目录
摘要................................................. - 1 - 1.设计意义与要求..................................... - 2 -
1.1设计意义 ...................................... - 2 -
1.2设计要求（具体题目）........................... - 2 -
2.题目解析........................................... - 3 -
2.1设计思路 ...................................... - 3 -
2.2详细设计 ...................................... - 4 -
2.2.1节点类型.................................. - 4 -
2.2.2待求量 ................................... - 4 -
2.2.3导纳矩阵.................................. - 4 -
2.2.4潮流方程.................................. - 5 -
2.2.5牛顿—拉夫逊算法.......................... - 6 -
2.2.5.1牛顿算法数学原理：................... - 6 -
2.2.5.2修正方程............................. - 7 -
2.2.5.3收敛条件............................. - 9 -
3.结果分析.......................................... - 10 -
4.小结.............................................. - 11 - 参考文献............................................ - 12 -
摘要
电力系统的出现，使高效，无污染，使用方便，易于调控的电能得到广泛应用，推动了社会生产各个领域的变化，开创了电力时代，发生于第二次技术革命。电力系统的规模和技术水准已经成为一个国家经济发展水平的标志之一。
电力系统稳态分析包括潮流计算和静态安全分析。电力系统潮流计算是电力系统最基本的计算，也是最重要的计算。所谓潮流计算，就是已知电网的接线方式与参数及运行条件，计算电力系统稳态运行各母线电压、个支路电流与功率及网损。对于正在运行的电力系统，通过潮流计算可以判断电网母线电压、支路电流和功率是否越限，如果有越限，就应采取措施，调整运行方式。对于正在规划的电力系统，通过潮流计算，可以为选择电网供电方案和电气设备提供依据。潮流计算还可以为继电保护和自动装置定整计算、电力系统故障计算和稳定计算等提供原始数据。
在数学上，潮流计算是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。牛顿—拉夫逊法是数学上解非线性方程式的有效方法，有较好的收敛性。将牛顿法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使牛顿法在收敛性、占用内存、计算速度等方面都达到了一定的要求。
本文以一个具体例子分析潮流计算的具体方法，并运用牛顿—拉夫逊算法求解线性方程。
关键词：电力系统潮流计算牛顿—拉夫逊算法
1.设计意义与要求
1.1设计意义
潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布及功率损耗等。潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。
具体表现在以下方面：
(1)在电网规划阶段,通过潮流计算,合理规划电源容量及接入点,合理规划网架,选择无功补偿方案,满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
(2)在编制年运行方式时,在预计负荷增长及新设备投运基础上,选择典型方式进行潮流计算,发现电网中薄弱环节,供调度员日常调度控制参考,并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。
(3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算,用于日运行方式的编制,指导发电厂开机方式,有功、无功调整方案及负荷调整方案,满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。
(4)预想事故、设备退出运行对静态安全的影响分析及作出预想的运行方式调整方案。
