多边形的内角和
教学目的
1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。
重点、难点
1．重点：多边形的内角和定理。
2．难点：多边形的内角和定理的推导。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少?
3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?
二、新授
1．多边形的概念，
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)
D
D
C
A C E
A B
B
图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE 。
一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。
与三角形类似如图，∠A 、∠D 、∠
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范
C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD 的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n 个内角，有2n个外角。
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。
8.3.3
问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)
(2)五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。
(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。
大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；
当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…，因此，我们可以得到多边
形的对角线的条数的计算公式：
2)3
(
n
n
2．多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。
从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?
n边形的内角和＝(n-2)·180°
知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。
知道多边形的边数,可以求出多边形的度数
例1.求八边形的内角和的度数。
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 °,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出. 解（n－2）×180°
=（8－2）×180°
=1 080°
例2.已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为________
解（n－2）×180°= 900°
（n－2）= 900°/180°
初中数学新课程教学案例〈〈多边形内角和〉〉 国富镇中学 王洪明
一、教材分析 本节课是人民教育出版社义务教育课程标准教科书八年级上册第11章第三节多边形内角和。 二、教学目标 1、知识目标：了解多边形内角和公式。 2、数学思考：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 4、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 三、教学重、难点 重点：探索多边形内角和。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 四、教学方法：引导发现法、讨论法 五、教具、学具 教具：多媒体课件学具：三角板、量角器 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思 师：大家都知道三角形的内角和是180o，那么四边形的内角和，你知道吗？
活动一：探究四边形内角和。 在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360o。 方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360o。接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。 师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？ 活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。 学生先独立思考每个问题再分组讨论。 关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。 （2）学生能否采用不同的方法。 学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和） 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180o的和是540o。 方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180o的和减去一个周角360o。结果得540o。 方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180o的和减去一个平角180o，结果得540o。 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180o加上360o，结果得540o。
多边形内角和 第一部分知识点回顾 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 第二部分经典习题 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形 【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。 类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗 【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。
初中数学教学案例及反思 —多边形内角和 一、教材分析 本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（六三学制）七年级下册第七章第三节多边形内角和。 二、教学目标 1、知识目标：了解多边形内角和公式。 2、数学思考：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 4、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 三、教学重、难点 重点：探索多边形内角和。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 四、教学方法：引导发现法、讨论法 五、教具、学具 教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思 师：大家都知道三角形的内角和是180o，那么四边形的内角和，你知道吗？ 活动一：探究四边形内角和。 在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。 方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360o。 方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360o。 接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一四边形转化成两个三角形。 师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？ 活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。 学生先独立思考每个问题再分组讨论。 关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。 （2）学生能否采用不同的方法。 学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和） 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180o的和是540o。 方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180o的和减去一个角360o。结果得540o。 方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180o的和减去一个平角180o，结果得540o。 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180o加上360o，结果得540o。
20.1 多边形的内角和（1） 教学目标 (一)教学知识点： 1.理解多边形及正多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和公式. (二)能力训练要求: 1.经历探索多边形内角和公式的过程， 2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. (三)情感与价值观要求:经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系 教学重点：多边形的内角和. 教学难点：探索多边形的内角和公式过程. 教学过程： 一．.巧设情景问题，引入课题： 引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？ （学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形） 二.讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形 有凸多边形和凹多边形之分，如图. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 如图
多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。 好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本P108的图) (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法. 请同学们完成课本的“想一想”。（学生画图，归纳，猜想） （从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°） 大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？（必须是大于3的自然数.） 同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°） 请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形. 2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.
