2020年初三数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13
B ．－3
C ．13
D ．3
2．函数中y ＝x
2－x
自变量x 的取值范围是 A ．x ≥2
B ．x ≤2
C ．x ≠2
D ．x ＞2
3．在下列四个图形中，是中心对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列运算正确的是 A ．2a 2
＋a 2
＝3a 4
B ．(－2a 2)3＝8a 6
C ．a 3÷a 2
＝a
D ．(a －b )2＝a 2－b 2
5．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己
的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分
B ．方差
C ．中位数
D ．平均数
6．下列图形中，主视图为①的是
A ．
B C ． D ．7．已知a －b ＝2，则a 2
－b 2
－4b 的值为 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．下列判断错误的是
A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝k x
的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20
B ．－16
C ．－12
D ．－8
10．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，
E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点
F ，
G ，连接OF ，OG ，则下
列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGE
B ．△B ′FG 的周长是一个定值
C ．四边形FOEC 的面积是一个定值
D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是 ．
12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表
示应为 ．
13．若3m
＝5，3n
＝8，则3＝ ．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝ ． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC
均相切，则⊙O 的半径为 ．
17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2
＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B 在抛
物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是 ．
B
（第16题图）
（第15题图）
A
B
C D
F
G
B ′
O
（第10题图）
（第9题图）
（第6题图①）
18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最
大时，S △ADE ＝ ．
三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）
（1）计算：(π－3)＋2sin45°－? ????
18
（2）解不等式组：?????1－2x ＜3
x ＋13
＜2
20．（本题满分8分）解方程： （1）x 2
－8x ＋1＝0 （2）
3x －2－1－x
2－x
＝1
21．（本题满分8分）
如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ． （1）求证：AB ＝DF ；
（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．
22．（本题满分8分）
A
D
F
E
B
C A
B
C
D
E
F
（第18题图）
（第17题图）
某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A，B，C，D，E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整；
（2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；
（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人
23．（本题满分8分）
有甲，乙两把不同的锁和A ，B ，C 三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
24．（本题满分8分）
如图，△ABC 中，⊙O 经过A ，B 两点，且交AC 于点D ，连接BD ，∠DBC ＝∠BAC ． （1）证明BC 与⊙O 相切；
（2）若⊙O 的半径为6，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．
25．（本题满分8分）
某水果商店以元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用． （1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本
（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系
如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w 最大最大利润是多少
（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p 元利润（p ≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价
格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x 增大而减小，直接写出p 的取值范围．
A
y
/千克）
26．（本题满分8分）
如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．
27．（本题满分10分）
已知，二次函数y ＝ax 2
＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ． （1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；
（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EF
OF
的最大值．
B
O
图3
B O
图2
B
O
图1
28．（本题满分10分）
如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒， （1）试说明：△ABG ∽△EBF ；
（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；
（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．
图2
A
B
C
D
E
图1
A
B
C D
F
E
G H
9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8
【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．
【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°
易证△ADF∽△GFE
∴，
∴AF：EG＝BD：BE，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵D、E在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，4）、D（﹣8，）
∴OG＝EC＝，AD＝﹣，
∴BD＝4+，BE＝8+
∴，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：（﹣）2+22＝（4+）2
解得：k＝﹣12
故选：C．
10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）
A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值
D．四边形OGB'F的面积是一个定值
【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；
C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），
可作判断；
D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝?FG?OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
【解答】解：A、连接OA、OC，
∵点O是等边三角形ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB、DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，
∴∠DOF＝60°，
同理可得∠EOG＝60°，
∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，
∴△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴OD＝OG，OE＝OF，
∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，
∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，
∴AD＝CG，AF＝CE，
∴△ADF≌△CGE，
故选项A正确；
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF＝GF＝GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G＝AD，
∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），
故选项B正确；
C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），
故选项C正确；
D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG，
过O作OH⊥AC于H，
∴S△OFG＝?FG?OH，
由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，
故选项D不一定正确；
故选：D．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE＝OF；
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得BC＝4；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，
∴AB?OE+BD?OF＝CD?AC，即5×OE+2×OE＝2×3，
解得OE＝，
∴⊙O的半径是．
故答案为：．
17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1 ．
【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∴对称轴为x＝﹣2，
∵B与C关于对称轴对称，
点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
故答案为﹣4≤x≤﹣1．
18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．
【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝3，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝AE?DH＝×3×4＝6．
故答案为6．
22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B 组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）抽取的学生共有400 人，请将两幅统计图补充完整；
（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；
（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人
【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；
（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．
【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），
故答案为：400；
A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，
C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，
B组的人数为：400×30%＝120，
补全的统计图如下图所示；
（2）由扇形统计图可知，
抽取的测试成绩的中位数落在B组内，
故答案为：B；
（3）1200×（25%+30%）＝660（人），
答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图：
可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．
【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；
（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．
【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD+∠E＝90°，
∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，
∴∠EBD+∠DBC＝90°，
即OB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，
∴△BOD是边长为6的等边三角形，
∴S△BOD＝×62＝9，
∵S扇形DOB＝＝6π，
∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．
25．某水果商店以元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．
（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本
（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大最大利润是多少
（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a?m（1﹣5%）≥（+）a，解得m即可
（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润
（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．
【解答】解：
（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有
a?m（1﹣5%）≥（+）a
则a＞0可解得：m≥14
∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本
（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元
得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130
由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820
整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180
∴当x＝20时，w有最大值
∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．
（3）设扣除捐赠后利润为s
则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）
∵抛物线的开口向下
∴对称轴为直线x＝＝
∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小
∴≤22
解得p≤4
故1≤p≤4
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．
【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．
【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，
故tan∠AOB的值分别为1、2、3．
．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．