x ，得 ()0122=-+y r y （*） 解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r 再结合半径0>r ，故应填.10≤ 例69、知函数2 2 x 1x )x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f 。 讲解 计算之前，应认真观察数式结构特征，因为结构决定了解题的方向。 我们从整体考虑：2 2222 2 111()()111111x x x f x f x x x x x += +=+=++++（定值），于是1(2)()12f f +=，1(3)()13f f +=，1(4)()14f f +=，又1(1)2f =， 故原式=7 2 。 例70、若关于x 的方程)2x (k x 12-=-有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 。 讲解 明确范围，画图分析。 （运用运动变化的观点研究数学问题） 易得：0AB k k =<≤ 例71、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a (为奇函数，则a = . 讲解 由于()f x 是奇函数，则(1)(1)0f f +-=，1a ∴=-。 例73、)240(cos )120(cos cos 02022+α++α+α的值为 。 讲解 令0α=，则原式=22113 1()()222 +-+-= 例74、（2007·江西）如图，在ABC ?中，点O 是BC 的中点，过 点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ， 若,AB mAM AC nAN == ，则m n +的值为 . 讲解 取三角形为正三角形，3AN NC =，则易得42 ,33 n m ==，所以2m n +=。 例75、若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 讲解 由已知抛物线的对称轴为212a -- =,得a ＝0，而12 a b +=，有b ＝2，故应填2. 例76、() ()7221-+x x 的展开式中3x 的系数是.__________ 讲解 由() ()()() 7 77 2 2 1222x x x x x +-=-+-知，所求系数应为()7 2-x 的x 项的系数与3x 项的 系数的和，即有()()， 1008224 476 6 7=-+-C C 故应填1008. 例77、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）． 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： 611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、12 14 中的一个即可. 例78、如果随机变量ξ～N (2,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）= 讲解 P （3-=∴)2(=Φσ 例79、已知集合为????-124 2n ，它的所有的三个元素的子集的和是n ，则22lim n S n n ∞→＝ 。 讲解 因为包含了? ?????-121,,41,21,1n 任意一个元素)(211Z k k ∈-的三元素集合共21-n C 个，所以在n S 中，每个元素都出现了2 1-n C 次，所以 )211)(2)(1(2 11) 21 1(12) 2)(1()2 18141211(12 1n n n n n n n n n C S ---=- - ??--=+++++ = -- ，所以 2 )2 11)(2)(1(2lim 2lim 2 2 =---=∞ →∞ →n n n n S n n n n 。 例80P 角时，点P 横坐标的取值范围是_______________________； 讲解 设P(x ，y)P P 的横坐标 又当P 在P 横 例81、 若函数()||2[0)f x a x b =-++∞在， 上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是____； 讲解 由已知可画出下图，符合题设，故a>0 例82、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆 子落入圆内的概率是________． 讲解 因为正方形的面积是16，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率是 4164 ππ =． 例83、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟 在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-?x ，其运算为：+-,7,*,,2,,3x ，若计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范围为 _____________ ． 讲解 计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x 时，它表示的表达式是()lg 2x x -，当其有意义时，得()20x x ->，解得02x x <>或． 例84、某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ， 其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)． 讲解 μ0＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.90，于是 0.50μ0＝μ0(e －λ)t ?1 2＝(0.90)t ， 两边取常用对数，lg 12＝t 2lg0.90， 解出 t ＝－2lg2 ＝2×0.6020.4771＝13.1． 1例85、 ()._______ 31=-f 讲解 由4=x ，应填4.请思考为什么不必求()x f 1-呢？ 例86、集合?? ????? ? ??∈-<≤-=N x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 讲解 {}{} N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,100 10N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，其真子集的个数是1290-，应填1290-. 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122- 例87、若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 讲解 由已知抛物线的对称轴为22+- =a x ,得 4-=a ，而 12 =+b a ，有6= b ，故应填6. 