二元一次方程组及其应用
课时8.二元一次方程组及其应用
【课前热身】
1.在方程3x- y=5中,用含x的代数式表示y,则y=_________;当x=3时,y=_____.
2.如果x=3,y=2是方程6x+by=32的解,则b=_____.
3.请写出一个适合方程3x-y=1的一组整数解:________.
4.如果和是同类项,则x、y的值是()
a.x=-3,y=2
b.x=2,y=-3
c.x=-2,y=3
d.x=3,y=-2
5.若关于x,y的方程组的解是,则为()
a.1b.3c.5d.2
【知识整理】
1.二元一次方程:含有________未知数(元),并且未知数的次数都是____的整式方程.
2.二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.
3.二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解,记作.
4.二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解.
5.解二元一次方程的方法步骤:
二元一次方程组___________方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有_______消元法和_______消元法两种.
6.易错知识辨析:
(1)二元一次方程有无数个解,它的解是一组未知数的值;
(2)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解,是一对确定的数值;
(3)利用加减法消元时,一定注意要各项系数的符号.
【例题讲解】
例1解下列方程组:
(1)(2)
例2某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助,资助一名中学生的学习费用需要a元,一名小学生的学习费用需要b元,某校学生积极捐款,初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表:
初一年级初二年级初三年级
捐款数额(元)4000 4200 7400
捐助贫困中学生人数(名) 2 3
捐助贫困小学生人数(名) 4 3
(1)求a、b的值;
(2)初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用,请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中.(不需写出计算过程)
例3若方程组与方程组的解相同,求m、n的值.
【中考演练】
1.在方程3x+4y=16中,当x=3时,y=_____;若x、y都是正整数,这个方程的解为_____.
2.若是方程组的解,则.
3.如果|x-2y+1|+|2x-y-5|=0,则x+y的值为________.
4.下列方程组中,是二元一次方程组的是()
a. b.c.d.
5.关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解,那么m的值是()
a.2 b.-1 c.1 d.-2
6.某校九年级(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表:
捐款(元) 1
3 4
2
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组
a.b.c.d.
7.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=1,y=kx-9,有公共解,则k的取值为()
a、3
b、-3
c、-4
d、4
8.解方程组时,一学生把c看错而得,而正确的解是,那么、、
的值是()
a、不能确定
b、a=4,b=5,c=-2[
c、a、b不能确定,c=-2
d、a=4,b=7,c=2
9.解方程组:
(1) (2)
(3) (4)
10.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元;种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元?
11.在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:
甲同学说:“二环路车流量为每小时10000辆”;
乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”;
丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”;
请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少?
12.某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同,安全检查中,对4道门进行了测试.当同时开启一道正门和两道侧门,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生.
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由.
13.某同学在a、b两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和书包单价之和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.
①求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?
②某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市a所有商品打八折销售,超市b全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的这两样物品,你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?
二元一次方程组的应用 【和差倍分】 1.甲、乙两人各有书若干本,如果甲从乙处拿来10本,那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍;如果乙从甲处拿来10本,那么乙所有的书与甲所剩的书相等,问甲、乙两人原来各有几本书? 2.某书店的两个下属分店共有某种图书5000册,若将甲书店的该种图书调出400册给乙书店,这样乙书店该种图书的数量仍比甲书店该种图书的数量的一半还少400册.求这两个书店原有该种图书各多少。 3.甲乙两盒中各有一些小球,如果从甲盒中拿出10个放入乙盒,则乙盒球就是甲盒球数的6倍,若从乙盒中拿出10个放入甲盒,乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个,求甲乙两盒原来的球数各是多少? 【行程问题】 1.甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走,当他们从某处同时出发背向行走时,每30秒相遇一次;同向行走时,每隔4分钟相遇一次,设甲、乙的速度分别为每分钟x米,每分钟y米,则可列方程组是 2.甲、乙两人在东西方向的公路上行走,甲在乙的西边300米,若甲、乙两人同时向东走30分钟后,甲正好追上乙;若甲、乙两人同时相向而行,2分钟后相遇,问甲、乙两人的速度是多少?
