已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =（ ） （A ）23-
(B) 23 (C)－ 12 (D) 1
2
【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π
12对
称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝2
3
.
如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ）
（A ）6π
（B ）4π （C ）3π (D) 2
π
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4232k ππφπ∴?
+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π
φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________
【解析】由图可知，
()544,,2,1255T x πωπ???
=
∴=+ ???
把代入y=sin 有：
89,510ππ????
+∴= ???
1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π
??
=
???
。
【解析】由图象知最小正周期T ＝
32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4
π
时，f
（x ）＝0，即2φπ
+?
4
3sin(）＝0，可得4
π
φ=
，所以，712f π
??
=
???
2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02
A π
ω?>><<
）的图象与x 轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[
,]122
x ππ
∈，求()f x 的值域.
【解析】（1）由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2
π，即T π=，222T ππ
ωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126
k π?π∴=- 又(0,
),,()2sin(2)266f x x π
ππ
??∈∴=
=+故
（2）7[,],2[,]122636
x x πππππ
∈∴+∈
当26
x π+=
2
π
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2；当726
6
x π
π
+
=
即2
x π
=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4
π
)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移
4π B.向左平移4
π
C.向右平移
12π D.向左平移12
π 分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或
图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.
解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4
π－3x )＝sin ［－3(x －12π
)］
∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12
π
才能得到y ＝sin(－3x )的图象.
答案：D
4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移
3
π
，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )
A.y ＝sin(2x ＋
3π) B.y ＝sin(2x －3π) C.y ＝sin(2x ＋32π) D.y ＝sin(2x －3
2π
)
分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.
解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3
π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).
若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－
8
π
对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8
π
对称的两点 ∴f (0)＝f (－
4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2
π
)
∴a ＝－1
若对任意实数a ，函数y ＝5sin(
312+k πx －6
π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45
出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )
A.2
B.4
C.3或4
D.2或3
分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .
解：∵T ＝
3)3(,126
3
1
22=-++=+a a k k ππ
又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现4
5
值8次应有4个周期.
∴有4T ≥3且2T ≤3
即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23
解得23≤k ≤2
7
，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.
巧求初相角
求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.
如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋?)(A ＞0，ω＞0)，｜?｜＜π的图象，
由图中条件，写出该函数解析式. 错解：
由图知：A ＝5
由
2
3252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝3
2
∴y ＝5sin(3
2
x ＋?)
将(π，0)代入该式得：5sin(3
2
π＋?)＝0 由sin(
32π＋?)＝0，得32π＋?＝k π ?＝k π－3
2π
(k ∈Z )
∵｜?｜＜π，∴?＝－32π或?＝3
π
∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3
π
)
分析：由题意可知，点(4
π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π
)中，令x
＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2
π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题
意.
那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个
解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.
正解一：(单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上
∴
32π＋?∈［2
π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z )
由sin(
32π＋?)＝0得3
2π＋?＝2k π＋π ∴?＝2k π＋3
π
(k ∈Z ) ∵｜?｜＜π，∴?＝3
π
正解二：(最值点法)
将最高点坐标(
4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋?)得5sin(6
π
＋?)＝5
∴6π＋?＝2k π＋2
π ∴?＝2k π＋3π (k ∈Z )取?＝3
π
正解三：(起始点法)
函数y ＝A sin(ωx ＋?)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ω
x +?=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角?.由图象求得x 0=-2
x
,∴?=-ωx 0=-
32 (-2π)=3
π. 正解四：(平移法)
由图象知，将y =5sin(
32x )的图象沿x 轴向左平移2
π
个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3
π
).
【基础知识精讲】
1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.
ωx 1+φ=0x 1=-,ωx 2+φ=x 2=
ωx 3=πx 3=,ωx 4+φ=x 4=,ωx 5+φ=2πx 5=.
即五点(-,0),( ,A),( ,0).( ,-A).( ,0)
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.
(1)振幅变换
函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.
(2)周期变换
函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标
?ωΦ
2π?ωπ
Φ
-2
?ωπΦ-23π?ωπΦ
-2
3?ωπΦ-2ωΦωπΦ-2ωπΦ-ωπΦ
-2
3ωπΦ-2
都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像
变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸
缩.
(3)相位变换
函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.
应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.
事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.
(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f
3.y=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动
在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.
A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.
