湖北省黄石市黄石港区第八中学2020-2021学年八年级上学
期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）
A．4，4，9 B．2，6，8 C．3，4，5 D．1，2，3 2．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1
2
∠A
C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90°
3．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是( ).
A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形4．如图，△ABO≌△DCO，∠D=80°，∠DOC=70°，则∠B=( )．
A．35°B．30°C．25°D．20°
5．下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
6．已知a＞0，b＜0，则点P（a+1，b﹣1）关于y轴对称的点一定在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB 上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（）
A．75°B．80°C．65°D．95°
8．如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点。若AB=6，AC=4，BC=7。则△APC周长的最小值是
A．10 B．11 C．11.5 D．13
9．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE＝2，则AF的长为（）
A．3 B．10
3
C．
7
2
D．
15
4
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；
③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB长为_____．
13．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm，则这个等腰三角形周长为_____cm．
14．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
15．如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为_____．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A8B8A9的边长_________。
三、解答题
17．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式
11
1
45
x x
+-
<-的正偶数解，
试求第三边的长x.
18．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB=DE,BF＝CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF.
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
20．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，E是AB上一点，EG⊥AD于
点M，交AC于点F，交BC的延长线于点G．求证：∠G＝1
2
（∠ACB﹣∠B）．
21．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，连接MN
（1）求证：MN平分∠BMC．
（2）若∠A＝60°，求∠BMN的度数．
22．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE；
（2）EM＝EC．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．
（1）求∠C的度数．
（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．
24．如图，在ABC中，45
ABC
∠=,AD,BE分别为BC,AC边上的高，连接DE,⊥与点F，G为BE中点，连接AF，DG．
过点D作DF DE
⊥；
（1）如图1，若点F与点G重合，求证：AF DF
（2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明．
25．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB，与y 轴交于D点，∠CAO=90°－∠BDO.
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4,0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC 的长；
（3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH.
试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.
参考答案
1．C
【分析】
根据三角形三条边的关系求解即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
【详解】
A. 4+4<9，故不可能是一个三角形的边长；
B. 2+6=8，故不可能是一个三角形的边长；
C. 3+4>5，故可能是一个三角形的边长；
D. 1+2=3，故不可能是一个三角形的边长；
故选C.
【点睛】
题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
2．D
【分析】
根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A. ∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C=180°,解得∠C=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误；
B. ∵∠B=∠C=1
2
∠A，
∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°,解得x=45°，
∴∠A=2x=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误；
C. ∵∠A=90°?∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误；
D.∵∠A-∠B=90°，
∴∠A=∠B+90°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.
3．A
【分析】
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
解：∵360÷40=9，
∴这个正多边形的边数是9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
4．B
【分析】
根据全等三角形的性质得到对应角相等，再根据对顶角相等和三角形内角和为180°，即可求得答案.
【详解】
因为△ABO≌△DCO，∠D=80°，
所以∠D=∠A=80°，
由于∠DOC=70°，∠DOC是∠AOB的对顶角，
所以∠DOC=∠AOB =70°，
由于三角形内角和为180°.
则∠B=180°-∠AOB-∠A=30°.
故选择B项.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解题的关键是知道两个全等三角形的对应角相等.
5．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义求解可得.
【详解】
四个美术字中可以看作轴对称图形的是“业”.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
6．C
【分析】
依据a＞0，b＜0，即可得出点P在第四象限，进而得到点P关于y轴对称的点一定在第三象限．
【详解】
∵a＞0，b＜0，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，
∴点P在第四象限，
∴点P关于y轴对称的点一定在第三象限．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是正确确定P点所在象限．
7．C
【分析】
由∠B=∠C，∠A=50°，利用三角形内角和为180°得∠B=65°，∠FDB=85°，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD=∠CDE，利用三角形内角和即可得证．
【详解】
∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠B=∠C=1
2
×（180°﹣50°）=65°．
∵∠BFD=30°，∠BFD+∠B+∠FDB=180°，∴∠FDB=85°．
在△BDF和△CED中，
∵
BF CD
B C BD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE=30°．
又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE=180°，
∴∠FDE=180°﹣30°﹣85°=65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．8．A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
【详解】
如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论.
9．B
【分析】
作DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】
作DH⊥BC于H，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
△ABD的面积+△CBD的面积＝△ABC的面积，
∴1
2
×4×2+
1
2
×6×2＝
1
2
×6×AF，
解得，AF＝10
3
，
故选：B．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．C
【分析】
①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，
再根据角平分线的定义∠ABP=1
2
∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；
③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH ；
④根据PF ⊥AD ，∠ACB=90°，可得AG ⊥DH ，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF ，然后求出DG=GH+AF ，有直角三角形斜边大于直角边，AF ＞AP ，从而得出本小题错误.
