高三数学二轮专题复习教案――数列
一、本章知识结构:
二、重点知识回顾
1.数列的概念与表示方法
(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.
(2)表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.
(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列.
(4)n a与n S的关系:
1
1
(1)
(2)
n
n n
S n
a
S S n
-
=
?
=?
-
?≥.
2.等差数列和等比数列的比较
(1)定义:从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列;从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列.
(2)递推公式:110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ,·,,.
(3)通项公式:111(1)n n n a a n d a a q n -*
=+-=∈N ,,.
(4)性质
等差数列的主要性质:
①单调性:0d ≥时为递增数列,0d ≤时为递减数列,0d =时为常数列. ②若
m n p q
+=+,则
()
m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ,,,.特别地,当2m n p +=时,有
2m n p
a a a +=.
③
()()
n m a a n m d m n *-=-∈N ,.
④232k k k k k S S S S S --,,,…
成等差数列.
等比数列的主要性质: ①单调性:当
1001
a q ?
<,
或101a q >??>?时,为递增数列;当101a q ?>?,,,或1001a q >??<
列;当0q <时,为摆动数列;当1q =时,为常数列. ②若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··,,,.特别地,若2m n p +=,则2m n p
a a a =·.
③(0)n m n
m a q m n q a -*=∈≠N ,,.
④232k k k k k S S S S S --,,,…,当1q ≠-时为等比数列;当1q =-时,若k 为偶数,不是等比数列.若k 为奇数,是公比为1-的等比数列. 三、考点剖析
考点一:等差、等比数列的概念与性质 例1. (2008深圳模拟)已知数列
.
12}{2n n S n a n n -=项和的前
(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求数列.|}{|n n T n a 项和的前
解:(1)当111112,12
11=-?===S a n 时;、
当
.
213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时,
.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、
(2)令.
6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N
当
2
212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时;
当|
|||||||||,67621n n
a a a a a T n ++++++=> 时
n
a a a a a a ----+++= 87621
.
7212)12()6612(222226+-=---??=-=n n n n S S n
综上,
?????>+-≤-=.6,7212,6,122
2
n n n n n n T n
点评:本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意n =1时情况,在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论,体现了分类讨论的数学思想. 例2、(2008广东双合中学)已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且35a =,15225S =. 数列}{n b 是等比数列,32325,128b a a b b =+=(其中1,2,3,n =…).
(I )求数列}{n a 和{}n b 的通项公式;()记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和. 解:(I )公差为d ,
则???=?+=+,22571515,5211d a d a 1
2,
2,
11-=??
?==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….
设等比数列}{n b 的公比为q , ?
????=?=,128,
82
333q b q b b 则 .2,83==∴q b
n n n q b b 233=?=∴-(1,2,3,n =)
….
(),
2)12(n n n c ?-=
2323252(21)2,
n n T n ∴=+?+?+
+-?
.
2)12(2)32(2523221432+?-+?-++?+?+=n n n n n T
作差:1
15432)12(22222++?--+++++=-n n n n T
311
2(12)2(21)212n n n -+-=+--?-
31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---?=+--+162(23)n n +=---? 1(23)26n n T n +∴=-?+(1,2,3,n =)
….
点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问,求前n 项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现了数学的转化思想。 考点二:求数列的通项与求和
例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为 解:前n -1 行共有正整数
1+2+…+(n -1)个,即22
n n
-个,因此第n 行第3 个
数是全体正整数中第22
n n
-+3
个,即为26
2n n -+.
点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n 个图形包含()
f n 个“福娃迎迎”,则
(5)f =
;()(1)f n f n --=____
解:第1个图个数:1 第2个图个数:1+3+1 第3个图个数:1+3+5+3+1 第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, 所以,f (5)=41
1 2 3 4 5 6
f(2)(1)=4 ,f(3)(2)=8,f(4)(3)=12,f(5)(4)=16
()(1)f n f n --=4(1)n -
点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力,分析问题和解决问题的能力,本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式,可以转化递推公式来求解,体现了转化与化归的数学思想。 考点三:数列与不等式的联系
例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列{}n a 的首项为
3
11=
a ,公比q 满足
10≠>q q 且。又已知1a ,35a ,59a 成等差数列。
(1)求数列{}n a 的通项 (2)令n
a n
b 13log =,求证:对于任意n N *∈,都有1223
1
1111 (1)
2n n b b b b b b +≤+++
(1)解:∵
315
259a a a ?=+ ∴
24
111109a q a a q =+ ∴
4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴
1
3q =
∴113n n
n a a q --==
(2)证明:∵
1
33log log 3n
a n
n b n === , 11111
(1)1n n b b n n n n +==-
++
∴1223
1111111
111
...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-+
+
-=-++
12231
1111
...1
2n n b b b b b b +∴≤+++
点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(2)问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由n 的范围证出不等式。
例6、(2008辽宁理) 在数列||n a ,||n b 中,a1=2,b1=4,且1n n n a b a +,,成等差数列,
11
n n n b a b ++,,成等比数列(n ∈*
N )
(Ⅰ)求a2,a3,a4与b2,b3,b4,由此猜测||n a ,||n b 的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:1122
1115
12n n a b a b a b +++<
+++…. 解:(Ⅰ)由条件得
2
111
2n n n n n n b a a a b b +++=+=,由此可得
2233446912162025
a b a b a b ======,,,,,.
猜测
2
(1)(1)n n a n n b n =+=+,.
