2020年高考文科数学原创专题卷：《数列》

原创文科数学专题卷

专题 数列

考点23：数列的概念与简单表示法（1,2题，13题,17题） 考点24：等差数列及其前n 项和（3-6题，18-21题） 考点25：等比数列及其前n 项和（7,8题，14题,18-21题） 考点26：数列求和（9,10题，18-21题）

考点27：数列的综合问题及其应用（11,12题，15，16题，22题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2016-2017学年福建晋江季延中学高二上期中 考点23 易 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则19a a +等于 A.19 B.20 C.21 D.22 2．【来源】2017届湖南五市十校高三文12月联考 考点23 易

已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1453,23n n n S S a a a +=+++=，则8S =（ ）． A ．72 B ．88 C ．92 D ．98 3.【2017课标1，理4】 考点24 易

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

4.【2017课标3，理9】考点24 易

等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

5．【来源】2016-2017学年山东曲阜师大附中高二上学期期中 考点24 中难 数列{}n a 是等差数列，若

11

10

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）

A ．11

B ．17

C ．19

D ．21 6．【来源】2017届山西山西大学附中高三理上学期期中 考点24 中难 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S

a ，…，1515

S a 中最大的项为（ ） A.

77S a B.88S a C.99S a D.1010

S

a

7．【2017课标II ，理3】考点25 易

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 8．【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月 考点25 中难

等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，1232n

n a a a a m ++++=+…，则

22212n a a a +++…等于（ ）

A ．1(4)3n m +

B ．1(21)3

n - C ．41n

- D ．2

(2)n m +

9．【来源】2017届广东顺德李兆基中学高三理上月考二 考点26 中难

在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =（ ）

A ．132

B ．299

C ．68

D ．99 10.【2017课标1，理12】 考点26 难

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20

，21

，再接下来的三项是20

，21

，22

，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

11．【来源】2017届天津市六校高三理上学期期中联考 考点27 难 已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=

+()n N *∈.若11

(2)(1)n n

b n a λ+=-?+()n N *∈，

1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）

A.23λ

>

B.32λ>

C.32λ<

D.2

3

λ< 12．【来源】2017届黑吉两省八校高三上学期期中 考点27 难 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=+，则满足21

10

n n S S <的n 的最小值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017届宁夏育才中学高三上第二次月考 考点23 易 数列}{n a 满足2,11

81=-=

+a a a n

n ，则=1a ________． 14.【2017课标3，理14】 考点25 易

设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________. 15．【来源】2016届福建福州市高三上学期期末 考点27 中难 已知()

12

n n n a +=

，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则51b =_________.

16．【来源】2017届江西抚州七校高三上期联考 考点27 难

在数列{}n a 及{}n b

中，1n n n a a b +=++

1n n n b a b +=+11a =，

11b =．设11

2(

)n n n n

c a b =+，则数列{}n c 的前n 项和为 ． 三.解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）【来源】2017届河北沧州一中高三11月月考 考点23 易 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()

*121n n S S n n N +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1

1

n n n n a b a a ++=

?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18．（本小题满分12分）

【来源】2017届河北沧州一中高三11月月考 考点24 考点25考点26易 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和.

19．（本小题满分12分）

【来源】2017届湖北孝感市高三文上学期第一次统考试 考点24考点25考点26中难 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33232S a a =+，48a =.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列2log n n b a =，求{}

n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）

【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点24 考点25考点26中难 已知数列{}n a 满足13

7

a =

，1341n n n a a a +=+，n N *∈.

（1）求证：数列12n a ??

-?

???

是等比数列，并且求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列n n a ??

?

???

的前n 项和n S . 21．（本小题满分12分）

【来源】2017届湖北荆州市高三上质检一 考点24考点25 考点26中难 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55S =-，且346,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()*2123

1

n n n b n N a a ++=

∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．（本小题满分12分）

【来源】2017届天津市六校高三理上学期期中联考 考点27 难

已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，2

1

2

n n n S a a =+

，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ??

????

的前n 项和n T ，求证：

2n T <；

（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】()()

1199819

3,8196481821

a S a S S a a

===-=+-+=∴+=

2．C

【解析】11

33

n n n n n

S S a a a

++

=++?-=?{}n a为等差数列，公差为3，所以由45

23

a a

+=得

118

1

27231,887392

2

a d a S

+=?==+???=，选C.