【详解】
解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，
∴∠ABP=
12∠ABC ， ∠CAP=12（90°+∠ABC ）=45°+12
∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB=180°
-∠BAP-∠ABP ， =180°-（45°+
12∠ABC+90°-∠ABC ）-12
∠ABC ， =180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC ， =45°，故本小题正确；
②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），
∴∠APB=∠FPB=45°，
∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP ，
在△ABP 和△FBP 中，
APB FPB PB PB
ABP FBP ∠=∠??=??∠=∠?
， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），
∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；
③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP ，
∵PF ⊥AD ，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP 与△FDP 中，
90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠??∠=∠=???=?
∴△AHP ≌△FDP （AAS ），
∴DF=AH ，
∵BD=DF+BF ，
∴BD=AH+AB ，
∴BD-AH=AB ，故③小题正确；
④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，
∴AG ⊥DH ，
∵AP=PF ，PF ⊥AD ，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG ，
∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，
∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，
∴DG=AG ，GH=GF ，
∴DG=GH+AF ，
∵AF ＞AP ，
∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系. 11．7
【分析】
连接AB 1，BC 1，CA 1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB 1，△A 1AB 1的面积，从而求出△A 1BB 1的面积，同理可求△B 1CC 1的面积，△A 1AC 1的面积，然后相加即可得解．
【详解】
如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2，S△C1AA1=2. S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
12．4.
【分析】
根据直角三角形的性质，因为∠B=30°，可得AC为斜边AB的一半，即可得出结论．
【详解】
在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，即30°所对的直角边等于斜边的一半．
13．26
【分析】
首先设腰长为xcm，等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm，可得x﹣6＝4或6﹣x＝4，继而可求得答案．
【详解】
解：设腰长为xcm，
根据题意得：x﹣6＝4或6﹣x＝4，
解得：x＝10或x＝2（舍去），
∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝26cm．
故答案为：26．
【点睛】
考核知识点：等腰三角形.理解三角形中线的意义是关键.
14．3
2
．
【分析】
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质
求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE
1
2
=AC即可．
【详解】
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵
PFD QCD
PDF CDQ PF CQ
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE
1
2
=AC．
∵AC=3，
∴DE
3
2 =．
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
15．40°．
【分析】
作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】
如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，
∴∠QPN
1
2
=（180°﹣α）=∠AOB+∠MQP=20°
1
2
+（180°﹣β），
∴180°﹣α=40°+（180°﹣β），
∴β﹣α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．128
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2＝2B 1A 2，得出A 3B 3＝4B 1A 2＝4，A 4B 4＝8B 1A 2＝8，A 5B 5＝16B 1A 2…进而得到A 8B 8=128.
【详解】
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，
∵∠MON=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，
∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，
以此类推,A 8B 8=72=128.
∴△A 8B 8A 9的边长为128.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．10
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围．根据x 是正偶数判断出x 的值即可.
【详解】 解：不等式11145
x x +-<-可化为()552041x x +<--. 解得11x <.
要使2、x 、10能构成三角形，则812x <<.
又因为x 是正偶数，
∴10x =．
∴第三边的长x 为10.
【点睛】
考查三角形三边关系, 一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键. 18．见解析.
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理SAS 可以证得结论
【详解】
解：证明：∵BF=CE ，
∴BF+FC=CE+FC ，即BC=EF ．
∵AB ∥DE ，∴∠B=∠E ．
在△ABC 和△DEF 中
AB ED B E CB EF =??=??=?
∠∠
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是解题关键
19．详见解析.
【分析】
因为∠C =90°，DE ⊥AB ，所以∠C =∠DEB ，根据角平分线的性质得到CD =DE ，根据SAS 判定△DCF ≌△DEB ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C =90°，
∴DC =DE ．
在△DCF 和△DEB 中，
∵DC DE C BED CF BE =??∠=∠??=?
，
∴△DCF≌△DEB（SAS），
∴BD=DF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．详见解析.
【分析】
首先证明∠AEF=∠AFE，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵EG⊥AD，
∴∠AMF=∠AME=90°．
∵∠AEF+∠BAD=90°，∠AFM+∠CAD=90°，
∴∠AEF=∠AFM．
∵∠ACB=∠G+∠CFG，∠AEF=∠B+∠G，∠CFG=∠AFE，
∴∠ACB﹣∠G=∠B+∠G，
∴∠G
1
2
（∠ACB﹣∠B）．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解答此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
21．（1）详见解析；（2）50°．
【分析】
（1）过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC；
（2）根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出
∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．
【详解】
（1）如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F．
∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB．
又∵NG⊥BC，NE⊥BM，NF⊥CM，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC；
（2）∵MN平分∠BMC，
∴∠BMN
1
2
=∠BMC．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，
∴∠MBC+∠MCB
2
3
=（∠ABC+∠ACB）
2
3
=?120°=80°，
∴在△BMC中，∠BMC=180°﹣（∠MBC+∠MCB）=180°﹣80°=100°，
∴∠BMN
1
2
=?100°=50°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质与判定，作辅助线判断出MN平分∠BMC 是解题的关键，注意整体思想的利用．
22．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．