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高中数学阶段常见函数性质汇总

高中阶段常见函数性质汇总

函数名称:常数函数

解析式形式:f (x )＝b (b ∈R) 图象及其性质:函数f (ｘ)得图象就是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)得直线

定义域:R

值域:{b} 单调性:没有单调性

奇偶性:均为偶函数[当ｂ=0时,函数既就是奇函数又就是偶函数］

反函数:无反函数

周期性:无周期性

函数名称:一次函数

解析式形式:ｆ(x )=kx +ｂ (k ≠0,ｂ∈Ｒ) 图象及其性质:直线型图象、｜k ｜越大,图象越陡;|k ｜越小,图象越平缓;

当b =0时,函数ｆ(ｘ)得图象过原点;

当b =０且k ＝１时,函数ｆ(x )得图象为一、三象限角平分线;

当ｂ=0且k =－1时,函数f (x )得图象为二、四象限角平分线;

定义域:Ｒ

值域:R

单调性:当k ＞0时,函数f (x )为Ｒ上得增函数;

当k<0时,函数f (ｘ)为Ｒ上得减函数;

奇偶性:当ｂ＝0时,函数ｆ(x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (ｘ)没有奇偶性;

反函数:有反函数。［特殊地,当ｋ＝－1或b ＝０且ｋ=1时,函数f (ｘ)得反函数为原函数f (x )本

身]

周期性:无

函数名称:反比例函数

解析式形式:f (x )= (k ≠０)

图象及其性质:图象分为两部分,均不与坐标轴相交,当k 〉０时,函数f (x )得图象

分别在第一、第三象限;当ｋ<０时,函数ｆ(x )得图象分别在第

二、第四象限;

双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别就是曲线得两条渐近线;

图象成中心对称图形,对称中心为原点;

图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为y =x 、y =-x ;

定义域:

值域:

单调性:当ｋ〉0时,函数f (x )为与上得减函数;

当k 〈0时,函数ｆ(x )为与上得增函数;

奇偶性:奇函数

反函数:原函数本身周期性:无

函数名称:变式型反比例函数

解析式形式:f (ｘ)= (c ≠0且 d ≠0)

图象及其性质:图象分为两部分,均不与直线、直线相交,当ｋ〉0时,函数

f (x )得图象分别在直线与直线形成得左下与右上部分;当

k<０时,函数f (ｘ)得图象分别在直线与直线形成

得左上与

右下部分;

双曲线型曲线,直线与直线分别就是曲线得两条渐近线;

图象成中心对称图形,对称中心为点;

图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为、;

反函数:

周期性:无

函数名称:二次函数解析式形式:一般式: 顶点式:

两根式:

图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为或,与轴得交点为;

②当时,抛物线得开口向上,此时函数图象有最低点;当时,抛物线得开口向下,此时函数图象有最高点; ③当时,函数图象与轴有两个交点,当时,函数图象与轴有一

个交点,当时,函数图象与轴没有交点; ④横坐标关于对称轴对称时,纵坐标相等;当时,横坐标距对称轴近则函数值小,当时,横坐

标距对称轴近则函数值大;

⑤函数均可由函数平移得到;

定义域:R

值域:当时,值域为;当时,值域为

单调性:当时

,上为减函数,上为增函数;

当时,上为减函数,上为增函数;

奇偶性:当时,

函数为偶函数;当时,函数为非奇非偶函数

反函数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数

周期性:无

函数名称:指数函数解析式形式:

图象及其性质:①函数图象恒过点,与轴不相交,只就

是无限靠近;

②函数与得图象关于轴对称;

③当时,轴以左得图象夹在在直线与轴之间,轴以右得图象在直线以上;当时,轴以

左得图象在直线以上,轴以右得图象夹在在直线与轴之间;

f (x )=

④第一象限内,底数大,图象在上方;

定义域:R

值域:

单调性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;

奇偶性:无

反函数:对数函数

周期性:无函数名称:对数函数

解析式形式: 图象及其性质:①函数图象恒过点,与轴不相交,只就是无限靠近;

②函数与得图象关于轴对称;

③当时,轴以下得图象夹在在直线与轴之间,轴以上得图象在直线以右;当时,轴以下得图象在直线以右,轴以上得图象夹在在直线与轴之间;