T=称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期). f== 称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，
当t=0时的相位，即φ称为初相.
4.函数图像的对称变换
一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.
前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：
(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.
(4)函数y=f -1
(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】
重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.
例1 函数y=3cos(-)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到?
解：y=3cos(-)=3sin ［+( -)］
=3sin(+).
先将y=sinx 的图像向右平移个单位，得到y 1=sin(x+)的图像.再将y 1的图像上各
)ω1
ωπ2ωπ
2T 1πω
22x 4π
2x 4π2π2x 4π
2x 4π4π4π
点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(+)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.
评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).
例2用五点法作出函数y=4sin(+)在一个周期内的简图.
解：函数y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4π,令+=0,得初始值x0=-(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).
评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的，即x i=x i-1+(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.
例3设三角函数f(x)=sin(x+)(k≠0).
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；
(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.
解：(1)M=1,m=-1,T==.
(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须
2
x
4
π
2
x
8
π2
x
4
π
2
x
3
π
2
x
3
π
2
x
3
π
3
2π
44
5
k
3
π
5
2
k
π
k
π
10
f(x)的周期≤1，即≤1,｜k ｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.
例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.
分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐
标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.
∴函数解析式为y=2sin(x+).
【难题巧解点拔】
例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+)的图像的两种方法.
思路1 x →2x →2(x+)=2x+.
解法 1 y=sinx y=sin2x y=sin
［2(x+)］=sin(2x+).
思路2 x →x+→2x+.
k
π
1025
π
3235π
3π
6π3π
纵坐标不变横坐标缩短为原来的??????????→?21???????→
?π单位向左平移66π3π
3π3π
解法 2 y=sinx
y=sin(x+)
y=sin(2x+).
说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种
变换方法中的平移是不同的(即和)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.
例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是
y=sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.
分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以
上变换倒过来，由y=sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题
设中的变换分两步得：y=Asin ［(x+)+φ］,它就是y=sinx ，即可求得A 、ω、φ的
值.
解法1：问题即是将y=sinx 的图像先向右平移个单位，得y=sin(x-);再将
横坐标压缩到原来的，得y=sin(2x-),即y=-cos2x.这就是所求函数f(x)的解析
式.
例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.
解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-)=,所以y=3sin(2x+).
(2)A=,当x=0时，y=1,所以sin φ=1,又｜φ｜＜，所以φ=,当x=π时，
y=0，即sin(ω·+)=0,所以ω=,所以y=sin(x+).
评析：若已知曲线与
x 轴的交点的坐标，先确定ω=；若已知曲线与y 轴的交点的
坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横
???????→
?π
单位向左平移33π纵坐标不变横坐标缩短为原来的
?
?????????→?21
3π
6π3π
2π
21
21
2ω2π21
212π212π
21212π21
52π54π
54π222π4π1211
21211π4π1121211214π
T π
2
坐标.
1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.
2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+)+1的图像?
3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π的最小正周期为，最小值为-2，
且过点(π，0)，求它的表达式.
1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜)的图像在y 轴上的截距为1，它
在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2).
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图
像向x 轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列
表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像. 例2 右图为某三角函数图像的一段
（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；
（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．解：（1）T= 13π3－ π
3
=4π．
∴ω=2πT = 12
．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π
3而得到的．
∴解析式为 y=3sin 12 (x －π
3
)．
(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π
6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点
关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π
6）关于直线x=2π对称的
函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π
6
）．
2π
)32π
95
2π
31
3π
点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|
ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数
的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．
例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2
x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．
解 y=sin 2x+cos 2
x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4
)+2
当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π
8
(k ∈Z)时，y max = 2 +2 ．
点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2
+b 2
sin （x+φ）．
例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π
4+θ）+sin2θ的最小值．
分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一
个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．
解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2
(θ+π4
)－1］
=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2
(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1
=－2［cos(θ+π4)－14］2+9
8
．
∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π
3
］．
∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －1
2 ． 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，
通过换元转化成y=at 2
+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．
例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．
分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函
数的最值问题转化成y=at 2
+bt+c 在某区间上的最值问题．
解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2
+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，
∴y min =3
4
，y max =3+ 2 ．
点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2
+bt+c 在某个区间上的最值问题． 【知能集成】
较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，
则sinxcosx=t 2
－1
2
．
y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π
3
］时函数y 的最大值