模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件

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T 1 是Y到X的模糊线性变换。
模糊关系诱导 定义 4.3.3 设T是X 到Y的模糊线性变换，且
RT F ( X Y )
满足
T ( A) A RT (A F ( X )),
则称T是由模糊关系 RT 诱导出的。 （我们仍只给出有限论域上的模糊线性变换与模 糊关系之间的对应关系。）
1、评总分法
根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评 价的等级，并用分数表示。将评价项目所得分数 累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定 方案的优劣。 例如我国高考成绩评分就是如此。总分
S si
i 1 n
其中S表示总分,Si 表示第i个项目得分，n为项目 数。
2、加权平均法
加权评分法主要是考虑诸因素在评价中处的地位 或起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待， 于是就引进了权重的概念。它体现了诸因素在评价 中不同地位或作用，这种评分法显然比第一种合理。 n 一般表示为
T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B.
现将以上两种变换推广到模糊子集情形。
模糊映射
定义4. 3. 1 称映射
f : X F (Y ), x ( x) B为从X到Y的模糊映射。 由定义知，模糊映射是点集映射的推广，即在映 射f下，将点x变为模糊集B.
E a
i 1
i
s
i
其中 E 表示加权平均分数,ai 是第 i 个因素所占的权重 且要求 。
a
i 1
n
i
1
若取权重 ai
=
1/n ，则由上式求出的就是平均分。
4. 3. 2 模糊映射与模糊变换
知识回顾： • 在4. 1. 2 中，曾将映射概念作了两个方面的 扩张， 即 f : X F (Y ), 点-集映射 x f ( x) B F (Y )； 集合变换
0.5 0.6 0.9 1 (2)、B , 求TR ( B). x1 x2 x3 x4
解：
(1) A 0，0，0， 1 1 ，，
1 1 0 0.1 TR ( A) A R 1,1,0,0.1 ; y1 y2 y3 y4
(2)
B 0.5，.6，.9，0， 0 0 1，
则称T为模糊线性变换。
模糊变换
例 4.3.2
X ( x1 , x2 , x3 , x4 ),Y ( y1 , y2 , y3 ),
在x上任取一模糊子集
0.3 0.5 0.1 0.8 A . x1 x2 x3 x4
0.3 0.5 1 令T : A T ( A) B, y1 y2 y3
2.评判集
3.单因素评判
模糊综合评判决策的数学模型 模糊映射 f
R f (ui , v j ) f (ui )(v j ) r , ij
可诱出模糊关系 R f (U V ) ，即
因此 Rf 可由模糊矩阵矩阵 R 表示：
f : U F V ,
ui f (ui ) F (V ).
由 f 诱导出一个U到V的模糊线性变换 Tf ，可以把 它看作是由权重A得到的综合评判 B的数学模型。
模糊综合评判决策的数学模型 • 由分析可知，模糊综 合决策的数学模型由 三个要素组成。有四 个步骤：
三个要素
1.因素集
命题4.3.2
（2）按定义4.3.3方式给定了模糊线性变换 RT ，即
TR ( A) A R,
并给定了 A F ( X ) ,则由本节后面要讲的模糊 关系方程可以确定模糊矩阵R，从而也确定了模糊 关系R.
