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人教版高数必修一第2讲：集合的关系与运算(教师版)

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集合的关系与运算

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1、掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。

2、了解空集的含义与性质。

3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

4、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

一、子集：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合B 。

记作:A B B A ??或，读作：A 包含于B 或B 包含A 。

特别提醒：1、“A 是B 的子集”的含义是：集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，即由x A ∈，能推出x B ∈。如：{}{}1,11,0,1,2-?-；{}{}?深圳人中国人。2、当“A 不是B 的子集”时，我们记作：“()

A B B A ??//或”，读作：“A 不包含于B ，（或B 不包含A ）”。如：{}{}1,2,31,3,4,5?/。

3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ?。

4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有A ??。

5、在子集的定义中，不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。因为若A =?，则A 中不含有任何元素；若A =B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。

二、集合相等：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．

一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A =B 。特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证A B =，只需证A B ?与B A ?都成立即可。

三、真子集：

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记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，那么A C 。3、两个集合A 、B 之间的关系：A B A B B A A B A B A B A B A B ?=????????≠????????????

/?≠≠

且四、并集：

1、并集的概念：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。记作：A B ，读作：A 并B 。

符号语言表达式为：A B {}x x A x B =∈∈，或。

韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。

特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“x A x B ∈∈，或”这一条件包含下列三种情况：x A x B ∈?，但；x B x A ∈?，但；

x A x B ∈∈，且。

（2）对于A B {}x x A x B =∈∈，或，不能认为是由A 的所有元素和B 的所有元素组成的集合，因为A 与B 可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。

2、并集的性质：

（1）,A B A A B B ??；（2）A A A =；（3）A A ?=；（4）A B B A =。

3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：

（1）若A B ，则A B B =，如图①；

（2）若B A ，则A B A =，如图②； ① ② ③

（3）若A B =，则A B A =（A B B =），如图③；

（4）若A 与B 相交，则A B =图④中的阴影部分；

（5）若A 与B 相离，则A B =图⑤中的阴影部分。

④ ⑤

五、交集：

1、交集的概念：

一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的交集。

记作：A B ；读作：A 交B 。

符号语言表达式为：A B {}x x A x B =∈∈，且

韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：

如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

特别提醒：对于A B {}

x x A x B =∈∈，且，是指A B 中的任一元素都是A 与B 的公共元素，同时这些公共元素都属于A B 。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A 与集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =?。

2、交集的运算性质：

（1）,A B A A B B ??；（2）A A A =；（3）A ?=?；（4）A B B A =。

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3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：

（1）若A B ，则A B A =

，如图①；（2）若B A ，则A B B =

，如图②； ① ② ③ （3）若A B =，则A B A =

（A B B =），如图③；（4）若A 与B 相交，则A

B =图④中的阴影部分；（5）若A 与B 相离，则A B =?，如图⑤。

④ ⑤ 六：全集与补集：

1、全集的概念：

如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

2、补集的概念：

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集（即A U ?），由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集（或余集）。

记作：?U A ；读作：A 在U 中的补集；

符号语言表达式为：?U A {},x x U x A =∈?且；

韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：

类型一子集、真子集的概念

例1：已知集合M 满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M .

解析：由条件知，集合M 中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M 可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 练习1：写出满足{3,4}P ?{0,1,2,3,4}的所有集合P .

答案：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．练习2： (2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是( )

A ．?＝0

B ．?＝{0}

C ．?∈{0}

D ．??{0}

答案：D

类型二集合相等关系的应用

例2：已知集合{x 2，x ＋y,0}＝{x ，y x ，1}，求x

2 015＋y 2 015的值为________．解析：由题意知，0∈{x ，y x

，1}，

又∵x ≠0，∴y ＝0.

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