二次函数与幂函数
1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．
3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】
本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．
基础梳理
1．二次函数的基本知识
(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .
(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝
－b 2a ，顶点坐标是? ??
??
－b 2a ，
4ac －b 2
4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在?
????－∞，－b 2a 上递减，在??????
－b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2
4a
；
②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在?
????－∞，－b 2a 上递增，在??????
－b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2
4a
.
③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ
|a |
. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数
(1)幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
第一象限一定有图像且过点（1，1）；
第四象限一定无图像；
当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；
第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0 一条主线 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 两种方法 二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法： (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内x 1，x 2，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝ f (x )图象的对称轴方程为x ＝ x 1＋x 2 2 ； (2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)． 两种问题 与二次函数有关的不等式恒成立问题： (1)ax 2 ＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是??? a ＞0， b 2 －4ac ＜0； (2)ax 2＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是??? a ＜0， b 2 －4ac ＜0. 双基自测 1．下列函数中是幂函数的是( )． A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1 x 2 C ．y ＝x 2＋x D ．y ＝－1 x 2．(2011·九江模拟)已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )． A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)＞25 3．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．(2011·陕西)函数 的图象是( )． 5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1， x 2，则x 1＋x 2＝________. 考向一 求二次函数的解析式 【例1】?已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式． 【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式． 考向二 幂函数的图象和性质 【例2】?幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ???－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________. 考向三 二次函数的图象与性质 【例3】?已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值． 【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )． A．y＝2x2B．y＝1 x2 C．y＝x2＋x D．y＝－1 x 解析A，C，D均不符合幂函数的定义． 答案B 2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )． A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)＞25 解析对称轴x＝m 8 ≤－2，∴m≤－16， ∴f(1)＝9－m≥25. 答案A 3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2. 答案C 4．(2011·陕西)函数的图象是( )． 解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A ，D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C. 答案 B 5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1， x 2，则x 1＋x 2＝________. 解析 由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有 x 1＋x 2 2 ＝3?x 1＋x 2＝6. 答案 6 考向一 求二次函数的解析式 【例1】?已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式． [审题视点] 采用待定系数法求f (x )，再由f (x )与g (x )的图象关于原点对称，求g (x )． 解 依题意得??? 1＋m ＋n ＝3， －m 2＝－1， 解得：?? ? m ＝2，n ＝0， ∴f (x )＝x 2＋2x . 设函数y ＝f (x )图象上的任意一点A (x 0，y 0)，该点关于原点的对称点为B (x ，y )，则x 0＝－x ，y 0＝－y . ∵点A (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上， ∴y 0＝x 20＋2x 0，∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x ， 即g (x )＝－x 2＋2x . 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起． 【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值 是8.试确定此二次函数的解析式． 解 法一 利用二次函数的一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得??? ?? 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解之得??? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. ∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 利用二次函数的顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)． ∴此二次函数的对称轴为x ＝ 2＋ －12 ＝12 . ∴m ＝1 2，又根据题意，函数有最大值8，即n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ? ? ???x －122＋8， ∵f (2)＝－1，∴a ? ? ???2－122＋8＝－1， 解之得a ＝－4. ∴f (x )＝－4? ? ???x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 考向二 幂函数的图象和性质 【例2】?幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值． 解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3， 又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2. ∵m 2－2m －3为偶数， 经验证m ＝1符合题意． 答案 C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性． 【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ???－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________. 解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则1 2＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1. 答案 ±1 考向三 二次函数的图象与性质 【例3】?已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值． [审题视点] 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论． 解 函数f (x )＝x 2 －2ax ＋1＝(x －a )2 ＋1－a 2 的对称轴是直线x ＝a ， (1)若a ＜0，f (x )在区间[0,2]上单调递增， 当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (2)若0≤a ＜1，则 当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (3)若1≤a ＜2，则 当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1； (4)若a ≥2，则f (x )在区间[0,2]上单调递减， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a . 