总结为在电力系统运行方式和规划方案的研究中，都需要进行潮流计算以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。同时，为了实时监控电力系统的运行状态，也需要进行大量而快速的潮流计算。因此，潮流计算是电力系统中应用最广泛、最基本和最重要的一种电气运算。在系统规划设计和安排系统的运行方式时，采用离线潮流计算；在电力系统运行状态的实时监控中，则采用在线潮流计算。
1.2设计要求（具体题目）
如图所示的电网：
1）根据给定的运行条件，确定图中电力系统潮流计算时各节点的类型、待求量；2）求节点导纳矩阵Y；
3）给出潮流方程或功率方程的表达式；
4）当用牛顿—拉夫逊法计算潮流时，给出修正方程和迭代收敛条件；
系统如图1.1所示
2.题目解析
2.1设计思路
此题目为负载电力系统潮流计算模型。
首先写出节点导纳矩阵，并分析各节点的类型，找出待求量。然后，确定潮流方程。最后进行潮流计算，而最后一步，可利用牛顿—拉夫逊法进行潮流分析。
2.2详细设计
2.2.1节点类型
电力系统潮流计算中，节点一般分为如下几种类型：
PQ节点：节点注入的有功功率无功功率是已知的；
PV节点：节点注入的有功功率已知，节点电压幅值恒定，一般由无功储备比较充足的电厂和电站充当；
平衡节点：节点的电压为1*exp(0°)，其注入的有功无功功率可以任意调节，一般由具有调频发电厂充当。
更复杂的潮流计算，还有其他节点，或者是这三种节点的组合，在一定条件下可以相互转换。
对于本题目，节点分析如下：
节点1给出有功功率为2.，无功功率为1， PQ节点。
节点2给出有功功率为0.5，电压幅值为1.0，PV节点。
节点3电压相位是0，电压幅值为1，平衡节点。
2.2.2待求量
节点1待求量是P，Q；
节点2待求量是Q，δ；
节点3待求量是U，δ。
2.2.3导纳矩阵
导纳矩阵分为节点导纳矩阵、结点导纳矩阵、支路导纳矩阵、二端口导纳矩阵。
结点导纳矩阵：对于一个给定的电路(网络)，由其关联矩阵A与支路导纳矩阵Y所确定的矩阵。
支路导纳矩阵：表示一个电路中各支路导纳参数的矩阵。其行数和列数均为
电路的支路总数。
二端口导纳矩阵：对应于二端口网络方程，由二端口参数组成。
节点导纳矩阵：以导纳的形式描述电力网络节点注入电流和节点电压关系的矩阵。它给出了电力网络连接关系和元件特性的全部信息，是潮流计算的基础方程式。
本例应用结点导纳矩阵 具体计算时，根据如下公式： Y ii = y i0 + ∑y ij Y ik = -y ik
由题给出的导纳可求的节点导纳矩阵如下：
11y =1312y y +=1.25-j5.5
35.02112j y y +-== 5.275.03113+-==y y 73.1232122j y y y -=+= 48.032
23j y y +-== 5.655.1323133j y y y -=+= 进而节点导纳矩阵为：
2.2.4潮流方程
网络方程是潮流计算的基础，如果给出电压源或电流源，便可解得电流、电压分布。然而，潮流计算中，这些值都是无法准确给定的。这样，就需要列出潮流方程。
对n 个节点的网络，电力系统的潮流方程一般形式是
（i=1,2，…，n ）
??
???
?????++++++=j6.5-1.55j40.8-j2.50.75-j40.8-j7-1.3j30.5-j2.50.75-j30.5-j5.5-1.25Y ∑==-n
j j
ij i
i
i V Y V jQ P 1
.
*
其中P i = P Gi - P Ldi , Q i = Q Gi - Q Ldi ,即PQ 分别为节点的有功功率无功功率。 代入得潮流方程： =(1.25-j5.5)·11δ∠U +(0.5-j3)·21δ∠+(0.75-j2.5)01∠°
=(0.5-j3)·11δ∠U +(1.3-j7)·21δ∠+(0.8-j4)·01∠°
=(0.75-j2.5)·11δ∠U +(0.8-j4)·21δ∠+(1.55-j6.5)·01∠°
2.2.5牛顿—拉夫逊算法
2.2.5.1牛顿算法数学原理：
牛顿法 （Newton Method ）：解非线性方程
f(x)=0
的牛顿(Newton) 法，
就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
设有单变量非线性方程()0=x f ，给出解的近似值()0x ，它与真解的误差为
()0x ?，则()()0
0x
x x ?+=将满足()0=x f ，即： ()()()
0=?+x x f 将上式左边的函数在()0x 附近展成泰勒级数，如果差值()0x ?很小，()0x ?二次及以上阶次的各项均可略去得：
()()()()()()()
()
00`000=?+=?+x x f x f x x f 这是对于变量的修正量()0x ?的线性方程式，成为修正方程，解此方程可得
修正量：
用所求得的()0x ?去修正近似解，便得
修正后的近似解()1x 同真解仍然有误差。为了进一步逼近真解，可以反复进
1
11
2δ∠-U j 2
2
15.0δ∠-jq
013
3∠-q p ()()()()
()
0`00x
