全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
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?对应角相等
性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用
边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理 (一)、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义 :能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中的特殊情况)
当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角;
(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找
全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
(三)经典例题
例1. 已知:如图所示,AB=AC,,求证:.
例2. 如图所示,已知:AF=AE,AC=AD,CF与DE交于点B。求证:。
例3 .如图所示,AC=BD,AB=DC,求证:。
例4. 如图所示,,垂足分别为D 、E ,BE 与CD 相交于点O ,且
求证:BD=CE 。
例5:已知:如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ,且∠B+∠D =180。 求证:AE=AD+BE 分析:从上面例题,可以看出,有时为了证明某两条线段和等于另一条线段,可以考虑“截长补短”的添加辅助线,本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢?由于AC 是角平分线,所以在AE 上截AF=AD ,连结FC ,可证出ADC ≌AFC ,问题就可以得到解决。 证明(一): 在AE 上截取AF=AD ,连结FC 。 在AFC 和ADC 中
()
()
()
AF AD AC AC =∠=∠=????
???已作已知公共边12 ∴AFC ≌ADC (边角边)
∴∠AFC=∠D (全等三角形对应角相等) ∵∠B+∠D=180(已知)
∴∠B=∠EFC (等角的补角相等)
在CEB 和CEF 中
()()()∠=∠∠=∠=?=?????
??B E F C C E B C E F C E C E 已证已知公共边90 ∴CEB ≌CEF (角角边)
∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE (等量代换) 证明(二): 在线段EA 上截EF=BE ,连结FC (如右图)。 小结:在几何证明过程中,如果现成的三角形不可以证明,则需要我们选出所需要的三角形,这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
(四) 全等三角形复习练习题
一、选择题
1.如图,给出下列四组条件:
①AB DE BC EF AC DF ===,,;②AB DE B E BC EF =∠=∠=,,; ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠,,;④AB DE AC DF B E ==∠=∠,,. 其中,能使ABC DEF △≌△的条件共有( )A .1组 B .2组 C .3组 D .4组
2.如图,D E ,分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处.若48CDE ∠=°,则APD ∠等于( )
3.如图(四),点P 是AB 上任意一点,ABC ABD ∠=∠,还应补充一个条件,才能推出
APC APD △≌△.从下列条件中补充一个条件,不一定能....推出APC APD △≌△的是( ) A .BC BD = B .AC AD = C .ACB ADB ∠=∠ D .CAB DAB ∠=∠
A .42°
B .48°
C .52°
D .58°
1题图 2题图
4.如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件AB=DE ,还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ,不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF (B )BC=EF ,AC=DF (C)∠A=∠D ,∠B=∠E (D )∠A=∠D ,BC=EF 5.如图,△ABC 中,∠C = 90°,AC = BC ,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于E , 若AC = 10cm ,则△DBE 的周长等于( )
A .10cm
B .8cm
C .6cm
D .9cm
6. 如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
4题图 5题图
7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那 么最省事的方法是( )A .带①去 B .带②去 C .带③去 D .带①②③去
8.如图,在Rt ABC △中,ο
90=∠B ,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC
于点E .已知ο
10=∠BAE ,则C ∠的度数为( )
C A
D
P
B 图(四) ④
①②
③ 6题图
A .ο30
B .ο40
C .ο50
D .ο
60 9.如图,ACB A C B '''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( ) A .20° B .30° C .35° D .40° 10.如图,AC =AD ,BC =BD ,则有( )
A .A
B 垂直平分CD B .CD 垂直平分AB 1题图
C .AB 与C
D 互相垂直平分
D .CD 平分∠ACB
8题图 10题图
11.尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ,再分别以点C 、D 为圆心,以大于
1
2
CD 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线OP ,
由作法得OCP ODP △≌△的根据是( )A .SAS B .ASA C .AAS D .SSS
12.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
13.如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B .下列结论中不一定成立的是( )A .PA PB = B .PO 平分APB ∠ C .OA OB = D .AB 垂直平分OP 14.如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的是( ) A . B .BAC DAC =∠∠ C .BCA DCA =∠∠ D .90B D ==?∠∠
11题图 12题图
二、填空题
1.如图,已知AD AB =,DAC BAE ∠=∠,要使 ABC △≌ADE △,可补充的条件是 (写出一个即可)_______________.
