2019-2020学年江苏省泰州市兴化市板桥中学八年级(上)第一次月考数学试卷 (含答案)

2019-2020学年江苏省泰州市兴化市板桥中学八年级（上）第一次月

考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1.观察下列银行标志，从图案看不是轴对称图形的是()

A. B. C. D.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为()

A. 45°

B. 135°

C. 45°或67.5°

D. 45°

或135°

3.如图，已知AB=CD，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌

△CDN的是()

A. ∠M=∠N

B. MB=ND

C. AM=CN

D. AM//CN

BC的长为半径作弧，4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：(1)分别以B、C为圆心，大于1

2

两弧相交M、N；(2)作直线MN，交AB于D，连结CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论：

①∠ADC=40°②∠ACD=70°③点D为△ABC的外心④∠ACD=90°，正确的有()

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

5.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为()

A. ∠A=∠B?∠C

B. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2

C. b2=a2?c2

D. a∶b∶c=2∶3∶4

6.如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分

割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画()

A. 2条

B. 3条

C. 4条

D. 5条

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.请写出两组勾股数：______ 、______ ．

8.等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________．

9.全等三角形的_____________相等，________________相等。

10.等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，则它的周长是______．

11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB上

的高线长为__________．

12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，

∠OPC=30°，则∠PCA=________．

13.12.如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，

则∠B的度数为_____度．

14.等腰三角形有一内角的度数为50°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数

为______．

15.如图，线段DE是由线段AB平移得到的，AB=6，EC=8?CD，则△DCE的周长是______ ．

16.在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则点A到对角线BD的距离为______。

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，E为

AC的中点，DF⊥AB，垂足为点F，求DE、DF的长

四、解答题（本大题共9小题，共92.0分）

18.如图，已知△ABC(AC

保留作图痕迹)．

(1)图1：在BC边上寻找一点M，使得MA+MC=BC；

(2)图2：在BC边上寻找一点N，使得NA+NC=AB．

19.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长．

20.如图，已知点E、F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，∠C=∠D．

求证：AE=BF．

21.如图，在△ABC中，∠B=∠C，P、Q、R分别在AB、AC上，且BP=CQ，

BQ=CR.求证：点Q在PR的垂直平分线上．

22.如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，CD=15，

AC=17，求△ABC的面积．

23.如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，E、F分别是

BD、AC的中点，求证：EF⊥AC．

24.勾股定理神秘而美妙，它的证法有几百种，其巧妙各有不同，其中的“面积法”非常特殊．王

刚同学在研究时，惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明，下面是他证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2.证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b?a.……(请接着帮他完成后面的证明)

25.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

B，C，D在同一直线上，连接EC.求证：EC⊥BD．

26.如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：A．

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．

本题要分情况讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．

【解答】

解：①当为锐角三角形时，如图，

∵∠ABD=45°，BD⊥AC，

∴∠A=90°?45°=45°，

∴三角形的顶角为45°；

②当为钝角三角形时，如图，

∵∠ABD=45°，BD⊥AC，

∴∠BAD=90°?45°=45°，

∵∠BAD+∠BAC=180°，

∴∠BAC=135°

∴三角形的顶角为135°，

故选D．

3.答案：C

解析：

【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可．

【解答】

解：A.可根据AAS判定△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；

B.可根据SAS判定△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；

C.不能判定△ABM≌△CDN，故此选项符合题意；

D.由AM//CN可得∠A=∠NCD，可根据ASA判定△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；

故选：C．

4.答案：B

解析：解：由题意可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD=CD，∠B=∠BCD=20°，

∴∠ADC=∠BCD+∠CBD=40°，故A选项正确；

又∵CD=AD，

∴∠A=∠ACD，

又∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，

∴∠ACD=70°，故B选项正确，D选项错误；

∵AD=CD，BD=CD，

∴AD=BD，即D是AB的中点，故C选项正确；

故选：B．

依据直线MN是线段BC的垂直平分线，可得∠B=∠BCD=20°，进而得出∠ADC=40°；依据AD=CD 与三角形内角和定理，即可得到∠ACD=70°；依据AD=BD，即可得出D是AB的中点；依据AD= CD=DB，即可得到点D是△ABC的外接圆圆心；依据∠ACD=70°得∠ACD≠90°．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”．

5.答案：D

解析：

【分析】

本题考查直角三角形的判定，灵活的应用勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解决问题的关键.根据三角形的内角和为180°，直角三角形的一个内角为90°，勾股定理的逆定理，对逐各选项进行判断，即可得到答案．

【解答】

解：A.∵∠A=∠B?∠C，∴∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，故△ABC是直角三角形；

