2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：
圆周角定理的运用（一）
一．选择题
1．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
2．如图，在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC的度数为（）
A．30°B．20°C．40°D．50°
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（）
A．πB．πC．πD．π
5．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B．
C．D．
6．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB ＝40°，则∠ADC的度数是（）
A．110°B．130°C．140°D．160°
7．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）
A．14°B．28°C．42°D．56°
8．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）
A．B．C．D．
9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（）
A．2B．C．2D．
10．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（）
A．B．C．4 D．5
二．填空题
11．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．
12．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝24°，则∠D＝．
13．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处．……按此规律运动到点A2020处，则点A2020与点A0间的距离是．
14．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝．
15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD ＝°．
三．解答题
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；
（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．
17．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，延长BD到点C，使得CD＝BD．点E为AC 上的动点，射线ED与射线AB交于点F．
（1）求证：∠C＝∠ABD；
（2）若ED是⊙O的切线，且CE＝2，OD＝5，求BF的长．
18．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
19．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
参考答案一．选择题
1．解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
故选：C．
2．解：∵OC＝OB，∠COB＝100°，
∴∠B＝∠BCO＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠AEC＝∠B＝40°，
故选：C．
3．解：∵弧AD＝弧CD，
∴∠ABD＝∠DAC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°．故选：B．
4．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴，
∵CD＝4，BD＝3，
∴BC＝＝＝5
∴，
∴AB＝，
∴⊙O的周长是π，
故选：A．
5．解：∵∠FEG＝50°，
若P点圆心，
∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．
故选：C．
6．解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
7．解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴＝，
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°，
故选：D．
8．解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故选：A．
9．解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠D＝90°，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵点D在⊙O上，且平分，
∴DC＝BD．
Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，
∴2DC2＝20，
∴DC＝，
故选：D．
10．解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴＝，AD＝BD，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝8，
∴DB＝OD＝4，
则半径OB等于：＝4．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
12．解：∵圆O的直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝∠C＝24°，
∴∠D＝90°﹣24°＝66°．
故答案为66°．
13．解：如图，
∵⊙O的半径＝2，
由题意得，A0A1＝4，A0A2＝2，A0A3＝2，A0A4＝2，A0A5＝2，A0A6＝0，A0A7＝4，…
∵2020÷6＝336…4，
∴按此规律运动到点A2020处，A2020与A4重合，
∴A0A2020＝A0A4＝2．
14．解：由圆周角的定律可知：∠D＝∠ABC，
∵AB是直径，
∵E点是CD的中点，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝64°，
故答案为：64°
15．解：连接OC，OD，如图所示：
∵∠CAB＝50°，
∴∠COB＝2∠AB＝100°．
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝（180°﹣∠COB）＝40°，∴∠CAD＝∠COD＝20°．
故答案为：20．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CAD＝∠CBE＝23°，
∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°．
（2）∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形，
∵AC＝AB＝13，
∴AE＝AB＝，
∴EC＝AC﹣AE＝13﹣，
∴CD＝EC＝13﹣13．
17．解：（1）证明：∵CD＝BD，OA＝OB，∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠C＝∠ABD；
（2）由（1）可知：OD∥AC，OD＝AC，∴＝，
∵OD＝OA＝OB＝5，
∴AC＝10，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，
OF＝OB+BF＝5+BF，
AF＝AB+BF＝10+BF，
∴＝，
解得BF＝
答：BF的长为
18．（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．
∵AB⊥DG，AB是直径，
∴＝，DE＝EG，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE．
（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝2FR＝2FC，
∴tan∠FAR＝tan∠FAC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则t2+4t2＝4，
∵t＞0，
∴t＝，
∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴AC＝2m＝．
19．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE?CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．
20．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．