例88、如果函数()2 2 1x x x f +=，那么 ()( )()()._____4143132121=?? ? ??++??? ??+ +??? ??++f f f f f f f 讲解 容易发现()11=?? ? ??+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律， 于是原式＝()2731=+f ，应填.2 7 2、三角与复数 例89、已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第 ____ 象限. 讲解 由已知得???<>????<<, 0cos , 0sin ,0cos ,0tan αααα从而角α的终边在第二象限，故应填二. 例90、不等式() 120lg cos 2≥x （()π,0∈x ）的解集为 __________ . 讲解 注意到120lg >，于是原不等式可变形为.0cos 0cos 2≥?≥x x 而π< 0π ≤ ?? ? ??∈≤ 例91 讲解 y 82π??? ??-∴.1- 故应填 -点评 在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数()?ω+=x A y sin 和()?ω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形. 例92、设复数??? ??<<+=24 cos sin 21πθπ θθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向 旋转 4 3π 后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()??sin cos 2i r z +=，则.____tan =? 讲解 应用复数乘法的几何意义，得 ??? ? ? -=43sin 43cos 12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 22 2 ++--=， 于是，1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-= θθθθθθ? 故应填 .1 tan 21tan 2-+θθ 例93、 设非零复数y x ,满足 022=++y xy x ，则代数式 2005 2005 ??? ? ??++??? ? ? ?+ y x y y x x 的值是 ____________. 三年级数学下册综合练习题大全 一、填空题。 1．7角是（）元，还可以写成（）元。20厘米是（）米，还可以写成（）米。 2. 小李的身高是1米75厘米，写成小数是（）米。 3．写出下面各题的小数。 （1）某市新建了一座跨江大桥，全长为一点三七六米。（）米 （2）土星绕太阳转一周需要二十九点四六年：（）年 （3）小琦的跳远成绩是一点五二米：（）米 4．小光买了一个价格是2.3元的卷笔到刀，付了5元钱，应找回（）元。5．把0.7、1.27、1.3、0.8从大到小排列是： （）＞（）＞（）＞（） 6．0.57元表示（）元（）角（）分。 7. 87米表示（）米（）分米（）厘米 6元5角=（）元 1米2分米=（）米 8、边长是1厘米的正方形，面积是（），周长是（） 面积是1平方米的正方形，边长是（） 9. 4平方米＝( )平方分米8公顷＝( )平方米 500公顷＝( )平方千米 300平方厘米＝( )平方分米200平方分米＝( )平方米 9平方千米＝( )公顷 10.在括号里填上适当的单位。 小明身高132 ( )。一张邮票的面积是6 ( ) 教室地面的面积是56 ( )。 课桌面的面积约是42 ( )。 中国的领土面积大约是960万( )。 11.一个长方形的长是5厘米，宽是3厘米，它的面积是( )，周长是（） 12. ①800千克=（）吨②7米=（）分米=（）厘米 ③180秒=（）分 13. ①730里最多有（）个30 ②719里最多有（）个90 ③520里最多有（）个40。 14、①105的6倍是（）②1320是8的（）倍 ③5232÷8的商是( )位数 15、750÷4商的最高位是（）位。 16、650×80积的末尾有（）零，积是（）位数。 17、一列火车7小时行了525千米，求每小时行多少千米，列式是（）。 18、油脂厂4月份（30天）生产食用油720吨，平均每天生产食用油（）吨。 19、用24时计时法表示上午7时15分是（），下午5时20分是（），晚上12时是（）时或（）时。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 高考数学中选择题的解法 一、选择题的解法 1.直接法 (1)直接计算法; (2)直接推理法; (3)直接判断法; (4)数形结合法。 2。间接法 (1)验证排除法; (2)特例排除法; (3)逻辑排除法。 二、举例与练习 1.直接法 (1)直接计算法 例题1：如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( ) A 18倍 B 12倍 C 9倍 D 4倍 例题2：某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒状磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有( ) A 5种B 6种C 7种D 8种 练习题1：用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的共有( ) A 120个 B 96个 C 60个 D 36个 练习题2：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积的比是( ) A B C D 练习题3：在各项均为正数的等比数列{ }中，若=9，则……+ 等于( ) A 12 B 10 C 8 D 2+ (2)直接推理法 例题3：如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 练习题4：的最小正周期是( ) A π B 2π C D 4π 练习题5：在等比数列{ }中，1，且前n项和满足，那么的取值范围是( ) A (1，+∞) B (1，4) C (1，2) D (1，) (3)直接判断法 例题4：“ 0”是方程“ 表示双曲线”的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 即不是充分条件也不是必要条件 练习题6：函数(a0且a≠1)是( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 (4)数形结合法 例题5：曲线(-2≤x≤2)与直线有两个交点时，实数k的取值范围是( ) 三年级数学上册人教版《填空题》100题 1、钟面上有（）根针；走的最快的是（）针；走的最慢的是（）针。 2、秒针走5圈；分钟走（）大格；就是（）分；时针走一圈是（）；分钟走半圈是（）。 