2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________
3.如图,BAC ABD ∠=∠,请你添加一个条件: ,使OC OD =(只添一个即可).
4.如图,在ΔABC 中,∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,
A
D C E
B 8题
7题图
A
B
C
D A B
C D 14题图
C
B
B ' A ' O 13
题图 B A P
O
D P
C
A B
DC=6厘米,则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。
1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形 有 个 .
6.已知:如图,△OAD ≌△OBC ,且∠O =70°,∠C =25°,则∠AEB =________度.
7如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE ;②PQ ∥AE ;③AP=BQ ;④DE=DP ;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
8.如图所示,AB = AD ,∠1 = ∠2,添加一个适当的条件,使△ABC ≌ △ADE,则需要添加的条件是________.
6题图
7 题图 8 题图
三、解答题 1.如图,已知AB=AC ,AD=AE ,求证:BD=CE.
第1个第2个
第3个
A C
E
B
D
O
A
B C
D
E
D
O
C
B
A
Q
P
O
B
E
D C A
2.如图,在ABC △中,40AB AC BAC =∠=,°,分别以AB AC ,为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ,使90BAD CAE ∠=∠=°. (1)求DBC ∠的度数;(2)求证:BD CE =.
3.如图,在△ABE 中,AB =AE,AD =AC,∠BAD =∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证:(1) △ABC ≌△AED ; (2) OB =OE .
4.如图,D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点,以CD 为一边向上作等边△EDC ,连接AE ,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
5.如图,在△ABC 和△DCB 中,AB = DC ,AC = DB ,AC 与DB 交于点M .
(1)求证:△ABC ≌△DCB ;(2)过点C 作CN ∥BD ,过点B 作BN ∥AC ,CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系,并证明你的结论.
E A D M E D C
B
A
6.如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点,12∠=∠,34∠=∠. 求证:(1)ABC ADC △≌△;(2)BO DO =.
7.如图,在ABC △和ABD △中,现给出如下三个论断:①AD BC =;②C D ∠=∠; ③12∠=∠.请选择其中两个论断为条件,另一个论断为结论,构造一个命题. (1)写出所有的真命题(写成“
?
???
”形式,用序号表示)
: .
(2)请选择一个真命题加以证明. 你选择的真命题是:
?
???
.
证明:
8.已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB =DC ,BE =CF ,∠B =∠C .求证:OA =OD .
2
1
A
C
D B
D C
B
A O 1
2
3 4
9.如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C
点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .
10.如图,,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点,,平分交于点,请你写出图中三.对.全等三角形,并选取其中一对加以证明.
11.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三
角
形.(直接写出结果,不要求证明):
12.如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M .
(1)求证:MB =MD ,ME =MF
B
D C
F
A
郜
E
(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
13已知:如图A 、D 、C 、B 在同一直线上,AC=BD ,AE=BF ,CE=DF 求证:(1)DF ∥CE (2)DE=CF A
D F
E
14.如图,已知在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高,在BE 上截取BD
= AC ,在CF 的延长线上截取CG = AB ,连结AD 、AG ,则AG 与AD 有何关系?试证明你的结论
15.如图,已知BE⊥AC 于E ,CF⊥AB 于F ,BE 、CF 相交于点D ,若AB=AC .求证:AD 平分∠BAC.
B
C E
16.如图,∠B=∠C=90°,M 是BC 中点,DM 平分∠ADC,求证:AM 平分∠DAB.
17.如图,在△ABC 和△DBC 中,∠ACB =∠DBC = 90o,E 是BC 的中点,EF ⊥AB ,垂足为F ,且AB = DE .
18.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,连接EF ,EF 与AD 交于G ,AD 与EG 垂直吗?证明你的结论。
19.如图,在△ABC
中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD ,
CE 相交于点O .试说明AE+CD=AC ..如图,在△ABC 中,
∠B=60°,△ABC 的角平分线AD ,CE 相交于点O .试说明AE+CD=AC .
20.如图,已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点,点F 在BC 上,且∠DAE=∠FAE. 求证:AF=AD+CF 。
A
B
F
C
E
D
14.已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过点A 的一条直线,且BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由;(2)当直线AE 处于如图②的位置时,则BD,DE,CE 的关系如何?请说明理由;(3)归纳(1)(2),请用简洁的语言表达BD,DE,CE 之间的关系。
B
C
E
A
D
C