关于两个简谐运动合成的思考
曾骥敏
(能源与环境学院一卡通：213093696)
【摘要】现在，笔者想着重谈谈李萨茹图形。笔者想首先从大一下学期用示波器做的关于振动的实验中谈起……
【关键词】简谐运动、李萨茹图形、振动
Thought Of Superposition of Two Simple Harmonic
Motions
Jimmy Zeng
(School of Energy& Environment, number:213093696) Abstract: And now, I want to tell something about Lissajous figures. Let me introduce the experiment used by an oscilloscope I have done in the last semester.
Key words: Simple Harmonic Motions, Lissajous figures, oscillation
经过一年大学物理的学习，笔者学习了包括力学、声学、光学、电磁学等许多基础的物理学知识，而笔者想在这里提出的自己关于两个简谐运动合成的一些粗略的思考。
首先，笔者想先提出关于前辈们在这方面所做的贡献。
大学物理中，简单的两个简谐运动的合成可以分成两种类型：
（1）两个简谐运动的振动方向一致；
（2）两个简谐运动的振动方向相互垂直。
而在每一种分类中，又可将其再细分成两种类型：
（a）两个简谐运动拥有相同的角速度ω；
（b）两个简谐运动的角速度各不相同，分别为ω
1、ω
2 。
让笔者再对这几种分类简单地做一下具体的说明：
（1）当两个简谐运动的振动方向一致时，假设：
（a）当两者拥有相同的角速度ω时，
（b ） 当两者角速度不相同时，假设：
（2） 当两个简谐运动振动方向相互垂直时，
（a ） 当两者拥有相同的角速度ω时，假设：
笔者在此假设了21??φ-=,这样，我们就能够得到如下的图片：
（b）当两者角速度不相同时，假设：
对于这个方程的轨迹不是一个闭合的曲线。但是，我们都知道，如果我们假设两个周期
T x 和 T
y
，当
（m，n为整数）
这个轨迹就将成为一个闭合的曲线，这个曲线就是我们所说的李萨茹图形，而（2）-
（a）中提到的图形是当:1:1
x y
T T 时的李萨茹图形。
现在，笔者想着重谈谈李萨茹图形。
笔者想首先从大一下学期用示波器做的关于振动的实验中谈起。
如果示波器的X轴和Y轴偏转板上输入的都是正弦电压，荧光屏上亮点的运动将是两个
相互垂直振动的合成。当两个正弦电压信号的频率相等或成简单整数比时，荧光屏上亮点的合成轨迹为一稳定的闭合曲线，叫李萨茹图形。例如，当
Y
V 的频率为
Y
f 为
X
V 的频率
X
f 的两倍时，亮点的轨迹如图20-8所示，图20-9是频率比成简单整数时形成的若干李萨茹图形。利用李萨茹图形可以比较两个电信号的频率。如果其中一个电信号的频率是已知的，即可用此法测定另一个电信号的频率。
而笔者记录的实验结果如下所示：
李萨茹图
从图中和表中，我们可以看到，当
:2:1
Y X
f f=
时，为什么李萨茹图形不是一个闭合
的曲线呢？
其实，这个李萨茹图形仍然是一条闭合的曲线，只是我们观察的位置导致我们视觉上觉得它不是一条闭合的曲线，而在实验过程中，这条曲线是如同下图中缓慢地旋转的：
此外，笔者还想提一下
:?