多边形内角和教学案例 一、教材分析。 七年级下册义务教育课程标准实验教科书，第七章第五节。 二、教学目标。 1、知识目标：了解多边形内角和公式。 2、数学思考：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 4、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 三、教学重、难点。 重点：探索多边形内角和。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 四、教学方法：引导发现法、讨论法。 五、教具、学具。 教具：多媒体课件。 学具：三角板、量角器。 六、教学媒体：大屏幕、实物投影。 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思。 师：大家都知道三角形的内角和是180o ，那么四边形的内角和，你
知道吗？ 活动一：探究四边形内角和。 在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360o。 方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360o。 接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。 师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？ 活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。 学生先独立思考每个问题再分组讨论。 关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。 （2）学生能否采用不同的方法。 学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和） 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180o的和是540o。 方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180o的和减去一个周角360o。结果得540o。 方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180o的和减去一个平角180o，结果得540o。 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180o加上3
多边形及其内角和 基础过关作业 1、四边形ABCD中，假如∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B旳度数是〔〕 A、80° B、90° C、170° D、20° 2、一个多边形旳内角和等于1080°，那个多边形旳边数是〔〕 A、9 B、8 C、7 D、6 3、内角和等于外角和2倍旳多边形是〔〕 A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形 4、六边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、 5、正十边形旳每一个内角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏，每一个外角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、 6、如图，你能数出多少个不同旳四边形？ 7、四边形旳四个内角能够差不多上锐角吗？能够差不多上钝角吗？能够差不多上直角吗？?什么缘故？ 8、求以下图形中x旳值： 综合创新作业 9、〔综合题〕：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF平分∠ADC、 BE与DF有如何样旳位置关系？什么缘故？ 10、〔应用题〕有10个都市进行篮球竞赛，每个都市均派3个代表队参加竞赛，规定同一都 市间代表队不进行竞赛，其他代表队都要竞赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场竞赛？ 11、〔创新题〕如图，以五边形旳每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合旳面积、
12、〔1〕〔2005年，南通〕一个多边形旳内角和为540°，那么那个多边形为〔〕 A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形 〔2〕〔2005年，福建泉州〕五边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、 13、〔易错题〕一个多边形旳每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角〔?〕 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 培优作业 14、〔探究题〕 〔1〕四边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线？ 六边形有几条对角线？ …… 猜想并探究： n 边形有几条对角线？ 〔2〕一个n 边形旳边数增加1，对角线增加多少条？ 15、〔开放题〕假如一个多边形旳边数增加1，?那么那个多边形旳内角和增加多少度？假设将n 边形旳边数增加1倍，那么它旳内角和增加多少度？ 数学世界 攻其不备 壁虎在一座油罐旳下底边沿A 处、它发觉在自己旳正上方──油罐上边缘旳B?处有一只害虫、壁虎决定捕捉这只害虫、为了不引起害虫旳注意，它有意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击如图7-3-5、结果，?壁虎旳偷袭得到成功，获得了一顿美餐、 请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短旳路程吗〔线段AB 除外〕？ 【答案】: 1、A 点拨：∠B=360°-〔∠A+∠C+∠D 〕=360°-280°=80°、应选A 、 2、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，那么〔n-2〕·180=1080、解得n=8、应选B 、 3、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，依照题意，得〔n-2〕·180=2×360、解得n=6、应选 B 、 4、720 5、144°；36° 点拨：正十边形每一个内角旳度数为：(102)18010 -??=144°， 每一个外角旳度数为：180°-144°=36°、 6、有27个不同旳四边形、 7、解：四边形旳四个内角不能够差不多上锐角，不能够差不多上钝角，能够差不多上直角、 因为四边形旳内角和为360°，假如四个内角差不多上锐角或差不多上钝角，?
