2020年中考数学押题卷01
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1． 3
2020-
的相反数是( ) A ．2020
3
- B ．
2020
3
C ．
3
2020
D ．3
2020
-
【解答】解：32020-的相反数是：3
2020
． 故选：C ．
2． 2019年10月1日上午某时刻，在央视新闻观看70周年阅兵直播人数达到789，749，891人，用四舍五入法精确到百万位可以表示成( ) A ．87.9010?
B ．87.910?
C ．87.8910?
D ．779.010?
【解答】解：789 749 891按四舍五入法精确到百万位的近似值用科学记数法表示为87.9010?， 故选：A ．
3． 如图是由五个大小相同的正方体组成的几何体，从左面看这个几何体，看到的图形的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由图可得，从左面看几何体有2列，第一列有2块，第二列有1块， ∴该几何体的左视图是：
故选：D ．
4． 如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ．
5． 一组数据4，5，6，4，4，7，x ，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是( ) A ．4，4
B ．5，4
C ．5，6
D ．6，7
【解答】解：Q 数据4，5，6，4，4，7，x ，5的平均数是5.5， (4564475)8 5.5x ∴+++++++÷=，
解得9x =，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，9排在正中间的是5，故中位数是5，
Q 在这组数据中4出现了三次，次数最多， ∴众数是4．
故选：B ．
6． 下列计算正确的是( )
A B ．222a a a +=
C ．(1)x y x xy +=+
D ．236()mn mn =
【解答】解：A
B 、23a a a +=，故此选项错误；
C 、(1)x y x xy +=+，正确；
D 、2336
()mn m n =，故此选项错误；
故选：C ．
7． 如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，分别以点B 和点C 为圆心，大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧相
交于D 、E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ．若2AC =，CG ，则CF 的长为( )
A ．
52
B ．2
C ．3
D ．
72
【解答】解：由作图过程可知：
DE 是BC 的垂直平分线， FG BC ∴⊥，CG BG =， 90FGC ∴∠=?， 90ACB ∠=?Q ， //FG AC ∴，
Q 点G 是BC 的中点， ∴点F 是AB 的中点，
FG ∴是ABC ?的中位线，
11
2122
FG AC ∴=
=?=， 在Rt CFG ?中，根据勾股定理，得
2CF ==．
答：CF 的长为2． 故选：B ．
8． 如图，//AB CD ，CP 交AB 于O ，AO PO =，若50C ∠=?，则A ∠的度数为( )
A．25?B．35?C．15?D．50?
【解答】解：//
AB CD
Q，CP交AB于O，
POB C
∴∠=∠，
50
C
∠=?
Q，
50
POB
∴∠=?，
AO PO
=
Q，
A P
∴∠=∠，
25
A
∴∠=?．
故选：A．
9．下列命题是真命题的是()
A．无限小数是无理数
B．相反数等于它本身的数是0和1
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【解答】解：A、无限小数不一定是无理数，故原命题是假命题；
B、相反数等于它本身的数是0，故原命题是假命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；
D、等边三角形是轴对称图形，故原命题是假命题；
故选：C．
10．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果每人分5本，则最后一个人分到的本数不足3本，则共有学生()人．
A．4B．5C．6D．5或6
【解答】解：设学生有x人，则本子共有(38)
x+本，
根据题意得：0(38)5(1)3
x x
+--<
…，
解得：
1 56
2
x <…，
x
Q为正整数，
6
x
∴=．即共有学生6人，故选：C．
11． 如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线2x =-．关于下列结论：①0ab <；②240b ac ->；③930a b c -+<；④40b a -=；⑤方程20ax bx +=的两个根为10x =，24x =-，其中正确的结论有( )
A ．①③④
B ．②④⑤
C ．①②⑤
D ．②③⑤
【解答】解：Q 抛物线开口向下， 0a ∴<，
22b
a
-
=-Q ， 4b a ∴=，0ab >， ∴①错误，④正确，
Q 抛物线与x 轴交于4-，0处两点，
240b ac ∴->，方程20ax bx +=的两个根为10x =，24x =-， ∴②⑤正确，
Q 当3x =-时0y >，即930a b c -+>， ∴③错误，
故正确的有②④⑤． 故选：B ．
12． 如图，矩形ABCD ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BG ，DG ，CG ．以下结论：①BE CD =；②180ABG ADG ∠+∠=；③BG DG ⊥；④若:2:3AB AD =，
则313BGD DGF S S ??=，其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：AE Q 平分BAD ∠， 45BAE ∴∠=?，
ABE ∴?是等腰直角三角形， AB BE ∴=，45AEB ∠=?， AB CD =Q ， BE CD ∴=，
故①正确；
45CEF AEB ∠=∠=?Q ，90ECF ∠=?， CEF ∴?是等腰直角三角形，
Q 点G 为EF 的中点， CG EG ∴=，45FCG ∠=?， 135BEG DCG ∴∠=∠=?，
在DCG ?和BEG ?中， BE CD BEG DCG CG EG =??