用数学归纳法证明:
①当1时,由上可得结论成立. ②假设当时,结论成立,即
2
(1)(1)k k a k k b k =+=+,,
那么当1时,
22
2
21122(1)(1)(1)(2)(2)k
k k k k k
a a
b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,.
所以当1时,结论也成立. 由①②,可知
2
(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立.
(Ⅱ)11115
612a b =<
+.
n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+.
故
112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??
+++<++++ ?+++??+??…… 111111116223341n n ??=
+-+-++- ?+??… 111111562216412n ??=
+-<+=
?+??
综上,原不等式成立.
点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.
例7. (2008安徽理)设数列{}n a 满足3
*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数
(Ⅰ)证明:[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈;
(Ⅱ)设1
03c <<
,证明:1*
1(3),n n a c n N -≥-∈; (Ⅲ)设
103c <<
,证明:
22
2*
122
1,13n a a a n n N c ++
>+-
∈-
解: (1) 必要性 :120,1a a c ==-∵∴ ,
又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈ 充分性 :设 [0,1]c ∈,对*
n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈
当1n =时,10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥ 则
3
1111
k k a ca c c c +=+-≤+-=,且
3
1110
k k a ca c c +=+-≥-=≥
1[0,1]
k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*
n N ∈成立
(2) 设
1
03c <<
,当1n =时,10a =,结论成立
当2n ≥ 时, 32
11111,1(1)(1)
n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴
1
03C <<
∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥
113(1)n n a c a --≤-∴ 211
12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴
1*1(3)()
n n a c n N -≥-∈∴
(3) 设
103c <<
,当1n =时,212
0213a c
=>-
-,结论成立
当2n ≥时,由(2)知11(3)0n n a c -≥->
2
1212(1)1
(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴
22
22
2
21
12212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++
+∴
2(1(3))2
111313n c n n c c -=+->+--- 点评:本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意,加强训练。
考点四:数列与函数、概率等的联系 例题8.. (2008福建理) 已知函数
321
()2
3f x x x =+-.
(Ⅰ)设{}是正数组成的数列,前n 项和为,其中a1=3.若点2
11(,2)
n n n a a a ++-(n ∈N*)
在函数′(x)的图象上,求证:点()也在′(x)的图象上;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(1)内的极值. (Ⅰ)证
明:因为
321
()2,
3f x x x =+-所以f
′(x)2+2x,
由点211(,2)(N )
n n n a a a n +
++-∈在函数′(x)的图象上,
又
0(N ),
n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=
所以
2(1)
32=22n n n S n n n -=+
?+,又因为f
′(n)2+2n,所以()
n S f n '=
,
故点(,)n n S 也在函数′(x)的图象上. (Ⅱ)解:
2()2(2)f x x x x x '=+=+,
由()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而 ①当
2
12,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,此时()f x 无极小值;
②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值; ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.
例9 、(2007江西理)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数
列的概率为( ) A. B.
C.
D.
x (-∞2) -2 (-2,0) 0 (0∞) f ′(x) + 0
-
+
f(x)
↗
极大值 ↘ 极小值 ↗
解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个,共有18个,
成等差数列的概率为
,选B
点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复。 考点五:数列与程序框图的联系
例10、(2009广州天河区模拟)根据如图所示的程序框图,将输
122008
,,
,,
,n y y y y
出的x 、y 值依次分别记为122008
,,,,
,n x x x x ;
(Ⅰ)求数列}{n x 的通项公式n x ;
(Ⅱ)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{};
的一个通项公式,并证明你的结论; (Ⅲ)求1122(,2008)
n n n z x y x y x y x N n =++
+∈*≤.
解:(Ⅰ)由框图,知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中, ∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ (Ⅱ)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80. 由此,猜想
31(*,2008).
n n y n N n =-∈≤
证明:由框图,知数列{}中,1=32 ∴)1(311+=++n n y y ∴
111
3,1 3.1
n n y y y ++=+=+
∴数列{1}是以3为首项,3为公比的等比数列。 ∴n y +1=3·3n -1=3n
∴n y =3n -1(*,2008n N n ∈≤) (Ⅲ)n n y x y x y x +++ 2211
=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n -1)(3n -1)
=1×3+3×32+…+(2n -1)·3n -[1+3+…+(2n -1)] 记1×3+3×32+…+(2n -1)·3n ,① 则31×32+3×33+…+(2n -1)×31 ②
①-②,得-23+2·32+2·33+…+2·3n -(2n -1)·31 =2(3+32+…+3n )-3-(2n -1)·31
=2×13·)12(331)
31(3+-----n n n =
113·)12(63++---n n n 63·)1(21
--=+n n ∴
.
33·)1(1+-=+n n n S
又1+3+…+(2n -1)2 ∴
12(1)33(*,2008)
n n z n n n N n +=-?+-∈≤.
点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物,因为程序框图中循环,与数列的各项一一对应,所以,这方面的内容是命题的新方向,应引起重视。
四、方法总结与2009年高考预测
(一)方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向。
(二)2009年高考预测
1. 数列中n S与n a的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意n S与n a的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列与可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所在的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
7、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。
五、复习建议
在进行数列二轮复习时,建议可以具体从
以下几个方面着手:
1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;
2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;
3.注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用;
4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义与其等价形式;
5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳;
6.掌握数列通项与前n项和之间的关系;
7.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列;
8.掌握一些数列求和的方法
(1)分解成特殊数列的和
(2)裂项求和
(3)“错位相减”法求和
9.以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考,各校应根据自己的实际情况进行增减,四星以下的学校应重在基础,对于数列的综合问题可略讲,甚至不讲.