初中数学教学案例及反思 ——多边形内角和 一、教材分析 本节课是人民教育义务教育课程标准实验教科书（六三学制）七年级下册第七章第三节多边形内角和。 二、教学目标 1、知识目标：了解多边形内角和公式。 2、数学思考：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 4、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 三、教学重、难点 重点：探索多边形内角和。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 四、教学方法：引导发现法、讨论法 五、教具、学具
教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思 师：大家都知道三角形的内角和是180o，那么四边形的内角和，你知道吗？ 活动一：探究四边形内角和。 在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。 方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360o。 方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360o。 接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。
师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？ 活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。 学生先独立思考每个问题再分组讨论。 关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。 （2）学生能否采用不同的方法。 学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和） 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180o的和是540o。 方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180o的和减去一个周角360o。结果得540o。 方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180o的和减去一个平角180o，结果得540o。 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180o加上360o，结果得540o。 师：你真聪明！做到了学以致用。 交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。
多边形知识要点梳理 边形的内角和等于180°（n-2）。 360°。 边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3、4、6/。 拼成360度的角 ：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的 一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为 ，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；
多边形的内角和 教学目的 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。 重点、难点 1．重点：多边形的内角和定理。 2．难点：多边形的内角和定理的推导。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少? 3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1．多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗? 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)
D D C A C E A B B 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE 。 一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。 与三角形类似如图，∠A 、∠D 、∠ 下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范
C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD 的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n 个内角，有2n个外角。 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。 8.3.3 问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。 (3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。 大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；
《多边形的内角和》教学设计 2 一、教材分析: 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》七年级《数学》下册第七章第三节《多边形的内角和》的第2课时，教材内容的安排先特殊后一般、由浅入深，渗透了转化的数学思想方法，符合学生认知规律，有利于培养学生的猜想、归纳能力及推理意识。具体来讲，在前一节学生已经学习了多边形及其对角线、内角、外角等概念，他们也熟知三角形和特殊四边形(如长方形、正方形)的内角和,所以这节课可以引导学生“将多边形分割成若干个三角形”来研究，体会转化思想在几何中的应用，感受从特殊到一般的认识问题的方法，体验解决问题策略的多样性，从而激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学目标： 1.探索多边形内角和公式，并能应用之进行有关计算。 2.经历实验、猜想、推理、归纳等过程, 体会转化思想在几何中的运用,感受从特殊到一般的认识问题的方法。 3.通过探索多边形的内角和公式，尝试从不同角度解决问题的方法，从而提高学生分析、解决问题的能力。 三、教学重点、难点： 1.重点：探索多边形的内角和公式。 2.难点：如何将多边形转化成三角形。
四、学情分析及教学方法的选择 班级学生绝大部分数学基础和数学能力较差，教学中注重利用学生已有的知识经验，激励他们主动探究，在合作交流中逐步完善自己的想法并改进其做法，理解多边形内角和公式的由来。 五、教（学）具：三角尺、量角器等。 六、教学过程： （一）新旧关联，导入新课 问题:三角形的内角和是多少度?长方形的内角和等于多少度?正方形的内角和等于多少度? 引出课题:想知道任意一个多边形的内角和吗?今天我们就来进一步探讨多边形的内角和。 （建立与学生的已有知识的联系，促使学生对新问题进行思考与猜想。） （二）新知探究与归纳 （从四边形到五边形、六边形至边形，增强图形的复杂性，经历转化的过程，让学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的思想方法；同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。） 1.尝试探索特殊多边形的内角和 （1）任意四边形的内角和是多少度？用怎样的方法来说明？哪种方法最有说服力？ （学生可能找到以下几种方法:量——即先测量四边形四个内角的度数,然后求四个内角的和；拼——即把四边形的四个内角
