数学实验矩阵的运算
数学实验报告
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实验四矩阵的运算
（一）投入产出分析
一．实验目的
1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；
2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆
矩阵等的含义。
二．问题描述
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示
表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表
根据表回答下列问题：
（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为
50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？
（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?
三.实验过程
1．问题（1）的求解
（1）求直接消耗矩阵A
根据直接消耗的计算公式
a ij=x ij/x j
和各部门中间需求;
x n a n
运行如下代码可得直接消耗系数表。
X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];
X_colsum=[100 200 150];
X_rep=repmat(X_colsum,3,1)
A=X./ X_rep
运行结果为：
A =
0.1500 0.1000 0.2000
0.3000 0.0500 0.3000
0.2000 0.3000 0
（2）求解
根据公式
X=(I-A)-1y
在运行如下代码
y=[50;150;100];
n=size(y,1);
W=eye(n)-A;
X=W\y
运行结果为
X =
139.2801
267.6056
208.1377
即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。
2．问题2求解
设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy
利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB代码可得问题的结果：
dx=inv(W)
运行结果:
dx =
1.3459 0.2504 0.3443
0.5634 1.2676 0.4930
0.4382 0.4304 1.2167
根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加
1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加
0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加
0.3443,0.4930，1.2167个单位。
四．实验总结
投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。
（二）Hill密码的加密、解密与破译
一、实验目的
1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和
运算.
2. 熟悉Hill密码体制的加密, 解密和破译过程.
3. Hill密码体制的加密, 解密和破译过程的MATLAB
编程实践.
二、问题描述
对明文为“Mr Hill made this code”,利运用不同的密匙矩阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。
三．实验过程
（1）模型建立于问题分析
简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：
表2-1 26个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系设明文为M=（m1, m2,…,m i）T，密匙矩阵为可逆的l x l的方阵，则经过线性变换得到密文C=E K（M）=
（c1c2…cI）T，其中
C1=(k11m1+ k12m2+…+ k1l m l)mod28,
C2=(k21m1+ k22m2+…+ k2l m l)mod28,
………….
C l=(k l1m1+ k l2m2+…+ k ll m l)mod28,
或写成矩阵形式
C=（KM）mod28,
其中
C=（C1，C2，…，C l）T ，M=（m1，m2，…，m l）T，
K=(k ij)lxl
解密得明文
M=（K-1C）mod28
注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、或小数。当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵K-1的元素是整数。若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。
（2）加密
对明文为“Mr Hill made this code。”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：
. 13 9 13 0 19 4
M= 18 12 1 20 0 5
0 12 4 8 3 27
8 0 5 9 15 0
为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：
4 x 8 y
K1 = 12 1 6 9 , I K1I=1,
3 6
4 6
2 11
3 8
利用如下的MATLAB代码可求得密匙矩阵K1的行列式：
syms x y;
K=[4,x,8,y;12,1,6,9;3,6,4,6;2,11,3,8];
det_K=det(K)
运行结果：
det_K=
-760-105*x+187*y
可知二元一次方程为
-760-150x+187y=1，即105x-187y=-761.
下面利用辗转相除法求一整数解。
设u=x,v=-y,得
105u+187v=-761
对上式辗转相除：
187=1x105+82
105=1x82+23
82=3x23+13
13=1x10+3
10=3x3=1
3=3x3=0
从而得到