B.设∠A、∠B、∠C分别为x、x、2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，则∠C=90°，故△ABC是直角三角形；

C.∵b2=a2?c2，∴b2+c2=a2，符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；

D.a：b：c=2：3：4，∵22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形．

故选D．

6.答案：C

解析：解：如图所示，当CA=CF=3，BC=BD=3，BC=CE=3，BG=CG，都能得到符合题意的等腰三角形．

故选C．

根据等腰三角形的性质分别利用CA为底以及CA为腰得出符合题意的图形即可．

此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

7.答案：3、4、5；6、8、10

解析：解：两组勾股数是：3、4、5；6、8、10；

故答案为：3、4、5；6、8、10．

根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，写出即可．

本题考查了勾股数的定义，注意：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

8.答案：顶角平分线(或底边上的高线，或底边的中线)所在的直线

解析：

【分析】

本题考查了轴对称图形，等腰三角形的性质.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

根据轴对称图形的概念以及等腰三角形的性质解答即可．

【解答】

解：等腰三角形是轴对称图形，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到其对称轴为：顶角平分线(或底边上的高线，或底边的中线)所在的直线．

故答案为：顶角平分线(或底边上的高线，或底边的中线)所在的直线．

9.答案：对应角对应边

解析：

【分析】

本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，可得答案．

【解答】

解：根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，可得答案．

故答案为：对应角，对应边

10.答案：25

解析：解：当5为腰，10为底时，

∵5+5=10，

∴不能构成三角形；

当腰为10时，

∵5+10>10，

∴能构成三角形，

∴等腰三角形的周长为：10+10+5=25．

故答案为：25．

此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于10cm，另一边等于5cm，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．

此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

11.答案：4.8

解析：

【分析】

本题考查勾股定理.根据勾股定理求得斜边AB，然后利用直角三角形面积的两种不同求法，列式计算，答案可得．

【解答】

解：∵在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴根据勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，

过点C作CD垂直AB，垂足为D

又∵CD为斜边AB上的高，

∴S△ABC=1

2AC·BC=1

2

CD·AB，

则CD=AC·BC

AB

=4.8，故答案为4.8．

12.答案：55°

解析：

【分析】

本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．

首先直接利用直角三角形全等的判定定理HL得到Rt△AOP≌Rt△BOP；然后根据全等三角形的性质定理得到∠POA=∠BOP，结合∠MON=50°得到∠POA的度数；最后根据三角形外角性质及

∠CPO=30°，问题即可解决．

【解答】

解：∵PA⊥ON，PB⊥OM，

∴∠OAP=∠PBO=90°，

∵在Rt△AOP和Rt△BOP，OP=OP，PA=PB，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP，

∴∠POA=∠BOP，

∵∠MON=50°，∠POA=∠BOP，

∴∠POA=1

∠MON=25°，

2

∵∠POA=25°，∠CPO=30°，

∴∠PCA=∠POA+∠CPO=55°，

故答案为：55°．

13.答案：68

解析：

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，等边对等角可得∠DAC=∠C，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB=∠C+∠DAC，再次根据等边对等角可得∠ADB=∠BAD，最后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

【详解】

∵DM垂直平分AC，

∴AD=CD．

∴∠DAC=∠C=28°．

∴∠ADB=∠C+∠DAC=28°+28°=56°．

∵AB=BD，

∴∠ADB=∠BAD=56°．

在△ABD中，∠B=180°?∠BAD?∠ADB=180°?56°?56°=68°．

故答案为：68．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．

14.答案：40°或10°

解析：

【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，关键在于根据题意分类讨论．

根据题意，一种情况为顶角是50°，根据直角三角形两锐角互余即可推出所求角为40°，另一种情况为底角是50°，根据等腰三角形以及三角形内角和定理推出顶角是80°，再根据直角三角形两锐角互余即可推出所求角为10°．

【解答】

解：①此等腰三角形顶角是50°，如图1

．

∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=50°，

∴∠AED=40°；

②此等腰三角形底角是50°，如图2，

∵AB=AC，∠B=50°，

∴∠C=∠B=50°，

∴∠A=80°．

∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=80°，

∴∠AED=10°．

综上可知，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为40°或10°．

故答案为40°或10°．

15.答案：14

解析：

【分析】

本题考查了平移的性质，要准确把握平移的性质，新图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等．

根据平移的性质，得AB=DE，结合已知可求△DCE的周长．

【解答】

解：∵线段DE是由线段AB平移而得，

∴DE=AB=6，

∴△DCE的周长=DE+CE+CD=6+8?CD+CD=14．

故答案为：14．

cm．

16.答案：12

5

解析：

【分析】

本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解决问题的关键.先由矩形的性质和勾股定理求出BD，

AD?AB即可得出结果．

再根据△ABD的面积=1

2

【解答】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BD=√AB2+AD2=√32+42=5cm,

∵S△ABD=1

2AB.AD=1

2

×3×4=6(cm2)，

∵点A到对角线BD的距离为6×2÷5=12

5

(cm)．

故答案为12

5

cm．

17.答案：见解析

解析：连接AD，根据等腰三角形性质得出AD⊥BD，BD=BC=5，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE，根据三角形面积得出AB?DF=AD?BD，代入求出即可．

