二次函数的实际应用
1. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处
理，另一种是通过企业的自身设备进行处理.
某企业去年每月的污水量均为 12000吨，由于
污水厂处于调试阶段， 污水处理能力有限， 该企业投资自建设备处理污水， 两种处理方式同
时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量
y 1 （吨）与月份x （1 之间满足的函数关系如下表： 月份艺（月） 1 2 3 4 5 6 输送的污水量yi （吨） 12000 6000 4000 3000 2400 2000 7至12月，该企业自身处理的污水量 y 2 （吨）与月份x （ 7w x < 12,且x 取整数）之间满足 二次函数关系式为 y 2=ax 2+c （a ^ 0） ?其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费 1 用：Z 1 （元）与月份x 之间满足函数关系式： z 1 x ，该企业自身处理每吨污水的费用： 3 1 z 2 （元）与月份x 之间满足函数关系式：z 2= x x 2 ； 7至12月，污水厂处理每吨污 4 12 水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5元. （1） 请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识， 分别 直接写出 屮,y 2与x 之间的函数关系式； （2） 请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W （元）最多，并求出这个最多费用； （3 ）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全 部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 吨污水处理的费用将在去年 12月份的基础上增加（a - 30） %为鼓励节能降耗，减轻企业 负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%勺补助.若该企业每月的污水处理费用为 18000 a %同时每 元，请计算出 （参考数据： y 1 【答案】 a 的整数值. 则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系: 将（1，12000）代入得：k=1X 12000=12000， 12000 ?- y 1 (1w x w 6,且 x 取整数)。 x 根据图象可以得 出： 图象过( 7, 10049), (12, 10144)点，代入 y 2=ax +c 得: 49a+c=10049 “口 a=1 2 ，解得：2 。 144a+c=10144 Jc=10000 2 .. ??? y 2=x +10000 (7w x w 12,且 x 取整数)。 (2 )当1w x w 6，且x 取整数时： 2 2 =-1000x +10000x - 3000= - 1000 (x - 5) +2200。 ?/ a =- 1000V 0, 1 w x w 6,「.当 x =5 时，W 最大=22000 (元)。 当7w x w 12时，且x 取整数时： 2 2 1 2 V=2X( 12000 - y 1)+1.5y 2=2X( 12000 - x - 10000) +1.5 (x +10000) =- x +1900。 2 1 T a =-_v 0，对称轴为x =0,当7w x w 12时，W 随 x 的增大而减小， 2 ???当 x =7 时，W 最大=18975.5 (元)。 ?/ 22000 > 18975.5 , ?去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是 22000元。 (3) 由题意得：12000 (1+a % x 1.5 x [1+ (a -30) %]x (1 - 50% =18000, 设 t =a % 整理得：10t 2 +17t - 13=0,解得：t= 17 土」 809 。 20 答：a 整数值是57。 【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质， 解一元二次方程。 【分析】(1)利用表格中数据可以得出 xy =定值，则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关 系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过( 7, 10049), (12, 10144)点，求出二次函 数解析式即可。 (2)利用当1w x w 6时，以及当7w x w 12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。 (3)利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a %同时每吨污水处理的 费用将在去年12月份的基础上增加 (a 一 30)%得出等式12000( 1+a %)x 1.5 x [1+ ( a -30 ) %] x( 1-50%) =18000,进而求出即可。 2 (2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有 20辆汽车?据统计，当每辆车 的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800元.设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元.(日收 益=日租金收入一平均每日各项支出) (1) _______________________________________________ 公司每日租出x 辆车时，每辆车 的日租金为 ________________________________________________ 元(用含x 的代数式表示)； (2) 当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3) 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 809 ?28.4 ? t 仟 0.57 , t 2~- 2.27 (舍去) W=y 1 z 1 + 12000 -y 〔 z 2= 12000 x 」x+ 12000 2 . 12000 - 3 x 4 1 答案】解：(1) 1400 - 50x. (2)根据题意得； 严(-50X+1400) -4800=- SO^+UOOx-<1800=- 50 (x- M) 2+5000fl 当｝J=14时，在范围內，y有最大值5000? 二当日租出14辆时，租赏公司日收益最大，最大值500C元. (3)要使租贺公司日收益不盈也不亏，即* y-Oi即：50 (x- 14) 3+5000=0? 解得X]=24J 5^=4, 丁沪24不合题意，舍去. 二当日租出4辆时，租巒公司日收益不盈也不亏n 【着点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二徐方程. 【分析】(1)丁某汽车租赏公司拥育加辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为4叩元时，可全部租出, 当每辆车的日租金每増加50元，未租出的车将増加1辆， 二当全部齐租出时，銅租金为’ 400+20x50=1400元， 二公司每日租出孟辆车时，每辆车的日租金为；1400 - 50x. (2)根据已知得到的二次函数栄系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可° ⑶ 要使租贯公司日收益不盘也不亏即：y-50 (x-14) 2+50000,求出x即可- 3. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位: 的点； (2) 选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式； (3) ①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t分别为t l, t2 (t i v t2)时，对应s 的值分别为s1,s2,请比较2与J的大小，并解释比较结果的实际意义. 【答案】解：(1)描点图所示: (2)由散点图可知该函数为二次函数。 设二次函数的解析式为：s =at 2+ bt + c , ???抛物线经过点(0， 0) , ?'? c=0。 又由点(0.2 , 2.8 ), (1, 10)可得： O.04a+0.2b=2.8，解得: a= —5 。 a+b=10 L b=15 经检验，其余各点均在 s =— 5t 2+15t 上。 ???二次函数的解析式为： s = -5t 2，15t 。 (3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ??? —5「5匸-5-2罟，?当t = 3时，滑行距离最大，为：。 因此，刹车后汽车行驶了 45 45 米才停止。 