f x f x -=?()()()()()()()()0
`0
0001x
f x f x x x x -=?+=
行迭代计算，迭代计算通式是
迭代过程的收敛判据为()()()2
1εε
k x x f 或 式中，1∑和2∑为预先给定的小正数。
牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法，此法不仅用于求单变量方程，也适用于多变量非线性代数方程的有效方法。
牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。
牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。 2.2.5.2修正方程
计算1、2节点的不平衡量i i i P V Q ???和、
()()0V V V 2
2
2
2S 022=-=? 节点3是平衡节点，其电压i i jf e +=i V 是给定的，故不参加迭代。
根据给定的容许误差510-=ε，按收敛判据()()()
{}
ε
k i k i V Q P 2,,max 进行校验，以上节点1、2的不平衡量都未满足收敛条件，于是继续以下计算。
修正方程式为： V J W ?-=? (n=3)
T 22
211]V P Q P [W ????=? []T
f e f e 2
211V ????=? ()
()
()
()()
()
k k k x f x
f x x
`1k -=+()()()()()()()()()
()()202G G G 213
1211313101010101010110
1101-=--=++--=?
?
????++--=-=?∑∑==j j j j j j j j j j s s e B f G f f B e G e P P P P ()()
()()()()()()()
()
()101B B B 1Q Q Q Q 13
12113131010101010101101101-=--=++--=?
?
????+---=-=?∑∑==j j j j j j j j j j s s e B f G e f B e G f
??????????
??????
???
???????????????????????????????????????????????????=2
222221221
2222221212212111112121111
1f V e V f V e V f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f P e P f P e
P J
以上雅可比矩阵J 中的各元素值是通过求偏导数获得的，对PQ 节点来说，
is
is
Q P 和是给定的，因而可以写出
()()0()()0i
i j
i j i
i j j i j
j
i s
j
j
j
ji ji i j i j i j j j i j j i i s i j j ji ji p f f f e G e G e P B B Q Q f f f G e e G e B B ∈
∈
∈∈??=---+=?
?
?=--++=??
∑∑∑∑ 对PV 节点来说，给定量是is is
V P 和，因此可以列出 2222
()()0()0i i s i j i j i i j j i j j j i j ji ji i i s i i f f f e G e G e P P B B f V Ve ∈∈
??=---+=????=-+=?
∑∑ 当j i ≠时, 雅可比矩阵中非对角元素为
22
()0
i i
ij i ij i j j i i ij i ij i j j
j j P Q G e B f e f P Q B e G f f e U U e f ?????=-=-+??????
??????
==-????????????==????
当j i =时,雅可比矩阵中对角元素为:
1
111
2
2
()()()()22n
i i j j i j j i i i i i i j i n i
i j j i j j i i i i i i j j n i
i j j i j j i i i i i i j i n
i
i j j i j j i i i i i i j j i i
j
i i i P G e B f G e B f e P G f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f U e e U f f ====???
=----???
???=-+-+???
????=+-+???
????
=-?-++??????
=-?????=-??
∑∑∑∑???
代入数值后的修正方程为：
?
???????????
--=?????????????
????????????
???--------05.012020073.135.05.0325.15.535.05.525.122
11f e f e 求解修正方程得：
???????????