例4. 3. 4 设 X x1, x2 , x3 , x4 , x5, Y y1, y2 , y3 , y4,
命题4.3.2
X ( x1, x2 ,, xn ),Y ( y1, y2 ,, ym ),
（1）给定模糊关系矩阵为
r11 r12 r1m r r22 r2 m 21 R rn1 rn 2 rnm A A (a1 , a2 , , an ) F ( X ),
由定义4. 3. 1易知， f1, f 2 都是X到Y的模糊映射，并且
f1 是（普通意义下的）X到Y的点-集映射。这也说明，
点-集映射是模糊映射的特殊情形。
为了方便与直观，我们只给出在有限论域情形下模糊
f 与模糊关系 R f 之间的对应关系。
命题4. 3. 1 设 X x1, x2 ,..., x , Y y1 , y2 ,... ym
综合评判 B 依赖于各因素的权重，是u上的模糊子 集
B (b1, b2 ,...bm ) （v）
A (a1, a2 ,...an ) （U）
因此给定一权重A，可相应得到一综合评判。
模糊综合评判决策的数学模型
• 下面需建立一从U到V的模糊变换 T。若对每一因 素 ui 单独做一评判 f (ui )，就可看作是U到V的模 糊映射 f ，即
4.3.3 模糊综合评判决策 的数学模型
• 模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物做 全面评价的一种十分有效的多因素决策方法。
• 它又称模糊综合决策或模糊多元决策。
模糊综合评判决策的数学模型
设 U {u1, u2 ,...un } 为n种因素， {v1, v2 ,...vm } V 为m种评判，由于各因素地位、作用不同，所以 权重、评判也不同。人们对m种评判并不是绝对 肯定或否定。所以综合评判应该是v上的一模糊 子集
可以按定义4.3.3确定一个模糊线性变换。
命题4.3.2
TR : F ( X ) F (Y ), A TR ( A) A R B (b1 , b2 ,, bm ) F (Y ),
b j (ai rij ), ( j 1,2,, m)
i 1
n
并称 RT 由模糊关系R诱导出的。
B是Y上的模糊子集。 因此，T是X到Y的一个模糊变换。
模糊变换
例4.3.3
f : X Y,
T : F ( X ) F (Y ),
由1.4节的扩张原理知
A T ( A) f ( A), T 1 : F (Y ) F ( X ), B T ( B) f ( B)
则T是X到Y的模糊线性变换，
f 2 : x1 f 2 ( x1 ) x2 f 2 ( x2 ) x3 f 2 ( x3 ) x4 f 2 ( x4 )
0.3 1 0.5 , y1 y2 y3 0 0.6 0.9 , y1 y2 y3 0.4 0.7 0 . y1 y2 y3
r11 r R f 21 rn1 r12 r1m r22 r2 m , rn 2 rnm
命题4.3.1
就可唯一确定模糊关系
Rf ( xi , y j ) rij f ( xi )( y j )
（2）给出模糊关系矩阵
r11 r 21 R rn1
31 r 11 0,1,1 r21 r 31
r 12 r22 0.3,0.6 ， r32 r 12 r22 0.5,0.7 . r32
分析可得，
0 .2 R f 0 .3 0 .5
0 .5 0.6 , 0.7
令f : X F (Y ),即 xi f R ( xi ) (ri1 , ri 2 ), (i 1,2,3)
0.2 0.5 x1 f R ( x1 ) (r11 , r12 ) (0.2,0.5) , y1 y2 0.3 0.6 x2 f R ( x2 ) (r21 , r22 ) (0.3,0.6) , y1 y2 0.5 0.7 x3 f R ( x3 ) (r31 , r32 ) (0.5,0.7) . y1 y2
例4. 3. 1 设 X x1 , x2 , x3 , x4 , Y y1, y2, y3 , 令
f1 : x1 f1 ( x1 ) x2 f1 ( x2 ) x3 f1 ( x3 ) x4 f1 ( x4 ) 1 y1 , y1 1 1 y1 , y2 , y1 y2 1 y3 , y3 1 1 1 y1 , y2 , y3 ; y1 y2 y3 0.2 0.3 0.8 , y1 y2 y3
0.3 0.6 Tf ({x1 , x 2 }) = + , y1 y2 0.5 0.7 Tf ({x 2 , x 3 }) = + , y1 y2 试求模糊影射 f.
解：本例的解题思路是：在Tr(A)=A•R中，
已知Tr,A,，根据命题4.3.2求出R，这就是模糊关系R，再根据命 题4.3.1由模糊关系R求得模糊映射f.
1 0.5 0.2 0 1 0.3 0 1 R 0.6 0.8 0.4 0.2 F ( X Y ), 0 0 0,3 1 0 0 0 0 TR 为由R诱导出的X到Y的模糊变换。
(1), A x2 , x4 , 求TR ( A)
0.6 1 0.4 0.5 TR ( A) B R 0.6,1,0.4,0.5 ; y1 y2 y3 y4
例4.3.5： 设X={x1,x2,x3},Y={y1,y2}. f是X到Y的模糊影射，是由f 确定X的到Y的模糊变换。
已知 Tf ({x1}) = 0.2 0.5 + , y1 y2
f R 是X到Y的模糊映射。
。
于是，也确定了模糊映射 f R
模糊变换
定义4.3.2 称映射 T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B
为X到Y得模糊变换。