X Y
T T=
的问题。
我们看到，
11::
:X Y Y X
X
Y
T T f f f f =
=
当:1:1
Y X f f =时，x 轴上的节点有两个，y 轴上的节点也有两个。
当
:2:1
Y X f f =时，x 轴上的节点有两个，而y 轴上的节点仅有一个。
当
:1:2
Y X f f =时，x 轴上的节点仅有一个，而y 轴上的节点有两个。
当
:1:3
Y X f f =时，x 轴上的节点有两个，y 轴上的节点有六个。这样，我们可以得到
结论：
nodes of Y -axis : nodes of X -axis
Y X the f f the =
最后，笔者想对整篇文章做一个小结。
（I ） 当两个简谐运动有相同的振动方向和相同的角速度时，合成的运动的振幅取决于两简谐运动的振幅和相位角。
（II ） 当两个简谐运动有相同的振动方向，但是角速度不同时，我们将
观察到“拍”现象。
（III ） 当两个简谐运动的振动方向相互垂直但却有相同的角速度时，合成运动的图形取决于两运动的振幅和相位角。
（IV ） 当两个简谐运动的振动方向相互垂直且含有不同的角速度时，我
们便能得到李萨茹图形。
参考文献：
[1]https://www.doczj.com/doc/301078163.html,/view/600826.htm
[2]Sears and Zemansky’s University Physics, China Machine Press, Hugh D. Young and Roger A. Freedman.
[3]《物理学（第五版）》，高等教育出版社，马文蔚改编
[4]《大学物理学（第四册）-波动与光学》，清华大学出版社，张三慧主编
[5]《大学物理实验（修订版）》，高等教育出版社，钱锋潘人培主编
关于两个简谐运动合成的思考 曾骥敏 (能源与环境学院一卡通：213093696) 【摘要】现在，笔者想着重谈谈李萨茹图形。笔者想首先从大一下学期用示波器做的关于振动的实验中谈起…… 【关键词】简谐运动、李萨茹图形、振动 Thought Of Superposition of Two Simple Harmonic Motions Jimmy Zeng (School of Energy& Environment, number:213093696) Abstract: And now, I want to tell something about Lissajous figures. Let me introduce the experiment used by an oscilloscope I have done in the last semester. Key words: Simple Harmonic Motions, Lissajous figures, oscillation
经过一年大学物理的学习，笔者学习了包括力学、声学、光学、电磁学等许多基础的物理学知识，而笔者想在这里提出的自己关于两个简谐运动合成的一些粗略的思考。 首先，笔者想先提出关于前辈们在这方面所做的贡献。 大学物理中，简单的两个简谐运动的合成可以分成两种类型： （1）两个简谐运动的振动方向一致； （2）两个简谐运动的振动方向相互垂直。 而在每一种分类中，又可将其再细分成两种类型： （a）两个简谐运动拥有相同的角速度ω； （b）两个简谐运动的角速度各不相同，分别为ω 1、ω 2 。 让笔者再对这几种分类简单地做一下具体的说明： （1）当两个简谐运动的振动方向一致时，假设： （a）当两者拥有相同的角速度ω时，
简谐振动的合成 1. 两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和 2, 若它们的振幅之比A 2 /A 1=2, 周期之比T 2 / T 1=2, 则它们的总振动能量之比E 2 / E 1 是( A ) (A) 1 (B) 1/4 (C) 4/1 (D) 2/1 解:振动能量22 2 22221T A m A m E E E p k πω==+= 即 2 12 1 212T A m E π= 2222222T A m E π= 121222222112222 121222 2 222212 12 2 1=??? ???=???? ???=?==∴T T A A T T A A T A m T A m E E ππ 2.有两个同方向的谐振动分别为X 1=4COS(3t+π/4)cm ， X 2 =3COS(3t －3π/4)cm, 则合振动的振幅为A=1cm, 初周相为φ=π/4. ∵φ2－φ1=－π ∴A=|A 1-A 2|=|4-3|=1cm φ=φ1=π/4 3. 一质点同时参与两个两个同方向, 同频率的谐振动, 已知其中一个分振动的方程为X 1=4COS3t cm, 其合振动的方程为 X=4COS (3t+π/3)cm, 则另一个分振动的振幅为A 2 =4cm , 初位相φ=2π/3. 3 , 0 ,411π ??= ===cm A A 解:根据题意作旋转矢量图