3．【答案】C

【解析】设公差为d，45111

342724

a a a d a d a d

+=+++=+=，611

65

661548

2

S a d a d

?

=+=+=，联立1

1

2724

,

61548

a d

a d

+=

?

?

+=

?

解得4

d=，故选C.

4．【答案】A

【解析】

5．C

【解析】∵Sn有最大值，∴d＜0则a10＞a11，又11

10

1

a

a

<-，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，

()()

201201011

10100

S a a a a

∴=+=+<，

1910

190

S a

=>又

12101112

a a a a a

>>>>>>

L

∴

10921

S S S S

>>>>>

L，

1011192021

S S S S S

>>>>>>

L

又()

19123191011

90

S S a a a a a

-=+++=+<

L∴

19

S为最小正值

6．C

【解析】

1179

179

17()17(2)

0000

22

a a a

S a

+

>?>?>?>

11889181091018()18()

0000022a a a a S a a a ++

因此

891012128910

0,0,0,0,0,S S S S S

a a a a a >>>>>>>L L ， 所以

8912

1289

S S S S a a a a <<<

8．A

【解析】∵等比数列{}n a 中，对任意正整数n ，1232n

n a a a a m ++++=+…，∴

m a +=21，m a a +=+421，m a a a +=++8321，∴m a +=21，22=a ，43=a ，∴

1-=m ，11=a ，∴121=a ，422

=a ，1623=a ，∴{}2

n a 是首项为1，公比为4的等比数列，∴()()

m a a a a n n n n

+=-=--=

++++43

1

14314141223

22

2

1

Λ．故选：A ． 9．B

【解析】12n n n a a a ++++为定值，所以3n n a a +=，所以数列的周期为3，故

29817394,2,3a a a a a a ======，所以()10012310033299S a a a a =?+++=.

10.【答案】A

11

．D 【解析】 因为11111

121111

112(1)1(1)222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+++=

?=+?+=+?+=+=+，所以1(2)2n

n b n λ+=-?，因为数列

{}

n b 是单调递增数列，所以当2n ≥时

113

(2)2(12)2212212

n n n n b b n n n λλλλλ-+>?-?>--??>-?>-?<

；当1n =时，213

(12)22b b λλλ>?-?>-?<，因此23

λ<，选D. 12．A

【解析】由12n n a S +=+得12n n n S S S +-=+，即122(2)n n S S ++=+，

又11223S a +=+=，所以1232n n S -+=?，即1

322n n S -=?-，

所以121

2322132210n n n n S S --?-=

30220322n n --?-

113215290n n --?-?+>,令12n t -=，则231590t t -+>，

函数2()3159h t t t =-+的对称轴为15

6

t =

，又t 的可能值为11,2,4,8,,2n -L ，所以 1(1)(2)(4)(8)(2)

n h h h h h -><<<

(1)315930,(2)1230990h h =-+=-<=-+=-<，

(4)4860930,(8)1921209810h h =-+=-<=-+=>，这时4n =，所以从第四项起以

后各项均满足

21

10

n n S S <，故选A. 13．

12

【解析】117651

111

112111212112222

n n n n n a a a a a a a a a +++---=?=?==?==-?=?=-L ．

14．【答案】8-

【解析】设等比数列的公比为q ，很明显1q ≠- ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：

()(

)1212

1311113a a a q a a a q ?+=+=-??-=-=-??，①

，②，由 ②① 可得：2q =- ，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得：3

418a a q ==- .

15．5151

【解析】由题意，得，∵2)1(+=

n n a n ，10,6,3,14321====∴a a a a ，???，∵2

)

1(+=n n a n ,删除数列{}n a 中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列{}n b ，∴

515110151==a b .

16．2

2

4n +-

【解析】由2

2

1n n n n n a a b a b +=+++，22

1n n n n n

b a b a b +=+-+，两式相加可得：

()n n n n b a b a +=+++211，故数列{}n n b a +是以2为首项，2为公比的等比数列，得

n n n b a 2=+；两式相乘可得：()()

n n n n n n n n b a b a b a b a ?=+-+=?++22

22

11，故数列{}

n n b a ?是以1为首项，2为公比的等比数列，得12-=?n n n b a ，故

1

22112+=?+?=???? ??+=n n n n n n n n

n

n b a b a b a c ，故其前n 项和为()42212142-=--=+n n n S .