?---=????????????????1015.003611.02547.02211f e f e 计算节点电压的第一次近似值
2.2.5.3收敛条件
()()()()()()()()()
()()()1015
.01015.001
013611
.03611.007453.02547.0
1020212020212010111010111-=-=?+==-=?+=-=-=?+==-=?+=f f f e e e f f f e e e 一轮迭代结束，根据收敛条件收敛判据()()(){}
ε
k i k i V Q P 2,,max ，若等式成立，结果收敛，迭代结束，计算平衡节点的功率和线路潮流计算，否则继续计算雅可比矩阵，解修正方程，直到满足收敛判据。
3.结果分析
给定节点电压初值()()()()()()
0,0.103
020*******======f f f e e e ,经过四次笔算迭代过程后，得到节点电压和不平衡功率的变化情况分别于表1和表2所示（取
5
-
表3.1 迭代过程中节点电压变化情况
表3.2 迭代过程中节点不平衡量变化情况
又利用C 语言计算矩阵，进行了四次迭代，结果仍然没有收敛。 因此，我经过分析认为，次组初值，并不合适，无法收敛。 我又阅读了有关文章，其中有如下结论：
“多年的实践证明，牛顿法具有很好的二次收敛性，是求解多元非线性方程的经典算法，至今仍是电力系统潮流计算的主流。因此，一般认为算法不是导致不收敛的原 因，潮流不收敛产生的主要原因是计算的初始条件给得不合理，导致潮流方程无解。”
——中国自动化网. 改善调度员潮流计算收敛性的措施
4.小结
通过这次电力系统分析课程设计，我对自己以往的学习有了很深的认识。电力系统分析专业课的系统学习刚刚结束，但是由于电力系统分析课程本身较难，在学习过程中没有做到足够的理解学习以及在以后的时间没有做到充分的温习，因此在这次设计作业的解题过程中感遇到了很大的阻力。
首先拿到图就感到不知所云，只有第二问能轻松做出，其他几文完全犹如丈二和尚摸不着头脑。已经超出我们平时作业的水平，也超出了我们的能力范围，以至好长时间都没有动笔，只是每次拿出来看几眼。慢慢看出了些眉头后，又通过请教同学和老师把部分不懂的细节弄清了。完成这个艰难的第一步后，对整个题目解析宏观的把握，对解题方法也有了大致思路。第二步就是详细分析，计算线路参数作出等值电路，这一步相对进行的比较顺利。接下来就是理清思路认真做潮流计算，在做潮流计算的时候由于计算量比较大，线路参数比较多，所花的时间很多。更困难的是，其中很多计算如果用笔算，需要大量时间精力，而选择编程计算机计算同样需要大量时间，经过斟酌，还是决定笔算。然而，意外总是在最糟糕的情况下发生，经过多次计算，我们仍无法得出答案，只好用计算机编程计算。于是采用了我比较熟练的C语言编程，利用MicrosoftVisualCV6·0进行计算。最终，计算机的结果与笔算结果一致，因此，我们也有了上述的的结论。完成整个潮流计算后，面临这一个更艰巨的任务，就是手写稿转化成电子稿。由于公式比较复杂，上下标多，对公式编辑及画图软件应用甚少，操作起来很费时。
通过此次的课程设计，让我认识到一个很严重的问题：我们的学习不扎实。考完之后或是经过一段时间我们就对前面学过的知识没有映像了，这主要是因为没有理解性学习。所以，在以后的学习中，一定要学的扎实，学的牢靠，并且能学以致用，活学活用。同时，作为电气工程及其自动化专业本科生，我们对计算机编程等使用还不够熟练，毕竟，以后的计算，基本由计算机完成，掌握好编程，就如同海上航行把握住了风向，必然一帆风顺。
另外，这次课程设计也为明年的毕业论文打下了很好的基础。
参考文献
[1] 何仰赞温增银电力系统分析华中科技大学出版社2006
[2] 何仰赞温增银电力系统分析题解华中科技大学出版社2006
[3] 中国自动化网
[4] 于永源杨绮雯电力系统分析（第二版）中国电力出版社2007
[5] 谭浩强《C程序设计》第三版