多边形的内角和教案 一、教学目标 1、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。 2、通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、通过探索多边形内角和公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。 4、通过猜想，推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。 二、教学重点、难点 重点：探索多边形的内角和公式。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形，利用三角形内角和180度求出多边形内角和。 三、教学方法： 学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合. 四、教具准备 ①每个小组一张“探究实验报告单”（活动1） ②每人一张“类比探索五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”（活动2） ③多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 问题1：把一个长方形纸片剪去一个角还剩几个角？ 【学生给出的答案可能是 ---三个角、四个角、五个角，教师演示动画。】 问题2：你知道所得图形的内角和吗？你知道102边形的内角和吗？ 【根据学生的回答，教师指出本课内容，板书课题: 多边形的内角和。】 （二）合作交流，探索新知 活动1：猜想验证四边形的内角和 问题：（1）任意四边形的内角和等于多少度？ （2）你是怎样得到的？你能找到几种方法？ 【问题（1）学生很容易猜到360°，问题（2）组织学生四人一组拿出课前老师发给每个小组的探究实验报告，讨论并记录探究方法。 在讨论的过程中，教师给出合格、良好、优秀的“自我评价标准”，每个小组对照评价表给出自我评价，教师深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”的形式，适时对各小组进行点拨。 讨论结束后，小组学生代表用实物投影展示探究实验报告，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。教师对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼、分割。 教师将常用的3种分割方法板书到黑板上。重点引导学生比较三种不同的分割方法----即从四边形的一个顶点引对角线；从四边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段；从四边形的内部任取一点，连接这点与各顶点的线段,分别将四边形分成了几个三角形，如何利用三角形的内角和180°求出四边形的内角和360°，如何将四边形内角和的表示与边数n联系起来。】
知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 分类1： 分类2： 多边形 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共 面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果 整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形凹多边形 图 1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。
11.3多边形及其内角和 专题一根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．9 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°． 3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数． 专题二求多个角的和 4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720° 5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°． 6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
状元笔记 【知识要点】 1．多边形及相关概念 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和 内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°． 外角和：多边形的外角和等于360°． 【温馨提示】 1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错． 2．多边形的外角和等于360°，而不是180°． 【方法技巧】 1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决． 2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等． 参考答案 1．A解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A． 2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°． 3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20． 4．B解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．
多边形的内角和教学案例 甘南县八一学校张加慧 教材及学生分析 求多边形的内角和是学生在学习了三角形内角和及了解与多边形有关概念的基础上的进一步学习，是三角形内角和公式的延伸和拓展。通过本节课的学习，让学生探索和归纳出多边形的内角和公式，能利用公式进行简单的计算应用。 学生任务分析 1、知识与技能 了解多边形内角和公式，会用多边形内角和公式解决有关简单的问题 2、过程与方法 ①经历探索多边形内角和公式的过程，培养学生勤于思考习惯，主动探索精神、 合情推理的意识。 ②通过把多边形分割为三角形的过程，体会数学中的转化思想，从特殊到一般认 识问题的方法。 3、情感态度与价值观 ①通过对变形内角和公式的探索，激发学生的求知欲和探索精神。 ②让学生体会自己获得结论的成就感，学会思维、观察、归纳的方法。 教学重点 多边形的内角和公式及运用 教学难点 探索多边形内角和时如何把多边形转化成三角形
教学方法——引导探索法、讨论法 教学准备 多媒体课件 教学过程 1、创设情境，设疑激思 师：展示生活中各种优美的图形，并提问学生这些图形中你知道哪几种图形的内角和？分别是多少度？ 生1：三角形内角和180°。 生2：正方形、长方形的内角和是360°。 师：那么不规则的四边形和其他多边形的内角和是多少度，大家想知道吗？这节课就让我们探讨多边形的内角和。（板书课题） （设计意图：通过多媒体展示比较熟悉的图形，让学生形象直观地体会到数学图形在生活中处处可见，培养学生联系生活实际探讨数学问题的方法，同时激发学生学习的兴趣。 2、探索新知，引申思考 ①画一个任意四边形，求其内角和。（学生独立思考，学生分组讨论，得出解 决办法。） 方法一：用量角器量出四边形的每个内角，然后把这些角加起来，得出内角和是360°。 方法二：连接四边形的一条对角线，把四边形转化成两个三角形，得出内角和是360°。 结论：任意一个四边形的内角和是360°。 师：比较方法一、二，哪种更好？你能类比求四边形内角和的方法求出五边形
9.2 多边形的内角和与外角和练习一一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是___. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.11．3 多边形及其内角和 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3, 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. 19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数. 20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形? 21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地 板的理由. 22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.