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋ n (a ≠0)的形式，得顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三个类型： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动． 【训练3】 已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 从小到大的顺序是________． 解析 由于f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )的图象是开口向下的抛物线，因为 f (a )＝f (b )＝1＞0，f (m )＝f (n )＝0，可得a ∈(m ，n )，b ∈(m ，n )，所以m ＜a ＜b ＜n . 答案 m ＜a ＜b ＜n 考向四 有关二次函数的综合问题 【例4】?设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围． [审题视点] 通过讨论开口方向和对称轴位置求解． 解 当a ＞0时，f (x )＝a ? ? ???x －1a ＋2－1a . ∴?? ? 1 a ≤1， f 1＝a －2＋2≥0 或??? ?? 1＜1a ＜4，f ? ?? ?? 1a ＝2－1a ＞0 或?? ? 1a ≥4，f 4＝16a －8＋2≥0， ∴??? a ≥1，a ≥0 或??? ?? 1 4＜a ＜1，a ＞12 或??? ?? a ≤1 4，a ≥38. ∴a ≥1或12＜a ＜1或?，即a ＞1 2； 当a ＜0时，?? ? f 1＝a －2＋2≥0，f 4 ＝16a －8＋2≥0， 解得a ∈?； 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， ∴不合题意． 综上可得，实数a 的取值范围是a ＞1 2 . 含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力． 【训练4】 已知二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝?? ? f x ，x ＞0， －f x ，x ＜0. 若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式； (2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立， ∴?? ? a ＞0，Δ＝a ＋12 －4a ≤0， ∴?? ? a ＞0，a －1 2 ≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝??? x 2 ＋2x ＋1，x ＞0， －x 2 －2x －1，x ＜0. (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴ k －22 ≤－2，或 k －22 ≥2，解得k ≤－2，或k ≥6. 所以k 的取值范围为k ≤－2，或k ≥6. 规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行 分类讨论，避免漏解． 【解决方案】 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论． 【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )． 求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论． [解答示范] ∵f (x )＝－4? ? ???x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为? ???? a 2，－4a .(1分) ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a 2 时， f (x )取最大值为－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝5 4∈(0,2)；(7分) ③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0， 解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝5 4或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2 ＋5x － 10516 或f (x )＝－4x 2 －20x －5.(12分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论． 【试一试】 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )． [尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1， 而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论． 当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝?? ? a 2 －2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1. 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③； 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α =（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象 限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+， ∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3）比较0.5 0.8 ，0.5 0.9，0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围 幂函数练习题及答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =3 2 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 （ ） A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),1[+∞- 9． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心. 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ） A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α 二次函数与幂函数 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝ －b 2a ，顶点坐标是? ?? ?? －b 2a ， 4ac －b 2 4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在? ????－∞，－b 2a 上递减，在?????? －b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2 4a ； ②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在? ????－∞，－b 2a 上递增，在?????? －b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2 4a . ③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数 幂函数经典例题（答案） 幕函数的概念 例1、下列结论中，正确的是() A ?幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C ?当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数 D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数 解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2 )(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值? ' 分析 关于舉函数y=x a ( 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12 - 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．已知幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ） 3.3 幂函数中档题 一．选择题（共4小题） 1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（） A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞） 2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（） A．B．C． D． 3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值 （） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）； ③＞；④＜．其中正确结论的序号是． 三．解答题（共13小题） 6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣ k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围． 7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求a++的取值围． 8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求的取值围． 9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上 是减函数， （1）求函数f（x）的解析式； （2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小． 10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=． （1）求g（x），f（x）的解析式； （2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围． 