∠=∠??=?
， ()DCG BEG SAS ∴???． BGE DGC ∴∠=∠， BGE DGC ∠=∠Q ，
180ABG ADG ABC CBG ADC CDG ABC ADC ∴∠+∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=?，
故②正确；
360BAD ABG ADG BGD ∠+∠+∠+∠=?Q ， 90BGD ∴∠=?， BG DG ∴⊥
故③正确； :2:3AB AD =Q ， ∴设2AB a =，3AD a =，
DCG BEG ???Q ，
BGE DGC ∠=∠Q ，BG DG =，
90BGD ∠=?Q ，且BD ==，
BG DG ∴==， 2211324BDG S BG a ?∴=
= 2
3934
BDG S a ?∴=
， 过G 作GM CF ⊥于M ，
CE CF BC BE BC AB a ==-=-=Q ，
11
22
GM CF a ∴==，
21113
32224DGF S DF GM a a a ?∴==??=g g ，
2
39134
DGF S a ?∴=
， 313BDG DGF S S ??∴=，
故④正确； 故选：D ．
二、填空题(本大共4小题，每小题3分，满分12分)
13． 因式分解：2425m -= ． 【解答】解：原式(25)(25)m m =+-， 故答案为：(25)(25)m m +-．
14． 在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【解答】解：Q 在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个， ∴从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：
21
22224
=+++，
故答案为：
14
． 15． 如图，直线AB 与双曲线(0)k
y k x
=<交于点A ，B ，点P 是直线AB 上一动点，且点P 在第二象限，
连接PO 并延长交双曲线于点C ．过点P 作PD y ⊥轴，垂足为点D ．过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ．若点A 的坐标为(1,3)-，点B 的坐标为(,1)m ，设POD ?的面积为1S ，COE ?的面积为2S ．当12S S >时，点P 的横坐标x 的取值范围为 ．
【解答】解：(1,3)A -Q 在双曲线(0)k
y k x =<上，
133k ∴=-?=-．
Q 点(,1)B m 在3
y x =-上，
3m ∴=-，
观察图象可知：当点P 与A 或B 重合时，12S S =， 当点P 在点A 的上方或点B 的下方时，12S S <， 当点P 在线段AB 上时，12S S >，
∴点P 的横坐标x 的取值范围为31x -<<-．
故答案为31x -<<-．
16． 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在AD 上，且DE CD =，连接OE ，1
2
ABE ACB ∠=∠，若2AE =，则OE 的长为 ．
【解答】解：如图，作CH BE ⊥于H ，EF BD ⊥于F ．设BE 与AC 的交点为G ．
则90HBC BCH BHC ∠+∠=∠=?，
Q 四边形ABCD 为矩形，
AD BC ∴=，AB CD =，90ABC BAD ∠=∠=?，//AD BC ，AC BD = 90ABE CBH ∴∠+∠=?， ABE BCH ∴∠=∠，
1
2ABE ACB ∠=∠Q ，
BCH GCH ∴∠=∠，
BH GH ∴=，BC CG =，CBH CGH ∠=∠，
设AB x =，则ED CD AB x ===，
2AE =Q ，所以2AD AE ED x =+=+， 2CG CB x ∴==+， //AD BC Q ，
AEG CBH CGH AGE ∴∠=∠=∠=∠， 2AG AE ∴==， 4AC AG CG x ∴=+=+，
在Rt ABC ?中：222AB BC AC +=，
222(2)(4)x x x ∴++=+，解得16x =，22x =-（舍)，
6AB CD ∴==，8AD AC ==，10AC BD ==， AC Q 与BD 交于点O ， 5AO BO CO DO ∴====，
3sin 5AB EF BDA BD DE ∠=
==Q ，4
cos 5
AD DF BDA BD ED ∠===， 31855EF ED ∴==，424
55
DF ED ==
241555
OF OD DF ∴=-=-
= 在Rt EFO ?中：
22222118325
()()135525OE OF EF =+=+==，
OE ∴=
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17． （5分）计算011
|1|(3)()2cos602
π-----+?