④第一象限内,底数大,图象在右方;

定义域:R

值域:

单调性:当时,函数为增函数;当时,函数为减函数;［与系数函数得单调性类似,因为两函数互为反函数]

奇偶性:无反函数:指数函数

周期性:无

函数名称:对钩函数

解析式形式:

图象及其性质:①函数图象与轴及直线不相交,只就是无限靠近;

②当时,函数有最低点,即当时函数取得最小值;

③当时,函数有最高点,即当时函数取得最大值;

定义域:

值域:

单调性:在与上函数为增函数;在与上函数为减函数;

奇偶性:奇函数

反函数:定义域内无反函数

周期性:无 2、3函数单调性(考点疏理+典型例题+练习题与解析)2.３函数单调性

【典型例题】

例1、(１)则a 得范围为( D)

A 。

B 、Ｃ. D.

提示:21<０时该函数就是Ｒ上得减函数、

(2)函数)就是单调函数得充要条件就是( A )

A. B 。 C 、Ｄ、

提示:考虑对称轴与区间端点。结合二次函数图象

(３)已知在区间上就是减函数,且,则下列表达正确得就是( D )

Ａ。 B 、

C. Ｄ、 x y O f (x )= f (x )=

提示:可转化为与在利用函数单调性可得、

(4) 如下图就是定义在闭区间上得函数

得图象,该函数得单调增区间为［—２,1］与［３,5］

提示:根据图象写出函数得单调区间、注意区间不能合并、

(5) 函数得单调减区间就是

提示:结合二次函数得图象,注意函数得定义域、

例2、画出下列函数图象并写出函数得单调区间

(１) (2)

解:(1) 即

如图所示,单调增区间为,单调减区间为

(２)当,函数

当,函数

即

如图所示,单调增区间为,单调减区间为

(1) (2)

例3.根据函数单调性得定义,证明函数在上就是减函数、

证明:设

则

,且在与中至少有一个不为0,

不妨设 ,那么,

故在上为减函数

例4、设就是定义在R上得函数,对、恒有,且当时,。

(1)求证:; (2)证明:时恒有;

(3)求证:在R上就是减函数; (4)若,求得范围、

解:(1)取m=0,ｎ＝则,因为所以

(2)设则

由条件可知

又因为,所以

∴时,恒有

(3)设则

因为所以所以即

又因为,所以

所以,即该函数在Ｒ上就是减函数。

(4) 因为,所以

所以,所以

【课内练习】

1.下列函数中,在区间(０,2)上为增函数得就是( D )、

A. B. Ｃ。Ｄ.

提示:根据函数得图象。

2.函数得增区间就是( Ａ )、

A. ［3,１］Ｂ. [1,1] C。Ｄ.

提示:注意函数得定义域.

3. 在上就是减函数,则得取值范围就是( A )。

A. B. C. D、

提示:考查二次函数图象得对称轴与区间端点.

4.若函数在区间[,b]上具有单调性,且,则方程在区间［,ｂ］上(D)A.至少有一个实数根 B、至多有一

个实数根 C.没有实数根 D。必有唯一得实数根

提示:借助熟悉得函数图象可得.

5、函数得单调增区间就是____,单调减区间____＿＿。

提示:画出二次函数得图象,考虑函数对称轴、

6.若当时就是增函数,当时就是减函数,则1３

提示:由题可知二次函数得对称轴就是可求出ｍ得值.

7、已知在定义域内就是减函数,且>0,在其定义域内下列函数为单调增函数得为②③

①(为常数);②(为常数);③ ;④ .

提示:借助复合函数得单调性.

8。函数上得最大与最小值得与为,则＝

提示:就是［０,1］上得增函数或减函数,故,可求得=

9、设就是定义在上得单调增函数,满足

求:(1)f(1);(2)当时x得取值范围、

解:(1) 令可得 (2)又2=１+1=

由,可得

因为就是定义在上得增函数,

所以有且且,解得:

10、求证:函数在上就是增函数、

证明:设则

当时 ,, ,所以

所以函数在上就是增函数。

2。4 函数得奇偶性(考点疏理＋典型例题＋练习题与解析)

【典型例题】

例1。(1)下面四个结论中,正确命题得个数就是(Ａ)

①偶函数得图象一定与y轴相交;②函数为奇函数得充要条件就是;③偶函数得图象关于ｙ轴对称;④既就是奇函数,又就是偶函数得函数一定就是f(x)=0(x∈Ｒ)。

Ａ.1 ? B.2 ???Ｃ.3 ?? D.4

提示:①不对,如函数就是偶函数,但其图象与轴没有交点;②不对,因为奇函数得定义域可能不包含原点;

③正确;④不对,既就是奇函数又就是偶函数得函数可以为f(x)＝０〔x∈(－,)〕,答案为A.

