第二节圆与方程
[考纲要求]
1．掌握确定圆的几何要素．
2．掌握圆的标准方程与一般方程．
3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．
4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
圆的方程
1．圆的定义及方程
定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r
一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2
＋E2－4F＞0)
圆心：????
－
D
2，－
E
2
半径：r＝
D2＋E2－4F
2
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内
[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
[谨记常用结论]
若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.
(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.
(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.
[小题练通]
1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．
答案：(x －2)2＋y 2＝10
2.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．
答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1
3.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2
4.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．
答案：????－
233
，233
5．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)
6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0
直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离
相切
相交
图形
量
化 方程观点
Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点
d ＞r
d ＝r
d ＜r
2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.
②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.
(3)切线长
①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为
x 20＋y 2
0＋Dx 0＋Ey 0＋F .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar
d .
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长L
2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝
2r 2－d 2.
(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1
k
2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]
过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,
[小题练通]
1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案：C
2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切
B ．相交
C．相离D．随a的变化而变化
解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝
1
a2＋b2
＜1，故直
线与圆相交．
答案：相交
4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．
解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的
距离为1，得k＝4
3，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x
＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
5．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．
答案：(x－1)2＋y2＝8
6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|
2
＝2，
∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.
答案：2 2
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离外切相交内切内含图形
量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜
r1＋r2
d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|
[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
[谨记常用结论]
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
[小题练通]
1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．
答案：2 2
2.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
答案：±25或0
3.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.
解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.
答案：10 2
4.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．
答案：[1,121]
5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.
6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
[课时跟踪检测]
1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()
A ．内含
B ．外离
C ．外切
D ．相交
解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.
2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )
A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25
B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17
D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16
解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆
心为(－4,2)，半径为5，故选A.
3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )
A.3
2
B.6
2 C.32或－32
D.62或－62
解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝3
2，即d ＝|m |2
＝32，解得m ＝62或m ＝－6
2
，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )
A.π6或5π
6 B.－π3或π3
C ．－π6或π6
D.π6
解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝
|2k |1＋k 2
＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π
6.故选A.
5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆
的标准方程是( )
A ．(x －2)2＋()y －12＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1
解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得
|4a －3|
5
＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )
A. 3 B ．2 3 C ．2 2
D. 5
解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)， ∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.
7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )
A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2
C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4
D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4
解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|
2
＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )
A.????x －322＋y 2＝254
B.????x ＋342＋y 2＝2516
C.????x －342＋y 2＝2516
D.????x －342＋y 2＝254
解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ， 则有????
?
(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，
a 2＋(0－1)2＝r 2，
解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为????x －342＋y 2＝25
16
.
故选C.
9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，
所以OC的中点坐标为E(3,4)，
所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，
故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.
11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4
解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.
12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()
A．0个B．1个
C．2个D．无数个
解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
∴四边形OMPN为正方形，
∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，
∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，
∴符合条件的点P只有一个，故选B.
13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝1
1＋k 2，则|AB |＝21－d 2＝21－1
1＋k 2
＝2
k 2
1＋k 2
，当k ＝1时，|AB |＝2 12
＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2
k 2
1＋k 2
＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.
14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．
解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ????22
－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理
得x －y ＋2－2＝0.
答案：x －y ＋2－2＝0
15．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．
解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，
∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即
|2a －2|2＝|2a ＋2|
2
，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|
2＝2，
∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝2
16．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．
解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据条件得????
?
1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得???
b ＝7
2，r ＝52.
∴该圆的方程为x 2＋????y －722＝5
4
. 答案：x 2＋????y －722＝5
4
17．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：5
18．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．
解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.
∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，
∴两圆内切，∴???
a 2＋
b 2＝r 2，
(a ＋5)2
＋(b ＋5)2
＝52－r ，
(0－a )2
＋(－6－b )2
＝r 2
，
解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18
直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜
一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ ） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（ ） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（ ） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（ ） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．
高中数学直线与圆的方 程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
直线与圆的方程单元测试卷 一。选择题 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<- 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得 直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 韩世强 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( ) 3．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．1 B ．13- C ．2 3 - D ．2- 4． 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( ) A ．3- B ．6- C ．2 3 - D ．3 2 5. 圆x 2+y 2 －4x =0在点P （1，3）处的切线方程为（ ） +3y －2=0 +3y －4=0 －3y +4=0 －3y +2=0 6 若圆C 与圆1)1()2(2 2=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 7．已知两圆的方程是x 2 ＋y 2 ＝1和x 2 ＋y 2 －6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 8．过点(2,1)的直线中，被圆x 2 ＋y 2 －2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0 9．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( ) 直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零 直线和圆的方程 简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 第二节圆与方程 [考纲要求] 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 圆的方程 1．圆的定义及方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F＞0) 圆心：???? － D 2，－ E 2 半径：r＝ D2＋E2－4F 2 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内 [提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． [谨记常用结论] 若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点. (2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上. (3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切. [小题练通] 1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________． 答案：(x －2)2＋y 2＝10 2.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1 3.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2 4.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________． 答案：????－ 233 ，233 5．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2) 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离 相切 相交 图形 量 化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d ＞r d ＝r d ＜r 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤ 直线方程 一选择题 １． 已知直线经过点A(0,4)和点B(1,２)，则直线ＡB 的斜率为（ ） A.３ B.-2 C. ２ D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x Ｂ.012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ） x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3ｙ+1＝0互相垂直，则a =( ) A.32- B ．32 C.2 3 -? D.23 5．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为( ） Ａ. 23 B ．32 C ．32- ?Ｄ． 2 3 - ６、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K ) A 、Ｋ1﹤K 2﹤K 3 B 、Ｋ2﹤K 1﹤K ３ Ｃ、K 3﹤K 2﹤K １ D 、K １﹤K 3﹤K 2 ７、直线2x+3y-5=０关于直线y=x Ａ、3ｘ＋2ｙ-５=0 B 、２x-３ｙ-5=0 C 、3ｘ+2y ＋5=0 D 、3x －2y －5=０ 8、与直线2x+3ｙ-６＝０关于点（1,-1)对称的直线是（ ) A.3x-２y-6＝０ B.２ｘ+３ｙ+7=0 C. 3x-2y-1２=0 D. 2ｘ＋3ｙ+８＝０ 9、直线５x －２y-10＝0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b ，则（ ) A.a=2,ｂ＝５; B.a ＝2,b ＝5-; C.a=2-,b=5； D.a ＝2-,b=5-. 10.平行直线x －y +1 = 0,x －y －1 ＝ 0间的距离是 ?( ） Ａ． 2 2 B.2?C ．2 D.22 11、过点Ｐ(4，-1）且与直线3x-4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ) A 4ｘ+3y －1３＝0 B 4ｘ－３y-19=0 C 3x －4ｙ－１6=0 Ｄ 3x+4y －８=0 二填空题(共20分,每题5分） 12. 过点(1,２）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __； x 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 第九章直线和圆的方程 第一讲直线方程与两直线的位置关系 1.[改编题]下列说法正确的是() A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2 -1=0互相平行,则a=-1 C.过(x1,y1),(x2,y2 )两点的所有直线的方程为y-y1 y2-y1=x-x1 x2-x1 D.经过点(1,1) 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 2.[2021湖北宜昌模拟]如图9-1-1,已知A(4,0)、B(0,4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是() 图9-1-1 A.2√5 B.3√3 C.6 D.2√10 3.