多边形的内角和公开课的课堂实录与点评 2011-07-04 09:37 来源：文字大小：【大】【中】【小】 一、课题与版本：人教版七年级下册/多边形的内角和 执教老师：黄晓（长安实验中学） 二、教学目标 【认知目标】 解释并会验证四边形内角和、n 边形的内角和，会应用它进行简单的计算和说理。【能力目标】 1 、通过复习多边形定义及内角和学习，增强类比推理和发散思维能力。 2 、通过将多边形问题转化为三角形问题来解决，使学生体会转化与化归思想的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力。 【情感目标】 通过分析研究三角形和多边形之间的联系与区别，培养学生辩证唯物主义观点，激发学生学习几何的兴趣。 点评：素质教育的重点是培养学生的创新精神和实践能力，将素质教育的重点落实在教学目标中，是教师对数学教育有深人理解的体现。 三、教学重点、难点： “多边形”在教材中起着承上启下的作用，它既是前面所学的“三角形”知识的应用，也是后面学习用正多边形拼地板、各种特殊四边形的重要的预备知识。因此，本节课的教学重点是：体会转化与化归思想的应用；本节课的教学难点是：找到转化的具体方法； 突出重点、化解难点的措施是：（l ）教师制作课件，直观演示；（2 ）随时总结学习几何命题的一些规律，在得出结论前引导分析；（ 3 ）设计有目的、有梯度、循序渐进的练习题组，强化训练。 四、教学过程 （一）复旧引新 （l ）四边形的定义正确的是（）。 A 、由四条线段首尾顺次相接组成的图形 B 、在平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的图形 C 、平面内，四个点所确定的图形 D 、在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形 (2) 下列命题中正确的是（）。
11.3多边形及其内角和 一、选择题： 1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 6.下列命题：①多边形的外角和小于内角和,②三角形的内角和等于外角和,③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加( ) A.180° B.90° C. 360° D.540° 8.过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的( ) A.4倍 B.5倍 C.6倍 D.3倍 ABCD?A?B?C?D?D的外角等于、( ) 、9.在四边形的度数之比为中，、2∶3∶4∶3，则A.60° B.75° C.90° D. 10.在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的 边数是 ( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11.如图，AB∥CD∥EF,则下列各式中正确的是( ) A.∠1＋∠2＋∠3＝180° B.∠1＋∠2－∠3＝90° C.∠1－∠2＋∠3＝90° D.∠2＋∠3－∠1＝180° ?A??B??C?A:?B:?C?1:2:3?A?90???B在下列条件中：①③②12.?A??B??C?ABC是直角三角形的条件有中，能确定( ) ④Ａ.①②Ｂ.③④Ｃ.①③④Ｄ.①②③ 二、填空题 1.五边形的内角和等于______度. 2.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______.
4.7(1)自学提纲 湖北省鹤峰县邬阳民族学校吴韦君 主题：多边形的内角和及边角关系 学习目标：明确多边形内角和公式和对角线条数公式的来历，并能熟练运用这两个公式 自学指导： 一、新课准备 什么是多边形？什么是多边形的边、顶点、内角、内角和？ 二、新知探索 思考一：多边形的内角和怎样求？ 三角形的内角和是，那么四边形的内角和是多少？五边形的内角和又是多少？六边形的内角和又是多少？你是怎么求出来的，请画图说明. 那么，对于任一个n多边形，内角和是多少？怎样理解这个公式？ 思考二：多边形的边角关系 1.如果一个三角形的两边相等，那么是否就有两个内角对应相等？那么反过来若知道一个三角形的两个内角相等，那么是否就有两条边相等？对于三角形的这个特点，我们可以用一句话来概括
C 2.那么对于任一多边形，如果它的各边都相等，那么是否可以得到它的各个 内角也相等，如果不是，请举出一个反例。 3. 那么对于任一多边形，如果它的各内角都相等，那么是否可以得到它的 各边也相等，如果不是，请举出一个反例。 4.什么是正多边形？对于一个正n 边形，它的每个内角是多少？ 思考三：多边形的对角线 1.什么是对角线？三角形有没有对角线？ 2.四边形有没有对角线？过四边形的一个顶点可以画多少条对角线，总共可 以画多少对角线？ 3.过五边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 4. 过六边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角线？ 5.那么过n 边形的一个顶点可以画多少条对角线？总共可以画多少条对角 线？ 三、自学能力检测 1.求七边形的内角和与对角线的总条数. 2.已知一个多边形的内角和是1080°，求它的边数。 3.在一个四边形中，若两对角互补，那么另两个内角是什么关系？ 4.把一个长方形桌面，锯掉一个角之后，剩下残余桌面的内角和是多少? 5.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 6.如图，在六边形ABCDEF 中，每个内角都相等，且AB=1，BC=2，CD=3.5，DE=2.5，边形的周