4 ②??? s =-5t 2 15t ，??? s = -5t 12 - 15t 1? s 2 =-5t 22 - 15t 2。 ??? tKt 2，.?.s1 -s 2 = -5t [ 15 5t 2 15 =5 t 2 -t [ > 0 O A s1 > s2。 t 1 t 2 t 1 t 2 其实际意义是刹车后到 t 2时间内的平均速到t 1时间内的度小于刹车后平均速度。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系， 二次函数的性质和 应用，不等式的应用。 【分析】(1 )描点作图即可。 (2) 首先判断函数为二次函数。 用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解 析式。 (3) 将函数解析式表示成顶点式(或用公式求) ，即可求得答案。 (4) 求出s1与s2，用差值法比较大小。 t 1 t 2 2 s 1 = -5t 12 +15t 1 t 1 t 1 15, 2 ；=气叫汎15。 4. (2012江苏常州7分)某商场购进一批 L 型服装(数量足够多)，进价为40元/件， 以60元/件销售，每天销售 20件。根据市场调研，若每件每降 1元，则每天销售数量比原 来多3件。现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动，每件降价 x 元(x 为正整数)。在促 销期间，商场要想每天获得最大销售利润， 每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？ (注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差) 【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润 Z =(60 — 40— x ) (20+ 3x ) =— 3x 2 + 40x +400 ???当x= —2= —"40=6 2时，函数Z 取得最大值。 2a 」 3 2 2 ?/ x 为正整数，且7-62 <62-6 , 3 3 ???当x =7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为— 3 ? 72 + 40 ? 7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价 7元，每天最大销售毛利润为 533元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值，找出 x 最接近最值点的整数值即可。 5. (2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品， 每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000元?在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种 产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10元，但销售单价 均不低于2600元. (1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600元？ (2) 设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y (元)与x (件)之间的 函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. (3) 该公司的销售人员发现： 当商家一次购买产品的件数超过某一数量时， 会出现随着一 次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况 ?为使商家一次购买的数量越多， 公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 ?(其它销售条件不变) 【答案】 解：(1)设件数为x ，依题意，得3000 — 10 (x — 10) =2600，解得x =50。 答：商家一次购买这种产品 50件时，销售单价恰好为2600元。 (2 )当 0 < x < 10时，y = (3000 — 2400) x =600x ; 当 10v x w 50时，y =[3000 — 10 (x — 10)— 2400] x ，即 y =— 10x +700x ； 当x >50时，y = (2600—2400) x =200x 。 600x(0 _x -10 且x 为整数) ??? y 工三一 10x 2 700x(10< x 乞50,且x 为整数)。 200x(x > 50,且x 为整数) 此时，销售单价为 3000— 10 (x — 10) =2750元, 答：公司应将最低销售单价调整为 2750元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】(1 )设件数为X ,则销售单价为 3000-10 (x -10 )元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。 (2)由利润丫=销售单价X 件数， 及销售单价均不低于2600元，按0w x w 10, 10v x w 50 , x > 50三种情况列出函数关系式。 (3 )由(2)的函数关系式，禾U 用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值 时x 的 值，确定销售单价。 6. (2012四川巴中9分)某商品的进价为每件 50元，售价为每件60元，每个月可卖 2 (3)由y =— 10x +700x 可知抛物线开口向下，当 700 2 -10 =35 时, 利润y 有最大值, 出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)。设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元， (1) 求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每件商品的利润为：(60 — 50 + x)元，总销量为:(200-10 X)件， 2 商品利润为：y= (60—50 + x) (200 —10x) =—10X + 100X+ 2000。 ???原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，??? 0v x w 12。 2 2 (2)v y=—10x + 100X+ 2000= —10 (x—5) +2250, ???当x=5时，最大月利润y=2250。 答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】(1 )根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。 (2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式(或用公式法) ，从而得出当 x=5时得出y的最大值。 7. (2012辽宁锦州10分)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元. 调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨.了x元时(x为正 整数)，月销售利润为y元? (1 )求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围? (2)每件玩具的售价.定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ (3)每件玩具的售价.定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：(1)依题意得y =(30 x -20)(230 -10x) =-10x2 130x 2300 自变量x的取值范围是：0v x w 10且x为正整数。 (2)当y=2520 时，得-10x2130x 2300 = 2520, 解得X1=2,X2=11 (不合题意，舍去)。 当x=2 时，30+x=32。 ?每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。 (3)y - -10x2 130x 2300 - -10(x -6.5)2 2722.5 ?/ a=-10 v 0 ???当x=6.5 时，y 有最大值为2722.5。 ?/ 0 v x w 10且x为正整数， ???当x=6 时，30+x=36, y=2720, 当x=7 时，30+x=37, y=2720。 ?每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。 最大的月利润是2720元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】(1)根据销售利润=销售量X销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数，所以x>0;因为每件玩具售价不能高于40元，所以x w 40 —30=10。故自变量x的取值
相关主题
文本预览