3.一辆汽车从A地驶往B地,前1/3路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时? 4.某铁桥长1 000米,一列火车从桥上通过,从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间,整列火车完全在桥上的时间为40秒钟,求火车车身的总长和速度。 5.甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步,相向而行每隔两分钟相遇一次;同向而行,每隔6分相遇一次,已知甲比乙跑的快,求甲乙每分钟跑多少圈? 6.一列快车长168米,一列慢车长184米,如果两车相同而行,从相遇到离开需4秒;如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16秒,求两车的速度。 7.甲、乙二人在上午8时,自A、B两地同时相向而行,上午10时相距36km,?二人继续前行,到12时又相距36km,已知甲每小时比乙多走2km,求A,B两地的距离。 【组合问题】 1.某校运动员分组训练,若每组7人,余3人;若每组8人,则缺5人;设运动员人数为x 人,组数为y组,则列方程组是
(时间:45分钟满分:100分)姓名_________________ 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.下列不是二元一次方程组的是() B. 4x + 3y = 6 2x + y = 4 x + v = 4 c. x-y = 4 3x + 5 y = 25 D. x + 10v = 25 2.由舟=1,可以得到用x表示y的式子是3 2 () 2x — 2 A. y = ------- 3 y = ---- 2 ?3 [3x + 2v = 7^ t"的解是( 4x-y = 13 C. 3.方程组[ x = -3 c. b = -l 4. x-y = \ 2x + y = 5 x = - l A?(a y = 2 X = 1 c. [y = 2 2x 1 y = - 「 3 3 2x D. y = 2 ---- ? 3 B. A =3 B. ly = -1 D. F _ I〉— 的解是( x = 2 B. < y = j x = 2 D. 二.填空题(每小题6分,共24分) 5 ?在3x + 4y = 9 中,如果2y = 6,那么x = ______________________________________________ 。 X = 1 6?已知]。是方程3〃认一),=一1的解,则 y = -8 m = ______ o x= 1 7.若方程mx + ny = 6的两个解是] , y = l x = 2 < J 贝0 m = ____________ , n = ______________________________ 。 y = _l 8 .如果\x-2y + l\ = \x+y-5\ = 0 ,那么A=,y= _____________ o 三、解下列方程组(每小题8分,共16分) —3 9. 2 3 m n 入 ---- =3 3 4 3(x+y)_4(x_y) = 4 x+y x-y , 2 6 四、综合运用(每小题10分,共40分) “?用16元买了60分.80分两种邮票共22枚。
1、某中学组织初一学生春游,原计划租用45座汽车若干辆,但有15人没有座位:若租用同样数量的60座汽车,则多出一辆,且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元,60座客车每日租金为每辆300元。 (1)初一年级人数是多少?原计划租用45座汽车多少辆? (2)若租用同一种车,要使每个学生都有座位,怎样租用更合算? 2、某酒店的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天25元,两人间每人每天 35元,一个50人的旅游团到了该酒店住宿,租了若干间客房,且每间客房恰好住满,一天共花去1510元,求两种客房各租了多少间? 3、某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小相同,安全检查中,对4道门进行了测试:当同时开启正门和两道侧门时,2分钟可以通过560名学生,当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟可以通过800名学生。 (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况下时因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问通过的这4道门是否符合安全规定?请说明理由。 4、现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或做22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制成盒身,多少张铁皮制成盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
5、为了保护生态环境,我省某山区县响应国家“退耕还林”号召,将该县某地一部分耕地改为林地,改变后,林地面积和耕地面积共有180平方千米,耕地面积是林地面积的25%,求改变后林地面积和耕地各为多少平方千米? 6、王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元,其中种茄子每亩用去了1700元,获纯利2600元;种西红柿每亩用去了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元? 7、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售,该公司的加工能力是:每天精加工6吨或者粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后为2000元,那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元? 8、在一次足球选拔赛中,有12支球队参加选拔,每一队都要与另外的球队比赛一次,记分规则为胜一场记3分,平一场记1分,负一场记0分。比赛结束时,某球队所胜场数是所负的场数的2倍,共得20分,问这支球队胜、负各几场? 9、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款,共计136万元,每一年需付利息16.84万元,甲种贷款的年利率是12%,乙种贷款的年利率是13%,问这两种贷款的数额各是多少?