试题解析：解：连结AD(1分)

∵AB=AC=13BC=10点D是BC的中点

∴AD⊥BD BD=BC=(2分)

∵E为AC的中点

∴DE=AC=6.5(3分)

∵在Rt△ABD中，AB=，BD=5

∴AD=12(4分)

∵DE⊥AB

∴AB·DE=AD·BD=2S△ABD

∴DE=(12×5)÷13=(6分)

考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质；3.直角三角形斜边上的中线．

18.答案：解：(1)如图所示：

(2)如图所示：

解析：此题考查作图问题，线段垂直平分线的性质等有关知识．

(1)作线段AB的垂直平分线交BC于点M即可；

(2)先在线段CB上截取CE=AB，再作线段AE的垂直平分线交

BC于N即可．

19.答案：解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD是角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=15，

在Rt△DEB中，BE=√BD2?DE2=20，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

{DC=DE

AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)

∴AC=AE，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+402=(AC+20)2，

解得，AC=30，即AC=30．

解析：本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据勾股定理求出BE，证明AC=AE，根据勾股定理列式计算，得到答案．

20.答案：证明：在△ADF和△BCE中，

{∠A=∠B AD=BC ∠D=∠C

，

∴△ADF≌△BCE(ASA)，∴AF=BE，

∴AE=BF．

解析：欲证明AE=BF，只要证明AF=BE，只要证明△ADF≌△BCE(ASA)即可；

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

21.答案：证明：∵在△ABC中，∠B=∠C，

∴在△PBQ和△CQR中，

∴△BPQ≌△CQR(SAS)，

∴PQ=RQ，

∴点Q在PR的垂直平分线上．

解析：此题考查了线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

由在△ABC中，AB=AC，且BP=CQ，BQ=CR，易证得△BPQ≌△CQR，即可得PQ=RQ，即可证得点Q在PR的垂直平分线上．

22.答案：解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴AD⊥BC，

S△ABC=1

2BC?AD=1

2

(BD+CD)?AD=1

2

×21×8=84，

因此△ABC的面积为84．

答：△ABC的面积是84．

解析：利用勾股定理逆定理判断出AD⊥BC，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，熟记定理并确定出AD⊥BC是解题的关键．23.答案：证明：连接AE，CE．

∵∠BAD=∠BCD=90°，E是BD的中点，

∴AE=1

2BD，CE=1

2

BD，

∴AE=CE，

又∵F是AC的中点，

∴EF⊥AC．

解析：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．

连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=1

2BD，CE=1

2

BD，那么AE=

CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC．

24.答案：证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b?a．

．

又

∴1

2

b2+

1

2

ab=

1

2

c2+

1

2

a(b?a)

∴a2+b2=c2．

解析：此题主要考查了勾股定理得证明、三角形的面积.首先连结BD，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b?a，表示出S四边形ADCB，进而得出答案．

25.答案：解：∵在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

{

AB=AC

∠BAD=∠CAE AD=AE

,

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠ACE=∠ABD=∠ABC=45°，

∴∠BCA+∠ACE=90°，

∴EC⊥BD．

解析：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于找出全等三角形并根据全等三角形的性质求出∠BCA+∠ACE=90°．

先根据∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，得出∠BAD=∠CAE，然后证明△ABD≌△ACE，再得出∠ACE=∠ABD=45°，∠BCA+∠ACE=90°，即可证明出EC⊥BD．

26.答案：证明：在AB上截取BE=BC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠CBD，

又∵BD=BD，BE=BC，

∴△BED≌△BCD，

∴ED=CD，∠BED=∠C，

∵∠C=2∠A，∠BED=∠A+∠ADE，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=CD+BC．

解析：本题主要考查的是三角形的外角性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定等有关知识.由题意在AB上截取BE=BC，利用全等三角形的判定及性质得到ED=CD，∠BED=∠C，再根据∠C=2∠A，∠BED=∠A+∠ADE，得到∠A=∠ADE，进而得到AE=ED=CD，进而求出此题的答案．