11．函数f（x）=是偶函数． （1）试确定a的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域． 12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a） 幂函数、二次函数 考纲解读 1.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1 2的图象解决简单的幂函数问题； 2.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题； 3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题． [基础梳理] 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较： 2．二次函数 (1)解析式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质： (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [三基自测] 1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点????12，2 2，则k ＋α＝( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．2 答案：C 2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3 答案：D 3．幂函数f (x )＝xa 2－10a ＋23(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C 4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与1 2[g (1)＋g (3)]的大小关 系为________． 答案：g (2)<1 2 [g (1)＋g (3)] 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的增区间为__________． 答案：? ?? ??132，＋∞ [考点例题] 考点一 幂函数的图象和性质|易错突破 [例1] (1)已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1) 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，数t的值． 分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t＝1且f(x)＝x 8 5 或t＝－1且f(x)＝x 2 5 . 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限的图象，则( ) A ．-1 幂函数经典例题(答案) A ．-1 作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m . 解 根据幂函数定义得 m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1 m 2－1 ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得??? m 2＋2m －2＝1 m 2 －1≠0 2n －3＝0 ， 解得? ???? m ＝－3n ＝3 2， 所以m ＝－3，n ＝32 . 例6、比较下列各组中两个数的大小： （1）5 3 5.1，5 37.1；（2）0.71.5 ，0.61.5 ；（3）3 2) 2.1(－ －，3 2) 25.1(－ －． 次函数与幕函数 1. 求二次函数的解析式. 2. 求二次函数的值域与最值. 3. 利用幕函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幕函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用. 基础梳理 1. 二次函数的基本知识 (1)函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)叫做二次函数，它的定义域是R ⑵二次函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x = ―，顶点坐标是. ①当a>0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x=—时， f ( x) min ―； ②当a v0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x——时， 1 \入) max—. ③二次函数f (x) —ax2+ bx+ c(a M0)当△—b2—4ac>0时，图象与x轴有两个交点M(x i,0)、Mg。)，|MM|—“ —X2|—. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x) —ax2+ bx+ c(a^0)； ②顶点式：f (x) —a(x —m)2+ h(a^0)； ③两根式：f (x) —a(x —x i)( x —X2)( a M0). 2. 幕函数 (1)幕函数的定义 形如y —x a( a € R)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数. ⑵幕函数的图象 (3)幕函数的性质 第一象限一定有图像且过点(1,1); 第四象限一定无图像； 当幕函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限； 第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0 幂函数练习题及答案解析 13 )n ，则n ＝________. 解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13 )n ， ∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2 1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减． 2．幂函数的图象过点(2，1 4 )，则它的单调递 增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选C. 幂函数为y＝x－2＝1 x2，偶函数图象如图． 3．给出四个说法： ①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y＝x n在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－1 2的 图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B. 4．设α∈{－2，－1，－1 2， 1 3， 1 2，1,2,3}， 则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数， ∴α＝－1，1 3，1,3. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1. 5．使(3－2x－x2)－3 4 有意义的x的取值范围是() A．R B．x≠1且x≠3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：选 C.(3－2x－x2)－3 4＝ 1 4 (3－2x－x2)3 ， ∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0， 解得－3＜x＜1. 6．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝() A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 幕函数的概念 例1、下列结论中，正确的是（） A.幕函数的图象都通过点（0,0）, （1,1） B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C.当幕指数。取1,3,少寸，幕函数），=对是增函数 D.当幕指数G= — 1时，幕函数y=/在定义域上是减函数 解析当幕指数6（= - 1时，幕函数y = 的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幕函数在区间（0 , +8）上都有定义，且）'=寸（aGR） , y>0 , 所以幕函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当?= - 1时，y = x-!在区间（?8,0）和（0 , + 8）上是减函数，但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数冷）=（尸一/+1）*7 + 3/—2户）（作Z）是偶函数且在（0, +8）上为增函数，求实数，的值. 分析关于氨函数），=寸（aUR,。尹0）的奇偶性问题，设富（Ipl、Igl互质），当g为偶数时，p必为奇数，），=.*是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=/的奇偶性与p的值相对应. 解 ..顶>）是嘉函数，."./ + 1 = 1 , .?"= ? 1,1 或0. 7 当，=。时，/W = y是奇函数； 2 当/=?1时顶x） = y是偶函数； Q 2 R 当L1时，/u）= y是偶函数，且i和M都大于0 , 在（0 , +8）上为增函数. 故t= 1且/U）=碍或t= -1且.冏=%|. 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件给予足够的重视. 例3、如图是幕函数与 y=? 在第一象限内的图象，贝ij() m>\ 解析 在(0,1)内取同一值A-o ,作直线A=XO ,与各图象有交点，则“点低指数 大”.如图，04,求x 的取值范围. 1 1 错解 由于，则由X 2〉* ,可得XER 错因分析 上述错解原因是没有掌握篆函数的图象特征，尤其是)，=普在 O>\和0幂函数经典例题
指对幂函数经典练习题
指数函数、对数函数、幂函数练习题大全
幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
幂函数知识点及典型题
幂函数练习题与答案
幂函数的典型例题.doc
幂函数练习题及答案
次函数与幂函数典型例题
幂函数经典例题(答案)
高三数学专题复习总结-(幂函数)经典
幂函数中档题(含答案)
高中数学幂函数考点及经典例题题型突破
幂函数经典例题(问题详解)
幂函数经典例题(答案)
二次函数与幂函数典型例题含答案
幂函数练习题及答案解析
高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
幂函数经典例题(答案)
相关主题
文本预览