21A A A 及平行四边形中和 4. 一质点同时参与了三个简谐振动, 它们的振动方程分别为X 1=A COS(ω t+π/3), X 2 =A COS (ωt+5π/3), X 3 =A COS(ωt+π), 其合成运动的运动方程为X=0. 解: 作旋转矢量图 已知A 1=A 2=A 3=A, A 3 且 A A A A =+='21 A 合=0 ∴ x = 0 5. 频率为v 1和v 2的两个音叉同时振动时，可以听到拍 音，若v 1＞v 2，则拍的频率是( B ) (A)v 1+v 2 (B)v 1－v 2 (C)(v 1+v 2)/2 (D)(v 1－v 2)/2 O 1 A : 形的对边组成一个正三角 m A A A 4c 12===∴ππ π π ??3 2 3 3 32= + = + =20 )(321=++=∴A A A A 合
简谐振动的合成与分解 学号：2901304019 班级：29001020 姓名：李晓林 在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动。 一、两个同方向同频率简谐运动的合成 2 1x x x +=22112 211cos cos sin sin tan ?????A A A A ++= ) cos(212212221??-++=A A A A A ) cos(?ω+=t A x ) cos(111?ω+=t A x ) cos(222?ω+=t A x
讨论两个特例 (1)两个振动同相，则A=A1+A2。如图一 (2)两个振动反相，则A=|A1-A2|。如图二 图一 图二 上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。 二、两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。
)cos(1111φω+=t A x ， )φt (ωA x 2222cos += 只考虑A1=A2的情况 )2 cos()2cos 2(2 1211ωωωωω++-=t t A x 振幅部分（振幅随时间变化） 合振动频率（振动部分） 振动角频率：2/)(21ωωω+=；振幅：t A A 2cos 2121ωω-=，A max =2A ，A min =0； 拍频（振幅变化频率）：12ωωω-=. 下图例： 三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 )cos(11?ω+=t A x )cos(22?ω+=t A y 质点运动方程（椭圆方程） )(sin )cos(21221221222212????-=--+A A xy A y A x 情况： 注：图中A1=A2=1， ω1=10，ω2=9。
问题：同方向简谐振动的合成，设一物体同时参与了在同一直线上的两个简谐振动： () ()20221011cos cos αωαω+=+=t A x t A x 讨论同频率，不同初相时简谐振动的合成。分下面三种情况： ①同频率，同初相； ②同频率，不同初相； ③拍现象。 物理解答： 分析：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动： () ()20221011cos cos αωαω+=+=t A x t A x 合位移： ()() ()αωαωαω+=+++=+=t A t A t A x x x 020210121cos cos cos 结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振 动频率相同。 → A 1 、→ A 2 均以频率0ω旋转，→ A 1、→ A 2的夹角不变，因此合矢量 → A 也以0ω旋转，平行四边形的形状不变，如右图。 因此合位移 ：()αω+=t A x 0cos 中： 振幅 )cos(212212 221αα-++=A A A A A 初相位 2 2112 211cos cos sin sin tan αααααA A A A ++= 解：①同频率，同初相； ,2,1,0 212=±=-n n παα 此时 max 2112212 221)cos(2A A A A A A A A =+=-++=αα 振动加强 x o 2A 1 αα 1 A 2A A 2 α
两个同方向、同频率简谐运动同相合成时，其合振动振幅最大，振幅为两个分振动振幅之和，初相位与分振动初相位相同，合成图像如下图。 ②同频率，不同初相（这里考虑反相时）； ,2,1,0 )12(12=+±=-n n παα 此时 min 2112212 2 21 )cos(2A A A A A A A A =-=-++=αα 振动减弱 两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个 分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如下图。 分析：同方向不同频率简谐振动的合成 t A x t A x 002211cos ,cos ωω== t t A t A t A x x x 2 ) (cos 2 ) (cos 2cos cos 00000012122121ωωωωωω+?-=+=+= 令 ()2 cos 22 ) (cos 20 0001212ωωωωωω-= -=调调调 ＝t A t A A o x t 1x 2x x o x t 1x 2x x