[2021天津模拟]已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1), 过点C的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是() A. [-2,3] B. [-2,0)∪(0,3] C. (-∞,-2]∪[3,+∞) D.以上都不对 4.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2020甘肃模拟]已知直线l 1:x sin α+y -1=0,直线l 2:x -3y cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.3 5 B.-3 5 C.2 3 D.-2 3 6.已知直线l 1:ax+by+1=0与直线l 2:2x+y -1=0互相垂直,且l 1经过点(-1,0),则b = . 7.[2020福建宁德诊断]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2+y 2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是( ) A .x+(√2-1)y -√2=0 B .(1-√2)x -y+√2=0 C .x -(√2+1)y+√2=0 D .(√2-1)x -y+√2=0 8.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O 作直线l :(2m+n )x+(m -n )y -2m+2n =0的垂线,垂足为P ,则点P 到直线 x -y+3=0的距离的最大值为( ) A.√2+1 B.√2+2 C.2√2+1 D.2√2+2 9.[2020安徽十校高三摸底考试]已知直线l 过点(3√3,0)且不与x 轴垂直,圆C :x 2+y 2-2y =0,若直线l 上存在一点M ,使OM 交圆C 于点N ,且OM ?????? =32 NM ??????? ,其中O 为坐标原点,则直线l 的斜率的最小值为( ) A.-1 B .-√3 C.-√6 D.-√3 3 10.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A ,B 为曲线C :y =x 24 上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率; (2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 直线和圆的方程知识 点总结 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 《直线与圆的方程》练习题1 一、 选择题 1.方程x 2+y 2 +2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ） （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<- 8.一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22 :(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 （ A ） A ．4 B ．5 C ．321- D ．26 9．直线0323=-+y x 截圆x 2 +y 2 =4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π 10.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 ( ) A.AB B.BC C.CD D.DA [答案] D [解析] 首先若点M 是Ω中位于直线AC 右侧的点，则过M ，作与BD 平行的直线交ADC 于一点N ，则N 优于M ，从而点Q 必不在直线AC 右侧半圆内；其次，设E 为直线AC 左侧或直线AC 上任一点，过E 作与AC 平行的直线交AD 于F .则F 优于E ，从而在AC 左侧半圆内及AC 上(A 除外)的所有点都不可能为Q ，故Q 点只能在DA 上． 二、填空题 11.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 (13,13)- ． 12.圆：0642 2 =+-+y x y x 和圆：062 2 =-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 390x y --= 13.已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标是 （2,5） 14.过点A (－2,0)的直线交圆x 2＋y 2 ＝1交于P 、Q 两点，则AP →·AQ →的值为________． [答案] 3 [解析] 设PQ 的中点为M ，|OM |＝d ，则|PM |＝|QM |＝1－d 2，|AM |＝4－d 2.∴|AP →|＝4－d 2 －1－d 2，|AQ →|＝4－d 2＋1－d 2 ， 数学基础知识与典型例题 直线和圆的方程 直线和 圆的方 程知识 关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2)是 直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标 轴平行的直线不能用 此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零 两直线的位置关系⑵两条相交直线 1 l与 2 l的夹角： 两条相交直线 1 l与 2 l的夹角，是指由 1 l与 2 l相交所成的四 个角中最小的正角θ，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围 是0, 2 π ?? ? ? ? ,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时， 则有21 12 tan 1 k k k k θ - = + . 4.距离公式。 ⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：A x+B y+C=0，则点P到直线l 的距离d=00 22 || Ax By C A B ++ + ； ⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0，l2:A x+B y+C2=0之间的距离 d=12 22 || C C A B - + 。 5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的， 即旋转直线系和平行直线系. ⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中， ①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的 旋转直线系， ②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系. ⑵已知直线l：A x+B y+C=0， 则①方程A x+B y+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系； ②方程-B x+A y+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。 ⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0， 直线l2：A2x+B2y+C2=0， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过l1与l2交点的直线系（不含l2） 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思 路. 例10. 经过两直线 11x－3y－9＝0与 12x＋y－19＝0的交点，且过 点(3,-2)的直线方程为 _______. 例11. 已知△ABC中，A（2， -1），B（4，3）， C（3，-2），求： ⑴BC边上的高所在直线方 程；⑵AB边中垂线方程；⑶ ∠A平分线所在直线方程. 例12. 已知定点 P（6，4）与定直线l1：y=4x， 过P点的直线l与l1交于第一 象限Q点，与x轴正半轴交 于点M，求使△OQM面积最 小的直线l方程. 简单的线性规划线性规划 ⑴当点P(x0，y0)在直线A x+B y+C=0上时，其坐标满足方程A x0+B y0+C=0； ⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时，A x0+B y0+C≠0，即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式A x+B y+C>0（或<0）表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。 利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
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