(2)已知函数就是偶函数,且其定义域为[］,则( )

A。,b＝０B、,b=0 Ｃ.,b＝０D。,b＝0

提示:由为偶函数,得b＝0、

又定义域为［］,∴ ,∴.故答案为A.

(３)已知就是定义在Ｒ上得奇函数,当时,,则)在R上得

表达式就是( )

A。 B. C。Ｄ.

提示:由时,,就是定义在R上得奇函数得:

当x<0时,,

∴,即,答案为D.

(4)已知,且,那么ｆ(2)等于

提示:为奇函数,,∴,∴。

(5)已知就是偶函数,就是奇函数,若,则得解析式为

提示:由就是偶函数,就是奇函数,可得,联立,得:, ∴

例2、判断下列函数得奇偶性:

(１);(2);

(3);(4)、

解:(1)由,得定义域为,关于原点不对称,∴为非奇非偶函数.

(2),∴ ∴既就是奇函数又就是偶函数.

(3)由得定义域为,∴,

∵ ∴为偶函数

(4)当时,,则,

?当时,,则,

?综上所述,对任意得,都有,∴为奇函数.

例3。若奇函数就是定义在(,１)上得增函数,试解关于得不等式:

解:由已知得

因f(ｘ)就是奇函数,故 ,于就是。

又就是定义在(１,1)上得增函数,从而

?即不等式得解集就是.

例４.已知定义在R 上得函数对任意实数、,恒有,且当时,,又.

(1)求证:为奇函数;(2)求证:在R 上就是减函数;(3)求在[,6]上得最大值与最小值、

(１)证明:令,可得 ,从而,f(0) ＝ 0.

令,可得 ,即,故为奇函数、

(2)证明:设∈R,且,则,于就是、从而

121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-<

所以,为减函数、

(3)解:由(2)知,所求函数得最大值为,最小值为。

于就是,在[—3,6］上得最大值为2,最小值为 —4.

【课内练习】

1.下列命题中,真命题就是( C )

A.函数就是奇函数,且在定义域内为减函数

B 。函数就是奇函数,且在定义域内为增函数

C 、函数就是偶函数,且在(3,0)上为减函数

Ｄ。函数就是偶函数,且在(0,２)上为增函数

提示:Ａ中,在定义域内不具有单调性;Ｂ中,函数得定义域不关于原点对称;D 中,当时,在(0,2)上为减函数,答案为C 、

2. 若,都就是奇函数,在(０,+∞)上有最大值5,则在(－∞,0)上有( )

A 。最小值－5

B 、最大值－5

C 、最小值－１ D.最大值-３

提示:、为奇函数,∴为奇函数.

又有最大值５, ∴－2在(0,+∞)上有最大值3.

∴—2在上有最小值-3,∴在上有最小值－1.答案为C 。

3.定义在R 上得奇函数在(0,+∞)上就是增函数,又,则不等式得解集为(Ａ)

A 。(—3,０)∪(０,3)??? ? Ｂ.(－∞,—3)∪(3,+∞)

C.(－3,0)∪(3,+∞) ? ??

D.(—∞,－3)∪(０,３)

提示:由奇偶性与单调性得关系结合图象来解.答案为A 、

4.已知函数就是偶函数,在[0,2］上就是单调减函数,则(A)

A. B 。

C. D 、

提示:由ｆ(x-2)在［0,２］上单调递减,∴在[－2,0]上单调递减、

∵就是偶函数,∴在[0,２]上单调递增、又,故应选Ａ.

５.已知奇函数,当∈(0,1)时,ｌg,那么当∈(—１,0)时,得表达式就是.

提示:当(—1,0)时,∈(０,1),∴.

6.已知就是奇函数,则+＝ 2008。

提示: ,,解得:,经检验适合,.

