高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数
列的极限
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
课时授课计划
课次序号： 02 一、课题：§1.2 数列的极限
二、课型：新授课
三、目的要求：1.理解数列极限的概念；
2.了解收敛数列的性质.
四、教学重点：数列极限的定义.
教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.
五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．
六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，
高等教育出版社；
2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．
七、作业：习题1–2 3（2）（4），5
八、授课记录：
九、授课效果分析：
第二节 数列的极限
复习
1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；
2. 数列的有关知识.
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-?n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：
，，，，，， n A A A A 321
它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上
称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆
面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．
在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．
一、 数列极限的定义
1. 数列的概念
定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜
n ∈N }中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f （1），f （2），…，f （n ），…．通常数列也写成x 1，x 2，…，x n ，…，并简记为{x n }，其中数列中的每个数称为一项，而x n =f （n ）称为一般项或通项．
对于一个数列，我们感兴趣的是当n 无限增大时，x n 的变化趋势．
以下几个均为数列：
1，12，23，…，1n n
-，... （1） 2，4，6，...，2n ， (2)
1，0，1，…，1
1+(1)n n
--，… （3） 1，12-，13
，...，1(1)n n --，... （4） 2，2，2，...，2， (5)
2. 数列的极限
当n 无限增大时，若数列的项x n 能与某个常数a 无限地接近，则称此数列收敛，常数a 称为当n 无限增大时该数列的极限，如数列（1），（4），（5）均为收敛数列，它们的极限分别为1，0，2．但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n 无限增大”与“x n 无限地接近a ”进行定量的描述，让我们来研究数列（4）．
取0的邻域U (0, ε)．
1. 当ε=2时，数列（4）的所有项均属于U (0,2)，即n ≥1时，x n ∈U (0,2)．
2. 当0.1ε=时，数列（4）中除开始的10项外，从第11项起的一切项x 11，x 12，…，x n ，…均属于(0,0.1)U ，即n ＞10时，(0,0.1)n x U ∈．
3. 当0.0003ε=时，数列（4）中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项x 3334，x 3335，…，x n ，…均属于(0,0.0003)U ，即n ＞3333时，(0,0.0003)n x U ∈．
如此推下去，无论ε是多么小的正数，总存在N （N 为大于
1ε
的正整数），使得n ＞N 时， ｜x n -0｜=1(1)0n n
---=1n ≤1N ＜ε， 即 1
(1)n n x n
--=∈U (0, ε)． 一般地，对数列极限有以下定义．
定义2 若对任何ε＞0，总存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n -a |< ε，即(,)n x U a ε∈，则称数列{x n }收敛，a 称为数列{x n }当n →∞时的极限，记为
lim n n x →∞
=a 或 x n →a （n →∞）．
若数列{x n }不收敛，则称该数列发散．
注 定义中的正整数N 与ε有关，一般说来，N 将随ε减小而增大，这样的N 也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则比这个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N 均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，
(,)n x U a ε∈等价于｜x n -a ｜＜ε．
“数列{x n }的极限a ”的几何解释：
将常数a 及数列x 1,x 2,x 3,…,x n ,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(a -ε, a +ε)，如图1-33所示．
图1-33
因不等式 |x n -a |<ε 与不等式 a -ε
为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“?”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“m ax {X }”表示数集X 中的最大数；符号“min{X }”表示数集X 中的最小数．
例1 证明 1lim 2n
n →∞=0． 证?ε＞0(不妨设ε<1)，要使
102n -=12n ＜ε，只要2n ＞1ε，即n ＞（ln 1ε）/ln2． 因此，?ε＞0，取N =［（ln
1ε
）/ln2］，则当n ＞N 时，有102n -＜ε．由极限定义可知 1lim
2n n →∞=0． 例2 证明 1πlim cos 4
n n n →∞=0． 证 由于
1πcos 04n n -=1πcos 4n n ≤1n ，故?ε＞0，要使1πcos 04n n -＜ε，只要1n ＜ε，即n ＞1ε
． 因此，?ε＞0，取N =1ε??????
，则当n ＞N 时，有1πcos 04n n -＜ε．由极限定义可知 1πlim cos 4
n n n →∞=0． 用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法．
二、收敛数列的性质
1. 唯一性
定理1 若数列收敛，则其极限唯一．
证 假设数列{x n }收敛，但极限不唯一：lim n n x →∞=a ，lim n n x →∞=b ，且a ≠b ，不妨设a ＜b ，由极限定义，取ε=2b a -，则?N 1＞0，当n ＞N 1时，｜x n -a ｜＜2
b a -，即 32a b -＜x n ＜2
a b +, （6） ?N 2＞0，当n ＞N 2时，｜x n -b ｜＜2
b a -,即 2a b +＜x n ＜32
b a -, (7) 取N =m ax {N 1,N 2},则当n ＞N 时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列{x n }的极限必唯一．
2. 有界性
定义3 设有数列{x n }，若?M ∈R ，M ＞0，使对一切n =1，2，…，有｜x n ｜≤M ，则称数列{x n }是有界的，否则称它是无界的．
对于数列{x n },若?M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≤ M ，则称数列{x n }有上界；若?M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≥M ，则称数列{x n }有下界． 显然，数列{x n }有界的充要条件是{x n }既有上界又有下界．
例3 数列211n ????+??
有界；数列{n 2}有下界而无上界；数列{-n 2}有上界而无下界；数列{(1)1n
n --}既无上界又无下界．
定理2 若数列{ x n }收敛，则数列{x n }有界．
证 设lim n n x →∞=a ，由极限定义，?ε＞0，且ε＜1，?N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜ε＜1，从而｜x n ｜＜1+｜a ｜．
取M =m ax {1+｜a ｜,｜x 1｜,｜x 2｜,…,｜x N ｜}，则有｜x n ｜≤M 对一切n =1，2，3，…，成立，即{ x n }有界．
定理2 的逆命题不成立，例如数列{(1)n
-}有界，但它不收敛． 3. 保号性
定理3 若lim n n x →∞
=a ，a ＞0（或a ＜0），则?N ＞0，当n ＞N 时，x n ＞0（或x n ＜0）． 证 设a ＞0，由极限定义 ，对ε=
2a ＞0，?N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜2
a ， 即2a ＜x n ＜32a ，故当n ＞N 时，x n ＞2a ＞0．