当前位置：文档之家› 专题二三角函数与平面向量的综合应用

专题二三角函数与平面向量的综合应用

（时间：45分钟满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α

等于( ) A.17 B ．－17

C ．－7

D ．7 2．如图，D 、

E 、

F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )

A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF →

＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0

3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( )

A.π2

B ．π

C ．2π

D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，

sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )

A.π6，π3

B.2π3，π6

C.π3，π6 D .π3，π3

5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向

量OB →的夹角的取值范围是( )

A.????0，π4

B.???

?π4，512π C.????512π，π2 D.???

?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分)

6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______．

7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC

上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为

________．

8．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是

__________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －

lg cos A ≠0.

(1)判断△ABC 的形状；

(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．

11．(14分)已知函数f(x)＝2(sin x －cos x )cos x ＋1，x ∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间????π8，3π4上的单调区间和最大值与最小值．

12．(14分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角．

(1)求角A 的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．

答案1.A2.A3.B4.C5.D

6．π2或π3 7.12358. π6

9. 4、0 10. 解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，

所以a b ＝cos B cos A

≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b . 因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，

所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2

且A ≠B . 所以△ABC 是非等腰的直角三角形．

(2)由m ⊥n ，得m ·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.①

由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，

所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.②

联立①②，解得a ＝6，b ＝2.

所以c ＝a 2＋b 2＝10.

故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.

11. 解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1

＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ?

???2x －π4. 因此，函数f (x )的最小正周期为π.

(2)因为π8≤x ≤3π4，所以0≤2x －π4≤5π4

. 又因为y ＝sin x 在????0，π2内单调递增，在???

?π2，5π4上单调递减，所以由0≤2x －π4≤π2，得π8≤x ≤3π8

，由π2≤2x －π4≤5π4，得3π8≤x ≤3π4

. 所以f (x )的增区间为????π8，3π8，减区间为???

?3π8，3π4. 又f ????π8＝0，f ????3π8＝2，f ???

?3π4＝－1，故函数f (x )在区间????π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.

12. 解 (1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝1，

即2sin ????A －π6＝1，所以sin ????A －π6＝12

，由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3

. (2)由(1)知cos A ＝12

，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x

＝－2?

???sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，

因此，当sin x ＝12时，f(x)有最大值32

；当sin x ＝－1时，f(x)有最小值－3.

所以所求函数f(x)的值域是?

???－3，32

初中数学《锐角三角函数的应用》教案

初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。情感态度与价值观积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。教学过程一、问题引入，了解仰角俯角的概念。提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？

2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形

备战中考数学锐角三角函数综合练习题附答案

备战中考数学锐角三角函数综合练习题附答案一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°

12,三角函数的综合应用

实用文档 §4.8三角函数的综合应用【复习目标】 1．理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 2．三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。【课前预习】 1. ⊿ABC 的内角满足tan sin 0A A -<，cos sin 0A A +>，则A 的范围是。 2. 若111cos sin θθ-=，则sin 2θ= 。 3. 由函数52sin 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是。 4. 已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（） A ．()()0,12,3? B ．(1,)(,3)22ππ ? C ． ()0,1,32π??? ??? D ．()()0,11,3? 5. 函数|sin |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（）【典型例题】

实用文档例1 已知函数2()sin sin f x x x a =-++. （1）当()0f x =有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x R ∈，有 171()4f x ≤≤，求a 的取值范围。例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立. （1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ；（3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章函数的基本性质之单调性一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。重点 2．证明方法和步骤：（1）取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）作差：)()(21x f x f -；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（5）根据定义下结论。 3．常见函数的单调性时，在R 上是增函数；k<0时，在R 上是减函数（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0