7.若就是偶函数,当∈[0,＋∞)时,,则得解集就是

提示:偶函数得图象关于y轴对称,先作出得图象,由图可知得解集为,∴得解集为。

８.试判断下列函数得奇偶性:

(1); (２); (3).

解:(1)函数得定义域为R,,

故为偶函数、

(2)由得:,定义域为,关于原点对称,

,,故为奇函数.

(３)函数得定义域为(—∞,0)∪(０,1)∪(１,+∞),它不关于原点对称,故函数既非奇函数,又非偶函数.

9.已知函数对一切,都有,若,用表示。

?解:显然得定义域就是,它关于原点对称、在中,

令,得,

令,得,∴,

∴,即, ∴就是奇函数、

?∵, ∴、

10、已知函数就是奇函数,又,,,求、、得值。

解:由得∴c=0。又,得,

而,得,解得。

又,∴或、

若,则b=,应舍去; 若,则b=1∈Z、

∴.

２、５映射得概念、指数函数作业本A、B卷 (练习题与解析)

A组

1。在M到Ｎ得映射中,下列说法正确得就是( Ｄ )

A.M中有两个不同得元素对应得象必不相同

B.N中有两个不同得元素得原象可能相同

Ｃ.N中得每一个元素都有原象 D.N中得某一个元素得原象可能不只一个

提示:M中两个不同得元素对应得象可以相同, N中得元素可以没有原象.答案为D.

２。函数就是指数函数,则有( C)、

Ａ.或Ｂ. C、Ｄ、且

提示:得:,答案为C.

3。已知,则下列关系中正确得就是( Ｄ )

A B C D

提示:,有在R上为减函数知,答案为D.

4。在定义域内就是减函数,则得取值范围就是(１,２)

提示:由解得:

５.若指数函数在［－１,1]上得最大值与最小值得差就是1,则底数

提示:若,则,即,解得:。

若,则即,解得:.

综上所述;.

6。比较下列个组数得大小:

(1)与;(2)。

解:(1)∵且, ∴。

(2),,

∵ ,∴

7.求函数得值域及单调区间、

解:①令,则,, ,即

∴函数得值域为。

②函数在R上为减函数,

当时,为增函数,当时,为减函数

∴所给函数得增区间为,减区间为。

8.已知函数得对称轴为直线,且,比较得大小.

解:由题意:,∴,

∴,在上单调递增、

当时,,则;

当时,,则.

B组

1.设它得最小值就是( )

A。 B. B. D、0

提示:设,得,当时,.

２、下列:M→N得对应关系中,不就是映射得就是(Ｃ )

Ａ.M=｛α|｝ ,N=［0,1],:取正弦、

B、M=｛α|｝,N＝［—1,1］,:取余弦、

Ｃ.M={０,1,2},N＝｛0, 1, },:取倒数。

D、M ={—３,-2,－1,2,3｝,Ｎ＝｛1,4,9,1６｝,:取平方。

提示:C中,0没有象。

3。函数得单调递增区间就是( Ｄ )

A、 B、Ｃ、 D、

提示:,得减区间就就是所给函数得增区间、答案为Ｄ.

４.设,使不等式成立得得集合就是

提示:∵ ,∴原不等式可以化为:,解得。

5.若M={-1,0,1} N={-2,-１,0,1,2}从M到N得映射满足:对每个∈M恒使+ 就是偶数,

则映射有_12_＿个.

提示:中得元素与其在中得象得与为偶数,故为偶数时,为偶数,为奇数时,为奇数,故符合条件得映射得个

数为(个)

6.已知,求函数得最大值与最小值。

解 :由得:,解得:, ∴

令,则,

当时,,此时,;当时,,此时,.

7.若,且,

求证:(1)当时, ;(2)当时, 。

证明:∵ ,且a＋b=c,∴, ∴

(1)当时,,所以;

(２)当时,,所以。

8、(1)已知就是奇函数,求常数m得值;

(2)画出函数得图象,并利用图象回答:为何值时,方程|｜＝无解?有一解？有两解?

解:(1)由得:,

(2)当时,直线与函数得图象无交点,即方程无解;

当或时, 直线与函数得图象有唯一得交点,所以方程有一解; 当时, 直线与函数得图象有两个不同交点,所以方程有两解。

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0