《二元一次方程组的应用》典型例题 例1 小明家去年结余5000元,估计今年可结余9500元,并且今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少? 例2 要配制成浓度为30%的烧碱溶液50千克,需要浓度为10%和60%的两种烧碱溶液多少千克? 例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶,由于行驶中有一坡度均匀的小山,该汽车由甲地到乙地需用2小时30分,而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时,上坡的速度为20千米/时,下坡的速度为40千米/时,求从甲地到乙地的行程中,平路、上坡路、下坡路各多少千米? 例4 某中学初三(1)班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品,奖励参加艺术节活动的同学,已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件,而购买甲种纪念品的件数不少于10件,且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱,那么可有几种购买方案?每种方案中,购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件? 例5 某工程队计划在695米线路上分别装25.8米和25.6米长两种规格的水管共100根,问这两种水管各需多少根? 例6 若甲、乙两库共存粮95吨,现从甲库运出存粮的3 2,从乙库运出存粮的40%,那么乙库所余粮食是甲库的2倍,问甲、乙两库原各存多少吨粮食? 例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发后经2.5小时相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发后经3小时相遇;求甲、乙两人的速度.
1.在方程中,如果用含有的式子表示,则 . 2.已知:21 x y =??=?是方程kx-y=3的解,则k 的值是( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.已知二元一次方程3x -y=1,当x=2时,y 等于( ) A .5 B .-3 C .-7 D .7 4.下列是二元一次方程的是 ( ) A .36x x -= B .3x=2y C .10x y -= D .23x y xy -= 5.方程2x ﹣3y=4,,,2x+3y ﹣z=5,x 2 ﹣y=1中,是二元一次方程 的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.已知满足方程kx ﹣2y=1,则k 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6 7. 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设 男生有x 人,女生有y 人,根据题意,列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 8.方程组的解是( ) A . B . C . D . 9.方程组525x y x y =+??-=? 的解满足方程x +y -a=0,那么a 的值是 A .5 B .-5 C .3 D .-3 427x y -=x y y =x y 523x 2y 20+=??+=?x y 522x 3y 20+=??+=? x y 202x 3y 52+=??+=?x y 203x 2y 52 +=??+=?x y 60x 2y 30+=??-=? x 70y 10=??=-?x 90y 30=??=-? x 50y 10=??=?x 30y 30=??=?
10.如果21x y -++(2x -y -4)2=0,则x y = . 11.已知21 x y ==-???是二元一次方程2x+my=1的一个解,则m= . 12.将方程3y –x = 2 变形成用含y 的代数式表示x ,则 x=________. 13.梯形上底的长是x ,下底的长是15,高是6,梯形面积y 与上底长x 之间的关系式是 14.已知23 x y =??=?是方程5x-ky=7的一个解,则k= . 15.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知一束鲜花的价格是____ 元. 16.已知方程组5354x y ax y +=??+=?和2551x y x by -=??+=? 有相同的解,则a +b 的值为 . 17.一张试卷共25道题,做对一道题得4分,做错或不做倒扣1分,小红做完试卷得70 分,则她做对了 道题. 18.解二元一次方程组:3x 2y 192x y 1+=??-=? . 19.解方程组: (1)???=++=221y x y x (2)? ??-=-=-532425y x y x
二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下: 一、数字问题 例1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数. 分析:设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示: 解方程组 109 101027 x y x y y x x y +=++ ? ? +=++ ? ,得 1 4 x y = ? ? = ? ,因此,所求的两位数是14. 点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x的方程.一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之. 二、利润问题 例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少? 分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10. 解方程组 0.920% 0.810 x y y x y -= ? ? -= ? ,解得 200 150 x y = ? ? = ? ,