【解答】解：原式1114(2)22
=-++-+? 3=．
18． （6分）先化简，再求值：222221
(2)24x x x x x +++÷+-，其中x 的值从不等式组40210x x +>??
-?
…的整数解中选取．
【解答】解：原式2222(2)(2)(2)
(2)(1)x x x x x x x ++-+=++g
22
2(1)(2)(2)(2)(1)x x x x x x +-+=++g
2(2)
x x
-=
， 40210x x +>??
-?
①
②…， 解①得：4x >-， 解②得：1
2
x …
， 故不等式组的解集为：142
x -<…
， 当2x =-，1-，0时，分式无意义， 故当3x =-时，原式2(32)10
33
?--=
=-．
19． （7分）随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为A ，B ，C ，D 四种类型（分别对应
送服务、送鲜花、送红包、送话语）．现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
【解答】解：（1）2025%80
÷=（人)，
答：该校共抽查了80名同学的暖心行动．
（2）
32 360144
80
??=?，
答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数为144?．
（3）
32
2400960
80
?=（人)，
答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．
20．（8分）某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B种水杯进价为每个12元，售价为每个20元
（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．
（2）该超市准备花费不超过1600元的资金购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A 种水杯数量的两倍．请设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）超市将A种水杯售价调整为每个m元，则单件利润为(15)
m-元，销量为[6010(25)](31010)
m m
+-=-个，依题意得：
(15)(31010)630
m m
--=，
解得：
122
m=，
224
m=，
答：为了尽量让顾客得到更多的优惠，22
m=．
（2）设购进A种水杯x个，则B种水杯(120)x
-个．设获利y元，
依题意得：
1512(120)1600 1202
x x
x x
+-
?
?
-
?
…
…
，
解不等式组得：
1 4053
3
x
剟，
利润(2515)(120)(2012)2960
y x x x
=-+--=+．
20
>
Q，
y
∴随x增大而增大，
当53
x=时，最大利润为：2539601066
?+=（元)．
答：购进A种水杯53个，B种水杯67个时获利最大，最大利润为1066元．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为(1,0)
-，
点A坐标为(0,2)．一次函数y kx b
=+的图象经过点B、C，反比例函数
m
y
x
=的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）在x轴上找一点M，使得AM BM
+的值最小，求出点M的坐标和AM BM
+的最小值．
【解答】解：（1）过点B作BF x
⊥轴于点F，
Q点C坐标为(1,0)
-，点A坐标为(0,2)．
2
OA
∴=，1
OC=，
90BCA ∠=?Q ， 90BCF ACO ∴∠+∠=?，
又90CAO ACO ∠+∠=?Q ， BCF CAO ∴∠=∠，
在AOC ?和CFB ?中 90CAO BCF AOC CFB AC BC ∠=∠??
∠=∠=???=?
()AOC CFB AAS ∴???， 2FC OA ∴==，1BF OC ==， ∴点B 的坐标为(3,1)-，
将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：13
k =-， 解得：3k =-，
故可得反比例函数解析式为3
y x
=-；
将点B 、C 的坐标代入一次函数解析式可得：31
0k b k b -+=??-+=?
，
解得：12
12
k b ?
=-????=-??．
故可得一次函数解析式为11
22
y x =--．
（2）作点A 关于x 轴的对称点A '，连接B A '与x 轴 的交点即为点M ，
(0,2)A Q ， (0,2)A ∴'-，
设直线BA'的解析式为y ax b
=+，将点A'及点B的坐标代入可得：
31
2
a b
b
-+=
?
?
=-
?
，
解得：
1
2
a
b
=-
?
?
=-
?
