必修五：正弦定理和余弦定理
一：正弦定理
1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形
（1）R A
a C B A c
b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）??
???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）??
???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin ===
（4）R
abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记
（5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角）
（6）B A B A cos cos
（7）??
???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系
（8）2
cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则
AC DC AB DB = 思考题：
1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？
2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？
3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？
4：若2
1sin >
A ，则角A 的范围是什么？
解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形.
（1）10,45,60=?=∠?=∠a B A .
（2）?=∠==120,4,3A b a .
（3）?=∠==30,4,6A b a .
（4）?=∠==30,16,8A b a .
（5）?=∠==30,4,3A b a .
思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况
判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系
（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较.
练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？
（2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？
（3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？
例2：根据下列条件，判断三角形形状.
（1）C B A 2
22sin sin sin =+.
（2）C B A cos sin 2sin =
（3）B b A a cos cos =
（4）A b B a tan tan 22=
二：余弦定理
1：定理内容：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即
A bc c b a cos 2222-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+= 另一种形式：bc
a c
b A 2cos 2
22-+=. 请写出另两个：
例1：根据下列条件，解三角形.
（1）在ABC ?中，?=∠==120,4,5C b a ，求边c .
（2）在ABC ?中，?=∠==60,8,5C b a ，求边c .
（3）在ABC ?中，8,7,5===c b a ，求最大角与最小角的和.
（4）在ABC ?中，13:8:7sin :sin :sin =C B A ，求C cos .
（5）在ABC ?中，8,120,34=+?=∠=b a C c ，求ABC ?的面积.
（6）在ABC ?中，34,60,4=?=∠=?ABC S C c ，求ABC ?的周长.
（7）在ABC ?中，1)(2
2=--bc
c b a ，求A ∠. （8）在ABC ?中，4,3,2===c b a ，判断ABC ?的形状.
（9）求证：在ABC ?中，)cos cos cos (22
22C ab B ac A bc c b a ++=++.
（10）求证：平行四边形两对角线的平方和等于它各边的平方和.