3、一节课是（）分钟；课间休息（）分钟；再加上（）分钟正好是一小时。 4、秒针从数字“3”走到数字“7”；经过的时间是（）；分钟从一个数字走到下一个数字；经过的时间是（）；时针从数字“1”走到数字“4”；经过的时间是（）。 5、小明早上7:25从家出发；7:50到达学校；他路上用了（）分钟。 6、第一节课8:05开始上课；8:45下课；第一节课上了（）分钟。 7、人的心跳75次；大约需要（）。 8、我们所学的时间单位有：（）、（）、（）、（）、（）、（）……。 9、计量很短的时间；常用（）；它是比（）更小的单位。 10、小明在运动会上跑100米；所用的时间是15（）；小明写20个字大约需要（）分。 11、最大的两位数与最小的两位数的差是（）；最小的三位数与最大的两位数的和是（）；最小的两位数与最大的三位数的差是（）。 12、比380少130的数是（）；比380多130的数是（）。 13、口算35＋34= 想： 先算：（）＋（）=（）先算：（）＋（）=（） 后算：（）＋（）=（）或后算：（）＋（）=（）最后算：（）＋（）=（）最后算：（）＋（）=（） 14、计算76-34；可以先算（）-（）=（）；再算（）-（）=（） 15、想一想；括号里最大能填几？ 22+（）< 82 75-（）> 33 （）-58 < 39 16、把下面的数填在相应的括号中。 （1）420 609 511 498 399 582 接近400 接近500 接近600 （）（）（）（2）563 552 547 536 541 558 559 接近540 接近550 接近560 （）（）（） 17、试一试；快速圈出下列算式得数的最高位。（2分） 71-28 （ 5 4 ）46+27 （7 6 ） 57-33 （ 2 1 ）440+260 （7 6 ） 18、一个加数是168；另一个加数是59；和是（）；被减数是85；减数是146；差是（）；6个十加9个百再加5个一得（）。 19、下列哪些算式的结果小于600；在（）里打“√”。 352+295（）186+452（）102+497（）925-328（）20、笔算加减法时要注意：相同（）要对齐；从（）位算起。哪一位上的数满十；要向（）位进（）。哪一位上的数不够减；要从（）一位退 考试中数学填空题的四大常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是中考数学中的三种常考题型之一。它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学中考命题重 要的组成部分，它约占了整张试卷的三分之一。因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。 解答填空题的基本策略是准确、迅速、整洁。准确是解答填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于填空题的答题时间，应该控制在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避免超时失分现象的发生；整洁是保住得分的充分条件，只有把正确的答案整洁的书写在答题纸上才能保证阅卷教 师正确的批改，在网上阅卷时整洁显得尤为重要。中考中的 数学填空题一般是容易题或中档题，数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在准、巧、快上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。 方法解析 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。 三、数形结合法 高考数学填空题怎么填 浙江泰顺县第一中学（325500）曾安雄 除了上海卷外，高考数学填空题是在高考试卷中的第二部分（或Ⅱ卷），在近两年的高考中其题量已稳定在4道，每道4分，计16分，占总分的%．填空题是数学高考中的三种题型之一，属于客观题，它与选择题不同的是没有偶然性，与解答题不同的是没有书写过程. 因此解这类问题需注意以下四项：审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小(巧)做． 一、审题要仔细 这是解答好填空题的前提，要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号，到理解题意、分析隐含条件、寻找简洁的解题方法，以及推理运算做到准确无误.例1 抛物线y ＝ax 2 (a ＞0) 的焦点坐标是_____. 解析 这是一道容易题，但若审题不仔细或推演粗心，极易把结果写 ,02a ?? ???，,04a ?? ???或10,2a ?? ?? ?．实际上，所给的抛物线属x 2 ＝2py 型，故应先化为标准式，得x 2 ＝ 1a y ，从而求得焦点为10,4a ?? ??? ． 例2(2002年北京高考题) 关于直角AOB ∠在平面α内的射影有如下判断：①可能是?0的角； ②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是?180的角．其中正确判断的序号是 （注：把你认为正确判断的序号都填上）． 解析：审题时要仔细，括号内提示：把你认为正确命题的序号都填上，有些同学只填其中的一个或两个等部分正确命题，则就被扣分；其实对于肯定一个命题，需要严格又缜密的的证明（可借助于课本中的正确命题而达到快速判断），而否定一个命题，只需举一反例即可．本题逐一判断，显然五种情形都有可能，故填①②③④⑤． 二．要求要看清 对要作答的要求要看清楚，如“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都．填上”、“结果保留π”等，由于填空题没有解答过程，没有步骤分，一笔失误则徒劳无功、前功尽弃． 例3 ⑴在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_____m (精确到． ⑵不等式x x 28 3312-->? ? ? ??的解集是___________． ⑶ (x ＋2)10 (x 2 －1)的展开式中x 10 的系数为_________（用数字作答）． ⑷把半径为3cm ，中心角为23 π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积是_______cm 3 (结果保留π)． ⑸如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中， 当底面四边形ABCD 满足条件____________时， 有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种 条件即可，不必考虑所有可能的情形．) ⑹关于函数f (x )=4sin(2x ＋ 3 π )(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍；三年级数学下册综合练习题大全
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