17．(1)()

*21n n a n N =-∈；(2)1

2111--=-n n T .

【解析】（1）

121++=+n S S n n ，

当2n ≥时，12n n S S n -=+，∴121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即

11

21

n n a a ++=+，

12n n a +=，即()

*21n n a n N =-∈……………………………(5分)

（2）12-=n

n

a ，()()11

211

2121

2121n n n n n n b ++∴==----?-， 22311111111

11212121212121

n n n n T --∴=-

+-++-=-

------L .……………………(10分)

18．(1)21n a n =-；(2)2

1

32

-+=n n n T .

【解析】（1）等比数列{}n b 的公比329

33b q b ===，所以211b b q

==，4327b b q ==， 设等差数列{}n a 的公差为d ，

因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =， 所以21n a n =- ……………………………(6分)

（2）由（1）知，21n a n =-，1

3n n b -=，

因此1

213n n n c a b n -=+=-+，从而数列{}n c 的前n 项和

()()1

22113311321133

2132

n n n n n n S n n ----=+++-++++=+=+

-L L ……………(12分) 19．（Ⅰ）7)2

1

(-=n n a ；（Ⅱ）???????>+-≤+-=7,422132

7,21322

2n n n n n n T n

. 【解析】（Ⅰ） 设正项等比数列}{n a 的公比为q ，则0>q

由已知23323a a S +=有02123=-+a a a ，即02112

1=-+a q a q a

0122=-+∴q q 故2

1

=

q 或1-=q （舍）

7

4

421--??

? ??=?=∴n n n q a a ……………………………(6分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n b n -=7 故当7≤n 时，0≥n b

∴当7≤n 时，21322)(2121n

n b b n b b b T n n n +

-=+=+++=Λ 当7>n 时，)(98721n n b b b b b b T ΛΛ++-+++=

422

132)()(2221721+-=+++-+++=n

n b b b b b b n ΛΛ

???????>+-≤+-=∴7,4221327,213222n n n n n

n T n . ……………………………(12分) 20．（1）证明见解析，3,231n n n

a n N *

=∈?+；（2）2323434

n n n S n n +=-+++?. 【解析】（1）由13

7a =

，1

3,41

n n n a a n N a *+=∈+

所以

141114

333

n n n n a a a a ++==+ 即1111

223n n a a +??-=- ???

所以数列

12n a -是以13为首项，1

3

为公比的等比数列 1

11112333n n

n a -??

??

∴-== ? ?????

所以数列{}n a 的通项公式为3,231

n

n n

a n N *=∈?+ ……………………………(4分) （2）

23

n n n n

n a =+ 设231123133333

n n n n n T --=

+++++L

则234111231333333n n n n n T +-=

+++++L

两式相减得2311211111113

3333323

3

n n n n n n n

T ++??=++++-=-- ???L 所以332443n n

n

T +=

-

? ……………………………(8分) 又22462n n n ++++=+L ……………………………(10分) 所以2

323434

n n

n S n n +=-

+++?. ……………………………(12分) 21．(Ⅰ)1n a =-或2n a n =-; (Ⅱ)

21

n

n + 【解析】 (1)由等差数列性质，5355S a =-=，所以31a =- 设公差为d ，则()()()2

1113d d -+=-?-+，解得0d =或1d =-

1n a =-或2n a n =- ……………………………(4分)

(2)①当1n a =-时，n T n = ……………………………(6分) ②当2n a n =-时，

()()212311111212122121n n a a n n n n ++??==- ?

-+-+??

11111111112335212122121

n n T n n n n ????=

-+-++-=-= ? ?-+++????L ………………………(12分) 22．（Ⅰ）

12n a n =

（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2

9λ≥

【解析】（1）时，

当时，2≥n

是以为首项，为公差的等差数列

……………………………(4分)

（2）

，，即T ……………………………(8分)

2

n

（3）由得，当且仅当时，有最大值，……………………………(12分)