．
故直线BA'的解析式为2
y x
=--，
令0
y=，可得20
x
--=，
解得：2
x=-，
故点M的坐标为(2,0)
-，
AM BM BM MA BA
+=+'='=
综上可得：点M的坐标为(2,0)
-，AM BM
+的最小值为．
22．（9分）四边形ABCD是O
e的内接四边形，AB AC
=，BD AC
⊥，垂足为E．（1）如图1，求证：2
BAC DAC
∠=∠；
（2）如图2，点F在BD的延长线上，且DF DC
=，连接AF、CF，求证：CF CB
=；
（3）如图3，在（2）的条件下，若10
AF=，BC=sin BAD
∠的值．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得：DAC CBD
∠=∠，
BD AC
⊥
Q，
90
AEB BEC
∴∠=∠=?，
90
ACB CBD
∴∠=?-∠，
AB AC
=
Q，
90
ABC ACB CBD
∴∠=∠=?-∠，
18022
BAC ABC CBD
∴∠=?-∠=∠，
2BAC DAC ∴∠=∠；
（2）证明：DF DC =Q ， FCD CFD ∴∠=∠， BDC FCD CFD ∴∠=∠+∠， 2BDC CFD ∴∠=∠，
BDC BAC ∠=∠Q ，2BAC CAD ∠=∠， CFD CAD ∴∠=∠， CAD CBD ∠=∠Q ， CFD CBD ∴∠=∠， CF CB ∴=；
（3）解：AC BF ⊥Q ，CF CB =，
BE EF ∴=， CA ∴垂直平分BF ， 10AB AF AC ∴===
设AE x =，10CE x =-，
在Rt AEB ?中，222AB AE BE -=， 在Rt BEC ?中，222BE BC CE =-， 2222AB AE BC CE ∴-=-，
BC =Q
222210(10)x x ∴-=--，
解得6x =， 6AE ∴=，4CE =，
8BE ∴==，
DAE CBE ∠=∠Q ， tan tan DAE CBE ∴∠=∠， ∴
DE CE
AE BE
=
，即468DE =， 3DE ∴=，
在Rt AED ?中，222AD AE DE =+
AD ∴=，
过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，如图3所示：
ABD ∴?的面积11
22
AB DH BD AE =
=g g ， 11BD BE DE =+=Q ， 11633105
BD AE DH AB ?∴=
==g ，
在Rt AHD ?中，33
sin
DH BAD AD ∠=== 23． （9分）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中(3,0)A ，(1,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线1y kx b =+经过点A ，C ，连接CD ．
（1）求抛物线和直线AC 的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P ，使ACP ?的面积是ACD ?面积的2倍，求点P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90?得到线段1QA ，且1A 好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把(3,0)A ，(1,0)B -代入2y x bc c =-++中，得930
10b c b c -++=??--+=?
，
∴23b c =??=?
，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++；
当0x =时，3y =， ∴点C 的坐标是(0,3)，
把(3,0)A 和(0,3)C 代入1y kx b =+中，得11303k b b +=??=?
∴1
1
3k b =-??=?
∴直线AC 的解析式为3y x =-+；
（2）如图1，连接BC ，
Q 点D 是抛物线与x 轴的交点，
AD BD ∴=， 2ABC ACD S S ??∴=， 2ACP ACD S S ??=Q ，
ACP ABC S S ??∴=，此时，点P 与点B 重合，
即：(1,0)P -，
过B 点作//PB AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①，
Q 抛物线的解析式为223y x x =-++②，
联立①②解得，10x y =-??=?（是点B 的纵横坐标）或4
5x y =??=-?
(4,5)P ∴-，
∴即点P 的坐标为(1,0)-或(4,5)-；
（3）如图2，①当点Q 在x 轴上方时，设AC 与对称轴交点为Q '，
由（1）知，直线AC 的解析式为3y x =-+， 当1x =时，2y =， Q '∴坐标为(1,2)， 2Q D AD BD '===Q ， 45Q AB Q BA ''∴∠=∠=?， 90AQ B '∴∠=?， ∴点Q '为所求，
②当点Q 在x 轴下方时，设点(1,)Q m ， 过点1A '作1A E DQ '⊥于E ， 190A EQ QDA '∴∠=∠=?，
90DAQ AQD ∴∠+∠=?，
由旋转知，1AQ A Q '=，190AQA '∠=?， 190AQD A QE '∴∠+∠=?，
1DAQ A QE '∴∠=∠， 1()ADQ QEA AAS '∴???，
2AD QE ∴==，1DQ A E m '==-，
∴点1A '的坐标为(1,2)m m -+-+，
代入223y x x =-++中， 解得（舍)3m =-或0m =（舍)， 3DQ ∴=，
Q ∴的坐标为(1,3)，
∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,3)-．